Masarykova universita v Brně
Přírodovědecká fakulta
M 1125 ZÁKLADY MATEMATIKY
UČEBNÍ TEXT KE CVIČENÍ
Pavel Horák
Brno 2013
1
Ú V O D
Tento učební text je sbírkou řešených i neřešených příkladů, které
mají sloužit pro potřebu cvičení k předmětu M 1125 Základy matematiky.
Uspořádání příkladů je provedeno tak, že odpovídá členění probírané
látky v učebním textu k přednášce pro tento předmět. Z něj je rovněž
převzata i veškerá symbolika a názvosloví.
Učební text obsahuje více než 600 příkladů a cvičení. Jsou zastoupeny
jak ukázkově vyřešené příklady, tak i (a to z převážné části) úlohy určené
k samostatnému procvičování. Obtížnost těchto úloh je na základě
dlouholetých zkušeností autora zvolena tak, aby odpovídala úrovni
a možnostem běžného posluchače prvního ročníku studia učitelství
matematiky. Je zařazeno i dostatečné množství jednodušších příkladů,
jejichž vyřešení by mělo přinést jisté uspokojení i slabším studentům a
tím je dále motivovalo. Zájemce o řešení obtížnějšch úloh, resp. úloh
přesahujících rámec zmíněného kurzu je možno odkázat na literaturu
uvedenou na konci textu.
Autor textu si je vědom toho, že i přes veškerou péči, kterou jeho
přípravě věnoval, se v něm asi občas objeví chyba nebo překlep. Bude
proto vděčen za upozornění na jakékoliv nedostatky v textu a uvítá
všechny náměty k jeho zlepšení.
Ve cvičení ze Základů matematiky se nejprve opakuje a rozšiřuje
středoškolská látka z matematiky. Při tom se předpokládá znalost pouze
těch nejzákladnějších středoškolských matematických pojmů, vztahů a
vzorců. Na následující straně jsou přehledně uvedeny některé z nich.
Tyto vztahy a vzorce (a samozřejmě i některé další) je třeba nejenom
bezpečně znát nazpaměť, ale také je nutné je umět i aktivně používat,
a to jak ”zleva doprava”, tak i ”zprava doleva”.
2
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a − b)2
= a2
− 2ab + b2
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
(a − b)3
= a3
− 3a2
b + 3ab2
− b3
(a + b)n
= an
+ n
1 an−1
b + n
2 an−2
b2
+ . . . + n
n−1 abn−1
+ bn
(a − b)n
= an
− n
1 an−1
b + . . . + (−1)n−1 n
n−1 abn−1
+ (−1)n
bn
a2
− b2
= (a − b) · (a + b) a3
− b3
= (a − b) · (a2
+ ab + b2
)
an
− bn
= (a − b) · (an−1
+ an−2
b + · · · + abn−2
+ bn−1
)
n
k = n·(n−1)· ... ·(n−k+1)
k! = n!
k!·(n−k)!
Součet sn prvních n členů aritmetické posloupnosti (a1, a2, a3, . . . )
sn = n
2 · (a1 + an)
sin(−α) = − sin α cos (−α) = cos α
sin α = cos (π
2 − α) cos α = sin(π
2 − α)
sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = cos2
α − sin2
α
sin2
α + cos2
α = 1
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
α 0 π
6
π
4
π
3
π
2 π 3
2 π
sin α 0 1
2
√
2
2
√
3
2 1 0 −1
cos α 1
√
3
2
√
2
2
1
2 0 −1 0
tg α 0
√
3
3 1
√
3 0
není není
def. def.
3
ZÁKLADNÍ POUŽITÉ SYMBOLY A OZNAČENÍ
N přirozená čísla , tzn. {1, 2, 3, 4, . . .}
Z celá čísla
k · Z množina všech celočíselných násobků čísla k ,
kde k je pevné celé číslo
Q racionální čísla
Q+
kladná racionální čísla
R reálná čísla
R+
kladná reálná čísla
C komplexní čísla
Zm množina všech zbytkových tříd podle modulu m
a, b uzavřený reálný interval, tzn. {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
(a, b) otevřený reálný interval, tzn. {x ∈ R | a < x < b}
nebo též uspořádaná dvojice prvků
2A
systém všech podmnožin množiny A
BA
systém všech zobrazení A −→ B
⊆ neostrá množinová inkluze
⊂ ostrá množinová inkluze
Všechny ostatní použité symboly a označení jsou převzaty z učebního
textu pro předmět M1125 Základy matematiky nebo jsou přímo vysvětleny
u příslušných příkladů.
4
I . ŘEŠENÉ PŘÍKLADY
Tato část textu obsahuje celkem 15 vyřešených příkladů vztahujících
se k probírané problematice. Příklady zachovávají pořadí v jakém jsou
jednotlivé celky řazeny za sebou v učebním textu, avšak nejsou formálně
rozděleny do kapitol a paragrafů. Každý čtenář jistě i bez nápovědy
pozná, kam má který příklad zařadit.
Příklady jsou vybírány s úmyslem ukázat základní obraty a početní
postupy používané při řešení konkrétních úloh a cvičení vztahujících
se k dané problematice. Vzhledem k omezenému rozsahu textu není
samozřejmě možné zařadit všechny typy úloh, které jsou v dalších
kapitolách procvičovány.
U některých vyřešených příkladů je formou poznámky uvedeno shrnutí
či zobecnění daného problému, resp. upozornění na důležité momenty,
které by si při řešení daného typu problémů měl každý uvědomit.
PŘÍKLAD 1 . Dokažte, že pro každé reálné číslo a > 0 a pro každé celé
číslo n ≥ 2 platí nerovnost:
(1 + a) n
> 1 + n· a .
Řešení : důkaz provedeme matematickou indukcí vzhledem k n. Nechť
tedy je a ∈ R ∧ a > 0 . Pak:
α) dokážeme uvedené tvrzení pro nejmenší možné n (tj. pro číslo 2).
Pro n = 2 je : (1 + a)2
= 1 + 2a + a2
> 1 + 2a , protože podle
předpokladu je a2
> 0. Vidíme tedy, že pro n = 2 dokazované
tvrzení platí.
β) předpokládáme, že dokazované tvrzení platí pro 2 , . . . , n−1 (n ≥ 3)
a budeme dokazovat jeho platnost pro n.
Podle uvedeného předpokladu platí: (1 + a)n−1
> 1 + (n − 1) a .
Dále je a > 0 a tedy 1 + a > 0 a po vynásobení obou stran poslední
nerovnosti číslem 1 + a tak dostaneme:
(1 + a)n
> (1 + (n − 1) a) · (1 + a) = 1 + na + (n − 1) a2
.
I . Řešené příklady 5
Ale (n − 1) · a2
> 0 (proč ?) , a tedy : 1 + na + (n − 1) a2
> 1 + na ,
tzn. dohromady: (1 + a) n
> 1 + n· a , což jsme měli dokázat.
Poznámka : předchozí příklad je ukázkou důkazu matematickou indukcí.
Aby použití matematické indukce při důkazu nějakého tvrzení vůbec
přicházelo v úvahu, musí mít toto tvrzení určitý, specifický tvar ( za
jistých předpokladů platí výrok V (n), pro každé celé číslo n ≥ n0 ) . Na
druhé straně však, má-li dokazované tvrzení uvedený tvar, neznamená
to, že se při jeho důkazu matematická indukce použít musí.
PŘÍKLAD 2 . Nechť I je neprázdná indexová množina, nechť Ai (pro
i ∈ I) a B jsou množiny. Dokažte, že platí:
B −
i∈I
Ai =
i∈I
(B − Ai) .
Řešení : jedná se o rovnost množin, kterou dokážeme tak, že postupně
dokážeme dvě množinové inkluze, a to :
a) “ ⊆ ” :
nechť x ∈ B −
i∈I
Ai. Pak je x ∈ B a zároveň x /∈
i∈I
Ai. Tedy, x ∈ B a
zároveň x /∈ Ai pro každé i ∈ I, což však znamená, že x ∈ B − Ai pro
každé i ∈ I . Dostáváme tak, že x ∈
i∈I
(B − Ai) .
b) “ ⊇ ” :
x ∈
i∈I
(B−Ai) =⇒ x ∈ B−Ai , pro každé i ∈ I =⇒ x ∈ B ∧ x /∈ Ai ,
pro každé i ∈ I =⇒ x ∈ B ∧ x /∈
i∈I
Ai =⇒ x ∈ B −
i∈I
Ai .
Poznámka : uvedené řešení ukazuje typický důkaz množinové rovnosti.
Při jeho zápisu obvykle místo slovních komentářů (viz a) ) používáme
spíše stručnějšího vyjadřování pomocí implikací a dalších logických
spojek (viz b) ) .
Máme-li v dokazování množinových rovností dostatečnou praxi, můžeme
často postupovat tak, že uvedenou rovnost dokazujeme “najednou”,
pomocí řetězce ekvivalentních výroků, jak je ukázáno v následujícím
příkladu. Přitom je však třeba v každém kroku pečlivě “hlídat”, že
skutečně platí obě implikace, tj. jak “ =⇒ ” tak i “ ⇐= ” .
6 I . Řešené příklady
Poznamenejme ještě, že při různých množinových úvahách je často
potřeba vyjádřit skutečnost, že daný prvek neleží v průniku, resp.
sjednocení, resp. rozdílu dvou množin. Zřejmě platí :
x /∈ A ∪ B ⇐⇒ x /∈ A ∧ x /∈ B
x /∈ A ∩ B ⇐⇒ x /∈ A ∨ x /∈ B
x /∈ A − B ⇐⇒ x /∈ A ∨ x ∈ B
Všimněte si, jak se tyto obraty použijí při řešení následujícího příkladu.
PŘÍKLAD 3 . Nechť A, B, C jsou množiny. Dokažte, že platí:
A ÷ (B ÷ C) = (A ÷ B) ÷ C
kde symbol ÷ značí symetrickou diferenci množin, tj.
X ÷ Y = (X − Y ) ∪ (Y − X) .
Řešení :
x ∈ A ÷ (B ÷ C) ⇐⇒
x ∈ [ A − ((B − C) ∪ (C − B)) ] ∪ [ ((B − C) ∪ (C − B)) − A ] ⇐⇒
[ x ∈ A ∧ (x /∈ B − C ∧ x /∈ C − B) ] ∨
[ (x ∈ B − C ∨ x ∈ C − B) ∧ x /∈ A ] ⇐⇒
[ x ∈ A ∧ ((x /∈ B ∨ x ∈ C) ∧ (x /∈ C ∨ x ∈ B)) ] ∨
[ ((x ∈ B ∧ x /∈ C) ∨ (x ∈ C ∧ x /∈ B)) ∧ x /∈ A ] ⇐⇒
(x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C ∧ x ∈ B) ∨
(x ∈ B ∧ x /∈ C ∧ x /∈ A) ∨ (x ∈ C ∧ x /∈ B ∧ x /∈ A) ⇐⇒
[ (x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C) ∨ (x /∈ A ∧ x ∈ B ∧ x /∈ C) ] ∨
[ (x /∈ A ∧ x /∈ B ∧ x ∈ C) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∈ C) ] ⇐⇒
[ ((x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x /∈ A ∧ x ∈ B)) ∧ x /∈ C ] ∨
[ x ∈ C ∧ ((x /∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x /∈ B ∨ x ∈ A)) ] ⇐⇒
[ (x ∈ A − B ∨ x ∈ B − A) ∧ x /∈ C ] ∨
[ x ∈ C ∧ (x /∈ A − B ∧ x /∈ B − A) ] ⇐⇒
x ∈ [ ((A − B) ∪ (B − A)) − C ] ∪ [ C − ((A − B) ∪ (B − A)) ] ⇐⇒
x ∈ (A ÷ B) ÷ C.
I . Řešené příklady 7
Poznámka : pro základní množinové operace, tj. ∪ , ∩ , − , ÷ , × platí
četná početní pravidla (předchozí příklad je ukázkou jednoho z nich).
Známe-li tato pravidla, pak je můžeme mnohdy též použít k důkazu
rovnosti dvou množin. Není tedy důkaz pomocí množinových inkluzí
jedinou možnou metodou, jak dokázat rovnost dvou množin.
Například, víme-li, že pro libovolné množiny A, B, C platí (viz Věta 2.1.,
kapitoly I z přednášky):
A ∩ B = B ∩ A , A ∪ B = B ∪ A
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C , A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) , A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
pak můžeme pomocí těchto “početních pravidel” lehce spočítat následující
příklad.
PŘÍKLAD 4 . Nechť A, B, C jsou libovolné množiny; dokažte, že platí:
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) .
Řešení : užitím vztahů uvedených v předchozí poznámce dostáváme:
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) = (A ∪ (B ∩ C)) ∩ (B ∪ C) =
(A ∩ (B ∪ C)) ∪ ((B ∩ C) ∩ (B ∪ C)) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
čímž je uvedený vztah dokázán. Poznamenejme snad ještě, že v posledním
kroku jsme kromě již zmíněných vztahů též použili zřejmou rovnost:
(B ∩ C) ∩ (B ∪ C) = B ∩ C .
PŘÍKLAD 5 . Nechť ̺i je relace mezi množinami A, B pro každé i ∈ I
(kde I je daná neprázdná indexová množina) a nechť σ je relace mezi
množinami B a C. Dokažte, že platí:
σ ◦
i∈I
̺i =
i∈I
(σ ◦ ̺i) .
Řešení : na levé i pravé straně dokazované rovnosti jsou relace mezi
množinami A a C , tzn. jisté podmnožiny kartézského součinu A × C .
Dokazovaná rovnost je tedy rovností mezi dvěma množinami a budeme
ji dokazovat tak, že ověříme platnost obou množinových inkluzí :
8 I . Řešené příklady
“ ⊆ ” : (x, y) ∈ σ ◦
i∈I
̺i =⇒ (podle definice složené relace) existuje
b ∈ B takové, že (x, b) ∈
i∈I
̺i ∧ (b, y) ∈ σ . Potom (podle definice
množinového sjednocení) existuje index k ∈ I tak, že (x, b) ∈ ̺k , tzn.
(x, y) ∈ σ ◦ ̺k , neboli (x, y) ∈
i∈I
(σ ◦ ̺i) .
“ ⊇ ” : (x, y) ∈
i∈I
(σ ◦ ̺i) =⇒ (podle definice množinového sjednocení)
existuje index k ∈ I tak, že (x, y) ∈ σ ◦ ̺k =⇒ (podle definice
složené relace) existuje prvek b ∈ B takový, že (x, b) ∈ ̺k ∧
(b, y) ∈ σ =⇒ (x, b) ∈
i∈I
̺i ∧ (b, y) ∈ σ =⇒ (x, y) ∈ σ ◦
i∈I
̺i .
PŘÍKLAD 6 . Nalezněte všechny páté odmocniny z komplexního čísla
c =
2i · (
√
3 − i)10
(1 + i
√
3)8 · (−1 + i)6
Řešení. Hledané řešení označíme z . Spočítáme zvlášť jeho absolutní
hodnotu a zvlášť jeho argument (s využitím početních pravidel, která
platí pro počítání s komplexními čísly).
1. výpočet absolutní hodnoty z :
| z | = 5 | 2i | · |
√
3 − i |
10
| 1 + i
√
3 |
8
· | − 1 + i |
6
= 5
2 · 210
28 · (
√
2)6
= 1
2. výpočet argumentu z :
arg z = 1
5 arg(2i)+10 arg(
√
3−i)−8 arg(1+i
√
3)−6 arg(−1+i)+k·2π =
= 1
5
π
2 + 10 · 11
6 π − 8 · π
3 − 6 · 3
4 π + k · 2π = 7
3 π + k · 2
5 π .
Hledanými pátými odmocninami z čísla c je pak následujících pět
komplexních čísel (místo argumentu 7
3 π můžeme použít jakoukoliv
hodnotu lišící se od tohoto argumentu o libovolný celočíselný násobek
2π, tedy například hodnotu 7
3 π − 2π = π
3 z intervalu 0, 2π) ) :
zk = cos( π
3 + k · 2
5 π ) + i sin( π
3 + k · 2
5 π ) pro k = 0, 1, 2, 3, 4.
I . Řešené příklady 9
Poznámka : pro řešení celé řady úloh o velkých celých číslech je možno
s výhodou použít počítání s kongruencemi. Přitom využíváme početní
pravidla, která pro kongruence platí. Můžeme tedy zejména:
– číslo na jedné straně kongruence nahradit libovolným číslem s ním
kongruentním podle daného modulu (obvykle nejmenším kladným
nebo takovým, které má nejmenší absolutní hodnotu)
– obě strany kongruence vynásobit stejným číslem
– obě strany kongruence umocnit na stejné přirozené číslo
– dvě kongruence se stejným modulem navzájem sečítat, resp. odečítat,
resp. násobit .
PŘÍKLAD 7 . Nalezněte zbytek po dělení čísla 7777
číslem 13 .
Řešení : hledáme číslo od 0 do 12, které je kongruentní s číslem 7777
podle modulu 13 .
Je 72
= 49 , přičemž 49 je podle modulu 13 kongruentní s číslem −3 .
Můžeme tedy psát
72
≡ −3 (mod 13) .
Umocníme – li obě strany této kongruence na třetí, dostaneme
76
≡ −27 (mod 13) .
Číslo −27 je však podle modulu 13 kongruentní s −1. Dostáváme tak
76
≡ −1 (mod 13) .
Nyní umocníme obě strany poslední kongruence na 129 a dostaneme
7774
≡ −1 (mod 13) . (∗)
Je vidět, že teď ještě potřebujeme vyjádřit číslo 73
pomocí kongruence
modulo 13 . Ve výše uvedené kongruenci 72
≡ −3 (mod 13) vynásobíme
obě strany číslem 7 a dostaneme, že 73
≡ −21 (mod 13) , což lze přepsat
do tvaru
73
≡ 5 (mod 13) . (∗∗)
Po vynásobení levých a pravých stran kongruencí (∗) a (∗∗) dostáváme,
že 7777
≡ −5 (mod 13) , odkud již bezprostředně plyne, že je
7777
≡ 8 (mod 13).
Tedy hledaným zbytkem po dělení čísla 7777
číslem 13 je číslo 8.
10 I . Řešené příklady
PŘÍKLAD 8 . Dokažte, že předpis f tvaru:
f(x) = 49x + 1 , pro každé x ∈ (0, 2)
definuje zobrazení intervalu (0, 2) do intervalu (1, 100) a rozhodněte,
zda toto zobrazení f je injektivní, resp. surjektivní.
Řešení :
a) abychom dokázali, že předpis f definuje zobrazení (0, 2) → (1, 100),
musíme ukázat, že pro libovolné x ∈ (0, 2) platí, že f(x) ∈ (1, 100).
Nechť tedy x je reálné číslo : 0 < x < 2 . Pak po vynásobení číslem 49
a přičtení 1 dostáváme:
49 · 0 + 1 < 49 · x + 1 < 49 · 2 + 1 < 100,
neboli: 1 < f(x) < 100.
b) budeme dokazovat, že zobrazení f je injektivní.
Nechť x, y ∈ (0, 2) takové, že f(x) = f(y) . Potom 49x + 1 = 49y + 1 ,
odkud plyne, že x = y . Tím jsme dokázali, že zobrazení f je injektivní.
c) z úvahy provedené v a) je vidět, že pro 0 < x < 2 dostáváme:
1 < f(x) < 99 , a tedy např. reálné číslo 99 ∈ (1, 100), přičemž toto
číslo 99 nemá při zobrazení f žádný vzor. Tedy vidíme, že dané zobrazení
f není surjektivní.
PŘÍKLAD 9 . Zobrazení f : 2N
→ N je definované takto: pro každé
A ∈ 2N
je
f(A) =
1 je-li množina A konečná
a0 + 1 kde a0 je nejmenší číslo z A , je-li A nekonečná .
Rozhodněte, zda zobrazení f je injektivní, resp. surjektivní.
Řešení :
a) zobrazení f není injektivní, neboť například pro prvky A = {1, 2} ,
B = {1, 2, 3} z množiny 2N
platí : A = B a f(A) = f(B) .
b) zobrazení f je surjektivní, neboť pro libovolné číslo u ∈ N platí :
- je-li u = 1, pak jeho vzorem při zobrazení f je např. množina {1, 2}
- je-li u = 1, pak jeho vzorem při zobrazení f je např. množina A tvaru
A = {u−1 , u , u+1 , u + 2 , . . . } .
I . Řešené příklady 11
PŘÍKLAD 10 . Nechť na množině M je dána relace ̺ , která je reflexivní
a tranzitivní.
Dokažte, že pak relace ̺ ∩ ̺−1
je relací ekvivalence na množině M .
