Matematická analýza 1
Program osmého cvičení
14.11.2024
Příklad 1: Nádrž má tvar rotačního kužele s poloměrem podstavy 2 m a výškou 4 m. Do nádrže
přitéká voda rychlostí 2 m3
/min. Určete, jak rychle roste výška hladiny, když je hloubka vody 3 m.
Příklad 2: Jednoduchý makroekonomický model bez veřejných výdajů a zahraničního obchodu je
dán vztahy
Y = C + I
C = a + bY, a, b ∈ R
kde Y je národní důchod, C spotřeba a I investice. Jak musíme zvýšit investice, abychom dostali
předem dané zvýšení národního důchodu?
Příklad 3: Auto A cestuje rychlostí 90 km/h na západ. Auto B cestuje rychlostí 100km/h na
sever. Obě míří ke křižovatce obou cest. Jakou rychlostí se k sobě přibližují, když auto A je 60 m od
křižovatky a auto B je 80 m od křižovatky.
Příklad 4: Určete intervaly monotonie a lokální extrémy funkce
a) y = 3x5
− 5x3
+ 3,
b) y = xe
1
x ,
c) y = 3
√
x(x + 4).
Příklad 5: Určete absolutní extrémy funkce
a) f(x) = x − x3
, x ∈ [0, 1],
b) f(x) = x
1+x
, x ∈ [0, 1].
Příklad 6: Do koule vepište válec o co největším objemu.
Příklad 7: Farma může prodat 20 beden úrody týdně při ceně 400 Kč. Majitel odhaduje, že při
snížení ceny o 10 Kč prodá o dvě bedny více. Výrobní náklady jsou 200 Kč na jednu bednu. Jaká je
optimální cena bedny úrody pro maximalizaci zisku a jak velký tento zisk bude?
Příklad 8: Chceme se dostat na protější břeh (přímo naproti) kruhového jezera s poloměrem 3
km. Přičemž můžeme jít pěšky rychlostí 6 km/h nebo veslovat ve člunu rychlostí 3 km/h. Jak máme
postupovat, když chceme dorazit na místo v nejkratším čase?
Příklad 9: Pro ryby plovoucí relativní rychlostí v vůči plynoucí vodě je výdaj energie E za jednotku
času přímo úměrný v3
. Předpokládá se, že se ryby snaží minimalizovat energii potřebnou k překonání
dané vzdálenosti. Určete rychlost v, která minimalizuje hodnotu E(v) pro ryby, jež plavou proti
proudu o rychlosti u do vzdálenosti L.