Pokročilé numerické metody I
Numerický výpočet vlastních čísel
Jiří Zelinka
Jiří Zelinka Vlastní čísla 1 / 34
Vlastní čísla
Základní pojmy, vlastnosti a vztahy
A je komplexní čtvercová matice typu n × n.
vlastní číslo, vlastní vektor matice, λ(A) – spektrum
invariantní podprostor (invariant) matice
A je reducibilní (rozložitelná) matice, pokud existuje
permutační matice P, že PAPT
=
T11 T12
0 T22
, kde
T11 a T22 jsou čtvercové, jinak se nazývá ireducibilní.
Matice v Hessenbergově tvaru se nazývá redukovaná,
pokud některý její prvek pod hlavní diagonálou je nulový,
v opačném případě se nazývá neredukovaná.
Redukovaná matice je reducibilní, tedy ireducibilní je
neredukovaná.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 2 / 34
Věta 1 Ireducibilní matice v horním Hessenbergově tvaru má
všechna vlastní čísla geometrické násobnosti 1.
Lemma Jestliže AX = XB (X: n × p, B: p × p), pak R(X)
je invariantem A a pro By = λy (vlastní číslo a vektor B) platí
A(Xy) = λ(Xy). Odtud plyne, že pokud má X nezávislé
sloupce, je λ(B) ⊆ λ(A).
Naopak, pokud je V invariantem A, dim(V ) = p, pak existují
matice X a B, že AX = XB.
Důkaz
První část vyjde přímým výpočtem. Pro důkaz druhé části
stačí vzít matici X, jejíž sloupce tvoří bází prostoru V .
Jiří Zelinka Vlastní čísla 3 / 34
Lemma
Nechť AX = XB (X: n × p, B: p × p), r(X) = p. Pak existuje
unitární matice Q, že
Q∗
AQ = T =
T11 T12
0 T22
,
kde λ(T11) = λ(A) ∩ λ(B) = λ(B).
Důkaz je založen na QR rozkladu matice X: X = Q
R1
0
pro regulární matici R1. Zbytek vyjde přímým výpočtem.
Věta 2 (Schurův rozklad)
Buď A komplexní čtvercová matice řádu n. Pak existuje
unitární matice Q, že
Q∗
AQ = T = D + N,
kde D = diag(λ1, . . . , λn) a N je striktně horní trojúhelníková.
Navíc lze Q zvolit tak, aby vlastní čísla byla v určeném pořadí.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 4 / 34
Důkaz indukcí
Pro n = 1 je tvrzení zřejmé.
Pro obecné n, dané vlastní číslo λ1 a příslušný vlastní vektor v1
využijeme předchozí lemma (X = v1, B = λ1). Tedy existuje
unitární matice Q1, že Q∗
1 AQ1 =
λ1 u∗
0 A2
. Použijeme
indukční předpoklad na A2 a přímým výpočtem vyjde tvrzení.
Poznámky
Sloupce Q qi se někdy nazývají Schurovy vektory.
Z rovnosti AQ = QT = Q(D + N) plyne
Aqk = λkqk +
k−1
i=1
nikqi pro k = 1 . . . , n, takže prostory
Sk = L(q1, . . . , qk) jsou invarianty.
Dále qk je vlastní vektor A, pokud k-tý sloupec N je
nulový.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 5 / 34
Pokud je matice N nulová, je T diagonální a dá se ukázat
(viz následující důsledek) že platí A∗
A = AA∗
, pak se A
nazývá normální.
Důsledek
Matice A je normální právě tehdy, když existuje unitární
matice Q, že
Q∗
AQ = D = diag(λ1, . . . , λn)
Důkaz
Z uvedené diagonalizace dostaneme normalitu přímým
výpočtem.
Z normality A vyjde jednoduše normalita matice T.
Porovnáním členů u T∗
T a TT∗
vyjde, že T musí být
diagonální. Například porovnáním prvku na prvním řádku a v
prvním sloupci vyjde, že první řádek T je nulový (s výjimkou
diagonálního prvku). Podobně postupujeme dále.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 6 / 34
Pro reálnou matici A se snažíme pracovat v reálném oboru i v
případě komplexních vlastních čísel. Platí následující obdoba
Schurovy věty:
Věta 3 (Reálný Schurův rozklad)
Buď A reálná čtvercová matice řádu n. Pak existuje
ortogonální matice Q, že
QT
AQ = T =





T11 T12 · · · T1m
0 T22 · · · T2m
...