Řešení : musíme dokázat, že relace ̺ ∩ ̺−1
je :
a) reflexivní:
nechť x ∈ M je libovolný prvek. Ale relace ̺ je podle předpokladu
reflexivní, tzn. platí x̺ x, odkud dále podle definice inverzní relace
dostáváme, že x̺−1
x. Dohromady je tak : x (̺ ∩ ̺−1
) x a tedy relace
̺ ∩ ̺−1
je reflexivní.
b) symetrická:
nechť x (̺ ∩ ̺−1
) y . Pak x̺ y ∧ x̺−1
y , odkud podle definice inverzní
relace dostáváme: y̺−1
x ∧ y̺ x . Tedy : y (̺ ∩ ̺−1
) x a relace ̺ ∩ ̺−1
je symetrická.
c) tranzitivní:
nechť x (̺∩̺−1
) y ∧ y (̺∩̺−1
) z . Pak x̺ y ∧ x̺−1
y ∧ y̺ z ∧ y̺−1
z.
Přepsáním a užitím definice inverzní relace dostáváme: x̺ y ∧ y̺ z,
resp. z̺ y ∧ y̺ x , odkud podle předpokladu o tranzitivitě relace ̺ je :
x̺ z ∧ z̺ x , neboli x̺ z ∧ x̺−1
z . Dohromady pak : x (̺ ∩ ̺−1
) z a
relace ̺ ∩ ̺−1
je tedy tranzitivní.
PŘÍKLAD 11 . Na množině C všech komplexních čísel je definována
relace ̺ takto: pro a + bi , c + di ∈ C je
(a + bi) ̺ (c + di) ⇐⇒ (a < c) ∨ (a = c ∧ b ≤ d) .
Dokažte, že ̺ je relací lineárního uspořádání na C .
Řešení : dokazujeme, že relace ̺ je :
a) reflexivní:
nechť (a + bi) ∈ C libovolné . Pak podle definice relace ̺ je zřejmě
(a + bi) ̺ (a + bi) .
b) antisymetrická:
nechť (a + bi) ̺ (c + di) ∧ (c + di) ̺ (a + bi) . Pak podle definice relace ̺
musí být a = c ∧ b ≤ d ∧ d ≤ b , odkud dostáváme, že (a+bi) = (c+di) .
c) tranzitivní:
nechť (a + bi) ̺ (c + di) ∧ (c + di) ̺ (e + fi) . Pak :
((a < c) ∨ (a = c ∧ b ≤ d)) ∧ ((c < e) ∨ (c = e ∧ d ≤ f))
odkud rozborem všech možností vychází, že (a + bi) ̺ (e + fi) .
12 I . Řešené příklady
d) úplná:
nechť (a + bi), (c + di) ∈ C libovolné. Pak je zřejmě buď a < c nebo
c < a nebo a = c , resp. kromě toho je b ≤ d nebo d ≤ b . Rozborem
všech možností vychází, že (a + bi) ̺ (c + di) nebo (c + di) ̺ (a + bi) .
Dohromady tak dostáváme, že ̺ je relací lineárního uspořádání na
množině všech komplexních čísel C .
Poznámka : v předchozím příkladu se nám podařilo množinu C všech
komplexních čísel lineárně uspořádat. Její hasseovský diagram si můžeme
schematicky představit tak, že vezmeme ty přímky v rovině, které
jsou rovnoběžné se souřadnou osou y a všechny tyto přímky postupně
směrem odleva doprava “poskládáme” nad sebe.
Je ale důležité si uvědomit, že toto lineární uspořádání množiny C
nemá všechny vlastnosti, na které jsme zvyklí u obvyklého uspořádání
čísel podle velikosti na množinách N, Z, Q nebo R. Například známá
vlastnost:
a ≤ b ∧ 0 < c =⇒ a · c ≤ b · c
pro výše definované uspořádání ̺ na C neplatí (uveďte protipříklad).
PŘÍKLAD 12 . Nechť A je libovolná pevná množina. Dokažte, že potom
(2A
, ÷) je komutativní grupa.
Řešení : připomeňme, že symbol ÷ označuje symetrickou diferenci,
definovanou vztahem
X ÷ Y = (X − Y ) ∪ (Y − X) pro X, Y ∈ 2A
.
Pro libovolné A je množina 2A
neprázdná a dále je zřejmé, že symetrická
diference ÷ je operací na množině 2A
, přičemž tato operace je
komutativní. Tedy (2A
, ÷) je komutativní grupoid.
Podle Příkladu 3 je operace ÷ též asociativní a dostáváme tak, že
(2A
, ÷) je komutativní pologrupa.
Dále ukážeme, že pologrupa (2A
, ÷) má neutrální prvek ∅ . Nechť tedy
X ∈ 2A
libovolné ; potom platí : X ÷ ∅ = (X − ∅) ∪ (∅ − X) = X .
Nakonec ukážeme, že ke každému prvku X ∈ 2A
existuje prvek inverzní,
jímž je v tomto případě opět prvek X . Podle definice ÷ však platí :
X ÷ X = (X − X) ∪ (X − X) = ∅ .
Dohromady jsme tedy dokázali, že (2A
, ÷) je komutativní grupa.
I . Řešené příklady 13
PŘÍKLAD 13 . Nechť (G, ·) je pologrupa. Dokažte, že následující výroky
jsou ekvivalentní:
(i) (G, ·) je grupa
(ii) existuje prvek e ∈ G tak, že pro každé a ∈ G platí e · a = a ∧
ke každému prvku a ∈ G existuje x ∈ G tak, že x · a = e .
Řešení :
“(i) =⇒ (ii)” : tato implikace zřejmě platí, neboť za prvek e vezmeme
jedničku grupy (G, ·) a za prvek x vezmeme prvek a−1
.
“(ii) =⇒ (i)” : nechť a ∈ G je libovolný prvek. Pak podle (ii) existuje
prvek x ∈ G a existuje prvek y ∈ G tak, že platí :
x · a = e a y · x = e .
Nyní nejprve dokážeme, že prvek e je neutrálním prvkem pologrupy
(G, ·) . Ale podle (ii) je : e · a = a a dále platí :
a · e = e · (a · e) = (y · x) · (a · e) = y · (x · a) · e = y · (e · e) = y · e =
= y · (x · a) = (y · x) · a = e · a = a .
Nakonec dokážeme, že prvek x je inverzním prvkem k prvku a . Ale
podle (ii) je : x · a = e a dále platí :
a · x = e · (a · x) = (y · x) · (a · x) = y · (x · a) · x = y · (e · x) = y · x = e .
Dokázali jsme tak, že (G, ·) je grupa, tzn. platí (i) .
Poznámka : předchozí příklad je velmi užitečný pro praktické výpočty,
neboť nám ukazuje, že při zjišťování toho, zda je daná pologrupa
grupou, stačí (bez ohledu na komutativnost či nekomutativnost operace)
ověřovat pouze “polovinu” definice neutrálního prvku a pro každý prvek
odpovídající “polovinu” definice inverzního prvku k němu. Jinak řečeno :
k tomu, abychom dokázali, že daná pologrupa je grupou stačí dokázat,
že tato pologrupa má ”levou jedničku” a každý její prvek má ”levou
inverzi” .
Dá se očekávat, že k předchozímu tvrzení bude platit tvrzení analogické,
v němž se použije ”druhá polovina” definice neutrálního prvku a pro
každý prvek ”druhá polovina” definice inverzního prvku k němu, tzn.
bude platit, že daná pologrupa je grupou právě tehdy, když v ní existuje
”pravá jednička” a ke každému jejímu prvku existuje ”pravá inverze” .
Dokažte si sami, že tomu tak skutečně je.
14 I . Řešené příklady
PŘÍKLAD 14 . Na množině G = {a, b, c, d} je dána operace · tabulkou :
· a b c d
a a c b d
b c b c a
c b c b a
d a b b d
Nalezněte všechny podgrupoidy, resp. všechny podpologrupy, resp.
všechny podgrupy zadaného grupoidu (G, ·) .
Řešení :
1. nalezení všech podgrupoidů grupoidu (G, ·) .
Uvažujeme postupně všechny neprázdné podmnožiny množiny G
( kterých je celkem 15 ) a vyšetřujeme, zda jsou uzavřeny vzhledem
k operaci · . Po jednoduchém výpočtu pomocí tabulky operace uvedené
v zadání dostáváme celkem 6 podgrupoidů (Hi, ·) , 1 ≤ i ≤ 6 ,
grupoidu (G, ·) , přičemž
H1 = {a}, H2 = {b}, H3 = {a, d},
H4 = {b, c}, H5 = {a, b, c}, H6 = G.
2. nalezení všech podpologrup grupoidu (G, ·) .
Ověřujeme, zda v nalezených podgrupoidech platí asociativní zákon.
Vyjde, že:
– v (H1, ·) , (H2, ·) , (H3, ·) a (H4, ·) asociativní zákon platí (u
prvých dvou podgrupoidů je to zřejmé a u zbývajících dvou se
asociativní zákon lehce ověří pomocí tabulky operace).
– v (H5, ·) a (H6, ·) asociativní zákon neplatí, neboť např .
a · (a · b) = b , ale (a · a) · b = c .
Dostáváme tak celkem 4 podpologrupy grupoidu (G, ·) , a to :
(H1, ·) , (H2, ·) , (H3, ·) , (H4, ·) .
3. nalezení všech podgrup grupoidu (G, ·) .
Vyšetřujeme, které z podpologrup jsou podgrupami. Zřejmě (H3, ·)
podgrupou není (neexistuje v ní neutrální prvek), kdežto ostatní
podgrupami jsou, což je opět vidět z tabulky operace. Dostáváme
tak celkem 3 podgrupy grupoidu (G, ·) , a to :
(H1, ·) , (H2, ·) , (H4, ·)
I . Řešené příklady 15
PŘÍKLAD 15 . Nechť A je libovolná neprázdná množina. Uvažme množinu
2A
s operacemi symetrické diference ÷ a množinového průniku ∩ .
Potom:
a) dokažte, že (2A
, ÷, ∩ ) je komutativní okruh
b) rozhodněte, pro jaké A je tento okruh oborem integrity .
Řešení :
a) pro množinu 2A
s operacemi ÷ a ∩ ověříme definici komutativního
okruhu :
1. platí, že (2A
, ÷) je komutativní grupa (viz Příklad 12 ) ; připomeňme,
že roli nuly zde hraje prázdná množina ∅ .
2. platí, že (2A
, ∩ ) je komutativní pologrupa (plyne ihned ze známých
vlastností množinového průniku). Dále je zřejmé, že jedničkou této
pologrupy je množina A .
3. dokážeme, že platí distributivní zákony (vzhledem ke komutativitě
operace ∩ stačí ověřovat platnost pouze jednoho z nich). Při důkazu
využijeme fakt (viz cvičení [1.2.B2]a) , resp. [1.2.B1] f) ) , že pro
libovolné množiny K, L, M platí :
K ∩ (L ∪ M) = (K ∩ L) ∪ (K ∩ M)
K ∩ (L − M) = (K ∩ L) − (K ∩ M)
Nechť tedy X, Y, Z ∈ 2A
; pak platí :
X ∩ (Y ÷ Z) = X ∩ ((Y − Z) ∪ (Z − Y )) =
= (X ∩ (Y − Z)) ∪ (X ∩ (Z − Y )) =
= ((X ∩ Y ) − (X ∩ Z)) ∪ ((X ∩ Z) − (X ∩ Y )) =
= (X ∩ Y ) ÷ (X ∩ Z) .
Dohromady jsme tak ukázali, že (2A
, ÷, ∩ ) je komutativní okruh.
b) podle předpokladu je A je neprázdná množina, tzn. užitím již dokázané
části a) dostáváme, že (2A
, ÷, ∩ ) je netriviální komutativní okruh.
Bude tedy oborem integrity právě když neobsahuje dělitele nuly. Ale
– je-li množina A jednoprvková, pak pro X, Y ∈ 2A
a X ∩Y = ∅ musí
být X = ∅ nebo Y = ∅ a tedy (2A
, ÷, ∩ ) je oborem integrity
– je-li množina A alespoň dvouprvková, pak v ní jistě existují dva různé
prvky x, y , přičemž pak zřejmě {x} , {y} ∈ 2A
jsou dělitelé nuly
v okruhu (2A
, ÷, ∩ ) a tedy (2A
, ÷, ∩) není oborem integrity.
Dohromady tak dostáváme, že okruh (2A
, ÷, ∩ ) je oborem integrity
právě tehdy když množina A je jednoprvková.
16
II . CVIČENÍ
Druhá část učebního textu obsahuje neřešené úlohy a příklady k procvičování
a samostatnému studiu. Rozdělení příkladů do kapitol a paragrafů
odpovídá členění látky provedenému v učebním textu k přednášce ze
Základů matematiky. V rámci jednotlivých paragrafů jsou pak příklady
řazeny tak, aby toto řazení pokud možno odpovídalo způsobu, jakým
jsou studované pojmy postupně budovány. Příklady jsou vybrány tak,
že procvičují především pojmy a fakta uváděná na přednášce. Úlohy,
které látku z přednášky dále rozšiřují, se vyskytují pouze výjimečně.
Příklady jsou v jednotlivých paragrafech obvykle rozděleny na dvě části,
a to na :
– příklady ”testového charakteru”
(označené kromě čísla ještě písmenem A ) , což jsou krátké úlohy,
které by měl čtenář vždy prakticky okamžitě umět vyřešit a které
hlavně procvičují správné a úplné pochopení základních pojmů a
tvrzení. Tyto úlohy jsou početně i časově nenáročné a každý by je měl
projít a vyřešit úplně všechny. Zkratka ”U.p.” zde znamená ”Udejte
příklad” .
Ve výsledcích k této části jsou uváděny pouze negativní odpovědi (tzn.
je konstatováno, že hledaný příklad neexistuje a někdy je i uveden
důvod proč tomu tak je). Není-li u těchto příkladů ve výsledcích
odpověď uvedena, znamená to, že příklad požadovaný v zadání lze
sestrojit.
– příklady ”algoritmického charakteru”
(označené kromě čísla ještě písmenem B ) , což jsou běžné standardní
úlohy, v nichž je nutné vždy něco spočítat, případně něco dokázat.
Důkazové úlohy, které jsou zde uvedeny, procvičují látku probíranou
na přednášce ze Základů matematiky. Ke všem těmto příkladům jsou
(tam, kde to dává smysl) v poslední kapitole vždy uvedeny výsledky a
u značné části z nich (zejména u důkazových úloh) též stručný návod
k řešení. U obtížnějších úloh je návod k jejich řešení často uveden již
hned za zadáním příkladu.
II. Cvičení 17
Výsledky cvičení a návody k jejich řešení
jsou uvedeny ve třetí části tohoto textu. Měly by sloužit pouze ke
kontrole zejména numerických výpočtů, resp. jako návod v situaci, kdy
byly opravdu vyčerpány všechny pokusy o samostatné řešení daného
problému. Jsou-li ve výsledcích či návodech uvedeny odkazy na tvrzení
a věty, pak se vždy jedná o tvrzení a věty z učebního textu k přednášce
ze Základů matematiky.
Literatura
uvedená na konci textu obsahuje jednak sbírky příkladů, které doplňují
a rozšiřují látku procvičovanou v tomto textu a dále pak závěrečné práce
studentů matematiky Přírodovědecké fakulty MU, které se zabývají
stejnou nebo příbuznou problematikou. Kromě jednoho titulu (sbírka
příkladů [ 1 ], což jsou skripta, která byla používána pro cvičení ze
Základů matematiky do roku 2012), jsou všechny ostatní uvedené texty
volně dostupné na webu (stav v srpnu 2013).
Zvláštní pozornost si zaslouží především bakalářská práce [ 4 ] s názvem
Základy matematiky, sbírka příkladů, ve které jsou vyřešeny a okomentovány
téměř všechny A – čkové příklady z tohoto textu. Číslování příkladů
v ní sice zčásti neodpovídá číslování příkladů použitému v tomto
textu (bakalářská práce byla vypracována pro potřeby sbírky [ 1 ]), ale
podle názvů kapitol a formulace zadání jednotlivých příkladů je možné
každý příklad z tohoto textu, který je v ní uveden, bez problému dohle-
dat.
18 II. Cvičení – Kap. 1: Opakování a doplnění středoškolské látky
KAPITOLA 1:
OPAKOVÁNÍ A DOPLNĚNÍ STŘEDOŠKOLSKÉ LÁTKY
§ 1 : ZÁKLADNÍ LOGICKÉ POJMY
[1.1.A1]. U.p. výroků A, B tak, aby disjunkce A∨B byl pravdivý výrok
a konjunkce A ∧ B byl nepravdivý výrok.
[1.1.A2]. U.p. výroků A, B tak, aby disjunkce A∨B byl pravdivý výrok
a konjunkce ¬A ∧ ¬B byl nepravdivý výrok.
[1.1.A3]. U.p. výroků A, B tak, aby implikace A ⇒ B byl pravdivý
výrok a implikace B ⇒ A byl nepravdivý výrok.
[1.1.A4]. U.p. výroků A, B tak, aby implikace A ⇒ B byl pravdivý
výrok a implikace ¬B ⇒ ¬A byl nepravdivý výrok.
[1.1.A5]. U.p. výroků A, B tak, aby obě implikace A ⇒ B a B ⇒ A
byly pravdivými výroky.
[1.1.A6]. U.p. výroků A, B tak, aby obě implikace A ⇒ B a B ⇒ A
byly nepravdivými výroky.
[1.1.A7]. U.p. výroků A, B tak, aby implikace A ⇒ B byl nepravdivý
výrok a ekvivalence A ⇔ B byl pravdivý výrok.
[1.1.A8]. U.p. výrokové funkce, jejíž definiční obor je roven oboru
pravdivosti.
[1.1.A9]. U.p. výrokové funkce, jejímž oborem pravdivosti je prázdná
množina.
[1.1.A10]. Udejte podmínku, která
a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná
c) je nutná a dostatečná
pro to, aby implikace A ⇒ B byla nepravdivým výrokem.
♣ ♣ ♣
§1: Základní logické pojmy 19
[1.1.B1]. Rozhodněte, která z uvedených sdělení jsou výroky. U výroku
pak určete jeho pravdivostní hodnotu:
a) ”Kolik je hodin?”
b) ”Číslo 210
+ 1 je prvočíslo.”
c) ”Číslo x je sudé číslo.”
d) ”Odbočení vpravo je zakázáno!”
[1.1.B2]. Nechť symboly A, B, C značí tyto výroky:
A : ”Číslo 210
+ 1 je dělitelné třemi”
B : ”Číslo 210
+ 1 je dělitelné pěti”
C : ”Číslo 210
+ 1 je dělitelné sedmi”.
Potom pomocí symbolů A, B, C a logických spojek zapište následující
výroky:
a) ”Je-li 210
+ 1 dělitelné 3, pak není dělitelné 7.”
b) ”Není-li 210
+ 1 dělitelné 3 a je dělitelné 5, pak je dělitelné 7.”
c) ”Není-li 210
+ 1 dělitelné 5, pak není dělitelné 3 nebo 7.”
d) ”210
+ 1 je dělitelné 5 právě když není dělitelné 3 ani 7.”
[1.1.B3]. Rozhodněte o pravdivosti výroků A, B, C z předchozího
příkladu a dále o pravdivosti složených výroků z a), b), c), d) předchozího
příkladu.
[1.1.B4]. Dokažte, že výroky ¬(A ⇒ B) a (A ∧ ¬B) jsou ekvivalentní.
[1.1.B5]. Logická spojka |, definovaná tabulkou pravdivostních hodnot :
p (A) p (B) p (A | B)
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 1
se nazývá Shefferův symbol.
Dá se dokázat, že pouze pomocí Shefferova symbolu lze vyjádřit každou
z logických spojek ¬ , ∧ , ∨ , ⇒ , ⇔ .
Rozhodněte, která z výše uvedených logických spojek je vyjádřena
vztahem:
a) A | (A | B)
b) (A | B) | (A | B) .
20 II. Cvičení – Kap. 1: Opakování a doplnění středoškolské látky
[1.1.B6]. Rozhodněte o pravdivosti následujících výroků a implikaci
v nich obsaženou nahraďte její obměnou.
a) Jestliže je trojúhelník rovnostranný, pak je rovnoramenný
b) Jestliže dvě přímky nejsou rovnoběžné, pak jsou navzájem kolmé.
[1.1.B7]. Výrok, jehož pravdivostní hodnota je vždy 1, nezávisle na
tom, jaké jsou pravdivostní hodnoty výroků, z nichž je utvořen, se
nazývá tautologie.
Dokažte, že následující výroky jsou tautologie :
a) ¬ (A ∧ (¬A))
b) A ⇒ (B ⇒ (A ∧ B))
c) ¬ (A ⇒ B) ⇔ (A ∧ (¬B))
d) A ⇔ (A ∧ (A ∨ B)).
[1.1.B8]. Určete obor pravdivosti následující výrokové formy, jejímž
definičním oborem je množina R všech reálných čísel :
a) |2x − 1| < |3 − x|
b) x − 6 ≥ x · (x − 3)
c) x2
− 5x + 6 > 3 − x
d) (x + 2) · (x − 2) ≥ 2x − 5
[1.1.B9]. Utvořte negaci (bez použití obratu ”není pravda, že...”)
výroku:
a) ”Napsal to Petr nebo Pavel.”
b) ”Dnes bude pršet a zítra nebude svítit slunce.”
c) ”Jestliže se budu učit, pak zkoušku z matematiky udělám.”
d) ”Budu-li mít volno, pak půjdu do kina nebo do divadla.”
