2. domácí úkol - MIN301 - podzim 2022 - odevzdat do 18.11.2022
Uvažme kruh D C M? se středem [1,1] a poloměrem 1 a dále množinu
A = {[x, y] e D I y < ex, y < f, y > x}
a integrál I = jjA f(x,y)dxdy pro spojitou funkci f (x,y) dvou proměnných. Popište meze pro jednotlivé souřadnice při výpočtu I při obou možných pořadích integrace, tj.
(a) napište J jako integrál j* j* f(x,y)dxdy (nebo součet více takových integrálů), kde místo
* doplníte vhodné meze,
(b) napište J jako integrál f* J* f(x,y)dydx (nebo součet více takových integrálů), kde místo
* doplníte vhodné meze.
Dále určete extrémy funkce g(x,y) = x — y na množině A. (Jako nápovědu poznamenejme, že A je kompaktní množina.)
Řešení: Hranice oblasti A je tvořena částí přímky y = x, částí kružnice (hranice kruhu D), částí křivky y = ex a částí přímky y = 3/2, přičemž „vrcholy" jsou [3/2,3/2], [— ^ + 1, —^ + 1], [0,1] a [ln(3/2), 3/2]. (Nakreslete si obrázek!) Hranice kruhu D je dána grafem křivek y =
1 ± y x{2 — x). Tedy na jednu stranu máme
I _f(x,y)dydx+ /   f(x,y)dydx + /        / f(x,y)dydx
0 Jl-y/x(2-x) Jx Vln(3/2) Jx
a na druhou stranu máme
1 ny 1-3/2 r-y
I f(x,y)dxdy+ /      / f(x,y)dxdy.
Jl-^y(2-y) Jl Jlny
Na kompaktní množině nabývá funkce g(x,y) svého maxima a minima. Tato funkce g(x,y) nemá lokální extrémy, tedy se maximum a minimum realizuje na hranici A. Podobnou úvahou pro jednotlivé hraniční křivky dojdeme k tomu, že maximum a minimum se realizuje v některém z výše uvedených „vrcholů" na hranici. Máme
;|, |) = 0,   g(-& + 1,-^ + 1)= 0,   0(0,1) = -!, í?(ln(|),|)=ln(|)-|
kde ln(|) — | < — 1 < 0. První dvě hodnoty na předchozím řádku také napovídají, že g(x, y) = 0 pro všechny body na přímce y = x. Tedy funkce g(x,y) má na množině A minimum v bodě [ln(|), |] a maximum ve všech bodech úsečky y = x mezi body [|, |] a [—^ + 1, —^ + 1].