...
...
...
0 0 · · · Tmm





,
kde T je blokově horní trojúhelníková matice a bloky na hlavní
diagonále jsou řádu 1 obsahující reálná vlastní čísla matice A,
nebo řádu 2, jejichž vlastní čísla jsou komplexně sdružená
vlastní čísla matice A.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 7 / 34
Důkaz je veden podobně jako pro komplexní případ, ale v
lemmatu, z něhož důkaz vychází, je potřeba najít reálnou
matici X se dvěma sloupci, která odpovídá dvojici komplexně
sdružených vlastních čísel, tedy i příslušným vlastním
vektorům.
Nechť λ1, λ2 jsou vlastní čísla, ¯λ1 = λ2. Pro příslušné vlastní
vektory platí ¯v1 = v2. Položme w1 = v1 + v2, w2 = i(v1 − v2),
X = [w1, w2] = [v1, v2]
1 i
1 −i
= [v1, v2]Y . Pak
AX = A[w1, w2] = A[v1, v2]Y = [λ1v1, λ2v2]Y =
= [v1, v2]
λ1 0
0 λ2
Y = [w1, w2]Y −1 λ1 0
0 λ2
Y .
Takže AX = XB pro
B = Y −1 λ1 0
0 λ2
Y =
Re(λ1) −Im(λ1)
Im(λ1) Re(λ1)
.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 8 / 34
Poloha vlastních čísel
Věta 4 (Geršgorinova věta)
Nechť A = (ai,j ) je čtvercová matice, a nechť Ri označuje
uzavřený kruh se středem v ai,i a poloměrem
j̸=i
|ai,j |. Pak
všechna vlastní čísla matice A leží v množině R =
n
i=1
Ri .
Poznámka
Kruhy Ri s nazývají Geršgorinovy kruhy.
Věta 5
Sjednocení libovolných k Geršgorinových kruhů, které mají
prázdný průnik se zbylými n − k kruhy, obsahuje přesně k
vlastních čísel včetně násobností.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 9 / 34
Mocninná metoda
Definice (Dominantní vlastní číslo)
Vlastní číslo λ matice A se nazývá dominantní, jestliže pro
každé jiné vlastní číslo µ platí |λ| > |µ|. Příslušný vlastní
vektor se nazývá dominantní vlastní vektor.
Poznámka
Pro reálnou matici musí být dominantní vlastní číslo reálné.
Věta 6 (mocninná metoda)
Buď λ1 dominantní vlastní číslo matice A a v1 příslušný
dominantní vlastní vektor. Dále nechť u je libovolný vektor,
který má nenulovou složku ve směru vektoru v. Pak
lim
k→∞
1
λk
1
Ak
u = cv1
pro nenulovou konstantu c.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 10 / 34
Důkaz
Pokud lze A diagonalizovat, tvoří vlastní vektory v1, v2, . . . , vn
(sloupce V ) bázi celého prostoru. Vektor u vyjádříme v této
bázi a tvrzení vyjde přímým výpočtem.
V obecném případě využijeme Jordanův kanonický tvar:
A = VJV −1
, Ak
= VJk
V −1
pro
J =
λ1 oT
o J2
, Jk
=
λk
1 oT
o Jk
2
.
Matice Jk
2 je blokově diagonální s k-tými mocninami
příslušných Jordanových bloků na diagonále.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 11 / 34
Pro
Ji =





λi 1 0 oT
0 λi 1 oT
...
...
...
0 · · · 0 λi





je
Jk
i =











λk
i
k
1
λk−1
i
k
2
λk−2
i
k
3
λk−3
i · · ·
0 λk
i
k
1
λk−1
i
k
2
λk−2
i · · ·
...
...
...
...
...
...
