Matematická analýza 1
Čtvrté cvičení – Derivace funkce
24. 10. 2024
Příklad 1: Vypočtěte derivace následujících funkcí
a) f(x) = 6x2
+ sin x
b) f(x) = x 3
√
x + cos x
c) f(x) = 5x6−6x5+7
x2
d) f(x) = x3
ln x
e) f(x) = x2
ex
− arctg x
f) f(x) = x2
· sin x · cotg x
g) f(x) = 1−x2
1+x2
h) f(x) = ex+1
ex−1
i) f(x) = sin x−x cos x
cos x+x sin x
j) f(x) = ln x2+1
x
k) f(x) = sin3
x2
l) f(x) = ln
󰁴
x−2
x+2
m) f(x) = 4arctg 1−x
x
n) f(x) = ln
󰁴
1−sin x
1+sin x
o) f(x) = ln arctg
√
1 + x2
p) f(x) = ln4
cos3
2x2
Příklad 2: Vypočtěte druhou derivaci funkcí
a) y = x5
+ 4x3
+ 2x2
, b) y = x3
+ 1
x3 ,
c) y = xe−x
, d) y = x3
x2−1
.
Příklad 3: Uvažte funkci π(Q) = QP(Q) − cQ, kde P je diferencovatelná funkce a c ∈ R. Vypočtěte dπ
dQ
.
Příklad 4: Uvažme tzv. nákladovou funkci
C(x) = 8
4
√
x3 + 300,
která vyjadřuje náklady na produkci x výrobků ve stovkách korun. Spočtěte derivaci C′
(x) a interpretujte
tento výsledek.
Příklad 5: Velikost populace P jistého druhu v desítkách kusů za x let od dnešního dne se dá popsat
výrazem
P(x) = 5x − 0,4x2
(0 ≤ x ≤ 8). Vypočtěte P(3), P′
(3) a P′′
(3) a interpretujte tyto výsledky.