Vnitrosemestrální písemka - MIN301 - podzim 2022 - 15. 11. 2022
Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (7 bodů) Mějme funkci / : IR2 —y IR danou předpisem
Dále uvažme kružnici K C IR2 se středem v počátku [0, 0] a poloměrem 1.
a) Určete extrémy funkce f(x,y) v rovině IR2.
b) Rozhodněte, zda je tato funkce na IR2 ohraničená zdola nebo shora.
c) Určete extrémy funkce f(x,y) na množině K.
2. (3 body) V rovině uvažme omezenou oblast A C IR2 mezi křivkami y = —x2 + 3x — 2 a y = t;(x — 1). Dále mějme funkci / : IR2 —y IR danou předpisem f(x,y) = x. Nechť I je integrál I = jjA f(x, y) dxdy.
a) Načrtněte množinu A a popište její hranici včetně „vrcholů" (kde se protínají hraniční křivky).
b) Spočtěte integrál I.
Řešení a bodování:
[7 bodů] a) [4b]
* [1.5b] Parciální derivace jsou
fx(x,y) = (-x2 + l)e-Ý+^2,       fy(x,y) = -2y^^
Stacionární body jsou [±1, 0].
* [lb] Druhé parciální derivace jsou
fxx(x,y) = (x4 - 2x2 -2x+l) e-ž+x-y', fxy(x,y) = 2y(x2-l)e-^+*-y2, fvv(x,y) = (4y2-2)e-^+x-y2 .
* [1.5b] Matice druhých derivací ve stacionárních bodech jsou
d2(l,0)=e^o    _2J,       ^(-1,0) = .       ^ _2
Matice d2(1,0) negativně definitní, tedy v bodě [1,0] je lokální maximum; matice d2(—1,0) indefinitní, tedy v bodě [—1,0] je sedlo, b) [lb] Zjevně f(x, y) > 0, tedy funkce je zdola ohraničená. Dále
lim  f(x, 0) = oo,
x—> — oo
tedy funkce f(x,y) není ohraničená shora, c) [2b] Množina K je dána omezením x2 + y2 — 1 = 0, Lagrangeova funkce tedy je
L(x,y,X) =e-^+x-y2 +\(x2 + y2 - 1).
Její stacionární body jsou
Lx(x, y, A) = (-x2 + 1) e-^-+x-y2 +2xX = 0,
Ly(x, y, A) = -2ye-^+x-y2 +2yX = 0, Lx(x,y,\) = x2 +y2 -1 = 0.
^3 2
V případě y = 0 dostaneme dvě řešení [±1, 0]. Pro y =/= 0 dostaneme z druhé rovnice A = e~~+x~y , což po dosazení do první rovnice dává x2 + 2x — 1 = 0, tj. x = — 1 ± \[2. Vzhledem k poslední rovnici
je možné pouze x = — 1 + \/2, což vede na další dvě řešení [—1 + \/2, ±y 2(^/2 — 1)].
Jelikož je množina K je kompaktní, funkce f(x, y) na ní nabývá maxima a minima. Stačí tedy spočíst funkční hodnotu ve čtyřech stacionárních bodech, což dává
/(-l + V2, a/2(V2 - 1)) = /(-l + V2, -a/2(V2 - 1)) < /(-l, 0) < /(l, 0)
Tedy v bodech [-1 + V2, ±y/2(V^ - 1)] má funkce f(x, y) minima na K a v bodě [0,1] má maximum.
Dodatečný komentář: Původní záměr byl mít pouze stacionární body [±1,0], další dva (složitější) stacionární body jsem při přípravě příkladu přehlédl. Proto nalezení stacionárních bodů [±1,0] spolu se správnou úvahou o kompaktnosti bude stačit na 1.5 bodu.
[3 body]
a) [lb] Oblast A je shora ohraničena parabolou y = —x2 + 3x — 2 a zdola přímkou y = ^ (x — 1), přičemž „vrcholy" jsou body [1, 0] a [§, ±].
b) [2b] Počítáme integrál
r3/2    ,--x2+3x-2 ,-3/2
/ x dydx = /     x{—x2 + |x — |)     = . .. = čt^.
1       Ji(a:-1) Ji