0 · · · · · · 0 λk
i











,
odkud plyne, že
lim
k→∞
1
λk
1
Jk
2 = 0.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 12 / 34
Matici V zapišme blokově jako (v1, V2). Vektor u vyjádříme v
bázi tvořené sloupci V : u = Vx. Pak
lim
k→∞
1
λk
1
Ak
u = lim
k→∞
1
λk
1
VJk
V −1
Vx = V lim
k→∞
1
λk
1
Jk
x =
= (v1, V2)
1 oT
o 0n−1
x = x1v1.
Důsledek
Pokud je λ2 vlastní číslo s druhou největší absolutní hodnotou,
závisí rychlost konvergence na poměru |λ2/λ1| v tom smyslu,
že chyba se blíží k nule zhruba jako mocniny tohoto výrazu.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 13 / 34
Algoritmy mocninné metody
Pomocí normy ∥ · ∥∞
Zvolme x0 (např. (1, . . . , 1)T
), pro k = 1, 2, . . . položíme
1 ˜xk = Axk−1
2 λ
(k)
1 = ˜xki
, kde |˜xki
| = ∥˜xk∥∞ (prvek, jehož absolutní
hodnota je maximální)
3 xk = ± ˜xk
∥˜xk ∥∞
(prvek v absolutní hodotě maximální je 1).
Algoritmus končíme zpravidla, pokud |λ
(k)
1 − λ
(k−1)
1 | je
dostatečné malá.
Pomocí normy ∥ · ∥2
Zvolme x0 = u, pro k = 1, 2, . . . položíme
1 ˜xk = Axk−1
2 xk = ˜xk/∥˜xk∥2
3 λ
(k)
1 = x∗
k Axk,
Končíme, pokud |λ
(k)
1 − λ
(k−1)
1 | je dostatečné malá.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 14 / 34
Mocninná metoda s posunem
c – vhodná konstanta
1 ˜xk = (A − cI)xk−1
2 λk = ˜xki
+ c, kde |˜xki
| = ∥˜xk∥∞ (prvek, jehož absolutní
hodnota je maximální)
3 xk = ˜xk
∥˜xk ∥∞
(prvek v absolutní hodotě maximální je ±1).
Využití: urychlení konvergence, změna dominance.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 15 / 34
Metoda Rayleighových podílů
Věta 7
Buď λ1 dominantní vlastní číslo a v1 dominantní vlastní
vektor, u je libovolný vektor, který není kolmý k v1, x0 má
nenulovou složku ve směru vektoru v1 a xk+1 = Axk. Pak platí
lim
k→∞
(xk+1, u)
(xk, u)
= λ1.
Důkaz je založen na rovnosti (xk+1,u)
(xk ,u)
=
λ1
1
λk+1
1
xk+1,u
1
λk
1
xk ,u
.
Důsledek
lim
k→∞
(xk+1, xk)
(xk, xk)
= λ1.
Poznámka
Výrazy (xk+1,xk )
(xk ,xk )
se nazývají Rayleighovy podíly. Platí
(xk+1, xk) = x∗
k Axk, viz též 2. algoritmus mocninné metody.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 16 / 34
Algoritmus metody Rayleighových podílů
Položme x0 = u, zpravidla x0 = (1, . . . , 1)T
. Pak pro
k = 1, 2, . . . položíme
1 xk = Axk−1
∥xk−1∥
2 λ
(k)
1 = (xk ,xk−1)
(xk−1,xk−1)
Algoritmus končíme zpravidla, pokud |λ
(k)
1 − λ
(k−1)
1 | je
dostatečné malá.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 17 / 34
Redukce dimenze matice
Věta 8
Nechť λ1, . . . , λn jsou vlastní čísla matice A, násobnost λ1 je 1
a v1 je příslušný vlastní vektor. Dále nechť x je vektor, pro
který platí (x, v1) = 1. Pak matice
B = A − λ1v1x∗
má vlastní čísla 0, λ2, . . . , λn a v1 je vlastní vektor příslušný 0.
Důkaz
Předpoklad (x, v1) = 1 se dá zapsat ve tvaru v∗
1 x = x∗
v1 = 1.
