2. domácí úkol - MIN301 - podzim 2023 - odevzdat do 3.11.2023
Uvažme funkci / : IR2 —> R,
f(x,y) = (x + p)ex2-y2
s parametrem p G IR. Určete lokální extrémy této funkce a zároveň určete, pro jaké hodnoty parametru p má tato funkce jeden, dva či více extrémů nebo žádný extrém.
Řešení: Přímým výpočtem zjistíme, že
fx(x,y) = (l + 2x2 + 2xp)ex2-y2, fy(x,y) = (-2xy - 2py)ex2-y2
a
fxx(x, y) = (2p + Qx + Ax3 + Apx2)ex2-y2, fxy(x,y) = {-2y - 2x2y - 2pxy)ex2-y2, fyy(x,y) = (-2p -2x + Axy2 + Apy2)ex2-y2.
Stacionární body: ze vztahů fx(x,y) = fy(x,y) = 0 zjistíme, že y = 0 a 2x2 + 2px +1 = 0, tj. stacionární body jsou
Hessián ve stacionárních bodech je
'±2yy - 2 0
f"(x,y)
0 -p T ^pi - 2.
Analýzou pozitivní/negativní definitnosti se zjistí následující:
Pro p < — v 2 má funkce / lokální minimum bodě [—| + ^—^—, 0]; v druhém stacionárním bodě je sedlový bod.
• Pro p > \[2 má funkce / lokální maximum bodě [—| — ^P2 2,0]; v druhém stacionárním bodě je sedlový bod.
• Pro p E (—y/2, y/2) funkce / extrémy nemá.
Tento závěr stačí na splnění domácího úkolu, nicméně není úplný - zbývá určit chování funkce ve stacionárním bodě [=F^,0] pro p = ±y/2. Hessián /"(±^,0) je degenerovaný a tedy potřebujeme analyzovat vyšší derivace. Stačí uvážit funkci jedné proměnné
V(x) = f(x,0).
Lehce se ověří, že v?'(±^) = V?"(±^) = 0, ale lf'"(±^-) / 0, tedy funkce / v bodech [=F^,0] extrém nemá.