5. domácí úkol - MIN 101 (jaro 2024)
Odevzdat do 30.12.
1. (Fibonacciho posloupnost a zlatý řez) Vyřešte následující diferenční rovnici
F„+2 — Fn+1 — Fn = 0, (1) s počátečními podmínkami Fq = 0, r\ = 1.
Pokuste se rovněž ukázat, asymptotické chování poměru F^+1 v limitě n —> oo dává zlatý řez.
2. Pomocí nehomogenní diferenční rovnice prvního řádu odvoďte vzorec pro konečný součet všech kvadrátů
n
Sn = ^ ] k .
k=l
Nápověda: Vypsáním prvních několika členů součtu Sn se pokuste zjistit jak vypadá příslušná diferenční rovnice. Následně využijte klasický aparát pro řešení těchto rovnic s kvazipolynomiální pravou stranou.
Nebo se pokuste využít diferenční operátor a sestavit polynom pro n-tý člen odpovídající posloupnosti.
3. (Bonusový příklad) Model pro vývoj populace je možné reprezentovat pomocí diskrétní diferenční rovnice
kde Pn je stav populace v čase t = n, r je rychlost růstu a K reprezentuje nosnou kapacitu prostředí. Nosná kapacita prostředí reflektuje míru toho, s jakou prostředí a jeho zdroje dokáží udržovat růst populace.
Pokuste se najít řešení daného populačního mmodelu pro Pn a následně ukázat, jaké jsou kritické hodnoty daného modelu, tedy jaký bude vývoj populace v závislosti na r a K.
Nápověda: Chápejte populační model jako homogenní diferenční rovnici s konstantními koeficienty (rychlost růstu populace r a nosnost prostředí K jsou konstanty - nemění se v čase). Jejím vyřešením obdržíte uzavřenou formu pro Pn.
1