3. domácí úkol - MIN301 - podzim 2022 - odevzdat do 2.12.2022
Uvažme omezenou oblast A c ir3 ohraničenou paraboloidem z = A — x2 — y2, válcem x2 +y2 = 4 a rovinami y = 0 a z = 0. Určete, pro jakou konstantu a g ir rozděluje rovina z = a oblast A na dvě části o stejném objemu.
Řešení: Zadání vyhovují dvě oblasti (navzájem symetrické podle roviny y = 0), nicméně konstanta a je po obě stejná. Zvolme oblast A, pro kterou je y > 0. Ve válcových souřadnicích
x = rcosip,    y = rsiinp,    z = z
má tato oblast parametrizaci
0<r<2,    0<v?<tt, 0<z<A-r2. Jelikož Jakobián této transformace souřadnic je r, objem celé oblasti A je
V = / / / r drdipdz = r dzdrdtp = ... = An.
J J Ja J o J o J o
Rovina z = a pro 0 < a < 4 rozdělí oblast na dvě menší, kde ta „horní" má parametrizaci
0 < r < V4 - a,    0<ip<n, a<z<A-r2. Tedy hledáme a g ir takové, že
2
\V = 2tt = /    /        /      rdzdrdip = ...= , Jo Jo
tj. a = 4 - 2\/2.