Odtud jednoduchým výpočtem dostaneme Bv1 = o = 0v1,
takže v1 je vlastní vektor matice B pro vlastní číslo 0. Pro
důkaz, že ostatní vlastní čísla matic A a B jsou stejná
využijeme Jordanův kanonický tvar:
A = VJV −1
⇒ J = V −1
AV pro J =
λ1 oT
o J2
.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 18 / 34
Matici V zapišme blokově jako (v1, V2). Jelikož V −1
V je
jednotková matice, platí V −1
v1 = e1. Pak
V −1
BV = V −1
AV − λ1V −1
v1x∗
V = J − λ1e1(x∗
v1, x∗
V2) =
= J − λ1e1(1, x∗
V2) = J − λ1
1 x∗
V2
o 0
=
=
0 −λ1x∗
V2
o J2
Výsledná matice je podobná matici B (není v Jordanově
kanonickém tvaru), má s ní tedy stejná vlastní čísla, ta jsou ale
až na λ1 stejná jako pro matici A, protože pravý dolní blok J2
je u obou matic stejný.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 19 / 34
Věta 9
Buď B a x matice a vektor z předchozí věty. Buďte
v1, u2, . . . , un vlastní vektory matice B. Pak pro i = 2, . . . , n
jsou vi = (λi − λ1)ui + λ1(x∗
ui )v1 vl. vektory A příslušné λi .
Důkaz
Tvrzení dokážeme přímým výpočtem. Pro vlastní vektor ui
matice B spočítáme nejprve
Aui = (B + λ1v1x∗
)ui = Bui + λ1v1x∗
ui = λi ui + λ1(x∗
ui )v1.
Pak
A[(λi − λ1)ui + λ1(x∗
ui )v1] =
= (λi − λ1)[λi ui + λ1(x∗
ui )v1] + λ1(x∗
ui )Av1 =
= λi (λi − λ1)ui + λi λ1(x∗
ui )v1 − λ2
1(x∗
ui )v1+ +λ2
1(x∗
ui )v1 =
= λi [(λi − λ1)ui + λ1(x∗
ui )v1].
Tím je důkaz u konce.
Problém k zamyšlení: jak vyjádřit vlastní čísla matice B
z vlastních čísel matice A.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 20 / 34
Wielandtova redukce
Věta 10
Buď v1k
a (ak,1, . . . , ak,n) k-tý prvek vektoru v1, resp. k-tý
řádek matice A. Vektor
x =
1
λ1v1k
(ak,1, . . . , ak,n)∗
splňuje předpoklady věty o redukci dimenze, t.j. (v1, x) = 1.
Důsledek
Při aplikaci Wielandtovy redukce má matice B nulový k-tý
řádek, takže můžeme zmenšit její dimenzi vypuštěním k-tého
řádku i sloupce.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 21 / 34
QR algoritmus
Věta 11
Nechť A = (ai,j ) je čtvercová matice, položme A0 = A. Dále
nechť
A0 = Q0R0
je QR rozklad matice A, položme
A1 = R0Q0
a obecně pro
Ak = QkRk
položme
Ak+1 = RkQk.
Pak všechny matice Ak jsou podobné matici A. Pokud je A v
Hessenbergově tvaru, platí totéž i pro Ak.
Důkaz Podobnost dostaneme přímým výpočtem. Druhá část
plyne z toho, že pro matici Ak v Hess. tvaru je matice Q v QR
rozkladu také v Hess. tvaru (viz Givensova rotace).
Jiří Zelinka Vlastní čísla 22 / 34
Poznámka
Uvedený postup se nazývá QR algoritmus.
Věta 12
Nechť A je regulární matice, která má všechna vlastní čísla v
absolutní hodnotě různá a nehchť A = Y −1
diag(λ1, · · · λn)Y
je její diagonalizace. Dále nechť existuje LU rozklad matice Y .
Potom QR algoritmus konverguje k horní trojúhelníkové matici
s vlastními čísly λ1, · · · λn na diagonále.
Poznámka
Pokud reálná matice splňuje předpoklady předchozí věty, pak
má jen reálná vlastní čísla.
Věta 13
Nechť A je regulární matice v Hessenbergově tvaru, která má
všechna vlastní čísla v absolutní hodnotě různá. Pak QR
algoritmus konverguje k horní trojúhelníkové matici s vlastními
čísly matice A na diagonále.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 23 / 34
QR algoritmus s posunutím
Posunutím se změní vlastní čísla, což může mít vliv na
konvergenci.
