MIN301 Matematika III - příklady počítané na cvičení (podzimní semestr 2021) 1 1. týden — úvod do funkcí více proměnných Cvičení konané 14. 9. 2021. Příklad 1.1: Rozmyslete si grafy následujících funkcí dvou proměnných: (i) f(x,y) = x-y. [Rovina.] (ii) f(x, y) = x2 + y2. [Rotační paraboloid.] (iii) f(x,y) = ^/x2 + y2. [Kužel.] (iv) f(x,y) = [Graf vzniká pohybem přímky v IR3.] X y (v) f(x,y) = sin(rr) cos(í/). [Pravidelně zvlněná plocha.] (vi) f(x,y) = sin(xy). [Zvlněná plocha, 'frekvence' vlnění se mění.] (vii) f(x,y) = ^2 +y2 ■ [Zvlněná plocha, rozmyslete si limitní vývoj do nekonečna.] Příklad 1.2: Určete maximální definiční obory následujících funkcí: (í) f(X,y) = y(x3 + x2+x+1) ■ (ii) f(x,y) = -\/arcsin xy. (iii) f(x,y) = HtXJ-y2y Příklad 1.3: Spočtěte následující limity nebo ukažte jejich neexistenci: (i) lim(Xi!/)^(o,o) fsjjy. [Limita je 0.] (ii) lim^^co) ^2+yl■ [Limita neexistuje - rozmyslete si limity "po přímkách"směrem k počátku.] (iii) lim^^co) xx^y . [Limita neexistuje, i když limity "po přímkách"směrem k počátku jsou stejné - použijte limitu po křivce y = 1 — ex.] 2 2 (iv) lim^^co) §2^2 - [Limita neexistuje, což je pěkné vidět při přechodu na polární souřadnice. Příklad 1.4: Spočtěte parciální derivace následujících funkcí a pak požadované směrové derivace: (i) Směrová derivace funkce f(x, y) = x3 + Axy v bodě [2, —1] ve směru vektoru (1, 3). (ii) Směrová derivace funkce f(x,y,z) = cos^ ^ v bodě [1,1,2] ve směru vektoru (1,2,3). [Směrové derivace lze počítat dvěma způsoby - buď přimo z definice nebo pomocí parciálních derivací.] 2 2. týden — derivace vyšších řádů, Taylorův rozvoj a aplikace na průběch funkcí Cvičení konané 21. 9. 2021. Příklad 2.1: S využitím parciálních derivací vyjádřete diferenciál df funkce arctan(x2 + y2) v bodě [1,-1] a vypočtěte pomocí něho směrovou derivaci pro směr u = (1,2). Příklad 2.2: Určete parciální derivace druhého řádu funkce f(x, y) = x4y + xy2 + x + 2 a pak Taylorův polynom druhého stupně této funkce v bodě [1,1]. Příklad 2.3: Určete lokální extrémy následujících funkcí: (i) f(x,y) = x3 + y3 — 3xy. [Stacionární body jsou [0,0] a [1,1], v prvním není extrém, ve druhém je lokální minimum.] (ii) f(x,y,z) = ;r+4^ + ~ + f5 extrémy určete jen v prvním oktantu. [Jediný stacionární bod je [1/2,1,1], je to minimium.] (iii) f(x,y) = x4 + y4 — x2 — 2xy — y2. [(Vyjdou tři stacionární body [0,0], [1,1] a [—1, — 1]; v prvním neumíme rozhodnout podle Hessiánu, další dva jsou minima. V počátku extrém nenastane - v jeho okolí jsou kladné i záporné hodnoty.] 3 3. týden — tečná rovina ke grafu, derivace složených funkcí, implicitně zadané funkce Cvičení konané 5. 10. a 12. 10. 2021. Příklad 3.1: Určete následující tečnu a tečnou rovinu: (i) Na křivce c(t) = (t2 — 1, — 2t2 + 5t,t — 5) najděte takový bod, že jím procházející tečna je rovnoběžná s rovinou p : 3x + y — z — 7 = 0. [Nápověda: Směrový vektor tečny ke křivce c(t) v bodě chceme mít kolmý k normálovému vektoru roviny p, takže skalární součin těchto dvou vektorů musí být roven 0.] (ii) Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = x2 + xy + 2y2 v bodě [xq, yo, zq] = [1,1,?]