4. domácí úkol - MIN301 - podzim 2022 - odevzdat do 9.12.2022
Řešte diferenciální rovnici
y' = y2- e3V
s neznámou funkcí y(x). Konkrétně,
a) Popište všechna řešení zadané rovnice.
b) Určete řešení y(x) splňující počáteční podmínku y(0) = 1 včetně definičního oboru funkce y(x).
c) Rozhodněte, pro které c existuje řešení splňující počáteční podmínku y(0) = c definované na celé reálné ose.
Řešení:
a) Proměnná lze separovat a rovnici řešit integrací, obecné řešení je tvaru
1
y[x) =-=—--,    C G M
yv ;     -x+       + C
spolu s konstantním řešením y = 0.
b) Z podmínky y(0) = 1 dopočítáme C = |. Definiční obor, pro obecné C, je omezen podmínkou f(x) := —x + |e3:E + C ^ 0. Derivací funkce f(x) zjistíme, že tato funkce má globální minimum v bodě x = 0 a toto minimum je /(O) = | + C, což je kladná hodnota pro C = |. Tedy definiční obor řešení
1
y(x) = —      n 0
je (-00,00).
c) Z předchozího vidíme, že obecné řešení má definiční obor (—00,00) pro C > — |. Tedy ^(0) = 1/3+c =c?tj.C = -^ — |>— I znamená c > 0. Spolu s konstantním řešením ?/(rr) = 0 tedy dostaneme závěr c > 0.