Algoritmus:
A0 – matice v Hessenbergově tvaru. Uděláme QR rozklad
matice A0 − µ0I:
A0 − µ0I = Q0R0,
pak položme
A1 = R0Q0 + µ0I
a obecně pro
Ak − µkI = QkRk
položme
Ak+1 = RkQk + µkI.
Věta 14
Všechny matice Ak jsou podobné matici A: Ak+1 = Q∗
k AkQk.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 24 / 34
Věta 15
Nechť A je neredukovaná matice řádu n v Hessenbergově
tvaru. Pak pro matici R určenou QR rozkladem A = QR platí
ri,i ̸= 0 pro i < n
Důkaz plyne ihned z Givensovy rotace.
Důsledek 1
Za předpokladů předchozí věty a pro singulární matici A platí
rn,n = 0.
Důsledek 2
Pokud za předpokladů předchozí věty je λ vlastní číslo matice
A,
A − λI = QR, B = RQ + λI
(viz QR algoritmus s posunutím), je poslední řádek matice B
ve tvaru (0, . . . , 0, λ).
Jiří Zelinka Vlastní čísla 25 / 34
Rayleighovo posunutí: µk = ak
nn
Poznámka
Pokud nastane v QR algoritmu situace z předchozího
důsledku, můžeme snížit řád matice vypuštěním posledního
řádku a sloupce – tzv. deflace. Totéž můžeme provést, pokud
v předposledním sloupci na posledním řádku je v absolutní
hodnotě menší, než stanovená hranice, pod níž považujeme
čísla za nulová.
Podobně lze rozdělit matici na dvě menší submatice (tzv.
oddělení (decoupling)), jestliže se malé číslo objeví někde jinde
pod hlavní diagonálou, takže matici lze považovat za
redukovanou.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 26 / 34
Wilkinsonovo posunutí
Nechť Ak je matice z posloupnosti vytvořené QR algoritmem
s posunutím, položme m = n − 1. Wilkinsonovo posunutí je
dáno vlastním číslem λ submatice ˜A tvořené m-tým a n-tým
řádkem a stejnými sloupci matice Ak, které je bližší ak
nn.
Pro přehlednější zápis počítejme s n = 2: ˜A =
a11 a12
a21 a22
.
Charakteristický polynom: ψ(λ) =
a11 − λ a12
a21 a22 − λ
=
λ2
− (a11 + a22)λ + a11a22 − a12a21.
D = (a11 + a22)2
− 4(a11a22 − a12a21) =
(a11 − a22)2
+ 4a12a21 = 4(δ2
+ a12a21),
δ = a11−a22
2
.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 27 / 34
λ1,2 = 1
2
a11 + a22 ± 2
√
δ2 + a12a21 =
= a11+a22
2
±
√
δ2 + a12a21 = a22 + δ ±
√
δ2 + a12a21.
Bližší vlastní číslo k číslu a22 je to, u něhož vybereme
znaménko opačné, než je u δ.
λ1 = a22 + sign(δ)|δ| − sign(δ)
√
δ2 + a12a21 =
= a22 + sign(δ)(|δ| −
√
δ2 + a12a21) =
= a22 + sign(δ)|δ|2−(δ2+a12a21)
|δ|+
√
δ2+a12a21
= a22 − sign(δ) a12a21
|δ|+
√
δ2+a12a21
.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 28 / 34
Wilkinsonovo posunutí pro komplexní vlastní čísla:
λ1,2 ∈ C ∖ R
ψ(λ) = λ2
− tr( ˜A)λ + det( ˜A), D = tr2
( ˜A) − 4det( ˜A)
λ1,2 ∈ C ∖ R pro D < 0, t.j. tr2
( ˜A) < 4det( ˜A)
λ1,2 = 1
2
tr( ˜A) ± i |D| , λ1 = ¯λ2
R(λ1,2) = 1
2
tr( ˜A)
|λ1,2|2
= 1
4
tr2
( ˜A) + |D| = 1
4
tr2
( ˜A) + 4det( ˜A) − tr2
( ˜A)
= det( ˜A).
