4. domácí úkol - MIN 101 (jaro 2024)
Odevzdat do 16.12.
1. V závislosti na parametrech k, l € R rozhodněte, zda jsou vektory v následujícím podprostoru lineárně závislé či nezávislé
M = {(1, 2,3-1, 3), (1, 2 + k, 4, 6), (2,4, l - 6, 7), (1, 2 - k, 2 - Z, 1)} C K4.
Nápověda: Nejdříve vytvořte matici z příslušných sloupcových vektorů a upravte na schodovitý tvar. Následně proveďte diskusi s parametry a, b, pro které bude množina lineárně závislá/nezávislá.
2. Najděte ortonormální bázi roviny p : 2x + 3y + z = 0.
Nápověda: Doporučuji nejdříve najít alespoň dva vektory, které leží v příslušné rovině. Následně pouze stačí využít Gram-Schmidtův algoritmus pro generování OG báze.
3. (Bonusový příklad). Mějme prostor polynomů
n
V = {Pn(x) = Yjakxk\ak £l}c Rn.
fc=0
Ověřme, zda množina všech polynomů třetího stupně Pz(x) = ciq + a\x +
a-^x1 + ďjx3 splňující (íio + «i)(«2 + 0-3) = 0, tvoří (či netvoří) vektorový podprostor ve V.
Nápověda: V podstatě zde stačí ukázat, že je množina Ps(x) uzavřená vzhledem ke sčítání a násobení skalárem. Následně se pokuste dobrou volbou polynomů paij zkonstruovat potenciální protipříklad vzhledem k operaci sčítání nebo násobení skalárem. Stačí, když bude narušena alespoň jedna z definičních vlastností podprostoru.
1