Banachova věta
Jeden z vrcholů našeho snažení
Petr Liška
Masarykova univerzita
04.10.2024
Petr Liška (Masarykova univerzita) Banachova věta 04.10.2024 1 / 6
Úplný metrický prostor
Definice
Metrický prostor (P, 󰂄) se nazývá úplný, jestliže v něm každá cauchyovská
posloupnost má limitu, tj. každá cauchyovská posloupnost je kon-
vergentní.
Věta
Nechť (P, 󰂄) je úplný metrický prostor a A ⊆ P je uzavřená množina.
Pak A s metrikou, která je indukovaná metrikou 󰂄, je úplný metrický
prostor.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Banachova věta 04.10.2024 2 / 6
Kompaktní prostor a množina
Definice
Metrický prostor (P, 󰂄) se nazývá kompaktní, jestliže z každé posloupnosti
jeho bodů lze vybrat konvergentní podposloupnost. Množina
A ⊆ P se nazývá kompaktní, jestliže A s metrikou indukovanou metrikou
󰂄 je kompaktní prostor, tj. z každé posloupnosti bodů množiny A
lze vybrat podposloupnost mající v A limitu.
Věta
Je-li metrický prostor (P, 󰂄) kompaktní, pak je úplný.
Věta
i) Nechť A je kompaktní množina v metrickém prostoru (P, 󰂄). Pak A
je uzavřená a ohraničená.
ii) Nechť A je podmnožina v En. Množina A je kompaktní, právě když
je uzavřená a ohraničená.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Banachova věta 04.10.2024 3 / 6
Spojitá zobrazení
Definice
Nechť (P, 󰂄), (Q, σ) jsou metrické prostory, F je zobrazení z P do
Q. Řekneme, že toto zobrazení je spojité v bodě x0, jestliže ke každému
okolí V bodu F(x0) v Q existuje okolí U bodu x0 v P takové,
že F(x) ∈ V pro každé x ∈ U. Řekneme, že F je spojité na P, je-li
spojité v každém bodě P.
Věta
Nechť (P, 󰂄), (Q, σ) jsou metrické prostory. Zobrazení F : P → Q je
spojité v bodě x0 ∈ P, právě tehdy když pro každou posloupnost bodů v
P, pro niž xn
󰂄
→ x0, platí F(xn)
σ
→ F(x0).
Věta
Nechť (P, 󰂄), (Q, σ) jsou metrické prostory a F : P → Q je spojité a
A ⊆ P je kompaktní. Pak F(A) je kompaktní v Q.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Banachova věta 04.10.2024 4 / 6
Kontrakce
Definice
Nechť (P, 󰂄), (Q, σ) jsou metrické prostory, F : P → Q. Řekneme, že
zobrazení F je lipschitzovské, jestliže existuje nezáporná reálná konstanta
L taková, že
σ (F(x), F(y)) ≤ L󰂄(x, y) pro každé x, y ∈ P.
Je-li L < 1, pak říkáme, že F je kontrakce.
Věta
Nechť (P, 󰂄), (Q, σ) jsou metrické prostory, F : P → Q je lipschitzovské
zobrazení. Pak F je spojité.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Banachova věta 04.10.2024 5 / 6
Pevný bod a Banachova věta
Definice
Nechť F : P → P je zobrazení. Bod x0 ∈ P se nazývá pevný bod zobrazení
F, jestliže platí
F(x0) = x0 .
Věta
Nechť (P, 󰂄) je úplný metrický prostor a F : P → P je kontrakce. Pak
existuje právě jeden pevný bod zobrazení F
Petr Liška (Masarykova univerzita) Banachova věta 04.10.2024 6 / 6