Matematická analýza 3
Čtvrté cvičení
P ˇRÍKLAD 1: Pomocí úprav vypočtěte limity
a) lim
(x,y)→(1,1)
xy−1
1−x2y2 ;
b) lim
(x,y)→(2,2)
x2−y2
x2−3y+3x−xy
;
c) lim
(x,y)→(−1,−1)
(x+y)2−4
x+y+2
;
d) lim
(x,y)→(0,2)
sin(xy)
x
;
e) lim
(x,y)→(4,0)
tg
√
(x−4)2−y2
x2
√
(x−4)2−y2
;
f) lim
(x,y)→(0,0)
3(x2+y2)
√
x2+y2+4−2
.
P ˇRÍKLAD 2: Určete limity
a) lim
(x,y)→(0,0)
xy2
cos 1
xy2 ;
b) lim
(x,y)→(0,0)
xy2
x2+y2 .
P ˇRÍKLAD 3: Dokažte, že dané limity neexistují
a) lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2+y2 ;
b) lim
(x,y)→(2,3)
y−3
x+y−5
;
c) lim
(x,y)→(0,0)
xy2
x2+y4 ;
d) lim
(x,y)→(0,0)
x2+y2
x−y
.
P ˇRÍKLAD 4: Pomocí transformace do polárních souřadnic vypočítejte
a) lim
(x,y)→(0,0)
x3y3
x2+y2 ;
b) lim
(x,y)→(0,0)
(x2
+ y2
)
x2y2
;
c) lim
(x,y)→(0,1)
x2+y(y−1)2
x2+(y−1)2 .