Vnitrosemestrální písemka - MIN301 - podzim 2023 - 8. 11. 2023
Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (5 bodů) V rovině IR2 uvažme kružnici C a kruh K, obojí o poloměru 5 se středem v počátku. Dále mějme funkci / : IR2 —y IR danou předpisem f(x,y) = x2 + y2 — x — y.
a) Určete extrémy funkce f(x,y) na množině C.
b) Určete extrémy funkce f(x,y) na množině K.
Zde uvažujeme kruh včetně hranice (což je kružnice), tj. C C K.
2. (5 bodů) V rovině uvažme oblast A C IR2 omezenou křivkami y = x2,y = 2x&y = 1 v polorovině y < 1 a dále mějme funkci / : IR2 —y IR danou předpisem f(x,y) = x — y. Nechť I je integrál I = jjA f(x, y) dxdy.
a) Načrtněte oblast A (tj. načrtněte zadané křivky a určete „vrcholy" oblasti) a napište
nebo součet takových integrálů. Zde je samozřejmě třeba určit chybějící meze integrálů, b) Spočtěte integrál I.
integrál I dvěma způsoby pomocí jednoduchých integrálů
Řešení a bodování:
[5 bodů]
Zadané množiny jsou
C = {[x,y] G R | x2 + y2 = 25}   a   ísľ = {[x,y] e M | x2 + y2 < 25}, [0.5b].
a) [3b] Určíme stacionární body Lagrangeovy funkce
L(x, y, X) = (x2+y2-x-y) + X(x2 + y2 - 25). Přímým výpočtem dostaneme
Lx(x, y, A) = 2x - 1 + 2xX = 0, Ly(x,y,X)=2y-í + 2yX = 0, Lx(x,y, X) = x2 + y2 -25 = 0, [lb].
Tato soustava má dvě řešení: [^,^] a [— ^2'~[0-5b]. Množina C je kompaktní, tj. funkce f (x, y) na ní nabývá maxima a minima. Jelikož jsme našli právě dva stacionární body, jsou oba extrémy, [0.5b]. Podle
Z(^) = 5-5V2   a   f(-f2,-^) = 5 + 5V2
je v bodě [-^=, -^=] minimum a v bodě [— -^=, — -^=] maximum, [lb].
b) [1.5b] K výpočtu extrémů uvnitř kruhu nám stačí spočíst lokální extrémy bez jakéhokoliv omezení. V tomto případě jsou stacionární body dány vztahy
fx(x,y) = 2x-l=0   a   fy(x, y) = 2y - 1 = 0,
tj- Je to jediný bod [^ |], [0.5b]. Matice druhých derivací
tu, , x _ (íxx{x,y) fxy(x,y)\ 1 ( 'V>     \fxy(x,y) fyy(x,y)J
2 0 0 2
je pozitivně definitní, [0.5b], tedy jde o lokální minimum. Jelikož bod [\,\] leží uvnitř kruhu a f{\, \) = —\ je menší než hodnota minima na kružnici (v bodě [-^, -^]), má funkce f(x,y) na kruhu _ftT minimum v bodě [^, ^] a maximum v bodě v bodě [—      —-^], [0.5b].
[5 bodů]
a) [3b] Z obrázku [lb] přímo vidíme, že
r-l/2   ,-2x ,-\     ,-\ ,-\ ,-^/y
\       \    (x — y) dydx + /     /  (x — y) dydx   nebo I
JO       Jx2 J1/2 Jx2
(x — y) dxdy,
12 J x2 Jo J y 12
[lb+lb].
c) [2b] S využitím například druhé možnosti v části (a) dostaneme
1  ľVv f'r.   _ yx=^v
2J
1=1    I     (x — y) dxdy = /    ^x2 — xy dy
10   Jy/2 JO
[lb za postup a lb za správný výsledek]
J_
40 '