. Příklad 3.2: (i) Určete diferenciál zobrazení F : IR3 —y IR2, F(x, y, z) = {x2 + y2 + z2, xyz) v bodě [1, 2, 3] jako lineární zobrazení IR3 —> IR2. Dále určete diferenciál zobrazení G : IR2 —> IR, G(s,t) = | v bodě [14, 6] jako lineární zobrazení IR2 —y IR. (ii) Pomocí předchozího napište diferenciál funkce 0, funkce je tedy konvexní a leží nad tečnou.] Příklad 3.6: Vypočtěte všechny parciální derivace prvního a druhého řádu v bodě [1, y/2, 2] funkce z = f(x, y) definované v okolí daného bodu implicitně rovnicí x2+y2+z2—xz — \plyz = 1. Dále určete lokální extrémy funkce z = f(x,y) v bodech, kde je tato funkce definovaná. Příklad 3.7: V okolí kterých bodů křivky F(x,y) = x2 + 2xy — y2 — 8 = 0 nelze vyjádřit y jako funkci y = f{x)l [Body, kde F(x,y) = 0 a Fy(x,y) = 0 jsou [2,2] a [—2,-2]. V nich vezměte implicitní funkci x = x{y) a spočtěte její první a druhou derivaci a ukažte, že tečna křivky v těchto bodech je rovnoběžná s osou y a křivka leží vlevo nebo vpravo od této tečny. Namalujte si obrázek.] 4 4. týden — vázané extrémy, integrace ve více proměnných Cvičení konané 12. 10. 2021. Příklad 4.1: Najděte extrémy funkce h(x, y) = x — y na elipse F(x, y) = x2 + 2y2 — 6 = 0 v rovině IR2. [Extrémy musí nastat ve stacionárních bodech, tyto musí mít vlastnost, že gradient h je násobkem gradientu F. Vyjdou body [x,y] s x = ±2, y = =(=1 - jedno minimum, jedno maximum. Tuto skutečnost dokážeme pomocí tvrzení, že spojitá funkce nabývá na uzavřené a omezené množině v IRn svého maxima a minima.] Příklad 4.2: Najděte extrémy funkce h(x, y,z) = x + 2y + 3z za podmínky F(x, y,z = xyz = 36) a x > 0, y > 0 a z > 0. [Stacionární bod je [6,3,2] a jde o minimum. To dokážeme například tak, že vypočteme x jako funkci (y,z) z F(x,y,z) = 0, dosadíme do h a spočteme Hessián modifikované funkce v bodě [3,2].] Příklad 4.3: Vypočtěte JJ^Q _1 2^{x2 + 2xy)dxdy. [Řešení: |.] Příklad 4.4: Vypočtěte f*2(2 — xy)dy dx. [Řešení: 24 "J Příklad 4.5: Vypočtěte J^x x2_zx+2dy dx. [Řešení: 3 ln 2 —ln 3, je třeba rozložit na parciální zlomky.] Příklad 4.6: Zaměňte pořadí integrace J^2 Jq1UX f(x, y)dy dx. [Řešení: Ja^in f(x,y)dx dy Příklad 4.7: Spočtěte J0 ^2 X, ÍJ2 sinx2dx dy. [Řešení: |, je třeba zaměnit pořadí integrace a pak použít substituci t = x2.] 5 5. týden — integrace ve více proměnných, transformace souřadnic Cvičení konané 19. 10. a 26. 10. 2021. Příklad 5.1: Spočítejte I = JJM8ydxdy, kde M = {[x,y] G IR2 | x > 0, xy > 1, x + y < |}. [Řešení : |.] Příklad 5.2: Spočítejte I = jjsxy2 dxdy, kde S je plocha v 1. kvadrantu ohraničená grafy funkcí y = x a y = x2. [Řešení : Příklad 5.3: Pomocí přechodu k polárním souřadnicím zjednodušte dvojný integrál I = If m f(Vx2 + V2) dxdy, kde M je množina bodů [x,y] G IR2 splňujících x2 + y2 < 1. [Řešení: 2tt J^rf(r)dr.} Příklad 5.4: Spočítejte integrál I = JJM\f(%— l)2 + (y + l)2) dxdy, kde M je množina bodů [rr, ?/] G IR2 splňujících 1 < (x — l)2 + (y + l)2 < 4. [Řešení: y7r.] Příklad 5.5: Použitím vhodné transformace spočítejte integrál I = jjAx2y2dxdy, kde A je množina bodů [x,y] G IR2 ohraničená křivkami xy = xy = 2, 2y = x a x = 2y, přičemž x,y > 0. [Řešení: Vzhledem k omezením se nabízí transformace u = xy, y = vx, tj. x = a y = ^pužv. Jacobián transformace je ^ a integrál je I = || ln 2.] Obsah plochy, hmotnost, těžiště jsou n8sledující integrály • obsah plochy A je jjA dxdy, • hmotná destička daná množinou A s hustotou p(x, y) v bodě [x, y] má hmotnost M = ÍL p(x> v) dxdy> • hmotná destička daná množinou A s hustotou p(x, y) v bodě [x, y] souřadnice těžiště [x0, y0], kde