Matematická analýza 3 Druhé cvičení
příklad 1: Určete vzdálenost bodů [1,2] a [3,4] v euklidovské, součtové a maximální metrice. Nakreslete ilustrační obrázky.
příklad 2: Určete vzdálenost funkcí
a) f(x) = x, g(x) = x2;
b) f(x) = x, g(x) = Inx
v metrice stejnoměrné konvergence a integrální metrice.
příklad 3: Nechť l], je množina všech posloupností reálných čísel délky k. Dále nechť g: l], x l], —> N je zobrazení dané předpisem
Q(P, Q) = \{ne {1,2, ...,k} \ p(n) ^ q(n)}\. Rozhodněte, zda je g metrika na
příklad 4: Nechť P = IR2. Pro A = [0,1,0,2], B = [61,62] €E P definujeme tzv. pampeliškovou metriku
Í^J(ai — 61)2 + (a2 — 62)2   Body A a, B leží na stejné polopřímce jdoucí počátkem. \Jo\ + a| + a/62 + 6|       V opačném případě.
Určete vzdálenost bodů A a B a bodů A a C, kde A = [2,4], 5 = [—3,2] a C = [1,2]. Popište, jak v této metrice vypadají kružnice.
příklad 5: V euklidovské, součtové a maximální metrice určete vzdálenost:
a) bodu P = [1,1] od přímky y = —x;
b) přímky y = c od paraboly y = x2 — 2x + 1.
příklad 6: V euklidovské metrice určete vzdálenost bodu [|,0] od množiny
M= {[x,y] 6R2 |y> vi?}-
příklad 7: V integrální metrice určete průměr množiny
M = {f (x) = xn,xe [0,1], n en}.