Diferenciální počet funkcí více proměnných
Parciální derivace a spol
Petr Liška
Masarykova univerzita
18.10.2024
Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 18.10.2024 1 / 8
Parciální derivace
Definice
Nechť f : R2 → R je funkce definovaná v bodě [x0, y0]. Existuje-li limita
lim
x→x0
f(x, y0) − f(x0, y0)
x − x0
= lim
h→0
f(x + h, y0) − f(x0, y0)
h
řekneme, že funkce f má v bodě [x0, y0] parciální derivaci podle x s
hodnotou této limity.
Tuto derivaci značíme
fx(x0, y0) =
∂f(x0, y0)
∂x
=
∂f
∂x
(x0, y0) = f′
x(x0, y0)
Analogicky definujeme a značíme parciální derivaci podle y.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 18.10.2024 2 / 8
Věta
Nechť funkce f, g: R2 → R mají parciální derivaci podle proměnné xi,
i ∈ {1, 2}, na otevřené množině M. Pak jejich součet, rozdíl, součin a
podíl má na M parciální derivaci podle xi a platí
∂
∂xi
[f(x) ± g(x)] =
∂
∂xi
f(x) ±
∂
∂xi
g(x),
∂
∂xi
[f(x)g(x)] = g(x)
∂
∂xi
f(x) + f(x)
∂
∂xi
g(x),
je-li navíc g(x) ∕= 0, pak
∂
∂xi
󰀕
f(x)
g(x)
󰀖
=
g(x) ∂
∂xi
f(x) − f(x) ∂
∂xi
g(x)
g2(x)
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 18.10.2024 3 / 8
Derivace vyšších řádů
Nechť [x0, y0] ∈ D(fx). Existuje-li parciální derivace funkce fx(x, y)
podle proměnné x v bodě [x0, y0], nazýváme tuto derivaci parciální
derivací funkce 2. řádu podle x funkce f v bodě [x0, y0] a značíme ji
fxx(x0, y0) nebo ∂2f
∂x2 (x0, y0).
Existuje-li parciální derivace funkce fx(x, y) podle proměnné y v bodě
[x0, y0], nazýváme tuto derivaci smíšenou parciální derivací 2. řádu
funkce f v bodě [x0, y0] a značíme ji fxy(x0, y0) nebo také ∂2f
∂x∂y (x0, y0).
Analogicky definujeme derivace ∂2f
∂y2 (x0, y0) a ∂2f
∂y∂x (x0, y0).
Věta (Schwarz, Clairaut)
Nechť funkce f má v okolí bodu [x0, y0] parciální derivace fx, fy a smíšenou
parciální derivaci fxy, která je v bodě [x0, y0] spojitá. Pak existuje
také smíšená parciální derivace fyx(x0, y0) a platí
fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 18.10.2024 4 / 8
Definice
Řekneme, že funkce f : R2 → R má v bodě [x0, y0] směrovou derivaci
ve směru jednotkového vektoru 󰂓u = (u1, u2), jestliže existuje limita
D 󰂓uf(x0, y0) = lim
h→0
f(x0 + u1h, y0 + u2h) − f(x0, y0)
h
.
Definice
Nechť f : R2 → R, pak gradientem funkce f rozumíme vektor ∇f
(grad f)
∇f(x, y) = (fx(x, y), fy(x, y)) .
Věta
Má-li funkce f(x, y) spojité parciální derivace prvního řádu, pak má
funkce směrovou derivaci ve směru libovolného vektoru 󰂓u = (u1, u2) a
platí
D 󰂓uf(x, y) = fx(x, y)u1 + fy(x, y)u2 = ∇f(x, y) · 󰂓u.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 18.10.2024 5 / 8
Diferenciál funkce
Definice
Řekneme, že funkce f : R2 → R definovaná v okolí bodu [x0, y0] je v
tomto bodě diferencovatelná, jestliže existují reálná čísla A, B taková,
že platí
lim
(h,k)→(0,0)
f(x0 + h, y0 + k) − f(x0, y0) − (Ah + Bk)
√
h2 + k2
= 0.
Lineární funkce Ah + Bk proměnných h, k se nazývá diferenciál funkce
v bodě [x0, y0] a značí se df(x0, y0)(h, k), případně df(x0, y0).
Ekvivalentně: existují A, B ∈ R a funkce τ : R2 → R tak, že platí
f(x0 + h, y0 + k) − f(x0, y0) = Ah + Bk + τ(h, k),
kde
lim
(h,k)→(0,0)
τ(h, k)
√
h2 + k2
= 0.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 18.10.2024 6 / 8
Věta
Je-li funkce f diferencovatelná v bodě [x0, y0], pak je v tomto bodě spo-
jitá.
Věta
Je-li funkce f diferencovatelná v bodě [x0, y0], pak má v tomto bodě parciální
derivace a platí
df(x0, y0) = fx(x0, y0)h + fy(x0, y0)k.
Věta
Má-li funkce f v bodě [x0, y0] spojité parciální derivace 1. řádu, pak má
v tomto bodě také diferenciál.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 18.10.2024 7 / 8
Věta
Má-li funkce f(x, y) v bodě [x0, y0] totální diferenciál, má graf funkce v
tomto bodě tečnou rovinu o rovnici
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0).
Věta
Nechť P, Q jsou spojité funkce proměnných x, y definované na otevřené
jednoduše souvislé množině Ω ⊂ R2, které mají na této množině
spojité parciální derivace Py, Qx. Pak výraz P(x, y)dx + Q(x, y)dy je
diferenciálem nějaké funkce, právě když platí
Py(x, y) = Qx(x, y) pro každé [x, y] ∈ Ω.
Funkci z předchozí věty se říká kmenová funkce funkcí P a Q.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 18.10.2024 8 / 8