Diferenciální počet funkcí více proměnných
Lokální a absolutní extrémy
Petr Liška
Masarykova univerzita
25.10.2024
Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 25.10.2024 1 / 4
Lokální extrémy
Definice
Řekneme, že funkce f : R2 → R nabývá v bodě [x0, y0] lokálního
maxima (minima), jestliže existuje okolí tohoto bodu takové, že pro
všechny body z tohoto okolí platí f(x, y) ≤ f(x0, y0), resp. f(x, y) ≥
f(x0, y0).
Jsou-li nerovnosti v těchto vztazích pro [x, y] ∕= [x0, y0] ostré, mluvíme
o ostrých lokálních maximech a minimech.
(Ostrá) lokální maxima a minima nazýváme souhrně (ostré) lokální
extrémy.
Definice
Nechť f : R2 → R. Řekneme, že bod [x0, y0] je stacionární bod funkce
f, jestliže v bodě [x0, y0] existují obě parciální derivace prvního řádu
funkce f a platí
fx(x0, y0) = fy(x0, y0) = 0.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 25.10.2024 2 / 4
Věta (Fermat)
Nechť funkce f : R2 → R má v bodě [x0, y0] lokální extrém. Pak všechny
parciální derivace funkce f, které v tomto bodě existují, jsou rovny nule.
Věta
Nechť funkce f : R2 → R má v bodě [x0, y0] a nějakém jeho okolí spojité
parciální derivace druhého řádu a nechť [x0, y0] je její stacionární bod.
Jestliže
D(x0, y0) = fxx(x0, y0)fyy(x0, y0) − [fxy(x0, y0)]2
> 0,
pak má funkce f v [x0, y0] ostrý lokální extrém. Je-li fxx(x0, y0) > 0,
jde o minimum, je-li fxx(x0, y0) < 0, jde o maximum.
Jestliže D(x0, y0) < 0, pak v bodě [x0, y0] lokální extrém nenastává.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 25.10.2024 3 / 4
Absolutní extrémy
Definice
Nechť f : R2 → R, M ⊂ D(f). Řekneme, že bod [x0, y0] ∈ M je bodem
absolutního minima (maxima) funkce f na M, jestliže f(x0, y0) ≤
f(x, y) (f(x0, y0) ≥ f(x, y)) pro každé [x, y] ∈ M. Jsou-li nerovnosti pro
[x0, y0] ∕= [x, y] ostré, mluvíme o ostrých absolutních extrémech.
Věta
Nechť M ⊂ R2 je kompaktní množina a funkce f : M → R je spojitá
na M. Pak f nabývá svých absolutních extrémů buď v bodech lokálního
extrému ležících uvnitř M, nebo v některém hraničním bodě.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 25.10.2024 4 / 4