2. termín zkoušky - MIN301 - podzim 2023 - 4. 1. 2024
Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (5 bodů) Uvažme funkci z = f(x,y) zadanou implicitně vztahem
x2 + y2 + z2 - xz - yz + 2x + 2y + 2z - 2 = 0.
a) Rozhodněte, na okolí kterých bodů tvaru (a, —a, b) G IR3 zadává tento vztah funkci z = f(x,y).
b) Určete lokální extrémy funkce /.
Poznámka: v částí (b) není nutné přesně určit definiční obor funkce f, ale je třeba ověřit, že nalezené lokálni extrémy do definičního oboru patři.
2. (5 bodů) Určete Taylorův polynom 2. stupně funkce
f(x,y) = x3 - 3xy + 3y2
v bodě [1,1].
3. (5 bodů)
a) Popište všechna řešení diferenciální rovnice y" + 3y' — Ay = 0.
b) Najděte obecné řešení diferenciám rovnice y" + 3y' — Ay = 8(x — l)2.
c) Určete řešení rovnice y"+3y' — 4y = 8(x — l)2 splňující počáteční podmínky y(0) = — a y'(0) = 0.
4. (5 bodů) V IR2 uvažujme množinu M\ = {(x,y) | y < x2 + 1} a dále trojúhelník m2 s vrcholy [-1, 0], [1, 0] a [1, 2]. Položme M := Mx n M2.
a) Načrtněte množinu M a popište její hranici včetně „vrcholů" (kde se protínají hraniční křivky).
b) Určete těžiště množiny M.
Řešení a bodování:
Označme zadaný vztah jako
f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 — xz — y z + 2x + 2y + 2z — 2 = 0.
a) [1.5b] Vztah ip(x,y,z) = 0 zadává funkci z = f(x,y) právě, když
f(x, y, z) = 0   a   <y3z(x, y,z) = 2z — x — y + 2=/=0.
Druhá podmínka v bodech (a,—a, 6) znamená 6 7^ — 1. Dosazením do první podmínky dostaneme ip(a, —a, 6) = 2a2 + b2 + 2b — 2 = 0, tj. b = — 1 ± -v/3 — 2a2. Společně s podmínkou 6 7^ —1 to znamená
a G (— ^/|, y/ř§i- Jedná se tedy o body
(a, -a,±\/3 - 2a2),    a G (-■y/f, -^/f)-
b) [3.5b] Nulové parciální derivace
za = /~2a:~?9 =0   a   zg = /~2"~"   = 0
x       2z—a-—y+2 x 2z—x—y+2
společně s podmínkou (p(x, y, z) = 0 určují stacionární body
[-3 +-v/6,-3 + Vě,-4 + 2-y/ě]   a   [-3 --v/ě,-3 --v/ě,-4 - 2-v/ě].
Lehce se ověří, že v těchto bodech ipz(x,y,z) =/= 0, tj. oba body skutečně patří do definičního oboru funkce /. Druhé parciální derivace jsou
_ (zx-2)(2z-a;-^+2)-(z-2a;-2)(2zx-l) Zxx (2z-x-y+2)2 '
_ (zy-2)(2z-x-y+2)-(z-2y-2)(2zy-l) ^xx (2z-x-y+2)2 '
_ Zy(2z-x-y+2)-(z-2x-2)(2zy-l) ZxV — (2z-x-y+2)2
Matice druhých parciálních derivací ve stacionárních bodech tedy jsou
d2/(-3 + V6, -3 + V6) = ^~vE   _y    a   d2/(-3 - V6,-3 - V6) = ^ ^
V bodě [—3 +V6, — 3 + V6] je tedy lokální maximum a v bodě [—3 —V6, —3 —V6] je lokální minimum.
[5 bodů] Požadovaný Taylorův polynom je obecně tvaru
T(x,y) = /(l, l)+fx(l, í)(x-í)+fy(í, \){y-l)+\[fxx{l, \){x-l)2+2fxy{l, í)(x-í)(y-í)+fyy(í, í)(y-í)2 Dosazením do prvních a druhých parciálních derivací dostaneme výsledek
T(x,y) = 1 + 3(2/ - 1) + \[&{x - l)2 - 6(x -í)(y-í) + 6(y - l)2].
a) [1.5b] Diferenciální rovnice y" + 3y' — 4y = 0 má charakteristický polynom A2+3A—4 = (A+4)(A—1), který má kořeny —4 a 1. Tedy řešení jsou tvaru C\e~Ax + C^e2-', C\, C2 G R.
b) [2.5b] Rovnice je y" + 3y' — 4y = 8(x — l)2 má pravou stranu 4(x + l)2 = 8x2 — Í6x + 8, což je polynom stupně dva - partikulární řešení yp(x) tedy budeme hledat ve tvaru polynomu stupně dva. (Přesněji, pravá strana je tvaru 8(x2 — 2x+l) -e0x, kde 0 řieřwkořenem charakteristického polynomu.) Tedy yp(x) = ax2 + bx + c, tj. y'p(x) = 2ax + b a y'p'{x) = 2a, což po dosazení do rovnice dává
2a + 3(2ax + b) - 4(ax2 + bx + c) = -4ax2 + (6a - 46)x + (2a + 36 - 4c) = 8x2 - Í6x + 8.
Porovnáním koeficientů polynomů dostaneme soustavu rovnic —4a = 8, 6a —46 = —16, 2a + 36 —4c = 8, která má řešení a = —2, 6 = 1, c = —|. Tedy hledané partikulární řešení je yp(x) = —2x2 + x — | a obecné řešení je,
y(x) = Cie-4x + C2ex -2x2+x-l    Clt C2 G R.
c) [lb] Použitím počátečních podmínek pro y (x) = C\e 4x + C^e2"' — 2x2 + x — | dostaneme 2/(0) = C1 + C2-f =-f   a   2/'(0) = -4C1+C2 + l = 0. Tato soustava rovnic má řešení Ci = 0 a C2 = —1, tedy hledané řešení je y (x) = —ex — 2x2 + x — |.
a) [1.5b] Trojúhelník je pravouhlý rovnoramenný s přeponou na přímce y = x + 1. Průnik této přímky s parabolou y = x2 + 1 je tvořen body [0,1] a [1,2]; tedy M vzniká z M2 ostraněním „oblouku" paraboly mezi body [0,1] a [1,2]. Vrcholy množiny M jsou [—1,0], [0,1], [1,2] a [1,0].
b) [3.5b] Množinu M je vhodné rozdělit na M' pro — 1 < x < 0 (to je trojúhelník) a M" pro 0 < x < 1. Platí
M' : -1 < x < 0, 0 < y < x + 1   a   M" : 0 < x < 1, 0 < y < x2 + 1. Obsah S1 množiny M je
/• /• /• ŕ ŕ ŕ ŕO    ľx+l ľl    rx2 + l
S =        dxdy = dxdy + / /    dxdy = j    /      dydx + j    /       dydx = 5 + | = ^ ■
JJm J J M' J J M" J-lJo Jo Jo
Dále
j      xdydx + j    /       xdydx = — | + | = , Sy= I I   ydxdy =        /      ydydx +       /       ydydx = ± + ^| = ii.
M J-lJO JO Jo
Tedy souřadnice těžiště [x q , y q] jsou