Diferenciální rovnice prvního řádu
Homogenní, Bernoulliova
Existence a jednoznačnost
Petr Liška
Masarykova univerzita
15.11.2024
Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální rovnice prvního řádu 15.11.2024 1 / 6
Homogenní rovnice
y′
= f
󰀓y
x
󰀔
Zavedeme substituci y
x = u, tj.
y = u · x =⇒ y′
= u′
· x + u .
Tím dostaneme rovnici se separovatelnými proměnnými
u′
x + u = f(u)
du
f(u) − u
=
dx
x
Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální rovnice prvního řádu 15.11.2024 2 / 6
Bernoulliova rovnice
Definice
Nechť p(x), q(x) jsou spojité funkce na nějakém otevřeném intervalu I
a nechť r ∈ R \ {0, 1}. Pak diferenciální rovnici prvního řádu ve tvaru:
y′
+ p(x)y = q(x)yr
nazýváme Bernoulliovou rovnicí.
Substituce
u = y1−r
převede Bernoulliovu rovnici na lineární diferenciální rovnici prvního
řádu.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální rovnice prvního řádu 15.11.2024 3 / 6
Picard-Lindelöfova věta (1890-1893)
Věta
Nechť je dána množina
R =
󰀋
[x, y] ∈ R2 | |x − x0| ≤ a, |y − y0| ≤ b
󰀌
,
kde a, b ∈ R+ a x0, y0 ∈ R. Předpokládejme, že f : R → R je spojitá a
lipschitzovská vzhledem k proměnné y, tj. ∃ L ∈ R+
0 takové, že
∀ [x, y1], [x, y2] ∈ R platí, že |f(x, y1) − f(x, y2)| ≤ L |y1 − y2| .
Pak existuje právě jedno řešení Cauchyho úlohy
y′
= f(x, y), y(x0) = y0,
které je definované na intervalu I = 〈x0, x0 + δ〉, kde δ = min{a, b
m } pro
m = max
[x,y] ∈ R
|f(x, y)|.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální rovnice prvního řádu 15.11.2024 4 / 6
Věta (Peanova)
Nechť je dána množina
R =
󰀋
[x, y] ∈ R2 | |x − x0| ≤ a, |y − y0| ≤ b
󰀌
,
kde a, b ∈ R+ a x0, y0 ∈ R. Dále mějme funkci f : R → R, která je
spojitá na R. Pak existuje řešení Cauchyho úlohy
y′
= f(x, y), y(x0) = y0,
které je definované na intervalu I = 〈x0, x0 + δ〉, kde δ = min{a, b
m } pro
m = max
[x,y] ∈ R
|f(x, y)|.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální rovnice prvního řádu 15.11.2024 5 / 6
TL;DR
y′
= f(x, y), y(x0) = y0 (1)
• Je-li f spojitá v okolí [x0, y0] pak má (1) řešení v okolí x0.
• Je-li f spojitá a lipschitzovská vzhledem k y v okolí [x0, y0], pak
má (1) právě jedno řešení v okolí x0.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální rovnice prvního řádu 15.11.2024 6 / 6