Diferenciální počet funkcí více proměnných
Funkce, limita, spojitost
Petr Liška
Masarykova univerzita
11.10.2024
Petr Liška (Masarykova univerzita) Difpočet více proměnných 11.10.2024 1 / 10
Pojem funkce
Petr Liška (Masarykova univerzita) Difpočet více proměnných 11.10.2024 2 / 10
Wind-chill index
T/v 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80
5 4 3 2 1 1 0 -1 -1 -2 -2 -3
0 -2 -3 -4 -5 -6 -6 -7 -8 -9 -9 -10
-5 -7 -9 -11 -12 -12 -13 -14 -15 -16 -16 -17
-10 -13 -15 -17 -18 -19 -20 -21 -22 -23 -23 -24
-15 -19 -21 -23 -24 -25 -26 -27 -29 -30 -30 -31
-20 -24 -27 -29 -30 -32 -33 -34 -35 -36 -37 -38
-25 -30 -33 -35 -37 -38 -39 -41 -42 -43 -44 -45
-30 -36 -39 -41 -43 -44 -46 -48 -49 -50 -51 -52
W = 13,12 + 0,6215T − 11,37v0,16
+ 0,3965Tv0,16
Petr Liška (Masarykova univerzita) Difpočet více proměnných 11.10.2024 3 / 10
Funkce
Definice
Nechť M ⊆ Rn, n ∈ N, M ∕= ∅. Zobrazení f : M → R se nazývá (reálná)
funkce n (reálných) proměnných. Množina M se nazývá definiční
obor funkce f.
Definice (Speciálně)
Nechť D ⊆ R2, D ∕= ∅. Předpis f, který každému bodu roviny [x, y] ∈
D přiřazuje právě jedno z ∈ R, nazýváme funkcí dvou proměnných.
Tuto funkci označujeme
z = f(x, y).
Množina D se nazývá definiční obor funkce f.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Difpočet více proměnných 11.10.2024 4 / 10
Graf funkce
Definice
Nechť M ⊆ Rn, f : M → R. Pak
G(f) = {[x1, . . . , xn, y]; [x1, . . . , xn] ∈ Rn
; y = f(x1, . . . , xn)}
se nazývá graf funkce f.
Definice
Nechť M ⊆ R2, f : M → R, c ∈ R. Množinu
fc = {[x, y] ∈ M : f(x, y) = c}
nazýváme vrstevnice funkce f na úrovni c.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Difpočet více proměnných 11.10.2024 5 / 10
Limita a spojitost
Petr Liška (Masarykova univerzita) Difpočet více proměnných 11.10.2024 6 / 10
Limita
Definice
Nechť f : Rn → R a a ∈ (R 󰂏)n je hromadný bod definičního oboru
f. Řekneme, že f má v bodě a limitu L, L ∈ R 󰂏, jestliže ke každému
O(L) existuje ryzí okolí O(a) takové, že pro každý bod x ∈ O(a)∩D(f)
platí f(x) ∈ O(L). Píšeme
lim
x→a
f(x) = L.
Definice
Nechť f : R2 → R a [x0, y0] ∈ D(f) je hromadný bod D(f). Řekneme,
že funkce f má v bodě [x0, y0] limitu L, jestliže ∀ε > 0∃δ > 0 tak, že
∀(x, y) ∈ D(f): 0 <
󰁳
(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ platí |f(x, y)−L| < ε.
Píšeme
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Difpočet více proměnných 11.10.2024 7 / 10
Věta
Funkce f má v každém bodě nejvýše jednu limitu.
Věta
Nechť lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = 0 a v nějakém ryzím okolí bodu [x0, y0]
platí, že |g(x, y)| ≤ K. Pak lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y)g(x, y) = 0.
Věta
Nechť h(x, y) ≤ f(x, y) ≤ g(x, y) v nějakém ryzím okolí bodu [x0, y0]
a platí lim(x,y)→(x0,y0) h(x, y) = lim(x,y)→(x0,y0) g(x, y) = L. Pak
lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = L.
Věta
Má-li funkce f v bodě [x0, y0] ∈ (R 󰂏)2
vlastní limitu, pak existuje ryzí
okolí bodu [x0, y0] v němž je funkce f ohraničená.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Difpočet více proměnných 11.10.2024 8 / 10
Věta
Nechť lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = L1, lim(x,y)→(x0,y0) g(x, y) = L2 a
L1, L2 ∈ R. Pak pro každé c1, c2 ∈ R platí
lim
(x,y)→(x0,y0)
(c1f(x, y) + c2g(x, y)) = c1L1 + c2L2
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)g(x, y) = L1 · L2
a je-li L2 ∕= 0
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)
g(x, y)
=
L1
L2
.
Věta
Funkce f má v bodě [x0, y0] limitu rovnu L, jestliže existuje nějaká
funkce g: [0, ∞) → [0, ∞) splňující limr→0+ g(r) = 0 taková,že
|f(x0 + r cos ϕ, y0 + r sin ϕ) − L| < g(r) pro libovolné ϕ ∈ [0, 2π) a
r > 0 dostatečně malé.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Difpočet více proměnných 11.10.2024 9 / 10
Spojitost
Definice
Řekneme, že funkce f je spojitá na množině M ⊆ R2, jestliže pro každý
bod [x0, y0] ∈ M, který je jejím hromadným bodem, platí
lim
(x,y)→(x0,y0)
(x,y)∈M
f(x, y) = f(x0, y0).
Věta (Weierstrass)
Nechť funkce f je spojitá na kompaktní množině M ⊂ R2. Pak nabývá
na M své nejmenší a největší hodnoty.
Věta (Bolzano)
Nechť funkce f je spojitá na otevřené souvislé množině M ⊂ R2. Nechť
pro A, B ∈ M platí f(A) ∕= f(B). Pak ke každému číslu c ležícímu mezi
f(A) a f(B) existuje C ∈ M tak, že f(C) = c.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Difpočet více proměnných 11.10.2024 10 / 10