Diferenciální počet funkcí více proměnných
Vektorové funkce, Taylorova věta a funkce daná implicitně
Petr Liška
Masarykova univerzita
1.11.2024
Petr Liška (Masarykova univerzita) Co ještě s derivací? 1.11.2024 1 / 11
Vektorová funkce a operátory
Petr Liška (Masarykova univerzita) Co ještě s derivací? 1.11.2024 2 / 11
V rovině je vektorová funkce takový předpis, který každému bodu
z množiny D ⊆ R2 přiřadí vektor v rovině. Zapisujeme
󰂓F(x, y) =
󰀃
P(x, y), Q(x, y)
󰀄
, (1)
kde P(x, y), Q(x, y) jsou funkce dvou proměnných. Podobně vektorová
funkce v prostoru je takový předpis, který každému bodu z množiny
D ⊆ R3 přiřadí vektor v prostoru. Zapisujeme
󰂓F(x, y, z) =
󰀃
P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)
󰀄
, (2)
kde P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) jsou funkce tří proměnných.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Co ještě s derivací? 1.11.2024 3 / 11
Uvažujme vektorové pole v rovině a označme jednotkové vektory ve
směru os x a y
󰂓ı = (1, 0), 󰂓ȷ = (0, 1).
Pak vektorové pole (1) lze zapsat
󰂓F(x, y) = P(x, y)󰂓ı + Q(x, y)󰂓ȷ
nebo stručně 󰂓F = P󰂓ı + Q󰂓ȷ.
https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+a+vector+field
Označíme-li jednotkové vektory ve směru os x, y, a z
󰂓ı = (1, 0, 0), 󰂓ȷ = (0, 1, 0), 󰂓k = (0, 0, 1),
pak vektorové pole (2) lze zapsat
󰂓F(x, y, z) = P(x, y, z)󰂓ı + Q(x, y, z)󰂓ȷ + R(x, y, z) 󰂓k.
https://www.geogebra.org/m/u3xregNW
Petr Liška (Masarykova univerzita) Co ještě s derivací? 1.11.2024 4 / 11
Divergence
Nechť 󰂓F = P󰂓ı + Q󰂓ȷ + R 󰂓k je vektorové pole v prostoru. Jestliže existují
parciální derivace Px, Qy, Rz, pak divergence vektorového pole 󰂓F je
skalární funkce
div 󰂓F(x, y, z) = Px(x, y, z) + Qy(x, y, z) + Rz(x, y, z).
Pomocí tzv. Hamiltonova operátoru můžeme divergenci vektorového
pole zapsat jako skalární součin
∇ · 󰂓F =
󰀕
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
󰀖
· (P, Q, R).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Co ještě s derivací? 1.11.2024 5 / 11
Rotace
Nechť 󰂓F = P󰂓ı + Q󰂓ȷ + R 󰂓k je vektorové pole v prostoru. Jestliže existují
všechny parciální derivace 1. řádu, pak rotace vektorového pole 󰂓F je
vektorové pole definované jako vektorový součin:
rot 󰂓F(x, y, z) = ∇ × 󰂓F = (Ry − Qz, Pz − Rx, Qx − Py).
Věta
Nechť f je funkce tří proměnných, která má spojité parciální derivace
druhého řádu. Pak
rot grad f = 󰂓o.
Věta
Nechť 󰂓F je vektorové pole definované na jednoduše souvislé množině
v prostoru, jehož složky jsou spojitě diferencovatelné funkce. Pak
rot 󰂓F = 0 ⇔ 󰂓F je konzervativní.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Co ještě s derivací? 1.11.2024 6 / 11
Taylorova věta
Petr Liška (Masarykova univerzita) Co ještě s derivací? 1.11.2024 7 / 11
Definice
Nechť funkce f : R2 → R má v bodě [x0, y0] spojité parciální derivace
až do řádu m včetně. Diferenciálem m-tého řádu funkce f v bodě
[x0, y0] rozumíme funkci
dm
f(x0, y0)(h, k) =
m󰁛
j=0
󰀕
m
j
󰀖
∂mf
∂xj∂ym−j
(x0, y0)hj
km−j
.
Věta
Nechť funkce f : R2 → R má v bodě [x0, y0] a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace
až do řádu n + 1 včetně, pak pro každý bod [x, y] z tohoto okolí platí
f(x, y) = Tn(x, y) + Rn(x, y),
kde
Tn(x, y) = f(x0, y0) + df(x0, y0)(h, k) +
1
2!
d2
f(x0, y0)(h, k) + · · · +
1
n!
dn
f(x0, y0)(h, k)
Rn(x, y) =
1
(n + 1)!
dn+1
f(x0 + νh, y0 + νk)(h, k), ν ∈ (0, 1), h = x − x0, k = y − y0.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Co ještě s derivací? 1.11.2024 8 / 11
Funkce daná implicitně
Petr Liška (Masarykova univerzita) Co ještě s derivací? 1.11.2024 9 / 11
Definice
Nechť F je funkce dvou proměnných. Označme
M = {[x, y] ∈ D(F): F(x, y) = 0}
a nechť F(x0, y0) = 0. Jestliže existují čísla δ > 0 a ε > 0 taková, že
množina
{[x, y] ∈ M : |x − x0| < δ, |y − y0| < ε}
je totožná s grafem funkce y = f(x) pro |x−x0| < δ, řekneme, že funkce
f v okolí bodu [x0, y0] definována (dána) implicitně rovnicí F(x, y) = 0.
Náš vztah k matematice
x2
+ (y −
3
√
x2)2
= 1
Descartův list
x3
+ y3
− 3axy = 0, a > 0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Co ještě s derivací? 1.11.2024 10 / 11
Věta
Nechť je funkce F spojitá na čtverci
R = {[x, y] ∈ D(F): |x − x0| < a, |y − y0| < a}
a nechť F(x0, y0) = 0. Dále předpokládejme, že funkce F má spojitou
parciální derivaci ∂
∂y F(x, y) v bodě [x0, y0] a platí ∂
∂y F(x0, y0) ∕= 0.
Pak existuje okolí bodu [x0, y0], v němž je rovností F(x, y) = 0 implicitně
definována právě jedna funkce y = f(x), která je spojitá.
Má-li navíc funkce F na R spojité parciální derivace 1. řádu, pak má
funkce f derivaci v bodě x0 a platí
f′
(x0) = −
Fx(x0, y0)
Fy(x0, y0)
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Co ještě s derivací? 1.11.2024 11 / 11