Matematická analýza 3 třetí cvičení
príklad 1: Nechť A = [O,1] U (2, 3) U 4. Určete v E1 množiny A, A° a h(A).
příklad 2: Udejte příklad množiny A C M takové, že v E1 jsou množiny A, A°, A, (Ä)°, A° navzájem různé. příklad 3: Dokažte, že diferencovatelná funkce /: [a, b] —> E1 je kontrakce (lipschitzovská), právě když
Následně rozhodněte, zda následující funkce jsou lipschitzovské (kontrakce):
a) f(x) = arctanrr, x G E1;
b) f(x) = ax + 6, x G E1;
c) f(x) = y/x, x G [0,1].
příklad 4: Ukažte, za jakých předpokladů je zobrazení F: C[a,b] —> E1 dané předpisem
< 1 (oo)   pro všechna   x G [a, b] .
F(f) = 1-2     t f (t) dt
kontrakcí.
příklad 6: Dokažte, že soustava rovnic
má právě jedno řešení.