x0 = ^ = /fA xp(x, y) dxdy a y0 = ± = JJA yp(x, y) dxdy. Příklad 5.6: Určete obsah rovinného obrazce omezeného křivkami x = 0, y = ^, y = 8 a y = Ax. [Řešení: \ + 2 ln 2.] Příklad 5.7: Hmotná destička ve tvaru rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku s přeponou délky 1, jejíž hustota je přímo úměrná vzdálenosti od jedné z odvěsen a v protějším vrcholu je rovna 2. Najděte těžiště destičky. [Řešení: [^, -gf ].] Příklad 5.8: Určete souřadnice těžiště homogenní destičky ohraničené křivkami y = x2 a x + y = 2. [Řešení: \-\, §].] 6 6. týden — aplikace vícenásobných integrálů, úvod do diferenciálních rovnic Cvičení konané 26.10. a 2. 11. 2021. Příklad 6.1: Určete objem tělesa v IR3, které je ohraničeno částí kužele x2 + y2 = (z - 2)2 a paraboloidem x2 + y2 = 4 - z. [Řešení: |7r.] Příklad 6.2: Řešte rovnici (1 + ex)yy' = ex. Najděte obecné řešení a řešení splňující počáteční podmínku y(0) = 1. [Řešení: obecné řešení je y = ± */2 ln (c2 (e* + 1)), C2 > 0 a partikulární řešení pro y(0) = 1 je y = y21n(^(e:E + 1)) pro x > -^.] Příklad 6.3: Řešte rovnici y' = x — ^f2^ Najděte obecné řešení a řešení splňující počáteční podmínku y(0) = — 1 a pak řešení splňující počáteční podmínku y(2) = 3. [Řešení: obecné řešení je rovnice je y = [\x2 — 2x + 2 ln \x + 1| + Ď) D G R \ {±1}.] Příklad 6.4: Řešte rovnici xy'+y ln x = y ln y. Zjistěte, ve které části roviny má rovnice smysl. Najděte obecné řešení a řešení splňující počáteční podmínku y(l) = 1. [Řešení: y = xe~x+1.] 7 7. týden — lineární diferenciálních rovnice s konstatními koeficienty I. Cvičení konané 9. 11. 2021. Připomeňme, jak najít partikulárních řešení lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Uvažme takovou rovnici tvaru any^ (x) + ... + aiy'(x) + a0y(x) = e^i^P^x) cos(/3x) + Qk(%) sin(/5rr)) kde aj G IR a na pravé straně a, (3 G IR, Pe(x) je polynom stupně l a Qk{x) je polynom stupně k. Pro tento typ pravé strany existuje partikulární řešení tvaru y{x) = xseax (Rr(x) cos((3x) + Tr{x) sin(/5rr)) kde Rr(x) a Tr(x) jsou polynomy stupně r := max{£, A;} a s je násobnost a + i/3 jakožto kořene charakteristického polynomu diferenciální rovnice. Příklad 7.1: Najděte řešení rovnice y" = 2y' — y + 1 splňující y(0) = 0 a y'(0) = 1. [Řešení: -ex + 2xex + 1.1 Příklad 7.2: Najděte obecné řešení rovnic y" + 3y' + 2y = (x + l)e 3x a ?/" + 3í/ + 2y = e x. [Řešení: de'* + C2e-^ + (\x + |)e-3a:, Ci, C2 G M a Cxe~x + C2e-^ + ze"1, Ch C2 € M.] 8 8. týden — lineární diferenciálních rovnice s konstatními koeficienty II. Cvičení konané 9. 11. a 16. 11. 2021. Příklad 8.1: Najděte všechna řešení rovnice y" + y' = x2 — x + 6e2x. [Řešení: C\ + C2e x .1 v. 3 _ 3 f 3 2' \x3 - |x2 + 3x + e2*, Ci, C2 G M. Příklad 8.2: Najděte všechna řešení rovnice ?/" + 2y' + 2y = 3e x cos rr. [Řešení: C\e x cos .x -C2e~x cos :r + \xe~x sinx, Ci, C2 G R.] Příklad 8.3: Najděte všechna řešení rovnice y^ + y^ = x2 — 1. [Řešení: Ci + C2a: + C3x^ 'J_T2 _ 1\ .60 2 )' C4sinrr + C5 cos x + a:3(^a;2 - ±), Ci, C2, C3, C4, C5 E Příklad 8.4: Najděte všechna řešení rovnice x2y" — 2xy' + 2y = x2 + 2. [Řešení: nejprve použijte substituci x = ez, čímž se původní rovnice převede na rovnici ^| — 3^ + 2y = e2z + 2 s neznámou funkcí y = y(z).] 9 9. týden — soustavy diferenciálních rovnic s konstatními koeficienty Cvičení konané 23. 11. 