Stabilita
Čebínská hromada
Země jako sněhová koule a její ohnivý konec
Petr Liška
Masarykova univerzita
13.12.2024
Petr Liška (Masarykova univerzita) Stabilita 13.12.2024 1 / 24
Stavebniny u čebínského nádraží (dle doc. Maříka)
Hromada sypkého materiálu má tvar kužele. Úhel u vrcholu je konstantní,
daný mechanickými vlastnostmi materiálu a je nezávislý na
objemu. Předpokládejme, že personál stavebnin přisypává na hromadu
materiál konstantní rychlostí (v jednotkách objemu za jednotku času).
Tato hromada je však v poměrně otevřené krajině a vítr rozfoukává
materiál po okolí. Je rozumné předpokládat, že rozfoukávání (opět v
jednotkách objemu za jednotku času) se děje rychlostí úměrnou povrchu
návětrné strany pláště. Jak to s hromadou dopadne?
Petr Liška (Masarykova univerzita) Stabilita 13.12.2024 2 / 24
Stabilita
y′
= f(x, y), f je spojitá (1)
Definice
Řešení y0 rovnice (1) se nazývá stabilní, jestliže každé řešení y rovnice
(1), které začne dostatečně blízko y0 v bodě x1, zůstane blízko y0 i pro
všechna x ≥ x0.
Definice
Řešení y0 rovnice (1) se nazývá asymptoticky stabilní, jestliže je stabilní
a každé řešení y rovnice (1), které začne dostatečně blízko y0 v bodě
x1, se přibližuje y0 pro x → ∞.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Stabilita 13.12.2024 3 / 24
Autonomní rovnice a test pro stabilitu
Rovnice
y′
= f(y) (2)
se nazývá autonomní diferenciální rovnice.
Věta
Nechť y 󰂏 je stacionární řešení rovnice (2) a nechť existuje f′(y 󰂏). Je-li
f′(y 󰂏) < 0, pak y 󰂏 je asymptoticky stabilní. Je-li f′(y 󰂏) < 0, pak y 󰂏 je
nestabilní.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Stabilita 13.12.2024 4 / 24
Základní předpoklady
- platí „zákon zachování energie“, tj. energie, kterou Země přijme od
Slunce, musí být vyrovnána energií, kterou Země vyzáří
- musíme vzít v potaz, že část energie je odražena zpátky, tzv. albedo
efekt
- probíhá transport tepla po planetě
Náš model má kořeny v roce 1969 a je založen na práci M. I. Budyka
(Státní hydrologický institut v Petrohradu) a W. D. Sellerse (University
of Arizona, Tucson).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Stabilita 13.12.2024 5 / 24
Záření přicházející od Slunce
Záření na vrcholu atmosféry je dáno jako
Q · s(y),
kde y = sin θ, θ je zeměpisná šířka a Q = 343 W/m2
.
Funkce s(y) je normalizována tak, aby platilo
󰁕 1
0 s(y) dy = 1. Pro
současný sklon zemské osy je funkce s(y) aproximována jako
s(y) = 1 − 0,241(3y2
− 1).
Viz North (1975).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Stabilita 13.12.2024 6 / 24
Albedo
Množství záření absorbované Zemí na jednotku obsahu je
Q · s(y) · (1 − α(y)),
kde α(y) označí odraženou část.
Led se zformuje je-li T < Tc = −10◦C. Je-li ys hranice mezi zamrzlou a
nezamrzlou částí Země, tak vezmeme
α(y) =
󰀫
α2 = 0,62 y > ys,
α1 = 0,32 y < ys
a
T(ys) = Tc, α(ys) = α0 =
1
2
(α1 + α2) = 0,47.
Viz Lindzen (1990).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Stabilita 13.12.2024 7 / 24
Vyzařování planety Země
Steffan-Boltzmannův zákon říká, že
I(y) = σT4
.
Pro Zemi je nutné násobit výraz emisním zlomkem 󰂃 < 1 a dostaneme
I(y) = 󰂃σT4
≈ 󰂃σT4
0
󰀗
1 +
4(T − T0)
T0
󰀘
, T0 = 273 K.
Můžeme tedy psát
I = A + BT.
