Matematická analýza 3 Deváté cvičení
příklad 1: Reste rovnice se separovanými proměnnými:
a)    xyy' = 1 — x2, b)    2y — x3y' = 0,
c)    1 + y2 + xyy' = 0, d)    y + xy + rrí/ — xí/í/ = 0.
příklad 2: Reste dané počáteční problémy:
a)    *r-x = 0,   2/(1) = 1, b)    2(1 + ď)yy' = e*,   y(0) = 0.
příklad 3: Reste lineárni rovnice:
a)    y' + 4x3y = x2e~x4, b)    y' + 3x2í/ = 6a;2,
c)    y' + 2y = 2ex, d)    (1 + x2)y' - 2xy = (1 + a;2)2.
příklad 4: Reste dané počáteční problémy:
a)    2xy' + x2-6y = 0,   y {ľ) = 1, b)    y'--ÍL = z, y(l)=0.
příklad 5: Spalování fosilních paliv je zodpovědné za zvýšení množství oxidu uhličitého, který je pravděpodobně jednou z příčin zvýšení globální teploty. V současnosti je v atmosféře přibližně 3200 miliard tun oxidu uhličitého a jeho množství roste každoročně o 50 miliard tun, přičemž pouze 1 % z akumulovaného množství se každoročně odstraní přírodními procesy. Namodelujte množství oxidu uhličitého v čase pomocí diferenciální rovnice a určete, kdy bude v atmosféře 4000 miliard tun oxidu uhličitého (jedná se o množství, při kterém by mělo dojít ke zvýšení teploty o dva stupně Celsia). Jaké bude dlouhodobé množství oxidu uhličitého v atmosféře?
příklad 6: Detektiv Větvička byl právě povolán do třípatrového činžáku, aby ohledal tělo zesnulého. Jezevčík Kudla se těšil dobrému zdraví (Tk = 38°C). Zničehonic však v úterý, v době nepřítomnosti svého páníčka, pana Drobka, náhle zemřel. Když se pan Drobek vrátil z hospody, změřením tělesné teploty (Ti = 36,5°C) zjistil, že milý jezevčík Kudla je již nějakou dobu po smrti. Zdrcen svou ztrátou zavolal nejlepšímu detektivovi v okolí - panu Větvičkoví. Ten se za hodinu objevil u dveří číslo 12 ve třetím patře a po osobním přeměření tělesné teploty jezevčíka (T2 = 36°C) potvrdil jeho skon. Protože však v místnosti bylo příjemných 24°C, sundal si nejprve kabát a teprve pak se pustil do podrobnějšího ohledání Kudlova tělíčka. Zjistěte, za jak dlouho po Kudlově smrti přišel pan Drobek domů.
Použijte tzv. Newtonův zákon, který říká, že teplená ochlazování/oteplování probíhá přímo úměrně rozdílu teplot daného tělesa a okolí.