1. domácí úkol - MIN301 - podzim 2023 - odevzdat do 13.10.2023
Spočtěte následující limity nebo ukažte, že limita neexistuje: 1. \im(x,y)^m
2   lim sin(x2+j/2) (x,y)—t(0,0) sinxsinj/
3. lim^^^o) ^q%s.
4. 11111(^^(0^2)    x2+2(y-l)2+3(z-2)2 '
Řešení:
1. Vynásobením čitatele i jmenovatele výrazem y/x + ^fy a po následující úpravě zjistíme, že limita je rovna nule.
2. Když se k bodu (0,0) blížíme po přímce (x,cx), dostaneme
siníx2 + (ex)2) 1 + c2
lim —;-——— = ... =-,
x^o   sin 2; sin(a) c
kde část ... je aplikace ĽHospitalova pravidla a využití známé limity linx^o ~f~ = 1-Tedy limita lim^^^o) Sg°^^y neexistuje.
3. Když se k bodu (0, 0) blížíme po přímce (x, cx), je limita nulová. Když se ale budeme blížit po parabole (x,x2), dostaneme
2       2 4 1
lim —-. ONO = lim —- = -.
x^o x4 + (x2)2    x^o 2x4 2
Limita tedy neexistuje.
4. Platí 2x2 + 3(y - l)2 + 4(2 - 2)2 < 2(x2 + 2(y - l)2 + 3(z - 2)2), tj.
2x2 + 3(ž/-l)2 + 4(^-2)2 1 - x2 + 2(y- l)2 + 3(^-2)2 - 2'
Tedy
2x3 + 3(y- l)3 + 4(^-2)3
lim
(x,i,,z)-.(o,i,2) x2 + 2(y - l)2 + 3(z - 2)2
Um x- Um 2,2 + 3(ž/-l)2 + 4(,-2)2=o (x,i/,z)^(o,i,2)    (x,i/,z)^(o,i,2) x2 + 2(y - l)2 + 3(z - 2)2