[1.1.B10]. Utvořte negaci (bez použití obratu ”není pravda, že ...”)
výroku:
a) ”Žádná kulička ležící na tomto stole není modrá.”
b) ”Alespoň jedno celé číslo je sudé a žádné celé číslo není liché.”
c) ”Pro všechna kladná reálná čísla r, s platí, že r < r · s .”
d) ”Existují celá čísla t1, . . . , tn, z nichž alespoň jedno je různé od nuly,
tak, že t1 + · · · + tn = 0 .”
e) ”Pro libovolná přirozená čísla a1, . . . , an, kde n ≥ 5 a alespoň jedno
z těchto čísel je větší než 5 platí : a1 + · · · + an ≥ 10 .”
f) ”Existují komplexní čísla z1, z2, z3, která jsou všechna ryze imaginární
tak, že jejich součin z1 · z2 · z3 je číslo reálné .”
§1: Základní logické pojmy 21
[1.1.B11]. Následující tvrzení dokažte jednak matematickou indukcí a
jednak bez použití matematické indukce:
a) pro každé přirozené číslo n platí: 1 + 2 + · · · + n =
n · (n + 1)
2
b) pro každé přirozené číslo n platí: 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2
[1.1.B12]. Matematickou indukcí dokažte, že
a) pro každé n ∈ N platí : 6 · (12
+ 22
+ · · · + n2
) = n · (n + 1) · (2n + 1)
b) pro každé n ∈ N platí : 2n−1
≤ n!
c) pro každé celé číslo n ≥ 3 platí : 2n
> 2n + 1
d) pro každé celé číslo n ≥ 4 platí : 3n
> n3
e) pro každé celé číslo n ≥ 5 platí : 2n
> n2
[1.1.B13]. Nechť n značí libovolné přirozené číslo. Uvažme tvrzení :
” 2 + 4 + · · · + 2n = (n + 2)(n − 1) ” .
Pak ukažte, že
a) uvedené tvrzení neplatí pro žádné přirozené n
b) uvedené tvrzení lze ”dokázat” matematickou indukcí, vynecháme-li
v ní 1. krok (tzn. vidíme, že 1. krok nelze při důkazu matematickou
indukcí vypustit).
[1.1.B14]. Posloupnost přirozených čísel a1, a2, a3, . . . je definována
rekurentně takto:
a1 = 3 , a2 = 5 ; an = 3an−1 − 2an−2 pro n ≥ 3 .
Matematickou indukcí dokažte, že pro ∀ n ∈ N platí : an = 2n
+ 1.
[1.1.B15]. Posloupnost přirozených čísel u1, u2, u3, . . . je definována
rekurentně takto:
u1 = 1 , u2 = 1 ; un+2 = un+1 + un pro n ≥ 1
(tato posloupnost se nazývá Fibonacciho posloupnost a její členy se
nazývají Fibonacciho čísla).
Dokažte, že platí:
un+s = un−1 · us + un · us+1 pro ∀ n ≥ 2 celé , ∀ s ∈ N .
Návod: důkaz veďte matematickou indukcí vzhledem k s .
22 II. Cvičení – Kap. 1: Opakování a doplnění středoškolské látky
§ 2 : ZÁKLADNÍ MNOŽINOVÉ POJMY
[1.2.A1]. U.p. konečné množiny M, jejímiž prvky jsou nekonečné
množiny.
[1.2.A2]. U.p. nekonečné množiny M, jejímiž prvky jsou konečné
množiny.
[1.2.A3]. U.p. množin A, B tak, aby množina A × 2B
měla 18 prvků.
[1.2.A4]. U.p. množin A, B, C takových, že A ∩ B ⊆ A ∩ C a B ⊆ C.
[1.2.A5]. U.p. nekonečné množiny A a konečné množiny B tak, že je
A − B = ∅.
[1.2.A6]. U.p. dvou různých množin A, B tak, že A − B ⊆ B − A .
[1.2.A7]. U.p. množiny A, která má právě 3 podmnožiny.
[1.2.A8]. U.p. množin A, B tak, aby množina A × B měla právě 32
podmnožin.
[1.2.A9]. Nechť A = {0, 1, 2}. Přečtěte nahlas následující výroky a
rozhodněte, které z nich jsou pravdivé a které nepravdivé:
a) 0 ∈ A b) {0} ∈ A c) 0 ⊆ A d) {0} ⊆ A e) ∅ ∈ A f) ∅ ⊆ A
g) {∅} ∈ A h) {∅} ⊆ A i) {2} ∈ {2, {2}} j) {2} ⊆ {2, {2}} .
[1.2.A10]. U.p. podmínky, která
a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná
pro to, aby množiny A, B byly různé.
♣ ♣ ♣
§2: Základní množinové pojmy 23
[1.2.B1]. Dokažte, že pro libovolné množiny A, B, C platí:
a) A − B = (A ∪ B) − B = A − (A ∩ B)
b) A ∩ B = A − (A − B)
c) A ∪ B = (A − B) ∪ (B − A) ∪ (A ∩ B)
d) A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C)
e) A − (B − C) = (A − B) ∪ (A ∩ C)
f) A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − (A ∩ C) = (A ∩ B) − C
[1.2.B2]. Nechť I je neprázdná indexová množina a nechť A, Bi jsou
množiny, pro každé i ∈ I. Dokažte, že platí:
a) A ∩
i∈I
Bi =
i∈I
(A ∩ Bi)
b) A ∪
i∈I
Bi =
i∈I
(A ∪ Bi)
c) A −
i∈I
Bi =
i∈I
(A − Bi)
d) A ×
i∈I
Bi =
i∈I
(A × Bi) .
[1.2.B3]. Nechť An, Bn (n ∈ N) jsou množiny, splňující podmínky:
(∗) An ⊇ An+1 , Bn ⊇ Bn+1 pro každé n ∈ N
Potom:
a) dokažte, že:
∞
n=1
(An ∪ Bn) =
∞
n=1
An ∪
∞
n=1
Bn
b) ukažte, že předchozí rovnost neplatí, vynecháme-li předpoklad (∗) .
[1.2.B4]. Nechť I značí množinu všech prvočísel. Pro každé prvočíslo
p ∈ I označme
Ap = { k · p | pro každé k ∈ N} = { p , 2 p , 3 p , 4 p , . . . } .
Dokažte, že pak platí:
a)
p∈I
Ap = N − {1}
b)
p∈I
Ap = ∅
c) je-li J = ∅ libovolná konečná množina prvočísel, pak
p∈J
Ap = ∅.
24 II. Cvičení – Kap. 1: Opakování a doplnění středoškolské látky
[1.2.B5]. Dokažte, že pro intervaly na reálné ose platí:
a)
∞
n=1
( 1 - 1
n , 2 + 1
n ) = 1 , 2
b)
∞
n=1
( 1 - n
n+1 , 2 + n
n+1 ) = ( 1
2 , 5
2 )
c)
∞
n=1
( 1 - 1
n , 2 + 1
n ) = ( 0 , 3 )
d)
∞
n=1
( 1 - n
n+1 , 2 + n
n+1 ) = ( 0 , 3 ) .
Definice. Nechť A, B jsou množiny. Pak množina
(A − B) ∪ (B − A)
se nazývá symetrická diference množin A, B a označuje se A ÷ B.
Vidíme tedy, že A ÷ B je množina všech takových prvků, které patří
právě do jedné z množin A, B (nakreslete si obrázek !).
[1.2.B6]. Nechť A, B, C jsou množiny. Dokažte, že platí:
a) A ÷ B = (A ∪ B) − (A ∩ B)
b) A ÷ B = B ÷ A
c) A ∪ B = A ÷ (B ÷ (A ∩ B))
d) A − B = A ÷ (A ∩ B)
e) A ∩ (B ÷ C) = (A ∩ B) ÷ (A ∩ C) .
[1.2.B7]. Nechť A, B, C jsou množiny. Dokažte, že platí:
a) A ÷ B = ∅ ⇐⇒ A = B
b) A ÷ C = B ÷ C =⇒ A = B .
[1.2.B8]. Nechť A je konečná, n-prvková množina (n ≥ 0). Dokažte,
že množina 2A
má právě 2n
prvků.
[1.2.B9]. Nechť A = {a, b, c, d}; nalezněte všechny prvky X množiny
2A
, pro které platí:
a) X ∩ {a, b, d} = {a, d}
b) X ∪ {a, b, d} = {a, d} .
[1.2.B10]. Nechť A, B jsou množiny. Dokažte, že:
a) 2A
∩ 2B
= 2A∩B
b) 2A
∪ 2B
⊆ 2A∪B
c) obecně neplatí rovnost 2A
∪ 2B
= 2A∪B
.
§2: Základní množinové pojmy 25
[1.2.B11]. Nechť A = {1, 2, 3}, B = {3, 7}, C = R. Popište množiny:
A × B, resp. B × A, resp. B × B, resp. B × 2B
, resp. B × C .
[1.2.B12]. Nechť A, B, C, D jsou množiny. Dokažte, že:
a) A ⊆ C ∧ B ⊆ D =⇒ A × B ⊆ C × D
b) A ⊆ B =⇒ A × C ⊆ B × C
c) obecně neplatí implikace: A ⊂ B =⇒ A × C ⊂ B × C
[1.2.B13]. Nechť A, B, C jsou množiny. Dokažte, že platí:
a) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
b) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
c) A × (B − C) = (A × B) − (A × C)
[1.2.B14]. Nechť A, B, C, D jsou množiny. Dokažte, že platí:
a) (A ∪ B) × (C ∪ D) = (A × C) ∪ (A × D) ∪ (B × C) ∪ (B × D)
b) (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D) = (A × D) ∩ (B × C)
c) (A × B) − (C × D) = ((A − C) × B) ∪ (A × (B − D))
[1.2.B15]. Nechť A, B, C jsou množiny. Dokažte, že obecně neplatí:
a) A − (B − C) = (A − B) − C
b) A ∪ (B × C) = (A ∪ B) × (A ∪ C)
c) A ∩ (B × C) = (A ∩ B) × (A ∩ C)
26 II. Cvičení – Kap. 1: Opakování a doplnění středoškolské látky
§ 3 : ZÁKLADNÍ ČÍSELNÉ OBORY
[1.3.B1]. Daná racionální čísla vyjádřete v základním tvaru :
a)
180
252
b) −
108
144
c)
180
135
d) −
264
440
.
[1.3.B2]. Dokažte, že pro a, b, c ∈ Q platí:
a) a + b
√
2 = 0 ⇐⇒ a = 0 ∧ b = 0
b) a + b 3
√
2 = 0 ⇐⇒ a = 0 ∧ b = 0
c) a + b
√
2 + c
√
3 = 0 ⇐⇒ a = 0 ∧ b = 0 ∧ c = 0
d) a + b 3
√
2 + c 3
√
4 = 0 ⇐⇒ a = 0 ∧ b = 0 ∧ c = 0.
Návod: využijte toho, že
√
2,
√
3, 3
√
2, 3
√
4 nejsou racionální čísla.
[1.3.B3]. Ukažte, že ani jedno tvrzení z předchozího cvičení neplatí,
jestliže místo a, b, c ∈ Q předpokládáme, že a, b, c ∈ R.
[1.3.B4]. Vypočítejte a výsledek napište v algebraickém tvaru :
a)
1 + i
1 − i
+
√
5 + 3i
1 + 2i
b)
1 + 2i
1 − 2i
2
−
1 − 2i
1 + 2i
2
.
[1.3.B5]. Popište a znázorněte náčrtkem množinu všech komplexních
čísel z , pro která platí :
a) | z + 2 − 3i | < 3
b) z = − iz
c) | z − i | = | z + 2 |
d) z =
4
z
.
[1.3.B6]. V oboru komplexních čísel řešte rovnici :
a) | z | − z = 1 + 2i
b) z2
= z + z .
§3: Základní číselné obory 27
[1.3.B7]. V závislosti na parametru p ∈ R popište množinu všech komplexních
čísel z , splňujících rovnici
z − 1
z + 1
= p .
[1.3.B8]. Napište v goniometrickém tvaru komplexní číslo z , je-li :
a) z = i −
√
3
b) z = 2 − 2
√
3 i
c) z = − sin α + i· cos α
d) z =
cos α + i· sin α
2 cosβ + 2 i· sin β
.
[1.3.B9]. Užitím Moivreovy věty spočtěte komplexní číslo z a výsledek
napište v algebraickém tvaru. Při tom :
a) z =
i·
√
3 − 1
2
23
b) z = 1 + cos
π
3
+ i · sin
π
3
6
[1.3.B10]. Nalezněte všechna přirozená čísla n , pro která platí :
(1 + i)n
= (1 − i)n
.
Návod : vyjádřete levou i pravou stranu v goniometrickém tvaru.
[1.3.B11]. Užitím Moivreovy věty a binomické věty odvoďte vzorce
pro :
a) sin 2α , cos 2α
b) sin 3α , cos 3α .
(vyjádřené jako funkce sin α a cos α ) .
[1.3.B12]. V oboru komplexních čísel nalezněte všechny n – té odmocniny
z komplexního čísla c a výsledky vyjádřete v algebraickém tvaru.
Při tom :
a) n = 6 ; c = −1
b) n = 4 ; c = −
1
2
+ i·
√
3
2
.
28 II. Cvičení – Kap. 1: Opakování a doplnění středoškolské látky
[1.3.B13]. V oboru komplexních čísel řešte binomickou rovnici a všechna
její řešení napište v algebraickém tvaru.
a) z3
+ 5 = 0
b) z4
+ 64 = 0 .
[1.3.B14]. V oboru komplexních čísel nalezněte všechny n – té odmocniny
z komplexního čísla c a výsledky vyjádřete v goniometrickém tvaru.
Při tom :
a) n = 5 ; c =
(
√
3 − i )8
· i
(−1 + i )6 · (1
2 + i
√
3
2 )
b) n = 8 ; c =
(1 − i )6
· (1 + i
√
3 )
− (sin α + i cos α )3
c) n = 6 ; c =
(2 + i
√
12 )4
· (1 + i )2
i
√
3 − 1
d) n = 3 ; c =
(
√
3 + i )6
· (cos α + i sin α )5
2 · (−1 + i )4 · (cos α − i sin α )2
.
[1.3.B15]. Napište v algebraickém tvaru a nakreslete všechny n – té
odmocniny z jedné, pro :
a) n = 3 b) n = 4 c) n = 6 d) n = 8 .
§4: Základní vlastnosti celých čísel 29
§ 4 : ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI CELÝCH ČÍSEL
[1.4.A1]. U.p. celých čísel a, b, c tak, že a | b · c, ale a ∤ b ∧ a ∤ c.
[1.4.A2]. U.p. celých čísel x, y tak, že 7 ∤ (21x − 56y).
[1.4.A3]. U.p. dvou různých celých čísel a, b tak, že a | b ∧ b | a .
[1.4.A4]. U.p. celého čísla a, které po dělení 8 dává zbytek −2.
[1.4.A5]. U.p. celých čísel a, b, k nimž neexistuje největší společný
dělitel.
[1.4.A6]. U.p. dvou různých celých čísel a, b jejichž největším společným
dělitelem je číslo −6.
[1.4.A7]. U.p. celých čísel a, b tak, že a ≡ b (mod 9) ∧ b ≡ a (mod 9).
[1.4.A8]. Uveďte, kolik existuje záporných čísel, která jsou kongruentní
s číslem 6 podle modulu 7.
[1.4.A9]. U.p. podmínky, která
a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná
pro to, aby celá čísla a, b byla kongruentní podle modulu 6.
[1.4.A10]. U.p. podmínky, která
a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná
pro to, aby celá čísla a, b nebyla nesoudělná.
♣ ♣ ♣
30 II. Cvičení – Kap. 1: Opakování a doplnění středoškolské látky
[1.4.B1]. Nalezněte podíl q a zbytek r po dělení čísla a číslem b, je-li:
a) a = 0, b = 7
b) a = −5, b = 7
c) a = 47, b = −11
d) a = −47, b = 11
e) a = n2
+ 1, b = n + 1, kde n ≥ 2 je celé číslo
f) a = n3
− 1, b = n + 1, kde n je přirozené číslo.
[1.4.B2]. Nechť a je libovolné celé číslo. Dokažte, že
a) a2
dává po dělení 4 zbytek 0 nebo 1
b) a4
dává po dělení 8 zbytek 0 nebo 1 .
[1.4.B3]. Dokažte, že zbytek po dělení druhé mocniny libovolného
celého čísla a číslem 12 může nabývat pouze čtyř hodnot a určete tyto
hodnoty.
Návod: nejprve vyjádřete dělení čísla a číslem 6 .
[1.4.B4]. Rozhodněte, zda a ≡ b (mod 16), je-li:
a) a = 75, b = 139
b) a = −75, b = 139
c) a = 0, b = 139
d) a = 0, b = 0
[1.4.B5]. Nalezněte
a) zbytek po dělení čísla ( 540
+ 740
) číslem 13
b) zbytek po dělení čísla ( 250
+ 350
+ 450
) číslem 17.
[1.4.B6]. Nalezněte poslední dvě cifry čísla
a) 79 9
b) 1414 14
[1.4.B7]. Dokažte, že pro libovolné přirozené číslo n mají čísla n5
a n
(vyjádřená v dekadickém zápisu) stejné poslední cifry.
Návod: vyjádřete číslo n dekadicky, tj.
n = ak · 10k
+ · · · + a1 · 10 + a0, kde 0 ≤ ai ≤ 9
a ukažte, že n5
≡ a0 (mod 10) .
[1.4.B8]. Nechť pro celé číslo p ≥ 2 platí : (p − 1)! ≡ −1 (mod p).
Dokažte, že potom p je prvočíslo.
§4: Základní vlastnosti celých čísel 31
[1.4.B9]. Nechť a, b, c ∈ Z. Rozhodněte, zda následující tvrzení platí,
či neplatí a svoje rozhodnutí zdůvodněte:
a) a | c ∧ b | c =⇒ a · b | c2
b) a | c ∨ b | c =⇒ a · b | c2
c) a · b | c2
=⇒ a | c ∧ b | c
d) a · b | c2
=⇒ a | c ∨ b | c .
[1.4.B10]. Nechť a, b ∈ Z. Rozhodněte, zda následující tvrzení platí, či
neplatí a svoje rozhodnutí zdůvodněte:
a) a , b jsou nesoudělná =⇒ a + b , a − b jsou nesoudělná
b) a + b , a − b jsou nesoudělná =⇒ a , b jsou nesoudělná.
[1.4.B11]. Od libovolného trojciferného přirozeného čísla odečteme
poslední číslici, dvojnásobek předposlední číslice a čtyřnásobek první
číslice. Dokažte, že takto vzniklé číslo je dělitelné osmi.
[1.4.B12]. Dokažte jednak matematickou indukcí a jednak bez použití
matematické indukce, že pro každé n ∈ N platí:
a) číslo 10n
−1 je dělitelné 9
b) číslo n3
−n je dělitelné 6 .
[1.4.B13]. Nalezněte všechna přirozená čísla n, pro která je číslo 10n
+8
dělitelné číslem 72 .
Návod: výpočet proveďte zvlášť pro n = 1, 2 a zvlášť pro n ≥ 3 .
[1.4.B14]. Dokažte matematickou indukcí, že pro každé n ∈ N platí:
a) 133 | 11n+2
+ 122n+1
b) 7 ∤ 2n
+ 1
[1.4.B15]. Dokažte, že pro libovolné n ∈ N existuje n po sobě jdoucích
přirozených čísel, která jsou složenými čísly (tzn. v posloupnosti prvočísel
jsou libovolně velké ”mezery”).
Návod: jako první číslo vezměte číslo (n + 1)! + 2 .
32 II. Cvičení – Kap. 1: Opakování a doplnění středoškolské látky
§ 5 : ZOBRAZENÍ
[1.5.A1]. U.p. zobrazení f : Z → N, které
a) je injektivní a není surjektivní b) je surjektivní a není injektivní.
[1.5.A2]. U.p. injektivního zobrazení f : A × A → 2A
, je-li :
a) A = {a, b} b) A = {a, b, c}.
[1.5.A3]. U.p. injektivního zobrazení
a) f : Z → 2N
b) f : N → NN
.
[1.5.A4]. U.p. surjektivního zobrazení
a) f : N × N → Z b) f : 2N
→ N.
[1.5.A5]. Uveďte, co všechno lze říci o počtu prvků konečné k-prvkové
množiny A, víte-li, že
a) existuje injektivní zobrazení 2A
→ A × A
b) neexistuje žádné surjektivní zobrazení A × A → AA
.
[1.5.A6]. U.p. množiny B, její vlastní podmnožiny A (t.j. A ⊂ B) a
bijektivního zobrazení f : A → B.
[1.5.A7]. U.p. dvou zobrazení f : N×N → N×N , g : N×N → N×N
takových, že f ◦ g = g ◦ f .
[1.5.A8]. Nechť je A = {a, b} ; u.p. zobrazení f : 2A
→ AA
tak, že
k tomuto zobrazení neexistuje inverzní zobrazení.
[1.5.A9]. U.p. podmínky, která
a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná
pro to, aby zobrazení f : A → B nebylo surjektivní.