Provedeme posunutí s λ1 a pak s λ2, tím se vyruší imaginární
části vlastních čísel – tzv dvojité posunutí (double shift).
Jiří Zelinka Vlastní čísla 29 / 34
Můžeme vycházet od A0:
A0 − λ1I = Q0R0
A1 = R0Q0 + λ1I
A1 − λ2I = Q1R1
A2 = R1Q1 + λ2I
Z 2. a 3. rovnosti dostáváme
R0Q0 + (λ1 − λ2)I = Q1R1 Q0[· · · ]R0
Q0R0Q0R0 + (λ1 − λ2)Q0R0 = Q0Q1R1R0
Q0R0(Q0R0 + (λ1 − λ2)I) = Q0Q1R1R0
(A0 − λ1I)(A0 − λ2I) = Q0Q1R1R0
Položme
M = (A0 − λ1I)(A0 − λ2I) = A2
0 − 2R(λ1,2)A0 + |λ1,2|2
I.
Matice M je reálná, M = A2
0 − tr( ˜A)A0 + det( ˜A)I,
M = Q0Q1R1R0 = QR je její (reálný) QR rozklad.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 30 / 34
Dále víme: A1 = Q∗
0 A0Q0,
A2 = Q∗
1 A1Q1 = Q∗
1 Q∗
0 A0Q0Q1 = Q∗
A0Q.
Shrnutí:
V matici Ak vybereme matici ˜A tvořenou posledními dvěma
řádky a sloupci.
Pokud tr2
( ˜A) ≥ 4det( ˜A) provedeme normální Wilkinsonovo
posunutí, v opačném případě vytvoříme pomocnou matici
M = A2
k − tr( ˜A)Ak + det( ˜A)I, najdeme její QR rozklad
M = QR a
Ak+2 = Q∗
AkQ.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 31 / 34
Praktický QR algoritmus pro reálné matice
Vycházíme z Hessenbergova tvaru.
Používáme posunutí, nejlépe Wilkinsonovo.
Používáme deflaci a oddělení s aplikací algoritmu na
submatice, pokud dostaneme redukovanou matici.
U matic 2 × 2 určíme vlastní čísla přímo. Pokud má tato
matice reálné kořeny, algoritmus funguje i dál, pro
komplexní kořeny by matice M pro dvojité posunutí měla
vyjít nulová, ale může nastat cyklení z důvodů
numerických chyb.
Násobná vlastní čísla algoritmus určuje s velkými chybami.
Neexistuje důkaz o konvergenci QR algoritmu (ani s
posunutím) v obecném případě.
Podobný algoritmus, který předcházel QR algoritmu, je
založen na LU rozkladu.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 32 / 34
QR algoritmus pro symetrické matice
Matice v Hessenbergově tvaru je třídiagonální.
Pokud má matice vícenásobné vlastní číslo, její
Hessenbergův tvar musí být redukovaný.
QR algoritmus zachovává třídaigonalitu a symetrii.
Posunutí také zachovává třídaigonalitu a symetrii.
Dvojité posunutí není potřebné.
QR algoritmus konverguje k diagonální matici.
Poznámka
Pro symetrické matice se používá také Jacobiova metoda,
která využívá Givensovy rotace a výběr vedoucích prvků
(pivotů).
Jiří Zelinka Vlastní čísla 33 / 34
Numerický výpočet singulárního rozkladu reálné
matice
Buď A reálná matice, položme C = AT
A.
Pomocí QR algoritmu najdeme diagonalizaci C:
V T
1 CV1 = diag(σ2
1, . . . , σ2
r , 0, . . . , 0).
(Během algoritmu musíme průběžně uchovávat součin
použitých ortogonálních matic – matici V1).
Na matici AV1 aplikujeme QR rozklad s výběrem
vedoucích sloupců, přičemž prvky na diagonále R
vezmeme nezáporné:
AV1P = UR, tedy UT
AV1P = R.
Přímým výpočtem se ověří, že RT
R je diagonální, proto i
matice R je diagonální.
Pro Σ = R a V = V1P máme tedy
UT
AV = Σ,
navíc diagonální prvky Σ tvoří nerostoucí posloupnost.
Jiří Zelinka Vlastní čísla 34 / 34