3. domácí úkol - MIN301 - podzim 2023 - odevzdat do 17.11.2023
Určete následující integrály:
ľ,
'0     Jy/x^+v' JQ J-tyx
M    p2        y ľ1
h =       /-- dydx   a   I2 =       /     siny3 dydx.
Řešení: Přímý výpočet I\ vede na složitý výraz, ale přehozením pořadí integrace dostaneme
ŕ ŕ 1        ŕ y2
h = l i TT?dxdy = l YTŕdy-
Odtud dopočítáme, že I\ = „ ln 3.
Dále opět přehozením pořadí integrace dostaneme
1   ľJx ri  ri ľo ri
3 j„. j„,        /     /     •   „.3 j„, j„.  ,    /      /       • „3
I2 = I    /     siny dydx = /    /   siny dxdy + /    /    siny dxdy.
JO   J-^fx JO   Jy2 J-lJ-y5
(Nakreslete si obrázek.) Odtud výpočtem (s využitím      sin y3 dy = 0) dostaneme
y siny dy + J   y siny dy.
o J-i
Nyní substitucí t = y3 (a případně ještě integrováním per partes) dopočítáme, že I2 = k sin 1 —|
3"