[1.5.A10]. U.p. podmínky, která
a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná
pro to, aby zobrazení f : A → B bylo bijektivní.
♣ ♣ ♣
§5: Zobrazení 33
[1.5.B1]. Rozhodněte, zda zadaný předpis f určuje zobrazení množiny
A do množiny B, je-li:
a) A = Z , B = N , f(x) = |x| pro ∀x ∈ Z
b) A = Z , B = Q , f(x) =
2x2
− 3
3x2 − 2
pro ∀x ∈ Z
c) A = Z , B = Z , f(x) =



1 pro 2 | x
−1 pro 3 | x
0 pro 2 ∤ x ∧ 3 ∤ x
[1.5.B2]. Nakreslete všechna zobrazení A → B a uveďte, která z nich
jsou injektivní, resp. surjektivní, resp. bijektivní. Přitom
a) A = {a, b, c} , B = {x, y}
b) A = {a, b} , B = {x, y, z} .
[1.5.B3]. Zadejte (výčtem prvků) množinu AB
a množinu BA
, je-li:
a) A = {a}, B = {x, y, z}
b) A = B = {x, y} .
[1.5.B4]. Nechť A je n-prvková množina, B je s-prvková množina
(n, s ∈ N). Dokažte, že počet všech zobrazení A → B je roven sn
.
Návod: důkaz veďte matematickou indukcí vzhledem k n.
[1.5.B5]. Rozhodněte, zda dané zobrazení f : N → N je injektivní,
resp. surjektivní, je-li pro každé x ∈ N :
a) f(x) = 5x − 3
b) f(x) = x2
+ 1
c) f(x) =
6 pro x ≤ 6
x − 6 pro x > 6
d) f(x) =
x − 1 pro x sudé
x + 1 pro x liché
[1.5.B6]. Rozhodněte, zda dané zobrazení f je injektivní, resp. surjektivní,
je-li:
a) f : R − {0} → R+
, f(x) = x2
b) f : R+
→ R+
, f(x) = x2
c) f : Q − {0} → Q+
, f(x) = x2
d) f : R → R , f(x) = x2
+7x+12
34 II. Cvičení – Kap. 1: Opakování a doplnění středoškolské látky
e) f : Z → Q , f(x) =
x+2
x+3 pro x = −3
1 pro x = −3
f) f : N → Z , f(x) =
x
2 pro x sudé
3−x
2 pro x liché
[1.5.B7]. Rozhodněte, zda dané zobrazení f je injektivní, resp. surjektivní,
je-li:
a) f : N × N → N , f((x, y)) = x + y
b) f : N → N × N , f(x) = (2x, 2x + 1)
c) f : N × N → 2N
, f((x, y)) = {x, y}
d) f : Z → Z × {1, 2, 3} , f(x) =



( x
3 , 1 ) pro x ≡ 0 (mod 3)
(x−1
3 , 2) pro x ≡ 1 (mod 3)
(x+1
3 , 3) pro x ≡ 2 (mod 3)
e) f : Z×N → Z×Z , f((x, y)) =
( y
2 , x ) pro y sudé, přirozené
(1−y
2 , x) pro y liché, přirozené
f) f : 2N
→ N, f(A) =
a0 kde a0 je nejmenší číslo z A, je-li A = ∅
1 je-li A = ∅
[1.5.B8]. Nechť A je n-prvková množina, B je s-prvková množina
(n, s ∈ N). Určete počet všech :
a) bijektivních zobrazení A → B
b) injektivních zobrazení A → B .
[1.5.B9]. Nechť f : A → B je zobrazení. Dokažte, že platí:
a) f je injektivní ⇐⇒ existuje zobrazení g : B → A tak, že g ◦ f = idA
b) f je surjektivní ⇐⇒ existuje zobrazení h : B → A tak, že f◦h = idB.
Návod: při důkazu ” =⇒ ” v a) , resp. v b) hledané zobrazení g , resp.
h přímo zkonstruujte.
[1.5.B10]. Nechť f : A → A je dané neidentické zobrazení. Dokažte,
že pak existuje zobrazení g : A → A takové, že f ◦ g = g ◦ f .
Návod: z předpokladu plyne, že v množině A existují dva různé prvky
a, b takové, že f(a) = b . Této skutečnosti pak využijte při konstrukci
zobrazení g .
§5: Zobrazení 35
[1.5.B11]. Dokažte, že zobrazení f : A → B je bijektivní. Při tom:
a) A = N × N , B = N , f((x, y)) = 2x−1
· (2y − 1)
b) A = (a, b) , B = (c, d) , f(x) = c +
d − c
b − a
· (x − a)
c) A = (a, b) , B = R+
, f(x) =
x − a
b − x
d) A = (a, b) , B = R ; resp. p je pevné reálné číslo takové, že a < p < b
f(x) =



x − p
x − a
pro a < x ≤ p
x − p
b − x
pro p ≤ x < b
kde (a, b), (c, d) značí otevřené intervaly na reálné ose.
Návod: v a) využijte větu o rozkladu čísla na součin prvočísel.
[1.5.B12]. Jsou dána bijektivní zobrazení f, g : Q → Q takto :
f(x) = 3x − 4 , g(x) = 2x + 5
3 pro ∀x ∈ Q .
Nalezněte předpis zadávající zobrazení:
f ◦ g ; g ◦ f ; (f ◦ g)−1
; (g ◦ f)−1
; f−1
; g−1
; f−1
◦ g−1
; g−1
◦ f−1
.
[1.5.B13]. Nechť A, B, C jsou množiny a nechť ϕ : A → B je bijektivní
zobrazení. Dokažte, že bijektivním zobrazením je pak také zobrazení:
a) F : AC
→ BC
, definované : F(f) = ϕ ◦ f pro ∀ f ∈ AC
b) G : CA
→ CB
, definované : G(g) = g ◦ ϕ−1
pro ∀ g ∈ CA
.
[1.5.B14]. Nechť f : Z → Z je zobrazení, splňující podmínku :
(f ◦ f)(x) = −x , pro každé x ∈ Z .
Dokažte, že pak platí :
a) f je bijektivní zobrazení
b) f(x) = 0 ⇐⇒ x = 0 .
[1.5.B15]. Nechť A, B jsou konečné množiny přirozených čísel; nechť
f : A → B je injektivní zobrazení s vlastností: x ≤ f(x) pro ∀x ∈ A,
g : B → A je injektivní zobrazení s vlastností: y ≤ g(y) pro ∀y ∈ B.
Dokažte, že pak platí : A = B a f = idA = g .
Návod: označte h = g ◦ f, ukažte, že h je bijekce splňující podmínku
x ≤ h(x) pro každé x ∈ A a dále (sporem) ukažte, že h = idA .
36 II. Cvičení – Kap. 1: Opakování a doplnění středoškolské látky
§ 6 : RELACE
[1.6.A1]. Nechť M = {x, y, z}. Uveďte, kolik lze definovat různých
relací
a) mezi množinami M a 2M
b) mezi množinami M a ∅
c) na množině M d) na množině M × M.
[1.6.A2]. U.p. neprázdné relace ̺ mezi množinami N a Z a neprázdné
relace σ mezi množinami Z a Q tak, že složená relace σ ◦ ̺ je prázdnou
relací.
[1.6.A3]. U.p. relací ̺, σ na množině M = {a, b} tak, že ̺, σ nejsou
univerzálními relacemi na M , ale σ ◦ ̺ je univerzální relací na M.
[1.6.A4]. U.p. množiny M a relace ̺ na M, která je současně symetrická
a antisymetrická.
[1.6.A5]. U.p. množiny M a relace ̺ na M, která není symetrická a
není antisymetrická.
[1.6.A6]. U.p. relace ̺ na množině Z , různé od relace rovnosti tak, že
relace ̺ je reflexivní a není úplná.
[1.6.A7]. U.p. relace ̺ na množině N tak, že relace ̺ je úplná a není
reflexivní.
[1.6.A8]. U.p. neprázdné relace ̺ na množině N tak, že relace ̺ je
tranzitivní a není reflexivní.
[1.6.A9]. U.p. množiny A tak, aby relace inkluze ⊆ na množině 2A
byla úplnou relací.
[1.6.A10]. U.p. podmínky, která
a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná
pro to, aby relace ̺ na množině M byla úplnou relací.
♣ ♣ ♣
§6: Relace 37
[1.6.B1]. Uveďte příklad dvou různých relací ̺ a σ mezi množinami
A = {a, b, c} a B = {1, 2, 3, 4}.
Potom popište (množinově, graficky a tabulkou) relace: ̺−1
, resp. σ−1
,
resp. ̺ ∩ σ, resp. ̺ ∪ σ.
[1.6.B2]. Proveďte množinový zápis relace ̺ na množině N, která je
slovně popsána takto:
a) číslo 3 je v relaci ̺ se všemi přirozenými čísly a dále všechna sudá
přirozená čísla větší než 50 jsou v relaci ̺ se všemi lichými přirozenými
čísly
b) číslo 3 je v relaci ̺ s čísly 3 a 7 a dále, všechna čísla větší jak 7 jsou
v relaci ̺ se všemi přirozenými čísly, která jsou dělitelná 3 a 7
c) každé přirozené číslo je v relaci ̺ se všemi přirozenými čísly kromě
sebe sama
d) v relaci ̺ jsou navzájem všechna prvočísla a dále jsou v relaci ̺
navzájem ta složená čísla, která jsou nesoudělná.
[1.6.B3]. Nechť ̺ je relace mezi množinami Z a N, definovaná :
̺ = {(x , 3x2
+ 1) | pro ∀ x ∈ Z} ,
resp. σ je relace mezi množinami N a Z, definovaná :
σ = {(a, b) | b = −a ∨ b = a2
− 3 , pro a, b ∈ N} .
Pak popište relaci σ ◦ ̺ a relaci ̺ ◦ σ .
[1.6.B4]. Nechť ̺ je relace mezi množinami A a B; nechť σi je relace
mezi množinami B a C pro každé i ∈ I (kde I je daná neprázdná
indexová množina). Dokažte, že:
a) (
i∈I
σi) ◦ ̺ =
i∈I
(σi ◦ ̺)
b) (
i∈I
σi) ◦ ̺ ⊆
i∈I
(σi ◦ ̺)
c) ve vztahu b) obecně neplatí rovnost.
[1.6.B5]. Nechť ̺i (pro každé i ∈ I) je relace mezi množinami A a B.
Dokažte, že pak platí:
a) (
i∈I
̺i)−1
=
i∈I
̺−1
i
b) (
i∈I
̺i)−1
=
i∈I
̺−1
i .
38 II. Cvičení – Kap. 1: Opakování a doplnění středoškolské látky
[1.6.B6]. Nechť M = {a, b}. Vypište:
a) všechny relace na množině M
b) všechny tranzitivní relace na M
c) všechny relace na M, které nejsou tranzitivní.
d) všechny relace na M, které nejsou antisymetrické
[1.6.B7]. Nechť M je n-prvková, neprázdná množina. Určete, kolik
celkem existuje
a) reflexivních relací na M
b) symetrických relací na M
c) antisymetrických relací na M
d) úplných relací na M
e) relací na M, které jsou současně reflexivní a symetrické
f) relací na M, které jsou současně reflexivní a antisymetrické.
[1.6.B8]. Je dána relace ̺ na množině N. Rozhodněte, zda relace ̺
je reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní, úplná, je-li pro
x, y ∈ N:
a) x̺ y ⇐⇒ x · y je liché číslo
b) x̺ y ⇐⇒ x, y jsou nesoudělná čísla
c) x̺ y ⇐⇒ y = x ∨ y = 2x ∨ y = 3x
[1.6.B9]. Je dána relace ̺ na množině Z. Rozhodněte, zda relace ̺
je reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní, úplná, je-li pro
x, y ∈ Z:
a) x̺ y ⇐⇒ x2
= y
b) x̺ y ⇐⇒ 3 | (x + 2y)
c) x̺ y ⇐⇒ |x| < |y|
[1.6.B10]. Je dána relace ̺ na množině 2A
, kde A je neprázdná, konečná
množina. Rozhodněte, zda ̺ je reflexivní relace, resp. symetrická
relace, resp. antisymetrická relace, resp. tranzitivní relace, resp. úplná
relace, je-li pro X, Y ∈ 2A
:
a) X̺ Y ⇐⇒ X ∪ Y = A
b) X̺ Y ⇐⇒ X ∩ Y = ∅
c) X̺ Y ⇐⇒ X = ∅ nebo Y = A
Návod: uvědomte si, že v některých případech může vyšetřovaná vlastnost
záviset na počtu prvků množiny A .
§6: Relace 39
[1.6.B11]. Na množině M = {a, b, c} udejte (tabulkou) příklad relací
̺1, ̺2, ̺3, ̺4 tak, aby každá z těchto relací měla vždy právě jenom jednu
z vlastností: reflexivní, symetrická, antisymetrická, úplná.
[1.6.B12]. Dokažte, že průnik libovolného počtu
a) reflexivních relací na M je opět reflexivní relací na M
b) symetrických relací na M je opět symetrickou relací na M
c) relací na M, z nichž alespoň jedna je antisymetrická, je antisymetrickou
relací na M
d) tranzitivních relací na M je opět tranzitivní relací na M
e) úplných relací na M nemusí být úplnou relací na M.
[1.6.B13]. Dokažte, že sjednocení libovolného počtu
a) relací na M, z nichž alespoň jedna je reflexivní, je reflexivní relací na
množině M
b) symetrických relací na M je opět symetrickou relací na M
c) antisymetrických relací na M nemusí být antisymetrickou relací na
množině M
d) tranzitivních relací na M nemusí být tranzitivní relací na M
e) relací na M, z nichž alespoň jedna je úplná, je úplnou relací na M.
[1.6.B14]. Nechť ̺, σ jsou relace na M. Dokažte, že:
a) jsou-li ̺, σ reflexivní, pak relace σ ◦ ̺ je reflexivní
b) jsou-li ̺, σ symetrické, pak relace σ ◦ ̺ nemusí být symetrická
c) jsou-li ̺, σ antisymetrické, pak relace σ ◦̺ nemusí být antisymetrická
d) jsou-li ̺, σ tranzitivní, pak relace σ ◦ ̺ nemusí být tranzitivní
e) jsou-li ̺, σ úplné, pak relace σ ◦ ̺ je úplná.
[1.6.B15]. Nechť ̺, σ jsou symetrické relace na M. Dokažte, že pak :
σ ◦ ̺ je symetrická relace ⇐⇒ σ ◦ ̺ = ̺ ◦ σ .
40 II. Cvičení – Kap. 1: Opakování a doplnění středoškolské látky
§ 7 : USPOŘÁDANÉ MNOŽINY
[1.7.A1]. Nakreslete hasseovský diagram čtyřprvkové uspořádané množiny,
která má dva maximální prvky a nemá nejmenší prvek.
[1.7.A2]. Nakreslete hasseovský diagram čtyřprvkové uspořádané množiny,
v níž každý prvek je současně maximálním prvkem i minimálním
prvkem.
[1.7.A3]. Nakreslete hasseovský diagram konečné uspořádané množiny,
která má tři minimální prvky a žádný maximální prvek.
[1.7.A4]. Nakreslete hasseovský diagram uspořádané množiny (M, ̺),
která má jeden maximální prvek a nemá největší prvek.
[1.7.A5]. Nakreslete hasseovský diagram uspořádané množiny (M, ̺),
která obsahuje právě dva nesrovnatelné prvky a nemá přitom žádný
maximální prvek ani minimální prvek.
[1.7.A6]. Nakreslete hasseovský diagram sedmiprvkové uspořádané
množiny (M, ̺), která není lineárně uspořádaná a
a) je svazem b) není svazem.
[1.7.A7]. U.p. uspořádané množiny (M, ̺), která má jeden nejmenší
prvek a tři minimální prvky.
[1.7.A8]. U.p. nekonečné uspořádané množiny (M, ̺), která neobsahuje
žádné různé srovnatelné prvky.
[1.7.A9]. U.p. množiny A tak, aby uspořádaná množina (2A
, ⊆) byla
lineárně uspořádaná.
[1.7.A10]. U.p. podmínky, která
a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná
pro to, aby uspořádaná množina (M̺) byla svazem.
♣ ♣ ♣
§7: Uspořádané množiny 41
[1.7.B1]. Na množině M = {a, b, c, d} je dána relace ̺. Dokažte, že ̺ je
relací uspořádání a nakreslete hasseovský diagram uspořádané množiny
(M, ̺), je-li:
a) ̺ = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (b, a), (b, c), (b, d)}
b) ̺ = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (d, a), (b, c)}.
[1.7.B2]. Uspořádaná množina (M, ̺), kde M = {a, b, c, d} je zadána
hasseovským diagramem. Popište (výčtem prvků) relaci uspořádání ̺,
je-li:
a)
 ¡ b)
 ¡ c)
 ¡ d)
 
¡
[1.7.B3]. Je dána množina M. Rozhodněte kolik relací uspořádání lze
na množině M definovat a nakreslete odpovídající hasseovské diagramy
takto vzniklých uspořádaných množin, je-li:
a) M = {a, b}
b) M = {a, b, c}.
[1.7.B4]. Nakreslete hasseovský diagram uspořádané množiny (2A
, ⊆),
je-li:
a) A = ∅ b) A = {a} c) A = {a, b} d) A = {a, b, c}.
[1.7.B5]. Na množině M = {1, 2, 3, 4, 5, 6} je definována relace ̺ takto:
x̺ y ⇐⇒ ∃ přirozené číslo n tak, že x = n · y .
Dokažte, že ̺ je relací uspořádání a sestrojte hasseovský diagram
uspořádané množiny (M, ̺).
[1.7.B6]. Rozhodněte, zda (N, ̺) je uspořádaná množina, resp. lineárně
uspořádaná množina, resp. svaz, resp. úplný svaz.
Pokud je (N, ̺) uspořádaná množina, pak schematicky nakreslete její
hasseovský diagram.
Relace ̺ je definována pro x, y ∈ N takto:
a) x̺ y ⇐⇒ y = 4 ∨ y = x
b) x̺ y ⇐⇒ x ≡ y (mod 5)
c) x̺ y ⇐⇒ počet cifer čísla x je menší nebo roven počtu cifer čísla y
d) x̺ y ⇐⇒ (x = y)∨(x je liché ∧ y je sudé )∨(x+y je sudé ∧ x < y).
42 II. Cvičení – Kap. 1: Opakování a doplnění středoškolské látky
[1.7.B7]. Rozhodněte, zda (Z, ̺) je uspořádaná množina, resp. lineárně
uspořádaná množina, resp. svaz, resp. úplný svaz.
Pokud je (Z, ̺) uspořádaná množina, pak schematicky nakreslete její
hasseovský diagram.
Relace ̺ je definována pro x, y ∈ Z takto:
a) x̺ y ⇐⇒ x < y
b) x̺ y ⇐⇒ y ≤ x
c) x̺ y ⇐⇒ x | y (tj. ∃z ∈ Z : y = z · x)
d) x̺ y ⇐⇒ (x = y) ∨ (x, y jsou sudá čísla ∧ x < y).
[1.7.B8]. Nechť M = {f1, f2, f3, . . . , f8, f9}, kde pro 1 ≤ i ≤ 9 je
fi : R → R zobrazení, definované pro ∀ x ∈ R takto:
f1(x) = |x| − 4 , f2(x) = |x| − 3 , f3(x) = |x| − 2 ,
f4(x) = −|x| + 4 , f5(x) = −|x| + 3 , f6(x) = −|x| + 2 ,
f7(x) = −|x| , f8(x) = |x + 2| , f9(x) = 2 .
Na množině M je definována relace ̺ takto :
fi ̺ fj ⇐⇒ pro každé x ∈ −2, 2 platí : fi(x) ≤ fj(x) .
Dokažte, že ̺ je relace uspořádání na M a nakreslete hasseovský diagram
uspořádané množiny (M, ̺).
[1.7.B9]. Na množině reálných čísel R je definována relace ̺ takto : pro
x, y ∈ R je
x̺ y ⇐⇒ ∃c ∈ R , c ≥ 1 tak, že c · x = y .
Dokažte, že ̺ je relace uspořádání na R a načrtněte schematicky
hasseovský diagram uspořádané množiny (R, ̺).
[1.7.B10]. Nechť ̺, σ jsou relace uspořádání na množině M. Dokažte,
že potom:
a) relace ̺−1
je uspořádání na M
b) relace ̺ ∩ σ je uspořádání na M
c) relace ̺ ∪ σ obecně není uspořádání na M
d) relace σ ◦ ̺ obecně není uspořádání na M.
[1.7.B11]. Vypište všechny minimální prvky, resp. maximální prvky,
resp. nejmenší prvky, resp. největší prvky všech uspořádaných množin
ze cvičení
a) [ 1.7.B2 ] b) [ 1.7.B6 ] c) [ 1.7.B7 ] d) [ 1.7.B8 ] .
§7: Uspořádané množiny 43
[1.7.B12]. Nechť ̺ je relace uspořádání na konečné množině M.
Dokažte, že pak v (M, ̺) existuje alespoň jeden minimální a alespoň
jeden maximální prvek.
