M8230
Cvičení 8
Autonomní systémy
Vzorce: Příklady:
11.1     Najdi rovnováhy zadaných autonomních rovnic a vyšetři jejich stabilitu:
a) x(t + 1) = r ■ x(t) ■ (l -c) x(t+l)=x(t)-
r-K
K + (r - 1) • x(t)
b)   x(t + 1) = e^Ý-M^+M^))
d)      H(t+l)=r- H(t) • e-fl-pW
P(t + 1) = c • fř(í) • f 1 - e-a-p®
2.      Nalezni všechny cykly délky dva a vyšetři jejich stabilitu:
x(t + 1) = 1 - x(í)2
3.      Nalezni všechny rovnováhy zadané rovnice v závislosti na parametru fi a najdi kritické bi-furkační hodnoty tohoto parametru:
x(t+l) x(t+l) x(t+l)
= 2 • x(t) • (/i - x(t)) + /i = fl ■ x(t) ■ (1 - x(t)) = n + x(ť) - x{t)2
podmínky			název (názvy)	příklad
			tečná bifurkace {tangent bifurcation) ohyb (fold), sedlo-uzel (saddle-node)	x(t + 1) = x(i)(l - +/1
		d f                    d2 f	transkritická bifurkace (transcritical bifurcation]	x(í + 1) = x(t)(l + ji- x(t))
		Qií(x ,„o)-0, dxd/i{x tllo)ŕ0,	vidlička (pitchfork)	x(t + 1) = x(í) (1 + /i - x(t)2)
tx{* ,ao) = -1	d2f                d2f df		zdvojeni periody (period doubling) flip	x(t + 1) = x(t) {{1-1 + x(ťf)
Obrázek 1: Některé typy bifurkací
Výsledky:
1. a) x* = 0 (stabilní pro r < 1), K ■ ľ-^r (stabilní pro r G (1; 3))
b) x* = 1 (stabilní), 2 (nestabilní)
c) x* = 0 (stabilní pro r < 1), K (stabilní pro r > 1)
d) (P*, H*) = (^p-, a'"ffri)) , nestabilní pro všechna r > 1
2. stabilní cyklus (0,1, 0,1,...), nestabilní cyklus C"1^, ...)
3. a) dvě flip bifurkace (x*,fi*) = (—1/2, —3/2) a (1/2,1/2), jedna transkritická bifurkace (—1/2, —1/2)
b) transkritická bifurkace (x*, /i*) = (0,1) a period-doubling bifurkace (2/3, 3)
c) fold bifurkace (x*= (0,0), flip bifurkace (1,1)