Oceňování finančních derivátů Martin Kolář Asijské opce Výplata u asijských opcí závisí na průměru ceny aktiva za období životnosti opce. Jedním z důvodů používání těchto opcí je fakt, že znemožňují velkým investorům manipulovat cenami podkladového aktiva těsně před vypršením opčního kontraktu. Asijská call opce typu fixed strike má výplatní funkci max(0, Sprůměr - K) Asijská put opce tohoto typu má výplatní funkci max(0, K - Sprůměr) Floating strike call VT = A77ax(0, ST - Sprůměr) dovolí koupit za průměrnou cenu. Fixed strike dává "průměrný zisk Aritmetický průměr čísel (ai,..., a„) je 1 " n ^ J i Geometrický průměr GP = (ai...an)n tedy r? lnGP= i V In č i Tedy In(GP) = AP z logaritmů. Podobně pro funkci f{t) : [0, T] -> R AP=T Í f^dt ' Jo o T In GP = ^ / In f (t)c/t o tedy GP = exp(i / \nf(t)dt) ' Jo Pro geometrický průměr existuje oceňovací formule zatímco pro aritmetický průměr neexistuje. - AP ... součet lognormálních rozdělení není lognormální - GP ... součet normálních rozdělení je normální - GP ... sleduje také geom. Wienerův proces, jen s menší volatilitou. Asijské opce jsou tedy levnější. Basket options - opce na portfolia - výplatní funkce závisí na hodnotě portfolia akcií, místo jedné akcie V{SU S2, T) = max{51 + S2-K) - polulární, např. opce na indexy - Ocenění pomocí vícerozměrného Wienerova procesu. Prokletí dimenze" - v Rn pro n > 7 nejde numeric integrovat - SP 500, řádově vyšší dimenze □ ť3? - Zobecnění Black Scholesova modelu V předchozích kapitolách jsme předpokládali, že parametry modelu (r, a) jsou konstantní. Ted tento zjednodušující předpoklad opustíme a dovolíme, aby se měnily v čase. Tržní cena rizika Uvažujeme derivát, jehož hodnota závisí na jediné proměnné 6. Předpokládejme, že 6 se řídí stochastickou diferenciální rovnicí —— = m • d ŕ + s • dl/l/, 0 kde W je standardní Wienerův proces, mas mohou záviset na 6 a na t. To je velmi podstatné zobecnění. 6 může být např. cena akcie, cena ropy, ... Necht fi a f2 jsou ceny 2 derivátů závislých jen na 6 a ŕ. Jejich výplata je funkcí 6 v nějakém budoucím čase. Předpokládejme, ze fi a f2 splňují rovnice d/í ——- = Hi dŕ + o-! dl/l/, h df2 —— = fi2 dŕ + (72 dl/l/, kde /ii, /i2, (Ji, cr2, jsou funkce h t. 1/1/je tentýž proces všech třech rovnicích. Náhodný člen aI/V můžeme kombinací f\ a ŕ> eliminovat: A/i = /ii/"iAŕ + (JifiAW j • (72£ Aŕ2 = /i2^Aŕ + ct2^a!/I/ / • (—cti/í) Uvažujme portfolio s o^ŕ? 1. derivátu a množství —o\f\ 2. derivátu. Necht tt je jeho hodnota. 7ľ = &~ ATT = O^Aŕi — aifiAÍ2 = /iiŕ>0"2/ÍAŕ — 0"i/i/Í2^Aŕ Takové portfolio je tedy bezrizikové a musí platit z neexistence arbitráže ATT = r ' 7T *At, kde r je bezriziková úroková míra. Dosazením dostaneme: ATT = 0"2r?A/i — aifiAÍ2 = r{(72^1 ~ ^lA^ž)^ 02/i i H2&1 = r&2 r&l 02(a*i - r) =