[1.7.B13]. Nechť ̺ je relace uspořádání na konečné množině M a nechť
v uspořádané množině (M, ̺) existuje jediný minimální prvek u .
Potom:
a) dokažte, že u je nejmenším prvkem v (M, ̺)
b) rozhodněte, zda stejné tvrzení platí i v případě, že množina M je
nekonečná.
[1.7.B14]. Nechť A je konečná, neprázdná množina přirozených čísel.
Na množině M = 2A
− {∅} definujeme relaci ̺ takto : pro X, Y ∈ M je
X̺ Y právě když
∃ injektivní zobrazení f : X → Y takové, že x ≤ f(x) pro ∀ x ∈ X .
Potom:
a) dokažte, že ̺ je relace uspořádání na M
b) nakreslete hasseovský diagram uspořádané množiny (M, ̺) pro případ,
že A = {1, 2, 3}
c) dokažte, že pro X, Y ∈ M platí: X ⊆ Y =⇒ X̺Y
d) ukažte, že předchozí implikaci nelze obrátit.
Návod: při důkazu a) využijte cvičení [ 1.4.B16 ].
[1.7.B15]. Nechť (A, ̺), (B, σ) jsou uspořádané množiny a A ∩ B = ∅.
Na množině A ∪ B definujeme relaci τ takto: pro x, y ∈ A ∪ B je
xτy ⇐⇒ (x, y ∈ A ∧ x̺y) ∨ (x, y ∈ B ∧ xσy) ∨ (x ∈ A, y ∈ B) .
Potom:
a) dokažte, že τ je relace uspořádání na A ∪ B
b) dokažte, že τ je lineární uspořádání ⇐⇒ ̺ i σ jsou lineární
uspořádání
c) nakreslete hasseovský diagram uspořádané množiny (A ∪ B, τ ) ,
je-li (A, ̺) uspořádaná množina ze cvičení [ 1.7.B4 ] c), resp. (B, σ) je
uspořádaná množina ze cvičení [ 1.7.B2 ] c)
d) nakreslete schematicky hasseovský diagram uspořádané množiny
(A ∪ B, τ), je-li A množina všech sudých přirozených čísel, B
je množina všech lichých přirozených čísel a ̺ i σ jsou obvyklá
uspořádání čísel podle velikosti.
44 II. Cvičení – Kap. 1: Opakování a doplnění středoškolské látky
§ 8 : EKVIVALENCE A ROZKLADY
[1.8.A1]. U.p. relace ̺ na množině Z, která je současně ekvivalencí i
uspořádáním. Dále uveďte, kolik takových relací existuje.
[1.8.A2]. U.p. relace ̺ na množině N, která je reflexivní a tranzitivní,
ale není ekvivalencí ani uspořádáním.
[1.8.A3]. U.p. relace ekvivalence ̺ na množině R tak, aby rozklad R/̺
(tj. rozklad na R , příslušný ekvivalenci ̺ ) měl právě 3 třídy rozkladu.
[1.8.A4]. U.p. rozkladu na R, který má konečně mnoho tříd, přičemž
každá třída obsahuje konečně mnoho prvků.
[1.8.A5]. U.p. rozkladu na N, který má nekonečně mnoho tříd, přičemž
každá třída obsahuje nekonečně mnoho prvků.
[1.8.A6]. U.p. zobrazení f : R → Z tak, aby rozklad příslušný zobrazení
f měl nekonečně mnoho tříd rozkladu.
[1.8.A7]. U.p. zobrazení f : R → Z3 tak, aby rozklad příslušný zobrazení
f měl
a) 2 třídy rozkladu b) 4 třídy rozkladu.
[1.8.A8]. Uveďte všechny hodnoty modulu m pro které čísla −7 a 7
patří do stejné zbytkové třídy podle tohoto modulu m .
[1.8.A9]. U.p. podmínky, která
a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná
pro to, aby relace ̺ na množině M byla ekvivalencí.
[1.8.A10]. U.p. podmínky, která
a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná
pro to, aby systém množin M = {A, B}, kde A, B ⊆ N, byl rozkladem
na N.
♣ ♣ ♣
§8: Ekvivalence a rozklady 45
[1.8.B1]. Na množině M = {a, b, c, d} je definována relace ̺. Rozhodněte,
zda ̺ je relací ekvivalence na množině M a pokud tomu tak
je, pak sestrojte rozklad M/̺ ( tj. rozklad na množině M příslušný
ekvivalenci ̺ ). Přitom :
a) ̺ = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, c), (c, a), (d, c), (c, d)}
b) ̺ = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, a), (a, d), (d, a), (b, d), (d, b)}.
[1.8.B2]. Určete, kolik různých rozkladů lze utvořit na množině M a
všechny tyto rozklady vypište. Přitom:
a) M = {a, b}
b) M = {a, b, c}
c) M = {a, b, c, d}.
[1.8.B3]. Na množině M = {u, v, x, y, z} je dán rozklad R. Sestrojte
tabulku relace ∼R (tj. relace ekvivalence na množině M, příslušné
rozkladu R ). Přitom:
a) R = {{u}, {x}, {z}, {v, y}}
b) R = {{u, y}, {v, x, z}}.
[1.8.B4]. Na množině M = {1, 2, 3, . . ., 18, 19, 20} definujeme relaci ̺
takto :
x ̺ y ⇐⇒ čísla x, y mají stejný součet cifer .
Pak dokažte, že ̺ je relací ekvivalence na M a sestrojte rozklad M/̺
(tj. rozklad na M , příslušný ekvivalenci ̺ ) .
[1.8.B5]. Na množině M je definována relace ̺. Rozhodněte, zda ̺ je
relací ekvivalence na M, je-li
a) M = Z ; ̺ = {(x, y) ∈ Z × Z | y = x nebo y = x + 1}
b) M = R ; ̺ = {(x, y) ∈ R × R | x − y ∈ Z}
c) M = 2N
; ̺ = {(A, B) ∈ 2N
× 2N
| (A − B) je konečná množina}
d) M = 2N
; ̺ = {(A, B) ∈ 2N
× 2N
| (A ÷ B) je konečná množina}
[1.8.B6]. Na množině Z je definována relace ̺. Dokažte, že ̺ je relací
ekvivalence na Z a popište rozklad Z/̺ (tj. rozklad na Z , příslušný
ekvivalenci ̺ ). Přitom pro x, y ∈ Z je:
a) x̺ y ⇐⇒ ∃ k ∈ Z : y = x + 4k
b) x̺ y ⇐⇒ x2
≡ y2
(mod 7)
c) x̺ y ⇐⇒ x2
+ 2x = y2
+ 2y
d) x̺ y ⇐⇒ 2 | (x2
− y2
).
46 II. Cvičení – Kap. 1: Opakování a doplnění středoškolské látky
[1.8.B7]. Na množině R × R je definována relace ̺. Dokažte, že ̺
je ekvivalencí na R × R a načrtněte, jak vypadá rozklad R × R/̺
(zde R × R chápeme jako množinu všech bodů v rovině). Přitom pro
(x, y), (u, v) ∈ R × R je:
a) (x, y) ̺ (u, v) ⇐⇒ x − u = 0
b) (x, y) ̺ (u, v) ⇐⇒ y − v = 2(x − u)
c) (x, y) ̺ (u, v) ⇐⇒ (x − u)(x + u) = (v − y)(v + y)
d) (x, y) ̺ (u, v) ⇐⇒ x2
+ y2
+ x + y = u2
+ v2
+ u + v.
[1.8.B8]. Je zadán systém M jistých podmnožin množiny R. Rozhodněte,
zda M je rozklad na R a pokud tomu tak je, pak definujte relaci
∼M (tj. relaci ekvivalence na R, příslušnou rozkladu M ). Přitom :
a) M = { a, a + 1) | a ∈ Z}
b) M = { a, a + 2) | a ∈ Z}
c) M = {{0}, (−∞, 0), (0, ∞)}
d) M = {R}.
[1.8.B9]. Dokažte, že
a) inverzní relace k ekvivalenci na M je opět ekvivalencí na M
b) průnik libovolného počtu ekvivalencí na M je opět ekvivalencí na M
c) sjednocení dvou ekvivalencí na M nemusí být ekvivalencí na M
d) složení dvou ekvivalencí na M nemusí být ekvivalencí na M.
[1.8.B10]. Na množině M je dána relace ̺ , která je je reflexivní a
tranzitivní. Definujeme na M relaci τ takto : pro x, y ∈ M položíme
x τ y ⇐⇒ x ̺ y ∧ y ̺ x .
Dokažte, že relace τ je relací ekvivalence na množině M .
[1.8.B11]. Nechť ̺, σ jsou relace ekvivalence na množině M .
Dokažte, že pak relace ̺ ∪ σ je ekvivalencí na M právě když pro každé
X ∈ M/̺ a každé Y ∈ M/σ platí :
X ⊆ Y nebo Y ⊆ X nebo X ∩ Y = ∅.
[1.8.B12]. Nechť ̺, σ jsou ekvivalence na množině M. Dokažte, že pak
relace ̺ ◦ σ je ekvivalencí na M právě když ̺ ◦ σ = σ ◦ ̺
§8: Ekvivalence a rozklady 47
[1.8.B13]. Nechť ̺, σ jsou relace ekvivalence na M, resp. nechť R, S
jsou rozklady na M. Dokažte, že platí:
a) ̺ = σ =⇒ M/̺ = M/σ
b) R = S =⇒ ∼R = ∼S.
Návod: obě tvrzení dokazujte nepřímo.
[1.8.B14]. Je dáno zobrazení f : A → B. Popište rozklad M na
množině A, příslušný zobrazení f, je-li:
a) A = {a, b, c, d, e}, B = {x, y, z} ,
f(a) = z , f(b) = y , f(c) = z , f(d) = z , f(e) = y
b) A = R, B = Z, f(x) = [ x ] , pro ∀x ∈ R
c) A = R, B = Z, f(x) = | [ x ] | , pro ∀x ∈ R
d) A = 2N
, B = Z , f(X) =



−1 je-li X konečná, neprázdná
0 je-li X = ∅
1 je-li X nekonečná
přitom symbol [ x ] v b), c) značí celou část čísla x, tj. největší celé číslo,
které nepřevyšuje číslo x.
[1.8.B15]. Nechť R je rozklad na množině M. Definujme zobrazení
f : M → R, tak, že každému prvku x ∈ M přiřadíme tu třídu rozkladu
R, v níž prvek x leží, tj.
f(x) = X , kde X ∈ R ∧ x ∈ X .
Pak:
a) dokažte, že f je surjektivní zobrazení
b) udejte nutnou a dostatečnou podmínku pro to, aby f bylo injektivní
48 II. Cvičení – Kap. 2: Základní algebraické struktury
KAPITOLA 2:
ZÁKLADNÍ ALGEBRAICKÉ STRUKTURY
§ 1 : ALGEBRAICKÉ STRUKTURY S JEDNOU OPERACÍ
[2.1.A1]. Uveďte, kolika různými způsoby je možno definovat operaci
na množině G = {x, y, z}.
[2.1.A2]. U.p. grupoidu (G, ·) tak, že tento grupoid má jedničkou, ale
není pologrupou.
[2.1.A3]. U.p. grupoidu (G, ·) ve kterém neplatí zákony o dělení.
[2.1.A4]. U.p. konečné pologrupy, která nemá neutrální prvek.
[2.1.A5]. U.p. nekonečné pologrupy, ve které neplatí zákony zákony o
krácení.
[2.1.A6]. U.p. pologrupy s jedničkou, v níž k některému prvku existují
dva prvky inverzní.
[2.1.A7]. U.p. dvou různých grup tak, že každá z těchto grup má 10
prvků.
[2.1.A8]. U.p. dvou nekomutativních grup tak, že jedna je konečná a
druhá je nekonečná.
[2.1.A9]. U.p. pologrupy, ve které platí zákony o dělení a neplatí zákony
o krácení.
[2.1.A10]. U.p. podmínky, která
a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná
c) je nutná a dostatečná
pro to, aby pologrupa (G, ·) byla grupou.
♣ ♣ ♣
§1: Algebraické struktury s jednou operací 49
[2.1.B1]. Je dána množina G a předpis ◦ . Rozhodněte, zda tento
předpis definuje operaci na G. Přitom:
a) G = {−1, 0, 1} ; x ◦ y = x + y
b) G = {−1, 0, 1} ; x ◦ y = x · y
c) G je množina všech sudých celých čísel ; x ◦ y =
x + y
2
d) G = Z ; x ◦ y =



y je-li x = 3
x + 1 je-li y = 3
3 je-li x = 3 ∧ y = 3
[2.1.B2]. Na množině G = {a, b, c, d} je dána operace ◦ tabulkou.
Rozhodněte, zda grupoid (G, ◦) je komutativní, resp. asociativní, resp.
zda má neutrální prvek. Přitom:
a)
◦ a b c d
a a b c d
b a b c d
c a b c d
d a b c d
b)
◦ a b c d
a b a b b
b a b c d
c b c b b
d b d b b
[2.1.B3]. Je dán grupoid (G, ◦) . Rozhodněte zda tento grupoid je
komutativní, resp. asociativní, resp. zda má neutrální prvek. Přitom:
a) G = Z , x ◦ y = |x|
b) G = R+
, x ◦ y =
x · y
x2 + y2
c) G = R , x ◦ y = (x + y)(1 + xy)
d) G = 2N
, X ◦ Y =
∅ je-li X ∩ Y = ∅
N je-li X ∩ Y = ∅
[2.1.B4]. Nechť (G, ·) je grupoid; nechť a, b, c, d ∈ G. Potom:
a) vypište všechny možné součiny prvků a, b, c, d v tomto pořadí (tj. při
všech možných uzávorkováních)
b) je-li (G, ·) navíc pologrupa, pak pouze s využitím asociativního
zákona dokažte, že všechny možné součiny prvků a, b, c, d (v tomto
pořadí) se nazájem rovnají.
[2.1.B5]. Je dán grupoid (NN
, ◦) , tj. množina všech zobrazení N → N
s operací skládání zobrazení. Dokažte, že (NN
, ◦) je pologrupa s jedničkou,
která není grupou.
50 II. Cvičení – Kap. 2: Základní algebraické struktury
[2.1.B6]. Dokažte, že daný grupoid (G, ◦) má neutrální prvek. Dále
pak nalezněte ke každému prvku z G všechny prvky inverzní (pokud
existují). Přitom:
a) G = Z ; x ◦ y = x + y + x · y
b) G = Z ; x ◦ y =



y je-li x = 3
x je-li y = 3
3 je-li x = 3 ∧ y = 3
[2.1.B7]. Dokažte, že daná pologrupa (G, ◦) má neutrální prvek. Dále
pak nalezněte každý prvek z G, k němuž existuje prvek inverzní a tento
inverzní prvek určete. Přitom:
a) G = Z ; x ◦ y = x + y − xy
b) G = Q ; x ◦ y = x + y − xy
c) G = Z6 ; ◦ je násobení zbytkových tříd podle modulu 6
d) G = Z7 ; ◦ je násobení zbytkových tříd podle modulu 7.
[2.1.B8]. Rozhodněte, zda v daném grupoidu:
a) (Z2, +) b) (Z16, ·) c) (N, +) d) (2N
, ∩)
platí zákony o dělení, resp. platí zákony o krácení.
[2.1.B9]. Nechť grupoid (G, ◦) , kde G je konečná množina, je zadán
tabulkou. Popište, jak se z této tabulky pozná, že
a) operace ◦ je komutativní
b) (G, ◦) má neutrální prvek
c) v (G, ◦) platí zákony o dělení
d) v (G, ◦) platí zákony o krácení.
[2.1.B10]. Určete, kolika způsoby se dá doplnit tabulka operace ◦ na
množině G = {x, y, z} tvaru
◦ x y z
x z y x
y . . y
z . . .
tak, aby (G, ◦)
a) byl grupoid b) byl komutativní grupoid
c) byl grupoid s jedničkou d) byla komutativní pologrupa
e) byla pologrupa s jedničkou f) byla grupa .
§1: Algebraické struktury s jednou operací 51
[2.1.B11]. Je dán komutativní grupoid (G, ◦). Rozhodněte, zda (G, ◦)
je komutativní grupou.
Přitom :
a) G = Q+
; ◦ je násobení čísel
b) G = Q − {0} ; x ◦ y = |x · y|
c) G = {x ∈ R | x = 0 ∧ |x| ≤ 1} ; ◦ je násobení čísel
d) G = {a +
√
3 · b · i | a, b ∈ Q ∧ (a2
+ b2
) = 0} ; ◦ je násobení
komplexních čísel,
[2.1.B12]. Na množině Z2 × Z2 definujeme operaci + takto:
(Ci , Cj) + (Cr , Cs) = (Ci + Cr , Cj + Cs)
kde + na pravé straně značí sčítání zbytkových tříd podle modulu 2.
Pak:
a) napište tabulku výše definované operace +
b) dokažte, že (Z2 × Z2, +) je komutativní grupa.
[2.1.B13]. Je dána pologrupa (G, ◦). Rozhodněte, zda (G, ◦) je grupa,
resp. komutativní grupa, je-li:
a) G = R 0,1
(tj. množina všech zobrazení 0, 1 → R); ◦ je sčítání
reálných funkcí, tj.
pro f, g ∈ G je : (f ◦ g)(x) = f(x) + g(x) , pro ∀ x ∈ 0, 1
b) G = R 0,1
(tj. množina všech zobrazení 0, 1 → R); ◦ je násobení
reálných funkcí, tj.
pro f, g ∈ G je : (f ◦ g)(x) = f(x) · g(x) , pro ∀ x ∈ 0, 1
c) G = RR
(tj. množina všech zobrazení R → R); ◦ je skládání
zobrazení
d) G = {f | f : R → R je bijektivní zobrazení}; ◦ je skládání zobrazení.
[2.1.B14]. Je dán grupoid (G, ◦). Dokažte, že (G, ◦) je nekomutativní
grupa. Přitom:
a) G = Z ; x ◦ y = x + (−1)x
· y
b) G = (R − {0}) × R ; (x, y) ◦ (u, v) = (xu , xv + y)
c) G = R × R × R ; (x, y, z) ◦ (a, b, c) = (x + a , y + b , z + c + xb) .
[2.1.B15]. Nechť (G, ◦) je grupa; nechť p ∈ G je pevný prvek. Na
množině G definujeme operaci ∗ takto:
x ∗ y = x ◦ p ◦ y pro ∀x, y ∈ G .
Rozhodněte, zda (G, ∗) je grupa.
52 II. Cvičení – Kap. 2: Základní algebraické struktury
§ 2 : PODSTRUKTURY ALGEBRAICKÝCH STRUKTUR
S JEDNOU OPERACÍ
[2.2.A1]. U.p. dvou disjunktních podgrupoidů v grupoidu:
a) (N, · ) b) (N, + ).
[2.2.A2]. U.p. nekomutativního podgrupoidu v grupoidu (Z12, ·).
[2.2.A3]. U.p. grupoidu (G, ·) s jedničkou e a jeho podgrupoidu (H, ·),
který
a) nemá jedničku b) má jedničku, různou od e .
[2.2.A4]. U.p. grupy (G, ·) a jejích dvou různých podgrup (H1, ·),
(H2, ·) takových, že (H1 ∪ H2, · )
a) není podgrupou v (G, ·) b) je podgrupou v (G, ·).
[2.2.A5]. U.p. 17-ti prvkové podgrupy v grupě (C − {0}, ·) .
[2.2.A6]. Určete všechny podgrupy grupy celých čísel (Z, +), které
obsahují číslo 63.
[2.2.A7]. Popište (výčtem prvků) všechny netriviální podgrupy:
a) v grupě (Z12, +) b) v grupě (Z13, +).
[2.2.A8]. U.p. netriviální podgrupy v grupě (Z16, +), která
a) neobsahuje prvek C8 b) neobsahuje prvek C2.
[2.2.A9]. U.p. přirozeného čísla m tak, aby grupa (Zm, +) měla právě
a) 4 podgrupy b) 5 podgrup
c) k podgrup, kde k je libovolné pevné přirozené číslo.
[2.2.A10]. Nechť (G, ·) je grupa a nechť H je neprázdná podmnožina
množiny G. U.p. podmínky, která
a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná
c) je nutná a dostatečná
pro to, aby (H, ·) byla podgrupou grupy (G, ·).
♣ ♣ ♣
§2: Podstruktury algebraických struktur s jednou operací 53
[2.2.B1]. Je dán grupoid (N, +) a podmnožina H ⊆ N. Rozhodněte,
zda (H, +) je podgrupoidem grupoidu (N, +), je-li
a) H = N − {1, 2, 4, 5}
b) H = N − {1, 2, 5, 6}
c) H je libovolná neprázdná konečná podmnožina v N.
[2.2.B2]. Je dána grupa (C − {0}, ·) a dále neprázdná podmnožina
H ⊆ C−{0}. Rozhodněte, zda (H, ·) je podgrupoidem, resp. podgrupou
grupy (C − {0}, ·), je-li:
a) H = {z ∈ C | |z| ≥ 1}
b) H = {a + b · i ∈ C | b > 0}
c) H = {z ∈ C − {0} | z je reálné číslo nebo z je ryze imaginární číslo}
d) H = {a + b ·
√
5 · i | a, b ∈ Q ∧ (a2
+ b2
) = 0} .
