Matematická analýza 3 páté cvičení
příklad 1: Vypočítejte parciální derivace druhého řádu funkcí
a) f(x,	y)	= x3 + x2y3 — 2y
b) f(x,	y)	= xyey;
c) f(x,	y)	_   xy , x—y '
d) f(x,	y)	= ln a/x2 + í/2;
e) f(x,	y)	_ X ^x2+y2 '
f) f(x,	y)	
g) /(z,	y)	= arctg -;
h) /(x,	y)	— arcsin   , x . W x2+y2
příklad 2: Uvažujte funkci u(x,y) pomocí které se snažíme měřit well-being společnosti v závislosti na velikosti x hrubého národního produktu a velikost y znečištění ovzduší.
a) Jaký je význam parciálních derivací u'x(x,y) a u'y(x,y)7 Jaké očekáváte jejich znaménko?
b) Jaká je interpretace parciální derivace druhého řádu u" ? Obvykle se v tomto případě předpokládá, že u" < 0. Co to znamená?
c) Navíc obvykle platí, že funkce u má spojité parciální derivace druhého řádu, tedy u" = u'ýx. Co nám pak u" říká o funkci /, když snížíme znečištění?
příklad 3: Určete gradient funkce
a) f(x,y) =y\nx;
b) f(x, y) = xe2xy.
příklad 4: Určete tečnou rovinu ke grafu funkce v daném bodě
a) f(x,y)=x2 + y2, [1,1,?];
b) f(x,y) = e*2+y2, [0,0,?].
příklad 5: Určete, zda-li existuje kmenová funkce. Tuto funkci případně najděte.
a) x sin 2y dx + x2 cos 2y dy;
b) (y2 — 1) dx -\- (2xy + 3y) dy;