Současné hodnoty jsou A = 202 W a B = 1,9 W, viz Graves, Lee, North
(1993).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Stabilita 13.12.2024 8 / 24
Přenos tepla po planetě
D(y) = C( ¯T − T),
kde ¯T je globální průměrná teplota a C = 1,6B (viz Tung (2007))
Petr Liška (Masarykova univerzita) Stabilita 13.12.2024 9 / 24
Základní modelová rovnice
R
∂
∂t
T = Qs(y)(1 − α(y)) − I(y) + D(y), (3)
kde R je tepelná kapacita Země
Petr Liška (Masarykova univerzita) Stabilita 13.12.2024 10 / 24
Globální průměrná teplota
Uvažíme symetrii podle rovníku, čili stačí řešit rovnici pro y ≥ 0 s
podmínkou dT
dt = 0 pro y = 0. Globální průměrná teplota je pak to
samé, co teplota přes polokouli:
¯T =
󰁝 1
0
T(y) dy.
Integrováním rovnice (3) dostaneme
R
d
dt
¯T = Q(1 − ¯α) − A − B ¯T. (4)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Stabilita 13.12.2024 11 / 24
¯α =
󰁝 1
0
s(y)α(y) dy = α1
󰁝 ys
0
s(y) dy + α2
󰁝 1
ys
s(y) dy
¯α =
󰀻
󰁁󰀿
󰁁󰀽
α1 pro Zemi bez ledu
α2 pro zcela zmrzlou Zemi
α2 + (α1 − α2)ys
󰀅
1 − 0,241(y2
s − 1)
󰀆
hranice ledu na ys
V současnosti je ys = 0.95 (72◦ severní šířky) a ¯α = 0,33.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Stabilita 13.12.2024 12 / 24
Konstantní řešení
Qs(y)(1 − α(y)) − (A + BT 󰂏
) + C( ¯T 󰂏
− T 󰂏
) = 0 (5)
¯T 󰂏
=
Q(1 − ¯α) − A
B
(6)
T 󰂏
(y) =
C ¯T 󰂏 + Qs(y)(1 − α(y)) − A
B + C
=
Q
B + C
󰀗
s(y)(1 − α(y)) +
C
B
(1 − ¯α)
󰀘
−
A
B
Tc =
Q
B + C
󰀗
s(ys)(1 − α(ys)) +
C
B
(1 − ¯α)
󰀘
−
A
B
(7)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Stabilita 13.12.2024 13 / 24
Q300 350 400 450 500
0,2
0,4
0,6
0,8
1
ys
Petr Liška (Masarykova univerzita) Stabilita 13.12.2024 14 / 24
Země zcela bez ledu
Pro Zemi bez ledu platí α(y) = α1 = 0,32 všude. Dosazením do
stacionárního řešení dostaneme
T 󰂏
(y) =
Q(1 − α1)
B + C
󰀗
s(y) +
C
B
󰀘
−
A
B
T 󰂏
(1) > Tc
Q >
(B + C)
󰀃
Tc + A
B
󰀄
(1 − α1)
󰀃
s(1) + C
B
󰀄 =⇒ Q > 330 W/m2
¯T 󰂏
=
Q(1 − α1) − A
B
= 16◦
C
Petr Liška (Masarykova univerzita) Stabilita 13.12.2024 15 / 24
Zcela zmrzlá Země
Pro Zemi pokrytou ledem platí α(y) = α2 = 0,62 všude. Dosazením do
stacionárního řešení dostaneme
T 󰂏
(y) =
Q(1 − α2)
B + C
󰀗
s(y) +
C
B
󰀘
−
A
B
T 󰂏
(0) < Tc
Q <
(B + C)
󰀃
Tc + A
B
󰀄
(1 − α2)
󰀃
s(0) + C
B
󰀄 =⇒ Q < 441 W/m2
¯T 󰂏
=
Q(1 − α2) − A
B
= −38◦
C
Petr Liška (Masarykova univerzita) Stabilita 13.12.2024 16 / 24
Země částečně pokrytá ledem
Vyčíslením rovnice (5) na hranici ledu dostaneme
¯T 󰂏
=
A
C
+
󰀕
1 +
B
C
󰀖
Tc −
Qs(ys)(1 − α0)
C
, α0 = α(ys)
T 󰂏
(y) =
󰀫
T1(y) = Q(1−α1)s(y)+C ¯T 󰂏−A
B+C pro y < ys
T2(y) = Q(1−α2)s(y)+C ¯T 󰂏−A
B+C pro y > ys
Frederiksen (1976)
Ti(y) = Tc +
Q
B + C
[s(y)(1 − αi) − s(ys)(1 − α0)] , i = 1, 2
Q = 343W/m2
a hranice ledu na šířce 72◦
¯T 󰂏
= 15◦
C
Petr Liška (Masarykova univerzita) Stabilita 13.12.2024 17 / 24
y0,2 0,4 0,6 0,8 1
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
T
Petr Liška (Masarykova univerzita) Stabilita 13.12.2024 18 / 24
Stabilita stacionárních řešení
R
d
dt
¯T = G( ¯T)
Perturbujme mírně teplotu od stacionárního řešení
¯T = ¯T 󰂏
+ u(t)
Udělejme lineární aproximaci
G( ¯T) = G( ¯T 󰂏
+ u) ≈ G( ¯T 󰂏
) +
dG
d ¯T
( ¯T 󰂏
)u =
dG
d ¯T
( ¯T 󰂏
)u
dG
d ¯T
( ¯T 󰂏
) = −B − Q
d¯α
d ¯T
( ¯T 󰂏
)
Derivací (6) dostaneme
B = (1 − ¯α)
dQ
d ¯T 󰂏
− Q
d¯α
d ¯T
dG
d ¯T
( ¯T 󰂏
) = −(1 − ¯α)
dQ
d ¯T 󰂏
Petr Liška (Masarykova univerzita) Stabilita 13.12.2024 19 / 24
R
d
dt
u(t) = −γu(t),
kde
γ ≡ (1 − ¯α)
dQ
d ¯T 󰂏
Řešení rovnice je
u(t) = u(0)e− γ
R
t
.
