Diskrétní deterministické modely
1. cvičná pisemka
Teoretická část
1. Diferenční rovnici prvního řádu ∆x − 4x(1 − xσ
) = 0 přepište do tvaru rekurentní
formule.
2. Nechť posloupnost x(t) je řešením počáteční úlohy
x(t + 1) =
x(t)
t + 1
, x(0) = 1.
Určete lim
t→∞
x(t).
3. Najděte stacionární bod rovnice x(t + 1) = |x(t) − 1| + 1
2
a vyšetřete jeho stabilitu.
4. Napište model vývoje dvou konkurujících si populací s oddělenými generacemi za
předpokladů:
(i) Izolovaná i-tá populace se vyvíjí podle Bevertonova-Holtova modelu s růstovým
koeficientem ri a s kapacitou prostředí Ki, i = 1, 2.
(ii) Za přítomnosti j-té populace je kapacita prostředí pro i-tou populaci nepřímo
úměrná velikosti j-té populace, i = j.
Výpočetní část
1. Najděte obecné řešení systému rovnic
x(t + 1) = −x(t) + y(t)
y(t + 1) = 2y(t) +t.
2. Uvažujte autonomní rovnici druhého řádu
x(t + 1) = rx(t) 1 −
x(t − 1)
K
;
parametry r a K jsou kladné. Najděte všechny její rovnovážné body a vyšetřete jejich
stabilitu.
Uvedenou rovnici interpretujte.
Čas na vypracování: Teoretická část 60 minut, výpočetní část 40 minut.
Bodování: Teoretická část 4 × 1 bod, výpočetní část 2 × 2 body.
Hodnocení: V každé části — [3.5,4]=A, [2,3.5)=C, [0.5,2)=E;
pokud je v teoretické části dosaženo méně než 0.5 bodu, je celkové hodnocení F, jinak je
celkové hodnocení průměrem hodnocení obou částí.
1
Řešení:
Teoretická část
1.
∆x = 4x − 4xxσ
xσ
− x = 4x − 4xxσ
xσ
(1 + 4x) = x(4 + 1)
xσ
=
5x
1 + 4x
2.
x
t + 1
> 0 pro x > 0 a t ∈ N, tedy x(t) > 0 pro všechna t.
x
t + 1
≤
|x|
2
pro t ≥ 1, tedy x(t) ≤ 1
2
2
pro všechna t.
lim
t→∞
1
2
t
= 0. Celkem lim
t→∞
x(t) = 0.
Nebo: x(t) = 1
t! , lim
t→∞
1
t! = 0.
3. |x − 1| + 1
2 = x −→ x = 3
4 .
Odchylka od stacionárního řešení y(t) = x(t) − 3
4 .
Pro „malou“ odchylku je y(t + 1) = x(t + 1) − 3
4 = |x(t) − 1| − 3
4 = 3
4 − x(t) = −y(t), tedy
y(t) = (−1)t
y(0). Odchylka se nezvětšuje ani nezmenšuje, řešení je stabilní (nikoliv asymptoticky).
4. Například:
x(t + 1) =
αr1K1y(t)
K1 + α(r1 − 1)x(t)y(t)
y(t + 1) =
βr2K2x(t)
K2 + β(r2 − 1)x(t)y(t)
Výpočetní část
1. x(t) = 2t
A + (−1)t
B − 1
2 t − 1
4 ,
y(t) = 3 · 2t
A − t − 1,
podrobněji:
x(t) = 1
3 3x0 − y0 + 1
2 t0 − 1
4 (−1)t−t0
+ 1
3 y0 + t0 + 1)2t−t0
− 1
2 t − 1
4 ,
y(t) = y0 + t0 + 1)2t−t0
− t − 1
2. Rovnovážné body jsou x∗
1 = 0 a x∗
2 = K
r − 1
r
.
• 0 < r < 1 ⇒ x∗
1 je stabilní, x∗
2 je nestabilní
• 1 < r < 2 ⇒ x∗
1 je nestabilní, x∗
2 je stabilní
• 2 < r ⇒ x∗
1 oba rovnovážné body jsou nestabilní
Rovnice může modelovat vývoj velikosti populace, u níž vnitrodruhová konkurence působí se zpožděním
jedné generace. Parametr r je vnitřní koeficient růstu (maximální možný přírůstek velikosti
populace, růstový koeficient populace bez vnitrodruhové konkurence, biotický potenciál modelované
populace), parametr K vyjadřuje kapacitu (úživnost) prostředí; ta závisí na růstovém koeficientu a
je 1 −
1
r
-násobkem parametru K.
2
Diskrétní deterministické modely
2. cvičná pisemka
Teoretická část
1. Diferenční rovnici druhého řádu xσσ
∆x = 4x přepište do tvaru systému explicitních
diferenčních rovnic prvního typu a prvního řádu.
