Matematická analýza 3
Sedmé cvičení
P ˇRÍKLAD 1: [Cournot, 1838] Představme si, že jsme producentem nějakého produktu, jehož nefixní produkční
náklady jsou minimální (např. minerální voda, mobilní data atd.), a zároveň máme monopol, tj. jsme
jediným producentem. Pro konkrétnost uvažujme, že cena našeho produktu je
p = 6 − 0,01x, 0 ≤ x ≤ 600,
kde x značí množství prodaného produktu. Jaký je náš maximální zisk?
Co se stane, když budeme mít dalšího konkurenta, který prodává stejný produkt podle stejné cenové
funkce? Jaký je maximální zisk obou producentů v tomto případě? Jak na tuto situaci pravděpodobně
zareagují?
P ˇRÍKLAD 2: Dlouhý kus válcovaného plechu o šířce 9 metrů se má ohnout do symetrického tvaru se třemi
stranami, aby se z něj vytvořil okap pro odvod vody. Jaké mají být rozměry tohoto okapu, aby jím mohlo
protékat maximální množství vody?
P ˇRÍKLAD 3:[Metoda nejmenších čtverců] Označme yk naměřené hodnoty v bodech xk, k = 1, . . . , n a f hledanou
funkci, nejčastěji polynom. Standartním kritériem nejlepšího přiblížení hledané funkce a naměřených
hodnot je požadavek, aby součet
S =
n󰁛
k=1
(f(xk) − yk)2
byl co nejmenší. Jedná se o součet obsahů čtverců, jejich strana má velikost rovnu rozdílu naměřené
hodnoty a hodnoty nalezené funkce v daném bodě. O takto získaných křivkách říkáme, že byly nalezeny
metodou nejmenších čtverců.
0
y
x
f
0
y
x
f
Jak vypadá rovnice přímky, která je proložena danými body touto metodou?
P ˇRÍKLAD 4: Tři alely (varianty téhož genu) A, B a O určují krevní skupiny A (AA, AO), B (BB, B0), O (OO)
a AB. Hardy-Weinbergův zákon říká, že část populace, která má dvě různé alely, je dána vztahem
P = 2pq + 2pr + 2rq,
kde p, q a r jsou podíly nositelů A, B a O v populaci. Jaká je maximální hodnota P?