Je-li γ > 0 perturbace vymizí, naopak je-li γ < 0 perturbace bude
narůstat. Máme tak
dQ
d ¯T 󰂏
> 0: stabilní
dQ
d ¯T 󰂏
< 0: nestabilní
Budyko (1972), Cahalan a North (1979)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Stabilita 13.12.2024 20 / 24
Stabilita ledové a bezledové Země
Derivováním (4) dostaneme
dQ
d ¯T 󰂏
=
B
1 − αi
> 0.
Obě řešení jsou tedy stabilní.
Všimněme si, že tento výsledek nezávisí na C, čili nejslabší části našeho
modelu.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Stabilita 13.12.2024 21 / 24
Stabilita Země částečně pokryté ledem
Derivováním (4) dostaneme
B
d ¯T 󰂏
dQ
= (1 − ¯α) + Q
󰀕
−
d¯α
dys
󰀖
dys
dQ
Víme, že
d¯α
dys
= −(α2 − α1)[1 − 0,482ys − 0,241(y2
s − 1)].
Derivováním (7) a úpravou dostaneme
1
Q
dQ
dys
=
1,45ys(1 − α0) + C
B
d¯α
dys
s(ys)(1 − α0) − C
B (1 − ¯α)
B
d ¯T 󰂏
dQ
= (1 − ¯α) +
󰀕
−
d¯α
dys
󰀖
s(ys)(1 − α0) − C
B (1 − ¯α)
1,45ys(1 − α0) + C
B
d¯α
dys
Petr Liška (Masarykova univerzita) Stabilita 13.12.2024 22 / 24
γ ≡ (1 − ¯α)
dQ
d ¯T 󰂏
=
s(ys)(1 − α0) − C
B (1 − ¯α)
B
󰁫󰀓
− d¯α
dys
󰀔
s(ys)(1 − α0) + 1,45ys(1 − α0)(1 − ¯α)
󰁬
1,45(1 − α0)ys =
C
B
󰀕
−
d¯α
dys
󰀖
To sice nevypadá, ale je to kvadratická rovnice a jejím kladným řešením
je
ys = −1 − 3
(1 − α0)B
(α2 − α1)C
+
󰁶 󰀗
1 + 3
(1 − α0)B
(α2 − α1)C
󰀘2
+ 5,15 ≈ 0,56
což je přibližně 34◦ šířky
Petr Liška (Masarykova univerzita) Stabilita 13.12.2024 23 / 24
Budyko, M. I. The future climate, Trans. Am. Geophys. Union, 53
(1972), 868–874.
Cahalan, R. F., North, G. R., A stability theorem for energybalance
climate models, J. Atmos. Sci, 36 (1979), 1178–1186.
Frederiksen, J., Nonlinear albedo-temperature coupling in climate
models, J. Atmos. Sci, 33 (1976), 2267–2272.
Graves, C. E., Lee W. H., North, G. R., New parametrization and
sensitivity for simple climate models, J. Geoph. Res., 98 (1993),
5025–5036.
Lindzen, R. S., Dynamics in Atmospheric Physics, Cambridge University
Press, 1990.
North, G. R., Analytical solution to a simple climate model with
diffusive heat transport, J. Atmos. Sci., 32 (1975), 1301–1307.
Tung, K. K., Topics in Mathematical Modeling, Princeton University
Press, 2007.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Stabilita 13.12.2024 24 / 24