[2.2.B3]. Na množině G = {a, b, c, d} je dána operace · tabulkou
· a b c d
a a c c a
b b b c a
c b c b a
d a b b a
V grupoidu (G, ·) pak nalezněte všechny podgrupoidy, resp. všechny
podpologrupy, resp. všechny podgrupy.
[2.2.B4]. Nechť (G, ·) je grupoid. Dokažte, že průnik libovolného
systému podgrupoidů grupoidu (G, ·) je buď prázdná množina nebo
podgrupoid v (G, ·).
[2.2.B5]. Dokažte, že
a) v grupoidu (N, +) neexistují žádné dva disjunktní podgrupoidy
b) v grupoidu (N, ·) existuje nekonečně mnoho po dvou disjunktních
podgrupoidů.
[2.2.B6]. Nechť (G, ·) je komutativní pologrupa s jedničkou e. Nechť
dále je
H = {x ∈ G | x · x = x } .
Dokažte, že pak (H, ·) je podpologrupou pologrupy (G, ·).
54 II. Cvičení – Kap. 2: Základní algebraické struktury
[2.2.B7]. Je dána grupa (Q, +) a neprázdná podmnožina H ⊆ Q.
Rozhodněte, zda (H, +) je podgrupou grupy (Q, +), je-li:
a) H =
a
2k
| a ∈ Z ; k ≥ 0 celé číslo
b) H =
a
b
| a, b ∈ Z jsou nesoudělná ∧ a ≤ b
c) p je pevné prvočíslo ; H =
a
b
| a, b ∈ Z jsou nesoudělná ∧ p ∤ b
d) H =
a
b
| (a, b) = 1 ∧ b není dělitelné čtvercem žádného prvočísla
[2.2.B8]. Je dána množina G = R−{0} × R s operací ◦ definovanou
(x, y) ◦ (u, v) = (xu , xv + y) , pro ∀ (x, y), (u, v) ∈ R−{0} × R
Pak (G, ◦) je nekomutativní grupa (viz cvičení [ 2.1.B24 ] b) ).
Rozhodněte, zda (H, ◦) je podgrupa, resp. komutativní podgrupa grupy
(G, ◦), je-li:
a) H = {(1, 0), (−1, 0)}
b) H = {(1, b) | b ∈ R libovolné }
c) H = Q − {0} × Q
d) H = R − {0} × Q.
[2.2.B9]. Nechť (G, ·) je grupa. Potom :
a) dokažte, že průnik libovolného neprázdného systému podgrup grupy
(G, ·) je opět podgrupou grupy (G, ·)
b) ukažte, že sjednocení dvou podgrup grupy (G, ·) obecně není podgrupou
grupy (G, ·).
[2.2.B10]. Nechť (G, ·) je grupa. Označme :
H = {a ∈ G | a · x = x · a pro ∀ x ∈ G} .
Dokažte, že pak :
a) (H, ·) je podgrupou grupy (G, ·)
b) H = G ⇐⇒ grupa (G, ·) je komutativní.
[2.2.B11]. Nechť (G, ·) je komutativní grupa. Označme :
H = {a ∈ G | a · a = e}
Dokažte, že :
a) (H, ·) je podgrupou grupy (G, ·)
b) předpoklad komutativnosti grupy (G, ·) nelze vypustit, tj. je-li (G, ·)
nekomutativní grupa, pak (H, ·) nemusí být podgrupou v (G, ·).
§2: Podstruktury algebraických struktur s jednou operací 55
[2.2.B12]. Nechť (G, ·) je komutativní grupa. Označme :
H = {a ∈ G | existuje n ∈ N tak, že an
= e }
(tj. H je množina těch prvků z G, jejichž některá přirozená mocnina je
rovna jedničce grupy (G, ·) ) .
Dokažte, že :
a) (H, ·) je podgrupou grupy (G, ·)
b) předpoklad komutativnosti grupy (G, ·) nelze vypustit, tj. je-li (G, ·)
nekomutativní grupa, pak (H, ·) nemusí být podgrupou v (G, ·).
[2.2.B13]. V množině zbytkových tříd Zm uvažujme podmnožinu
Hk = {Ci·k | i = 0, 1, . . . , m
k − 1}
pro každé přirozené k, které dělí modul m. Dokažte, že :
(H, +) je podgrupou v (Zm, +) ⇐⇒ ∃ k ∈ N tak, že k | m ∧ H = Hk.
[2.2.B14]. V dané grupě zbytkových tříd (Zm, +) vypiště všechny
podgrupy a nakreslete hasseovský diagram uspořádané množiny (H, ⊆),
kde H značí množinu všech podgrup grupy (Zm, +). Přitom:
a) m = 3 b) m = 8 c) m = 12 d) m = 21.
[2.2.B15]. Pro zadaný modul m dokažte pomocí tabulky operace
násobení zbytkových tříd podle modulu m , že (Zm − {C0}, ·) je grupa.
Dále pak vypište všechny podgrupy této grupy a nakreslete hasseovský
diagram uspořádané množiny (P, ⊆), kde P značí množinu všech
podgrup dané grupy (Zm − {C0}, ·). Přitom:
a) m = 5
b) m = 7.
56 II. Cvičení – Kap. 2: Základní algebraické struktury
§ 3 : HOMOMORFIZMY ALGEBRAICKÝCH STRUKTUR
S JEDNOU OPERACÍ
[2.3.A1]. U. p. zobrazení ϕ : N −→ Q , které
a) je homomorfizmem grupoidu (N , + ) do grupoidu (Q , · )
b) není homomorfizmem grupoidu (N , + ) do grupoidu (Q , · ) .
[2.3.A2]. Jsou dány grupy (Z , + ) a (3·Z , + ) . U. p. dvou různých
zobrazení ϕ , ψ : Z −→ 3·Z , která jsou grupovými homomorfizmy.
[2.3.A3]. Je dána gupa (Z , + ) . U. p. zobrazení ϕ : Z −→ Z , které
a) je bijektivní, ale není homomorfizmem
b) je vnořením, ale není izomorfizmem.
[2.3.A4]. Rozhodněte (a zdůvodněte), zda následující grupoidy jsou
izomorfní :
a) (N , + ) a (N , · ) b) (Z6 , + ) a (Z 6 , · ).
[2.3.A5]. Rozhodněte (a zdůvodněte), zda následující grupy jsou izomorfní
:
a) (Z , + ) a (R , + ) b) (Z , + ) a (4·Z , + )
[2.3.A6]. U. p. dvou různých tříprvkových grup, které jsou izomorfní.
[2.3.A7]. Je dána grupa (Z , + ) . U. p. homomorfizmu ϕ : Z −→ Z
tak, že obraz Im ϕ = N .
[2.3.A8]. Jsou dány grupy (Z , + ) a (Z 2 , + ) . U. p. homomorfizmu
ϕ : Z −→ Z 2 tak, že jádro Ker ϕ je rovno množině všech sudých celých
čísel.
[2.3.A9]. Je dána grupa (Z , + ). U.p. homomorfizmu ϕ : Z −→ Z tak,
že jádro Ker ϕ = {−1, 0, 1}.
[2.3.A10]. U. p. podmínky, která
a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná
pro to, aby zobrazení ϕ grupy (G , · ) do grupy (H , ◦ ) bylo homomor-
fizmem.
♣ ♣ ♣
§3: Homomorfizmy algebraických struktur s jednou operací 57
[2.3.B1]. Nechť A je neprázdná množina a nechť ϕ : 2 A
−→ 2 A
je
zobrazení grupoidu ( 2 A
, ∩ ) do grupoidu( 2 A
, ∪ ) . Rozhodněte, zda ϕ
je homomorfizmus, je – li pro každé X ∈ 2 A
:
a) ϕ (X) = A
b) ϕ (X) = X
c) ϕ (X) = A − X
[2.3.B2]. Jsou dány pologrupy (N × N × N , +, ) , kde operace + je definována
jako sčítání po složkách a (N , · ) . Rozhodněte, zda zobrazení
ϕ : N × N × N −→ N je homomorfizmus, resp. vnoření, resp. izomorfizmus,
je – li :
a) ϕ((a, b, c)) = 2a
· 3b
· 5c
b) ϕ((a, b, c)) = 2· 3a+b
· 5c
c) ϕ((a, b, c)) = 2a
· 3b
· 12c
[2.3.B3]. Rozhodněte, zda zobrazení ϕ : Z −→ Z je homomorfizmus,
resp. vnoření, resp. izomorfizmus grupy (Z , + ) , je – li pro každé x ∈ Z :
a) ϕ (x) = 3·x
b) ϕ (x) = x + 3
c) ϕ (x) = x3
[2.3.B4]. Je dána grupa (Q − {0} , · ). Rozhodněte, zda zobrazení
ϕ : Q−{0} −→ Q−{0} je homomorfizmus, resp. vnoření, resp. izomorfizmus,
položíme – li pro
p
q
∈ Q − {0} :
a) ϕ (
p
q
) =
q
p
b) ϕ (
p
q
) =
p2
q2
c) ϕ (
p
q
) =
p2
+ q2
p · q
[2.3.B5]. Jsou dány grupy (Z , + ) , (Z 2 , + ) , (Z 3 , + ) . Rozhodněte,
zda zobrazení ϕ je homomorfizmus, je – li
a) ϕ : Z −→ Z 2 , ϕ(a) = Cr , kde r je zbytek po dělení | a | číslem 2
b) ϕ : Z −→ Z 3 , ϕ(a) = Cr , kde r je zbytek po dělení | a | číslem 3 .
58 II. Cvičení – Kap. 2: Základní algebraické struktury
[2.3.B6]. Jsou dány grupy (Z , + ) , (C − {0} , · ) a je definováno
zobrazení ϕ : Z −→ C − {0} , takto :
ϕ (a) = ia
, pro každé a ∈ Z .
Dokažte, že zobrazení ϕ je homomorfizmus a nalezněte jeho jádro Ker ϕ
a obraz Im ϕ .
[2.3.B7]. Jsou dány grupy (C , + ) a (R , + ) . Rozhodněte, zda
zobrazení ϕ : C −→ R je homomorfizmus a v případě, že tomu tak
je, pak nalezněte jeho jádro Ker ϕ a obraz Im ϕ . Přitom zobrazení ϕ je
definováno pro každé a + bi ∈ C takto:
a) ϕ(a + bi) = a + b
b) ϕ(a + bi) = a .
[2.3.B8]. Jsou dány grupy (R , + ) , (R+
, · ) a je definováno zobrazení
ϕ : R −→ R+
, takto :
ϕ (x) = ex
, pro každé x ∈ R .
Potom:
a) dokažte, že ϕ je homomorfizmus
b) rozhodněte, zda ϕ je vnoření, resp. izomorfizmus
c) nalezněte jádro Ker ϕ a obraz Im ϕ .
[2.3.B9]. Zobrazení ϕ : C − {0} −→ R+
je definováno takto :
ϕ(z) = | z | , pro každé z ∈ C − {0} .
Dokažte, že ϕ je homomorfizmus grupy (C − {0} , · ) do grupy (R+
, · )
a nalezněte jeho jádro Ker ϕ a obraz Im ϕ .
[2.3.B10]. Nechť p ∈ N je pevné přirozené číslo. Definujeme zobrazení
ϕ : Z −→ Zm takto : pro každé a ∈ Z je
ϕ(a) = Cr kde r je zbytek po dělení čísla p·a číslem m .
Pak
1. dokažte, že ϕ je homomorfizmus grupy (Z , + ) do grupy (Zm , + )
2. nalezněte jádro Kerϕ pro následující hodnoty m a p :
a) m = 6 , p = 5
b) m = 6 , p = 4
c) m = 6 , p = 3
d) pro obecné hodnoty m a p .
§3: Homomorfizmy algebraických struktur s jednou operací 59
[2.3.B11]. Jsou dány grupy zbytkových tříd (Z12 , + ) , (Z4 , + ) a je
definováno zobrazení ϕ : Z12 −→ Z4 , takto : pro každé Ci ∈ Z12 je
ϕ (Ci) = Cr , kde r je zbytek po dělení čísla i číslem 4 .
Dokažte, že zobrazení ϕ je homomorfizmus a nalezněte jeho jádro Ker ϕ
a obraz Im ϕ .
[2.3.B12]. Dokažte, že grupy (R , + ) a (R+
, · ) jsou izomorfní, ale
grupy (Q , + ) a (Q+
, · ) nejsou izomorfní.
[2.3.B13]. Dokažte, že dané dvě grupy nejsou izomorfní
a) (Z6 , + ) a (S3 , ◦ ) ,
kde S3 značí množinu všech permutací na 3 – prvkové množině a ◦ značí
skládání permutací (tj. skládání zobrazení)
b) (Z4 × Z2 , ⊕ ) a (Z2 × Z2 × Z2 , ⊕ ) ,
kde ⊕ značí sčítání po složkách podle příslušného modulu.
[2.3.B14]. Nechť ( G , · ) je komutativní grupa a nechť ϕ : G −→ G je
zobrazení definované:
ϕ(a) = a2
, pro každé a ∈ G .
Potom:
a) dokažte, že ϕ je homomorfizmus
b) uveďte příklad grupy ( G , · ) pro kterou je zobrazení ϕ izomorfizmus
b) uveďte příklad grupy ( G , · ) pro kterou zobrazení ϕ není izomorfiz-
mus.
[2.3.B15]. Nechť ( G , · ) je grupa a nechť ϕ : G −→ G je zobrazení
definované:
ϕ(a) = a−1
, pro každé a ∈ G .
Dokažte, že ϕ je homomorfizmus ⇐⇒ grupa ( G , · ) je komutativní.
60 II. Cvičení – Kap. 2: Základní algebraické struktury
§,4 : ALGEBRAICKÉ STRUKTURY SE DVĚMA OPERACEMI
[2.4.A1]. U.p. okruhu, ve kterém neplatí omezené zákony o krácení.
[2.4.A2]. U.p. netriviálního okruhu, který není oborem integrity.
[2.4.A3]. U.p. konečného oboru integrity, který není tělesem.
[2.4.A4]. U.p. nenulového prvku v okruhu (Z17, +, ·), k němuž neexistuje
prvek inverzní (vzhledem k operaci ·).
[2.4.A5]. U.p. tělesa, které není číselným tělesem.
[2.4.A6]. U.p. číselného tělesa, které neobsahuje číslo 13.
[2.4.A7]. U.p. číselného tělesa, které neobsahuje číslo
√
13 .
[2.4.A8]. U.p. číselného tělesa, různého od (C, +, ·), které obsahuje
číslo (1 + i).
[2.4.A9]. U.p. číselného tělesa (T, +, ·) tak, že platí: Q ⊂ T ⊂ R.
[2.4.A10]. U.p. podmínky, která
a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná
pro to, aby okruh (R, +, ·) byl oborem integrity.
♣ ♣ ♣
§4: Algebraické struktury se dvěma operacemi 61
[2.4.B1]. Rozhodněte, zda množina M s operacemi obyčejného sčítání
čísel a obyčejného násobení čísel je okruhem, je-li:
a) M = { a
2k | a ∈ Z , k ≥ 0 celé}
b) M = {a + b 3
√
5 | a, b ∈ Q}
c) M = {a + b1+
√
5
2 | a, b ∈ Z}
d) M = {a + b1+i
√
3
2 | a, b ∈ Z} .
[2.4.B2]. Rozhodněte, zda (M, ⊕, ◦) je okruh, resp. obor integrity, resp.
těleso. Přitom množina M a operace ⊕, ◦ jsou zadány takto:
a) M = Z ; x ⊕ y = x + y + 3 , x ◦ y = −3
b) M = Z ; x ⊕ y = x + y − 1 , x ◦ y = x · y − 1
c) M = Z ; x ⊕ y = x + y − 1 , x ◦ y = x + y − x · y
d) M = Q ; x ⊕ y = x + y , x ◦ y = y
e) M = Q ; x ⊕ y = x + y + 1 , x ◦ y = x + y + x · y
f) M = Q ; x ⊕ y = x + y − 1 , x ◦ y = x + y + x · y .
[2.4.B3]. Uvažme podmnožinu G množiny všech komplexních čísel :
G = {a + b · i | a, b ∈ Z}
(množina G se nazývá množina Gaussových celých čísel), s operacemi
obyčejného sčítání komplexních čísel a obyčejného násobení komplexních
čísel. Dokažte, že
a) (G, +, ·) je obor integrity, který není tělesem
b) v (G, +, ·) existují inverzní prvky (vzhledem k operaci·) právě jenom
k číslům 1, −1, i, −i.
Návod: při důkazu b) přejděte k absolutním hodnotám z komplexních
čísel a využijte pravidel pro počítání s nimi.
[2.4.B4]. Na množině Q × Q, resp. na množině R × R definujeme operace
+ a · takto :
(x, y) + (u, v) = (x + u , y + v)
(x, y) · (u, v) = (xu + 2yv , xv + yu) .
Dokažte, že pak :
a) (Q × Q, +, ·) je těleso
b) (R × R, +, ·) je komutativní okruh, který má dělitele nuly (tzn. není
tělesem).
62 II. Cvičení – Kap. 2: Základní algebraické struktury
[2.4.B5]. Nechť R[x] značí množinu všech polynomů (tj. mnohočlenů)
neurčité x, s reálnými koeficienty. Dokažte, že množina R[x] s operacemi
obvyčejného sčítání polynomů a obyčejného násobení polynomů je
oborem integrity, který není tělesem.
[2.4.B6]. Nechť (T, +, ·) je libovolné, pevné těleso. Nechť
M = {f : Z → T | f(z) = 0 pouze pro konečně mnoho z ∈ Z}.
Dále, pro f, g ∈ M definujeme f ⊕ g : Z → T , resp. f ◦ g : Z → T takto:
pro ∀z ∈ Z položíme
(f ⊕ g)(z) = f(z) + g(z)
(f ◦ g)(z) =
a+b=z
f(a) · g(b)
Dokažte, že pak (M, ⊕, ◦) je oborem integrity.
[2.4.B7]. Nechť (R, +, ·) je netriviální okruh. Označme:
J = {x ∈ R | k prvku x existuje prvek inverzní (vzhledem k ·)} .
Dokažte, že potom :
a) množina J neobsahuje žádné dělitele nuly okruhu (R, +, ·)
b) (J, ·) je grupa (tj. je to podgrupa multiplikativní pologrupy (R, ·) ).
[2.4.B8]. Nechť M označuje množinu všech nekonečných posloupností
reálných čísel. Na množině M definujeme operaci ⊕ jako ”sčítání po
složkách” a operaci ◦ jako ”násobení po složkách”, tj.,:
(a1, a2, . . . ) ⊕ (b1, b2, . . . ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . )
(a1, a2, . . . ) ◦ (b1, b2, . . . ) = (a1 · b1 , a2 · b2 , . . . )
Potom:
a) dokažte, že (M, ⊕, ◦) je komutativní okruh s jedničkou
b) ukažte, že v (M, ⊕, ◦) existují dělitelé nuly a popište je.
[2.4.B9]. Dokažte, že v okruhu zbytkových tříd (Zm, +, ·) jsou následující
výroky ekvivalentní:
1. k prvku Ci ∈ Zm existuje prvek inverzní
2. Ci = C0 ∧ Ci není dělitelem nuly v (Zm, +, ·)
3. čísla i , m jsou nesoudělná.
[2.4.B10]. V okruhu zbytkových tříd (Zm, +, ·) nalezněte všechny
prvky, k nimž existuje prvek inverzní (vzhledem k · ). Přitom:
a) m = 9 b) m = 10 c) m = 11 d) m = 12.
§4: Algebraické struktury se dvěma operacemi 63
[2.4.B11]. Dokažte, že v každém okruhu zbytkových tříd (Zm, +, ·),
kde m ≥ 3, platí:
a) k prvku Cm−1 existuje vždy prvek inverzní, a sice sám prvek Cm−1
b) je-li m liché číslo, pak k prvku C2 existuje inverzní prvek, kterým je
prostřední člen posloupnosti C1, C2, . . . , Cm−1, C0
c) jestliže m je tvaru: m = 3k + 2, pak k prvku C3 existuje prvek
inverzní, a sice prvek Cm+1
3
[2.4.B12]. Nechť m ≥ 2 ; dokažte, že pak v okruhu (Zm, +, ·) pro každé
Ci = C0 platí : C2
i = C2
m−i .
[2.4.B13]. Dokažte, že jedinými číselnými tělesy obsahujícími všechna
reálná čísla jsou pouze tělesa (R, +, ·) a (C, +, ·).
[2.4.B14]. Rozhodněte, zda (T, +, ·) je číselné těleso, jestliže + , resp. ·
značí obyčejné sčítání, resp. násobení čísel a je-li:
a) T = {a + b
√
7 | a, b ∈ Q}
b) T = {a + b
√
7 | a, b ∈ Z}
c) T =
a
2k
| a ∈ Z , k ≥ 0 celé
d) T = {a + b
√
2 + c
√
3 | a, b, c ∈ Q}
e) T = {a + b 3
√
4 | a, b ∈ Q}
f) T = {a + b 3
√
2 + c 3
√
4 | a, b, c ∈ Q}.