2021. Příklad 9.1: Napište diferenciální rovnici popisující všechny a) přímky a) kružnice v rovině IR2. Příklad 9.2: Řešte soustavu rovnic /o i r y' = i o l\y, V 1 o, kde y{x) je vektorová funkce se třemi složkami. [Řešení: y(x) = Cxe~x | -1 j + C2e~x ľ 1 + C3e2* ^1 Příklad 9.3: Řešte soustavu rovnic kde y{x) je vektorová funkce se dvěma složkami. Příklad 9.4: Řešte soustavu rovnic 10 0 V' = | 3 1 -2\y, 2 2 1 kde y{x) je vektorová funkce se třemi složkami. Příklad 9.5: Řešte soustavu rovnic / ( 17 9 * = V-25 -13.'*' kde y(x) je vektorová funkce se dvěma složkami. 10 10. týden — úvod do teorie grafů Cvičení konané 30. 11. 2021. Příklad 10.1: Rozmyslete si počty vrcholů, hran, stupně, skóre, matici apod. grafů Kq, -řCt,5, Příklad 10.2: (a) Kolik existuje různých grafů na na n vrcholech? (Rozlišujeme pojmenování vrcholů, různé grafy mohou být izomorfní.) (b) Mějme množinu vrcholů V = V\ U v2 s pevně zadaným rozdělením vrcholů na dvě podmnožiny V = V\ U v2. Kolik existuje různých bipartitních G = (V,E), je-li m = \Vi\ a n = iv2i? (Rozlišujeme pojmenování vrcholů, různé grafy mohou být izomorfní.) [Řešení: 2© a 2mn.] Příklad 10.3: (a) Kolik existuje různých bipartitiních grafů na tříprvkové množině vrcholů při rozlišení vrcholů? A kolik jich bude navzájem neizomorfních? (b) Který bipartitiní graf na n-prvkové množině vrcholů má nejvíce hran? Příklad 10.4: Určete počet podgrafů grafu K§. [Řešení: 1450] Příklad 10.5: Určete, kolik existuje různých cest mezi pevně zvolenými vrcholy v grafu K7. [Řešení: 326.] Příklad 10.6: Určete, kolik existuje různých cyklů v grafu K5. [Řešení: 37.] Příklad 10.7: Kolik existuje sledů délky 4 mezi vrcholy 1 a 2 v grafu zadaném maticí sou-sednosti /O 1 0 0 0\ 10 111 0 10 11 0 110 1 \0 1 1 1 OJ 11 11. týden — grafy: 'friendship' graf, souvislost, Eule-rovské tahy Cvičení konané 7. 12. 2021. Příklad 11.1: (Friendship theorem) Mějme skupinu n osob takovou, že každá dvojice má mezi ostatními právě jednoho společného známého. Dokažte, že pak v této skupině existuje jedinec, který se zná se všemi ostatními. Příklad 11.2: (a) Kolik komponent má graf s deseti vrcholy stupně 5? Dokažte. [Řešení: jedna komponenta.] (b) Kolik komponent může mít graf s deseti vrcholy stupně 2? Dokažte. [Řešení: jedna, dvě nebo tři komponenty.] Příklad 11.3: Určete stupeň souvislosti bipartitiního grafu Km,n. [Řešení: min{m,n}.] Příklad 11.4: Uvažme graf G, který vznikne z bipartitiního grafu odstraněním jedné hrany. (a) Je možno graf G nakreslit jedním uzavřeným tahem? [Řešení: ne.] (b) Je možno graf G nakreslit jedním otevřeným tahem? [Řešení: ne.] (c) Je možno graf G nakreslit dvěma otevřenými tahy? [Řešení: ano.] (d) Kolik nejméně hran je třeba přidat do grafu G, aby jej bylo možno nakreslit jedním otevřeným tahem? [Řešení: 1 hranu.] (e) Kolik nejméně hran je třeba přidat do grafu G, aby jej bylo možno nakreslit jedním uzavřeným tahem? [Řešení: 2 hrany.] Příklad 11.5: Uvažme ohodnocený graf zadaný maticí /o 5 2 0 0 o\ 5 0 6 2 0 0 2 6 0 4 5 0 0 2 4 0 5 1 0 0 5 5 0 3 V> 0 0 1 3 V kde a,ij > 0 udává dálku hrany i-tého do j-tého vrcholu. Pomocí Dijkstrova algoritmu určete délku nejkratších cest z prvního vrcholu do všech ostatních. 12 12. týden — algoritmy na hledání minimální kostry Cvičení konané 5. 1. 2021. 13 13. týden — hledání maximálního toku v sítích, konzultace diferenciálních rovnic Cvičení konané 12. 1. 2021.