Metrické prostory
Zobecnění pojmu vzdálenost
Petr Liška
Masarykova univerzita
20.09.2024
Petr Liška (Masarykova univerzita) Metrické prostory 20.09.2024 1 / 7
Metrický prostor
Definice
Množinu P ∕= ∅ a zobrazení 󰂄: P × P → R+ splňující pro všechna x, y,
z ∈ P
1. 󰂄(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y
2. 󰂄(x, y) = 󰂄(y, x)
3. 󰂄(x, y) + 󰂄(y, z) ≥ 󰂄(x, z)
se nazývá metrický prostor. Zobrazení 󰂄 se nazývá metrika, 󰂄(x, y) je
pak vzdálenost bodů x, y v prostoru (P, 󰂄).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Metrické prostory 20.09.2024 2 / 7
Definice
Nechť (P, 󰂄) je metrický prostor. Pro A, B ∈ P, A, B ∕= ∅ definujeme
vzdálenost množin A a B
󰂄(A, B) = inf {󰂄(x, y), x ∈ A, y ∈ B}
a průměr množiny A
d(A) = sup {󰂄(x, y), x, y ∈ A}
Jestliže množina d(A) není shora ohraničená, klademe d(A) = ∞.
Je-li d(A) < ∞ množina se nazývá ohraničená (omezená).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Metrické prostory 20.09.2024 3 / 7
Konvergence a ekvivalence
Definice
Nechť {xn}∞
1 je posloupnost bodů v (P, 󰂄). Řekneme, že posloupnost
konverguje k bodu x0 (xn → x0), jestliže
󰂄(xn, x0) → 0 pro n → ∞.
Řekneme, že posloupost je cauchyovská, jestliže
󰂄(xm, xn) → 0 pro min{m, n} → ∞.
Definice
Nechť 󰂄1, 󰂄2 jsou metriky na P. Řekneme, že metriky jsou ekvivalentní,
jestliže pro libovolnou posloupnost {xn}∞
n=1 platí
xn
󰂄1
−→ x0 ⇐⇒ xn
󰂄2
−→ x0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Metrické prostory 20.09.2024 4 / 7
Věta (Někdy také definice)
Metriky 󰂄1, 󰂄2 na P jsou ekvivalentní, jestliže existují čísla m, M > 0
taková, že
m · 󰂄1(X, Y ) ≤ 󰂄2(X, Y ) ≤ M · 󰂄1(X, Y ) ∀X, Y ∈ P.
Věta
Je-li P konečnědimenzionální vektorový prostor, pak všechny metriky na
tomto prostoru jsou ekvivalentní.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Metrické prostory 20.09.2024 5 / 7
Uzavřené a otevřené množiny
Definice
Nechť A ⊆ P. Množina A = {x ∈ P : 󰂄(x, A) = 0} se nazývá uzávěr
množiny A. Množina A se nazývá uzavřená, pokud A = A.
Věta
Nechť A ⊆ P. Množina A je uzavřená, právě když pro každou konvergentní
posloupnost prvků xn ∈ A, xn → x0 platí x0 ∈ A.
Definice
Nechť a ∈ P a ε > 0. Množinu Oε(a) = {x ∈ P : 󰂄(x, a) < ε} nazýváme
(epsilonovým) okolím bodu a.
Definice
Množina A ⊆ P se nazývá otevřená, jestliže pro každé a ∈ A existuje
O(a) takové, že O(a) ⊂ A.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Metrické prostory 20.09.2024 6 / 7
Speciální body
Definice
Nechť A ⊆ P, a ∈ P. Bod a se nazývá:
i) Vnitřním bodem množiny A, jestliže existuje O(a) takové, že
O(a) ⊂ A. Množina všech vnitřních bodů se nazývá vnitřek a značí
se Ao.
ii) Hraničním bodem množiny A, jestliže pro každé okolí O(a) platí
O(a) ∩ A ∕= ∅ ∧ O(a) ∩ (P \ A) ∕= ∅.
Množina všech hraničních bodů se nazývá hranice a značí se h(A).
iii) Hromadným bodem množiny A, jestliže každé okolí O(a) obsahuje
nekonečně mnoho bodů množiny A.
iv) Izolovaným bodem množiny A, jestliže existuje okolí O(a) takové,
že O(a) ∩ A = {a}.
Množina je otevřená právě tehdy, když A = Ao. Množina je uzavřená
právě tehdy, když obsahuje svoji hranici.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Metrické prostory 20.09.2024 7 / 7