[2.4.B15]. Rozhodněte, zda (T, +, ·) je číselné těleso, jestliže + , resp. ·
značí obyčejné sčítání, resp. násobení čísel a je-li:
a) T = {a + bi | a, b ∈ Z}
b) T = {a + bi | a, b ∈ Q}
c) T = {a + bi | a ∈ R, b ∈ Q}
d) T = {b · i | b ∈ Q}
e) T = {z ∈ C | |z| = 1}
f) T = {a + b
√
5i | a, b ∈ Q}.
64
III. VÝSLEDKY A NÁVODY K ŘEŠENÍ
KAPITOLA 1:
OPAKOVÁNÍ A DOPLNĚNÍ STŘEDOŠKOLSKÉ LÁTKY
§ 1 : ZÁKLADNÍ LOGICKÉ POJMY
[1.1.A2]. Neexistuje. [1.1.A4]. Neexistuje. [1.1.A6]. Neexistuje.
[1.1.A7]. Neexistuje.
♣ ♣ ♣
[1.1.B1]. a) není výrok, b) je výrok, nepravdivý, c) není výrok,
d) není výrok.
[1.1.B2]. a) A =⇒ ¬ C , b) (¬ A ∧ B) =⇒ C ,
c) ¬ B =⇒ (¬ A ∨ ¬ C) , d) B ⇐⇒ (¬ A ∧ ¬ C) .
[1.1.B3]. A je nepravdivý výrok, B je pravdivý výrok, C je nepravdivý
výrok (zjistí se výpočtem s využitím kongruencí podle modulu 3, resp.
modulu 5, resp. modulu 7) .
Dále : a) je pravdivý výrok, b) je nepravdivý výrok, c) je pravdivý
výrok, d) je pravdivý výrok.
[1.1.B4]. Návod: sestrojte tabulky pravdivostních hodnot pro oba
výroky.
[1.1.B5]. a) implikace , b) konjunkce.
[1.1.B6]. a) pravdivý výrok, jeho obměna: ”Jestliže trojúhelník není
rovnoramenný, pak není rovnostranný”
b) nepravdivý výrok, jeho obměna: ”Jestliže dvě přímky nejsou navzájem
kolmé, pak jsou rovnoběžné” .
[1.1.B7]. Návod: důkazy veďte tak, že vždy sestrojíte tabulku pravdivostních
hodnot.
[1.1.B8]. Obor pravdivosti dané výrokové formy je :
a) (−2, 4
3 ) b) ∅ c) (−∞, 1) ∪ (3, ∞) d) R .
III. Výsledky a návody k řešení 65
[1.1.B9]. a) ”Nenapsal to ani Petr ani Pavel” ,
b) ”Dnes nebude pršet nebo zítra bude svítit slunce” ,
c) ”Budu se učit a zkoušku z matematiky neudělám” ,
d) ”Budu mít volno a nepůjdu ani do kina ani do divadla”.
[1.1.B10]. a) ”Existuje kulička ležící na tomto stole, která je modrá” ,
b) ”Žádné celé číslo není sudé nebo alespoň jedno celé číslo je liché” ,
c) ”Existují kladná reálná čísla r, s tak, že r ≥ r·s ” ,
d) ”Pro všechna celá čísla t1, . . . , tn , z nichž alespoň jedno je různé od
nuly, platí, že t1 + · · · + tn = 0 ” ,
e) ”Existují přirozená čísla a1, . . . , an , kde n ≥ 5 a alespoň jedno
z těchto čísel je větší než 5 , tak, že a1 + · · · + an ≤ 10 ” ,
f) ”Pro všechna ryze imaginární čísla z1 , z2 , z3 platí, že součin z1·z2·z3
není číslo reálné”.
[1.1.B14]. Návod: uvědomte si, že v 1. kroku matematické indukce je
nutné dokázat daný vztah pro n = 1 a n = 2 (proč ? ).
[1.1.B15]. Návod: použijte vztah, plynoucí z definice:
un+s = un+(s−1) + un+(s−2) (kde s ≥ 3 ) .
V 1. kroku matematické indukce se pak tvrzení ověřuje pro s = 1, 2 .
§ 2 : ZÁKLADNÍ MNOŽINOVÉ POJMY
[1.2.A5]. Neexistuje. [1.2.A7]. Neexistuje. [1.2.A9]. a), d), f), i), j)
jsou pravdivé, resp. b), c), e), g), h) jsou nepravdivé.
♣ ♣ ♣
[1.2.B3]. Návod: a) důkaz ”⊆” veďte nepřímo, tzn. dokazujte implikaci
x /∈
∞
n=1
An ∪
∞
n=1
Bn =⇒ x /∈
∞
n=1
(An ∪ Bn) .
[1.2.B4]. Návod: část b) dokazujte sporem, tzn. předpokládejte, že
x ∈
p∈J
Ap . Uvědomte si přitom, že prvočísel je nekonečně mnoho.
Při důkazu c) sestrojte číslo, které leží v
p∈J
Ap , kde J = {p1 , . . . , pk}
je konečná množina prvočísel.
[1.2.B8]. Návod: využijte toho, že pro 0 ≤ i ≤ n existuje v množině A
právě n
i i-prvkových podmnožin. Použijte binomickou větu.
66 III. Výsledky a návody k řešení
[1.2.B9]. a) X = {a, d} , X = {a, c, d} , b) neexistuje .
[1.2.B11]. A×B = {(1, 3), (1, 7), (2, 3), (2, 7), (3, 3), (3, 7)},
B×A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (7, 1), (7, 2), (7, 3)},
B×B = {(3, 3), (3, 7), (7, 3), (7, 7)},
B×2B
= {(3,∅), (3,{3}), (3,{7}), (3,B), (7,∅), (7,{3}), (7,{7}), (7,B)},
B×C = {(3, x) | x ∈ R} ∪ {(7, x) | x ∈ R} , což lze také zapsat ve tvaru
B×C = {(3, x), (7, x) | x ∈ R} .
§ 3 : ZÁKLADNÍ ČÍSELNÉ OBORY
[1.3.B1]. a)
5
7
b) −
3
4
c)
4
3
d) −
3
5
.
[1.3.B4]. a)
6 +
√
5
5
+
8 − 2
√
5
5
i b) −
48
25
i .
[1.3.B5]. a) vnitřek kruhu o středu S = [−2 , 3 ] a poloměru r = 3
b) přímka o rovnici y = x
c) osa úsečky A = [ −2 , 0 ] B = [ 0 , 1 ] , tj. přímka y = −2x − 3
2
d) kružnice o středu S = [ 0 , 0 ] a poloměru r = 2 .
[1.3.B6]. a) z =
3
2
− 2i b) z = 0 nebo z = 2 .
[1.3.B7]. Pro p = 0 : prázdná množina;
pro p = 1 : imaginární osa, tj. přímka o rovnici x = 0 ;
pro p > 0 ∧ p = 1 : kružnice o středu S = 1+p2
1−p2 , 0 a poloměru
r = 2p
1−p2 .
[1.3.B8]. Absolutní hodnota a argument komplexního čísla z jsou :
a) |z| = 2 , argz = 5
6 π b) |z| = 4 , argz = 5
3 π
c) |z| = 1 , arg z = α + π
2 d) |z| = 1
2 , arg z = α + β .
[1.3.B9]. a) −1
2 · (1 + i
√
3) b) −27 .
[1.3.B10]. Všechna n tvaru: n = 4k , pro libovolné k ≥ 0 celé.
III. Výsledky a návody k řešení 67
[1.3.B11]. a) sin 2α = 2 sin α · cos α , cos 2α = cos2
α − sin2
α
b) sin 3α = 3 sin α · cos2
α − sin3
α , cos3α = cos3
α − 3 sin2
α · cos α .
Návod: komplexní číslo (cos α + i sin α)2
, resp. (cos α + i sin α)3
se
rozepíše jednak podle Moivreovy věty a jednak podle binomické věty.
Porovnáním reálných a imaginárních části obou vyjádření pak dostaneme
požadované vzorce.
[1.3.B12]. a) ± i , ±
√
3
2 + i
2 , ±
√
3
2 − i
2
b) ±
√
3
2 + i
2 , ± 1
2 − i
√
3
2 .
[1.3.B13]. a) − 3
√
5 ,
3
√
5
2 (1 + i
√
3) ,
3
√
5
2 (1 − i
√
3)
b) ± (2 + 2i) , ± (2 − 2i) .
[1.3.B14]. Označíme-li n-tou odmocninu ze zadaného komplexního čísla
c symbolem z , pak je :
a) |z| = 2 , arg z = π
15 + k·2
5 π , kde k = 0, 1, 2, 3, 4
b) |z| =
√
2 , arg z = π
24 + 3
8 α + k·π
4 , kde k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
c) |z| = 2 3
√
2 , arg z = 7
36 π + k·π
3 , kde k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
d) |z| = 2 , arg z = 7
3 α + k·2
3 π , kde k = 0, 1, 2 .
[1.3.B15]. a) 1 , −1
2 + i
√
3
2 , −1
2 − i
√
3
2
b) 1 , i , −1 , −i
c) ± 1 , 1
2 ± i
√
3
2 , −1
2 ± i
√
3
2
d) ± 1 , ± i ,
√
2
2 ± i
√
2
2 , −
√
2
2 ± i
√
2
2
a nakreslení příslušných obrázků.
§ 4 : ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI CELÝCH ČÍSEL
[1.4.A2]. Neexistuje. [1.4.A4]. Neexistuje. [1.4.A7]. Neexistuje.
♣ ♣ ♣
[1.4.B1]. a) q = 0 , r = 0 , b) q = − 1 , r = 2 , c) q = − 4 , r = 3 ,
d) q = − 5 , r = 8 , e) q = n−1 , r = 2 , f) q = n2
−n , r = n−1 .
[1.4.B2]. Návod: při důkazu b) použijte výsledku získaného v a) .
[1.4.B3]. Zbytek může nabývat pouze hodnot : 0, 1, 4, 9.
68 III. Výsledky a návody k řešení
[1.4.B4]. a) ano , b) ne , c) ne , d) ano .
[1.4.B5]. a) 10 (neboť výpočtem dostaneme, že : 540
≡ 1 ( mod 13) ,
resp. 740
≡ 9 ( mod 13) )
b) 12 (neboť výpočtem postupně dostaneme, že : 250
≡ 4 ( mod 17) ,
resp. 350
≡ 9 ( mod 17) , resp. 450
≡ −1 ( mod 17) ).
[1.4.B6]. a) 07 (neboť výpočtem dostaneme, že : 79 9
≡ 7 ( mod 100) ,)
b) 36 (neboť výpočtem dostaneme, že : 1414 14
≡ 36 ( mod 100) ,)
[1.4.B8]. Návod: důkaz veďte sporem, tzn. předpokládejte , že :
(p − 1)! ≡ −1 ( mod p) ∧ p je složené číslo
tj. p = a·b , kde 1 < a, b < p . Vyjde, že a | 1 , což je spor.
[1.4.B9]. a) platí b) neplatí c) neplatí d) neplatí .
[1.3.B10]. a) neplatí b) platí .
[1.4.B12]. Návod: při důkazech bez použití matematické indukce:
a) použijte vzorec pro an
− bn
b) uvědomte si, že n3
− n = n·(n+1)·(n−1) je součinem tří po sobě
jdoucích celých čísel .
[1.4.B13]. Každé n ≥ 3 .
Návod: pro n ≥ 3 upravujte :
10n
+ 8 = 8 · (10n−3
· 125 + 1) = 8 · ( (10n−3
− 1)·125 + 126 )
a využijte toho, že 9 | 126 , resp. že 9 | (10n−3
− 1) , což vyplývá z předchozího
cvičení [ 1.4.B12 ] a) .
[1.4.B14]. Návod: a) v důkazu využijte toho, že lze psát :
122n+1
= 144·122n−1
= (11 + 133)·122n−1
.
b) v důkazu využijte toho, že pro n ≥ 4 lze psát :
2n
+ 1 = 2n
+ 8 − 7 = 8 · (2n−3
+ 1) − 7 .
V 1. kroku matematické indukce ověřujeme tvrzení pro n = 1, 2, 3 .
§ 5 : ZOBRAZENÍ
[1.5.A2]. b) neexistuje. [1.5.A5]. a) k = 2, 3, 4 , b) k ≥ 3 . Návod
k a) : využijte výsledku příkladu [ 1.1.B12 ] e) , tj. je-li A n – prvková
množina, kde n ≥ 5 , potom platí, že 2n
> n2
.
♣ ♣ ♣
III. Výsledky a návody k řešení 69
[1.5.B1]. Zadaný předpis f
a) neurčuje zobrazení b) určuje zobrazení c) neurčuje zobrazení.
[1.5.B2]. Po nakreslení obrázků dostanete:
a) celkem 8 zobrazení, z toho 6 surjektivních, žádné injektivní, žádné
bijektivní ,
b) celkem 9 zobrazení, z toho 6 injektivních, žádné surjektivní, žádné
bijektivní.
[1.5.B3]. a) AB
= {f} , přičemž zobrazení f je definováno:
f(x) = a , f(y) = a , f(z) = a ;
BA
= {f, g, h} , kde zobrazení f , resp. g ,resp. h jsou definována:
f(a) = x , resp. g(a) = y , resp. h(a) = z
b) AB
= {f, g, h, k} , přičemž tato zobrazení jsou definována:
f(x) = x , f(y) = x g(x) = y , g(y) = y
h(x) = x , h(y) = y k(x) = y , k(y) = x
BA
= AB
.
[1.5.B5]. Zadané zobrazení f :
a) je injektivní, není surjektivní, b) je injektivní, není surjektivní,
c) není injektivní, je surjektivní, d) je injektivní, je surjektivní.
[1.5.B6]. Zadané zobrazení f :
a) není injektivní, je surjektivní, b) je injektivní, je surjektivní,
c) není injektivní, není surjektivní, d) není injektivní, není surjektivní,
e) je injektivní, není surjektivní, f) není injektivní, je surjektivní.
[1.5.B7]. Zadané zobrazení f :
a) není injektivní, není surjektivní, b) je injektivní, není surjektivní,
c) není injektivní, není surjektivní, d) je injektivní, je surjektivní,
e) je injektivní, je surjektivní, f) není injektivní, je surjektivní.
[1.5.B8]. a) pro s = n žádné bijektivní zobrazení, resp. pro s = n
celkem n! bijektivních zobrazení,
b) pro s < n žádné injektivní zobrazení, resp. pro s ≥ n celkem
s!
(s − n)!
injektivních zobrazení.
[1.5.B9]. Návod: a) při důkazu ” =⇒ ” zkonstruujeme hledané zobrazení
g : B → A např. takto: jestliže prvek b ∈ B má při zobrazení f vzor
(uvědomte si, že musí být jediný), pak tento vzor označíme symbolem b∗
.
70 III. Výsledky a návody k řešení
Dále, nechť a0 značí libovolný pevný prvek z A . Zobrazení g : B → A
pak definujeme :
g(b) =
b∗
má-li prvek b při zobrazení f vzor
a0 nemá-li prvek b při zobrazení f vzor
Při důkazu ” =⇒ ” v b) postupujeme obdobně, tzn. pro každé b ∈ B
označíme symbolem b∗
jeden (pevný) vzor prvku b při zobrazení f . Pak
zobrazení h : B → A definujeme :
h(b) = b∗
, pro každé b ∈ B .
[1.5.B12]. (f ◦ g)(x) = 6x + 1 , (g ◦ f)(x) = 6x − 19
3 ,
(f ◦ g)−1
(x) = (g−1
◦ f−1
)(x) = 1
6 (x − 1) , f−1
(x) = 1
3 (x + 4) ,
(g ◦ f)−1
(x) = (f−1
◦ g−1
)(x) = 1
18 (3x + 19) , g−1
(x) = 1
6 (3x − 5) .
[1.5.B14]. Návod: při b) ukažte, že z podmínky zadání plyne:
f(f(f(−x))) = f(f(−f(x)))
a použijte dvakrát injektivnost zobrazení f .
Při c) dokazujte nejprve ”⇐=” (s využitím b) ), a pak ”=⇒” (s využitím
již dokázaných vlastností, že : f(0) = 0 a f je injektivní).
§ 6 : RELACE
[1.6.A1]. a) 224
, b) 1 , c) 29
, d) 281
. [1.6.A7]. Neexistuje.
♣ ♣ ♣
[1.6.B2]. a) relaci ̺ zapíšeme např. takto :
̺ = {(x, y) | (x = 3 ∧ y ∈ N libovolné ) ∨ (x ≥ 50, sudé ∧ y liché )}.
Při b), c), d) postupujeme podobně.
[1.6.B3]. Relace σ ◦ ̺ a ̺ ◦ σ jsou tvaru :
σ ◦ ̺ = {(x, y) | y = −3x2
−1 ∨ y = 9x4
+6x2
−2 , pro ∀ x ∈ Z } ,
̺ ◦ σ = {(a, b) | b = 3a2
+1 ∨ b = 3a4
−18a2
+28 , pro ∀ a ∈ N } .
[1.6.B6]. a) celkem 16 relací , b) celkem 13 relací,
c) 3 relace : {(a, b), (b, a)} , {(a, b), (b, a), (a, a)} , {(a, b), (b, a), (b, b)} .
d) všechny relace z c) a navíc relace {(a, b), (b, a), (a, a), (b, b)} .
III. Výsledky a návody k řešení 71
[1.6.B7]. Daných relací je celkem :
a) 2n(n−1)
, b) 2
n(n+1)
2 , c) 2n
· 3
n(n−1)
2 ,
d) 3
n(n−1)
2 , e) 2
n(n−1)
2 , f) 3
n(n−1)
2 .
[1.6.B8]. Relace ̺ je :
a) symetrická, tranzitivní
b) symetrická
c) reflexivní, antisymetrická
[1.6.B9]. Relace ̺ je :
a) antisymetrická
b) reflexivní, symetrická, tranzitivní
c) antisymetrická, tranzitivní
[1.6.B10]. Relace ̺ je :
a) symetrická ,
b) symetrická, resp. je-li A jednoprvková, pak je též antisymetrická a
tranzitivní ,
c) antisymetrická, tranzitivní, resp. je-li A jednoprvková, pak je též
reflexivní a úplná ,
[1.6.B11]. Relace ̺4 neexistuje .
§ 7 : USPOŘÁDANÉ MNOŽINY
[1.7.A3]. Neexistuje. [1.7.A7]. Neexistuje.
♣ ♣ ♣
[1.7.B1]. Hasseovský diagram uspořádané množiny (M, ̺) je tvaru:
a)
  b)
 [1.7.B2]. Relace ̺ je zadána takto :
a) ̺ = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (b, a), (b, d), (c, a), (c, d), (a, d)} ,
b) ̺ = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d)} ,
c) ̺ = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (b, d), (c, d)} ,
d) ̺ = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (c, a), (c, d), (c, b), (a, d), (a, b), (d, b)} .
72 III. Výsledky a návody k řešení
[1.7.B3]. Na dané množině M lze definovat:
a) 3 relace uspořádání, hasseovské diagramy jsou tvaru :
a)      
b) 19 relací uspořádání, hasseovské diagramy jsou tvaru:
           
           
           
 
Poznámka: uvědomte si, že se ve všech případech jedná o různé relace
uspořádání na množině M , a tedy o různé uspořádané množiny, i když
některé z uvedených hasseovských diagramů vypadají na první pohled
”stejně” .
[1.7.B4]. Hasseovský diagram uspořádané množiny (2A
, ⊆) je tvaru
(doplňte si v jednotlivých diagramech sami popis prvků množiny 2A
) :
a)   b)
 
c)
  d)
 ¡
III. Výsledky a návody k řešení 73
[1.7.B5]. Hasseovský diagram uspořádané množiny (M, ̺) je tvaru :
 ¡¢£[1.7.B6]. Pro množinu s relací (N, ̺) platí :
a) je uspořádaná množina, není lineárně uspořádaná množina, není
svaz ,
b) není uspořádaná množina ,
c) není uspořádaná množina ,
d) je lineárně uspořádaná množina, je svaz, není úplný svaz.
Hasseovské diagramy u uspořádaných množin je možno schematicky
znázornit takto :
a)
 ¡¢£ d)  
¡
[1.7.B7]. Pro množinu s relací (Z, ̺) platí :
a) není uspořádaná množina ,
b) je lineárně uspořádaná množina, je svaz, není úplný svaz,
c) není uspořádaná množina ,
d) je uspořádaná množina, není lineárně uspořádaná množina, není
svaz .