2. Napište nějakou diferenční rovnici vyššího řádu, která má řešení x(t) = 4t2
+2 cos tπ
2
.
3. Najděte všechna equilibria autonomní rovnice x(t+ 1) = 1 − x(t) −1
k
, kde k ∈ N0,
a vyšetřete jejich stabilitu. Je některé z equilibrií dosažitelné?
4. Nechť posloupnost g je geometrická s počátečním (nultým) členem γ a kvocientem
q, posloupnost H13 je jednotkový skok v čase 13. Najděte obraz součinu těchto posloupností
v transformaci Z a určete jeho poloměr divergence.
Výpočetní část
1. Najděte obecné řešení rovnice
x(t + 2) − x(t) = 2t
t sin
π
2
t .
2. Uvažujte autonomní systém
H(t + 1) = rH(t) exp − aP(t) ,
P(t + 1) = cH(t) 1 − exp − aP(t) ;
parametry r, a a c jsou kladné. Najděte rovnovážný bod systému s oběma souřadnicemi
kladnými a vyšetřete jeho stabilitu.
Čas na vypracování: Teoretická část 60 minut, výpočetní část 40 minut.
Bodování: Teoretická část 4 × 1 bod, výpočetní část 2 × 2 body.
Hodnocení: V každé části — [3.5,4]=A, [2,3.5)=C, [0.5,2)=E;
pokud je v teoretické části dosaženo méně než 0.5 bodu, je celkové hodnocení F, jinak je
celkové hodnocení průměrem hodnocení obou částí.
3
Řešení:
Teoretická část
1. x1 = x, x2 = xσ
,
xσ
1 = x2,
xσ
2 =
4x1
x2 − x1
,
∆x1 = −x1 + x2,
∆x2 =
4x1
x2 − x1
− x2,
∆x1 = −x1 + x2,
∆x2 =
x1(4 + x2) − x2
2
x2 − x1
.
2. Napíšeme rovnici lineární homogenní.
Charakteristická rovnice musí mít alespoň trojnásobný kořen λ1 = 1 a imaginární kořen λ2 = i.
Nejjednodušší taková rovnice je (λ − 1)3
(λ2
+ 1) = 0, po úpravě λ5
− 3λ4
+ 4λ3
− 4λ2
+ 3λ − 1 = 0.
Hledaná rovnice může být
x(t + 5) − 3x(t + 4) + 4x(t + 3) − 4x(t + 2) + 3x(t + 1) − x(t) = 0.
Také lze napsat lineární nehomogenní rovnici
x(t + 2) + x(t) = 8t2
+ 16t + 16 nebo x(t + 3) − 3x(t + 2) + 3x(t + 1) − x(t) = 4 cos t
π
2
+ sin
π
2
.
3. f(x) =
1 − (x − 1)k
, k > 0
1, k = 0
, f′
(x) =
−k(x − 1)k−1
, k > 0,
0, k = 0.
Equilibria: x = 1 − (x − 1)k
, tj. x∗
= 1 pro libovolné k ∈ N0.
Pro k sudé, k > 0 existuje druhé equlibrium 0.
|f′
(1)| = 0 < 1, tj. 1 je asymptoticky stabilní.
|f′
(0)| = k > 1, tj. 0 je nestabilní, dokonce repelentní.
Pro k = 0 je equilibrium x∗
= 1 dosažitelné.
4. g(t) = γqt
, H13(t) =
0, t < 13,
1, t ≥ 13.
gH13(z) =
∞
j=13
γqj
z−j
= γ
q
z
13
1
1− q
z
= γq13 z−12
z − q
,
konverguje pro |q
z | < 1, tj. R = |q|.
x(t + 1)
x(t)10
1
x(t + 1)
x(t)10
1
k liché k sudé
Výpočetní část
1. x(t) = A + (−1)t
B + 1
25 2t
(8 − 5t) sin π
2 t
2. • r ≤ 1 rovnovážný bod uvnitř prvního kvadrantu neexistuje
• r > 1 rovnovážný bod je (H∗
, P∗
) =
1
ac
r ln r
r − 1
,
ln r
a
.
J(H, P) =
re−αP
−arHe−αP
c 1 − e−αP
acHe−αP , J∗
= J(H∗
, P∗
) =
1 1
c
r
r−1 ln r
cr−1
r
1
r−1 ln r
,
tr J∗
= 1 +
ln r
r − 1
, det J∗
=
1 − r
r
ln r.
| tr J∗
|−1 = 1
r−1 ln r > 1
r ln r > 1
r − 1 ln r = 1−r
r ln r = det J∗
, tedy rovnovážný bod (H∗
, P∗
)
je nestabilní.
4