Hasseovské diagramy u uspořádaných množin je možno schematicky
znázornit takto :
74 III. Výsledky a návody k řešení
b)
 
¡
d)
 ¡¢£¤¥[1.7.B8]. Hasseovský diagram uspořádané množiny (M, ̺) je tvaru :
 ¡¢£¤¥[1.7.B9]. Hasseovský diagram uspořádané množiny (R, ̺) je možno
schematicky načrtnout takto :
 ¡¢£¤¥[1.7.B11]. a) pro uspořádané množiny ze cvičení [ 1.7.B2 ] platí :
[ 1.7.B2 ] a) : nejmenší prvek nemá, minimálními prvky jsou b, c ,
největším a zároveň jediným maximálním prvkem je d ,
[ 1.7.B2 ] b) : nejmenší ani největší prvek nemá, minimálními a zároveň
maximálními prvky jsou a, b, c, d ,
III. Výsledky a návody k řešení 75
[ 1.7.B2 ] c) : největší ani nejmenší prvek nemá, minimálními prvky
jsou a, b, c , maximálními prvky jsou a, d ,
[ 1.7.B2 ] d) : nejmenším a zároveň jediným minimálním prvkem je c ,
největším a zároveň jediným maximálním prvkem je b ;
b) pro uspořádané množiny ze cvičení [ 1.7.B6 ] platí :
[ 1.7.B6 ] a) : nemá nejmenší prvek, minimálními prvky jsou všechna
přirozená čísla různá od 4, největším a jediným maximálním prvkem
je číslo 4 ,
[ 1.7.B6 ] d) : nemá největší ani maximální prvek ; nejmenším a zároveň
jediným minimálním prvkem je číslo 1 ;
c) pro uspořádané množiny ze cvičení [ 1.7.B7 ] platí :
[ 1.7.B7 ] b) : nemá minimální, maximální, nejmenší ani největší
prvek ,
[ 1.7.B7 ] d) : nemá nejmenší ani největší prvek, minimálními prvky
jsou všechna lichá celá čísla a maximálními prvky jsou rovněž všechna
lichá celá čísla.
d) uspořádaná množina ze cvičení [ 1.7.B8 ] nemá největší prvek, maximálními
prvky jsou f4 a f8 , nejmenším a zároveň jediným minimálním
prvkem je f1 .
[1.7.B12]. Návod : důkazy veďte sporem .
[1.7.B13]. b) neplatí .
[1.7.B14]. b) hasseovský diagram uspořádané množiny (M, ̺) je tvaru :
 ¡¢£[1.7.B15]. Hasseovské diagramy uspořádaných množin z c) a d) jsou
tvaru : (při c) si sami doplňte popis jednotlivých prvků)
76 III. Výsledky a návody k řešení
c)
 ¡ d)  
¡
§ 8 : EKVIVALENCE A ROZKLADY
[1.8.A1]. Jediná relace, a to relace rovnosti. [1.8.A4]. Neexistuje.
[1.8.A7]. b) neexistuje. [1.8.A8]. Pro m = 1, 2, 7, 14.
♣ ♣ ♣
[1.8.B1]. Relace ̺ na množině M :
a) není ekvivalencí
b) je ekvivalencí, přičemž rozklad M/̺ = { {a, b, d}, {c} }.
[1.8.B2]. Na množině M lze utvořit celkem :
a) 2 rozklady
b) 5 rozkladů
c) 15 rozkladů .
[1.8.B3]. Tabulka relace ∼R je tvaru :
a)
u v x y z
u 1 0 0 0 0
v 0 1 0 1 0
x 0 0 1 0 0
y 0 1 0 1 0
z 0 0 0 0 1
b)
u v x y z
u 1 0 0 1 0
v 0 1 1 0 1
x 0 1 1 0 1
y 1 0 0 1 0
z 0 1 1 0 1
[1.8.B4]. b) Rozklad M/̺ (tj. rozklad na množině M , příslušný ekvivalenci
̺ ) je tvaru :
{ {1, 10}, {2, 11, 20}, {3, 12}, {4, 13}, {5, 14}, . . ., {8, 17}, {9, 18}, {19} }.
III. Výsledky a návody k řešení 77
[1.8.B5]. Daná relace ̺ :
a) není ekvivalencí, b) je ekvivalencí
c) není ekvivalencí, d) je ekvivalencí.
[1.8.B6]. Rozklad Z/̺ (tj. rozklad na množině Z , příslušný ekvivalenci
̺ ) je tvaru :
a) Z/̺ = Z4 , tj. množina zbytkových tříd podle modulu 4 ,
b) Z/̺ = {C0 , C1 ∪ C6 , C2 ∪ C5 , C3 ∪ C4} , kde Ci ∈ Z7 ,
c) Z/̺ = { {−1+k , −1−k} | k ≥ 0 celé } ,
d) Z/̺ = {S, L} , kde S , resp. L značí množinu všech sudých, resp.
všech lichých celých čísel .
[1.8.B7]. Rozklad R × R /̺ lze nakreslit takto :
a) všechny přímky rovnoběžné s osou y ,
b) navzájem rovnoběžné přímky tvaru y = 2x + k , pro ∀ k ∈ R ,
c) počátek a všechny kružnice se středem v počátku ,
d) bod S[−1
2 , −1
2 ] a všechny kružnice se středem v bodě S .
[1.8.B8]. Zadaný systém podmnožin M :
a) je rozkladem na R , přičemž relace ∼M je definována:
x ∼M y ⇐⇒ [ x ] = [ y ] ,
kde [ x ] , resp. [ y ] značí celou část čísla x , resp. y ,
b) není rozkladem na R ,
c) je rozkladem na R , přičemž relace ∼M je definována:
x ∼M y ⇐⇒ (x = y = 0) ∨ (x, y > 0) ∨ (x, y < 0) ,
d) je rozkladem na R , přičemž platí : ∼M = R × R .
[1.8.B14]. Rozklad (na množině A ) příslušný zobrazení f je tvaru :
a) M = { {a, c, d}, {b, e} },
b) M = { k , k+1) | k ∈ Z } ,
c) M = { −k+1 , −k+2) ∪ k−1 , k) | k ∈ N } ,
d) M = { {∅} , {X ⊆ N | X = ∅ konečná} , {X ⊆ N | X nekonečná} } .
[1.8.B15]. b) např. R = { {x} | x ∈ M} ,
78 III. Výsledky a návody k řešení
KAPITOLA 2:
ZÁKLADNÍ ALGEBRAICKÉ STRUKTURY
§ 1 : ALGEBRAICKÉ STRUKTURY S JEDNOU OPERACÍ
[2.1.A1]. Celkem 39
= 19.683 různými způsoby. [2.1.A6]. Neexistuje.
[2.1.A9]. Neexistuje.
♣ ♣ ♣
[2.1.B1]. a) ne b) ano c) ne d) ne .
[2.1.B2]. a) není komutativní, je asociativní, nemá neutrální prvek
b) je komutativní, není asociativní, prvek b je neutrálním prvkem.
[2.1.B3]. a) není komutativní, je asociativní, nemá neutrální prvek,
b) je komutativní, není asociativní, neutrálním prvkem je 0 ,
c) je komutativní, není asociativní, nemá neutrální prvek,
d) je komutativní, není asociativní, nemá neutrální prvek.
[2.1.B4]. a) celkem 5 součinů tvaru :
a·(b·(c·d )) , a·((b·c)·d ) , (a·b)·(c·d ) , (a·(b·c))·d , ((a·b)·c)·d .
[2.1.B6]. a) neutrální prvek je 0; inverzním prvkem k 0 (resp. -2) je 0
(resp. -2), k ostatním prvkům inverzní prvky neexistují,
b) neutrální prvek je 3; inverzním prvkem k 3 je 3, resp. k libovolnému
číslu x = 3 jsou inverzními prvky všechna celá čísla s výjimkou 3.
[2.1.B7]. a) e = 0 ; resp. 0−1
= 0 , 2−1
= 2 ,
b) e = 0 ; resp. pro a = 1 je a−1
=
a
a − 1
,
c) e = C1 ; resp. C−1
1 = C1 , C−1
5 = C5 ,
d) e = C1 ; resp. C−1
1 = C1 , C−1
2 = C4 , C−1
3 = C5 , C−1
4 = C2 ,
C−1
5 = C3 , C−1
6 = C6 .
[2.1.B8]. Zákony o dělení , resp. zákony o krácení :
a) platí , resp. platí , b) neplatí , resp. neplatí ,
c) neplatí , resp. platí , d) neplatí , resp. neplatí .
[2.1.B9]. a) tabulka operace je symetrická podle hlavní diagonály,
b) v tabulce existuje řádek, v němž se opakuje vodorovné záhlaví a
sloupec, v němž se opakuje svislé záhlaví ,
III. Výsledky a návody k řešení 79
c) v každém řádku a sloupci tabulky se vystřídají všechny prvky ,
d) totéž jako v c) .
[2.1.B10]. a) 35
= 243 způsobů, b) 9 způsobů, c) 9 způsobů,
d) 1 způsob ( Návod : v tomto případě, po doplnění tabulky plynoucím
z komutativity, vyšetřujte nejprve součiny z · (x · x) a (z · x) · x . ) ,
e) 1 způsob, f) žádný způsob .
[2.1.B11]. a) ano , b) ne , c) ne , d) ano.
[2.1.B12]. a) tabulka operace + má tvar :
+ (C0, C0) (C0, C1) (C1, C0) (C1, C1)
(C0, C0) (C0, C0) (C0, C1) (C1, C0) (C1, C1)
(C0, C1) (C0, C1) (C0, C0) (C1, C1) (C1, C0)
(C1, C0) (C1, C0) (C1, C1) (C0, C0) (C0, C1)
(C1, C1) (C1, C1) (C1, C0) (C0, C1) (C0, C0)
[2.1.B13]. Daná pologrupa (G, ◦)
a) je komutativní grupou, b) není grupou,
c) není grupou, d) je nekomutativní grupou.
[2.1.B15]. (G, ∗) je grupa.
§ 2 : PODSTRUKTURY ALGEBRAICKÝCH STRUKTUR
S JEDNOU OPERACÍ
[2.2.A1]. b) neexistuje. [2.2.A2]. Neexistuje. [2.2.A7]. b) neexistují.
[2.2.A8]. a) neexistuje.
♣ ♣ ♣
[2.2.B1]. a) ano , b) ne , c) ne .
[2.2.B2]. Platí, že (H, ·) :
a) je podgrupoid
b) není podgrupoid
c) je podgrupa
d) je podgrupa .
80 III. Výsledky a návody k řešení
[2.2.B3]. V grupoidu (G, ·) existuje celkem :
6 podgrupoidů, a to :
(G, ·) , ({a, b, c}, ·) , ({a, d}, ·) , ({b, c}, ·) , ({a}, ·) , ({b}, ·) ,
4 podpologrupy, a to : ({a, d}, ·) , ({b, c}, ·), ({a}, ·) , ({b}, ·) ,
3 podgrupy, a to : ({b, c}, ·) , ({a}, ·) , ({b}, ·) ,
[2.2.B5]. Návod : a) v (N, +) uvažte dva libovolné podgrupoidy
(H1, +) , (H2, +) a dva pevné prvky x ∈ H1 , y ∈ H2 . Vyšetřujte pak
prvek x · y . Jednou jej vyjádřete jako součet (y + y + · · · + y) (celkem
x – krát) a podruhé jako součet (x + x + · · · + x) (celkem y – krát) ,
b) například pro libovolné prvočíslo p označte
Hp = {p α
| α ∈ N}
a vyšetřujte pak podgrupoidy (Hp, · ) pro všechna prvočísla p .
[2.2.B7]. a) ano , b) ne , c) ano , d) ano.
[2.2.B8]. Platí, že (H, ◦)
a) je komutativní podgrupa
b) je komutativní podgrupa
c) je nekomutativní podgrupa
d) není podgrupa.
[2.2.B11]. Návod: při b) uvažujte např. nekomutativní grupu všech
bijektivních zobrazení N → N s operací skládání zobrazení.
[2.2.B12]. Návod: při b) uvažujte např. nekomutativní grupu všech
bijektivních zobrazení N → N s operací skládání zobrazení.
[2.2.B13]. Návod: při důkazu ” =⇒ ” rozlište případy H = {C0} a
H = {C0} . Ve druhém případě lze zřejmě množinu H zapsat ve tvaru :
H = {Ci1 , Ci2 , . . . , Cis } , kde 0 = i1 < i2 < · · · < is .
Pak položte : i2 = k a dokazujte, že : k | m ∧ H = Hk .
Při důkazu ” ⇐= ” postupujte běžným způsobem, tzn. využijte např.
Větu 2.3., část 2, kapitoly II.
[2.2.B14]. a) 2 podgrupy : (Z3, +) , ({C0}, +) ,
b) 4 podgrupy :
(Z8, +) , ({C0, C2, C4, C6}, +) , ({C0, C4}, +) , ({C0}, +) ,
III. Výsledky a návody k řešení 81
c) 6 podgrup :
(Z12, +) , ({C0, C2, C4, C6, C8, C10}, +) , ({C0, C3, C6, C9}, +) ,
({C0, C4, C8}, +) , ({C0, C6}, +) , ({C0}, +) ,
d) 4 podgrupy :
(Z21, +) , ({C0, C3, C6, C9, C12, C15, C18}, +) , ({C0, C7, C14}, +) ,
({C0}, +) .
Hasseovský diagram uspořádané množiny (H, ⊆) je tvaru (doplňte si
označení jednotlivých prvků !) :
a)
 
b)
 
¡
c)
 ¡ d)
 [2.2.B15]. a) 3 podgrupy : (Z5 − {C0}, ·) , ({C1, C4}, ·) , ({C1}, ·) ,
b) 4 podgrupy: (Z7−{C0}, ·), ({C1, C2, C4}, ·), ({C1, C6}, ·), ({C1}, ·).
Hasseovský diagram uspořádané množiny (P, ⊆) je tvaru (doplňte si
označení jednotlivých prvků !) :
a)
 
b)
 § 3 : HOMOMORFIZMY ALGEBRAICKÝCH STRUKTUR
S JEDNOU OPERACÍ
[2.3.A4]. a) ne, b) ne. [2.3.A5]. a) ne, b) ano. [2.3.A7]. Neexistuje.
[2.3.A9]. Neexistuje.
♣ ♣ ♣
[2.3.B1]. a) ϕ je homomorfizmus, b) ϕ není homomorfizmus,
c) ϕ je homomorfizmus (viz příklad [1.2.B1 d] ) .
82 III. Výsledky a návody k řešení
[2.3.B2]. a) ϕ je homomorfizmus, je vnoření, není izomorfizmus,
b) ϕ není homomorfizmus, c) ϕ je homomorfizmus, není vnoření .
[2.3.B3]. a) ϕ je homomorfizmus, je vnoření, je izomorfizmus,
b) ϕ není homomorfizmus, c) ϕ není homomorfizmus.
[2.3.B4]. a) ϕ je homomorfizmus, je vnoření, je izomorfizmus,
b) ϕ je homomorfizmus, není vnoření , c) ϕ není homomorfizmus.
[2.3.B5]. a) ϕ je homomorfizmus, b) ϕ není homomorfizmus.
[2.3.B6]. Ker ϕ = 4·Z = {4k | k ∈ Z} , Im ϕ = {1 , i , −1 , −i }.
[2.3.B7]. a) ϕ není homomorfizmus,
b) ϕ je homomorfizmus, Ker ϕ = {b·i | b ∈ R} , Im ϕ = R .
[2.3.B8]. b) ϕ je izomorfizmus c) Ker ϕ = {0} , Im ϕ = R+
.
[2.3.B9]. Jádro sestává ze všech čísel, která leží na jednotkové kružnici,
tzn. Ker ϕ = {z ∈ C | |z| = 1} a obraz Im ϕ = R+
.
[2.3.B10]. 2. a) Ker ϕ = 6·Z ,
b) Ker ϕ = 3·Z ,
c) Ker ϕ = 2·Z ,
d) Ker ϕ = m
d ·Z , kde d je největší společný dělitel čísel m, p .
[2.3.B11]. Ker ϕ = { C0 , C4 , C8 } , Im ϕ = Z4 .
[2.3.B12]. Například zobrazení ϕ : R −→ R+
, definované: ϕ(x) = ex
je izomorfizmus.
Druhá část se dokáže sporem. Je-li ϕ : Q −→ Q+
izomorfizmus, pak
existuje a ∈ Q tak, že ϕ(a) = 2, odkud úpravou dostaneme
2 = ϕ(a) = ϕ(a
2 + a
2 ) = ϕ(a
2 ) · ϕ(a
2 ) = ϕ(a
2 )
2
=⇒
√
2 = ϕ(a
2 ) ∈ Q ,
což je spor.
[2.3.B13]. a) stačí si všimnout toho, že jedna grupa je komutativní a
druhá nekomutativní
b) při libovolném homomorfizmu ϕ se prvky (C2, C0) a (C0, C0) vždy
zobrazí na (C0, C0, C0) , (sami podrobně rozepište). Zobrazení ϕ pak
není injektivní a nemůže se tedy jednat o izomorfizmus.
[2.3.B14]. a) například grupa (R+
, ·) , b) například grupa (Q+
, ·) .
III. Výsledky a návody k řešení 83
§ 4 : ALGEBRAICKÉ STRUKTURY SE DVĚMA OPERACEMI
[2.4.A3]. Neexistuje. [2.4.A4]. Neexistuje. [2.4.A6]. Neexistuje.
♣ ♣ ♣
[2.4.B1]. a) ano , b) ne , c) ano , d) ano.
[2.4.B2]. Platí, že (M, ⊕, ◦)
a) je okruh , b) není okruh , c) je obor integrity ,
d) není okruh , e) je těleso , f) není okruh.
[2.4.B4]. Návod: rozepsáním se ukáže, že v obou případech dostaneme
komutativní okruh s jedničkou (1, 0) , přičemž nulou je (0, 0) .
Při hledání dělitelů nuly si uvědomte, že je-li
(a, b) = (0, 0) ∧ (a, b) · (x, y) = (0, 0) ,
pak pro a, b ∈ Q je vždy 2b2
− a2
= 0 (proč?) , kdežto pro a, b ∈ R může
být 2b2
− a2
= 0 . Toho pak využijte při výpočtu (x, y) .
[2.4.B8]. b) děliteli nuly v okruhu (M, ⊕, ◦) jsou všechny nenulové
prvky tohoto okruhu,
[2.4.B9]. Návod : dokazujte nejprve implikaci ” (i) =⇒ (ii) ” , potom
implikaci , ” (ii) =⇒ (iii) ” a nakonec implikaci ” (iii) =⇒ (i) ” .
Přitom důkaz ” (ii) =⇒ (iii) ” veďte sporem, resp.
při důkazu ” (iii) =⇒ (i) ” využijte toho, že pokud jsou čísla i, m nesoudělná,
pak existují čísla u, v ∈ Z tak, že i · u + m · v = 1 . Je-li
j ≡ u( mod m) ∧ 0 ≤ j < m , dostanete pak, že : Cj = C−1
i .
[2.4.B10]. Inverzní prvek existuje k těmto prvkům :
a) C1 , C2 , C4 , C5 , C7 , C8 , b) C1 , C3 , C7 , C9
c) ke všem nenulovým prvkům , d) C1 , C5 , C7 , C11 .
[2.4.B13]. Návod : vyjděte z předpokladu, že (T, +, ·) je číselné těleso
takové, že R ⊂ T ⊆ C a dokazujte, že pak T = C . Přitom nejprve
ukažte, že číslo i ∈ T .
[2.4.B14].a) ano , b) ne , c) ne (uvědomte si, že zde je T ⊂ Q ) ,
d) ne , e) ne , f) ano , .
[2.4.B15].a) ne , b) ano , c) ne , d) ne , e) ne , f) ano .
84
LITERATURA
Sbírky příkladů
[ 1 ] HORÁK, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. Skriptum
MU, Brno, 2006.
[ 2 ] KLÍMA, O.: Sbírka příkladů ke cvičení ze Základů matematiky.
Učební text MU, Brno, 2011.
Dostupné na:
http://www.math.muni.cz/∼klima/ZakladyM/sbirka.html
[ 3 ] VELEBIL, J.: Diskrétní matematika, sbírka řešených příkladů.
Učební text ČVUT, Praha, 2007.
Dostupné na:
ftp://math.feld.cvut.cz/pub/velebil/y01dma/dma-sbirka.pdf
Závěrečné práce studentů MU
[ 4 ] HEJSEK, M.: Základy matematiky, sbírka příkladů. Bakalářská
práce, PřF MU, 2007.
Dostupné na:
http://is.muni.cz/th/106473/prif b/bc.pdf
[ 5 ] R˚UŽIČKA, J.: Teorie čísel, sbírka příkladů. Diplomová práce, PřF
MU, 2006.
Dostupné na:
http://is.muni.cz/th/42653/fi m/DIPLOMKA.pdf
85
O B S A H
Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
I . Řešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II . Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
Kapitola 1: Opakování a doplnění středoškolské látky . . . . . . . . . . 18
§1: Základní logické pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§2: Základní množinové pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
§3: Základní číselné obory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
§4: Základní vlastnosti celých čísel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
§5: Zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
§6: Relace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
§7: Uspořádané množiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
§8: Ekvivalence a rozklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Kapitola 2: Základní algebraické struktury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
§1: Algebraické struktury s jednou operací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
§2: Podstruktury algebraických struktur s jednou operací . . . . . . 52
§3: Homomorfizmy algebraických struktur s jednou operací . . . . .56
§4: Algebraické struktury se dvěma operacemi . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
III . Výsledky a návody k řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84