i
Masarykova univerzita • Přírodovědecká fakulta
Josef Janyška
ANALYTICKÁ
GEOMETRIE
Brno 2024
Obsah
Předmluva iii
Použité symboly iv
1 AFINNÍ PROSTOR 1
1 Pojem afinního prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Podprostory afinního prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Afinní repér, afinní souřadnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Orientace afinního prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 Souřadnicové vyjádření podprostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6 Vzájemná poloha podprostorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7 Svazek nadrovin, trs rovin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8 Dělicí poměr, střed dvojice bodů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
9 Uspořádání na přímce, poloprostor, úhel . . . . . . . . . . . . . . . . 55
10 Konvexní množiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2 EUKLIDOVSKÝ PROSTOR 71
11 Skalární součin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
12 Euklidovský prostor, kartézské souřadnice . . . . . . . . . . . . . . . 79
13 Kolmost podprostorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
14 Vnější a vektorový součin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
15 Vzdálenost podprostorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
16 Odchylka podprostorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3 CVIČENÍ 127
Použitá literatura 160
Rejstřík 160
ii
Předmluva
Tento učební text pokrývá látku semestrálního kurzu "MUC22 Analytická geometrie
1", který je zařazen jako povinný kurz bakalářského stupně učitelského studia
matematiky. Obsahem tohoto textu je užití analytické metody při studiu lineárních
útvarů v afinním a euklidovském prostoru. Text vychází ze skript [HoJa] (P. Horák,
J. Janyška, Analytická geometrie, skripta MU, 2. vydání, Brno 2002).
Zvolená forma výkladu látky je v podstatné míře zaměřena na aplikace výsledků
z lineární algebry, které byly probrány v přednášce z lineární algebry. K úspěšnému
pochopení těchto skript je proto nutno zvládnout lineární algebru v rozsahu skript
[Ho94] (P. Horák, Algebra a teoretická aritmetika I, skripta MU, Brno 1994). Předpokládáme
také, že studenti mají alespoň minimální znalosti středoškolské planimetrie
a stereometrie.
Na konci každého paragrafu jsou uvedeny řešené příklady typické pro daný paragraf,
na závěr skript jsou pak zařazena cvičení v rozsahu dostatečném pro zvládnutí
probírané látky. Další příklady mohou případní zájemci nalézt ve sbírkách příkladů
uvedených v seznamu použité literatury ([Baz], [Cub], [Kle] a [Mo79]).
Po formální stránce je výklad látky podán co nejpodrobněji. Je použita běžná
symbolika ve shodě se skripty z lineární algebry, [Ho94], a geometrie, [JaSe]. Pro přehlednost
textu jsou definice uvedeny v rámečku, konce důkazů, poznámek, příkladů
a úloh jsou označeny symboly □, ♢, ♡ a △.
iii
Použité symboly iv
Použité symboly
V textu jsou použity obvyklé množinové symboly inkluze, průniku a sjednocení.
Z logických symbolů se kromě obvyklých symbolů konjunkce a disjunkce používají
ještě následující symboly:
⇐, ⇒ implikace
⇔ nutná a dostatečná podmínka, tj. místo obratu "právě když"
∃ existenční kvantifikátor, tj. místo obratu "existuje"
Ostatní použité symboly:
R množina reálných čísel
Rn
množina uspořádaných n-tic reálných čísel
h(A) hodnost matice A
|A| determinant matice A (čtvercové)
dimV , dimA dimenze vektorových a afinních prostorů
u vektor
o nulový vektor
∥u∥ velikost vektoru
B báze
R repér
(u1; . . . ; un) souřadnice vektoru u
[x1; . . . ; xn] souřadnice bodu X
(u) sloupcová matice souřadnic vektoru u
(X) sloupcová matice souřadnic bodu X
−→
AB vektor určený body A, B
L(u1, . . . , uk) podprostor generovaný vektory u1, . . . , uk
(u, v) skalární součin vektorů
u1 × · · · × un−1 vektorový součin vektorů
[u1, . . . , un] vnější součin vektorů
∥ rovnoběžnost
⊥ kolmost
v(B, C) vzdálenost podprostorů
<) odchylka
[A, B] úsečka s krajními body A, B
SAB střed dvojice bodů A, B
(C; A, B) dělicí poměr bodu C vzhledem k bodům A, B
Kapitola 1
AFINNÍ PROSTOR
Základním pojmem celého textu bude pojem afinního prostoru. Tento pojem a celou
geometrii vůbec budeme budovat axiomaticky, a to tak, abychom jako speciální
případy obdrželi pojmy a tvrzení, která známe ze středoškolské geometrie. Použijeme
axiomatického přístupu s velmi jednoduchým systémem axiomů, přičemž budeme
vycházet z primitivních pojmů: bod, vektor a zobrazení přiřazující dvěma bodům
jistý vektor.
1 Pojem afinního prostoru
V této části textu si zavedeme pojem afinní prostor. Latinské slovo "affinis" znamená
příbuzný. Afinní prostory jsou prostory "příbuzné" obvyklým euklidovským
prostorům. Do geometrie je pravděpodobně zavedl Uuler, který studoval příbuzné
křivky v rovině - např. elipsa je příbuzná kružnici.
Definice 1.1. Nechť A je neprázdná množina, jejíž prvky nazýváme body; nechť
V je vektorový prostor nad tělesem R reálných čísel a dále nechť →
: A × A → V
je zobrazení, splňující:
(1) Pro libovolný bod A ∈ A a libovolný vektor u ∈ V existuje jediný bod
B ∈ A s vlastností →
(A, B) : =
−→
AB = u .
(2) Pro libovolné body A, B, C ∈ A platí
−→
AB +
−−→
BC =
−→
AC .
Potom A se nazývá afinní prostor. Vektorový prostor V se nazývá zaměření
afinního prostoru A a označuje se Z(A).
Je-li dim V = n, pak říkáme, že afinní prostor A je n-rozměrný (nebo též dimenze
n), a píšeme dim A = n (nebo označujeme zkráceně An).
Je-li dim A = 1 (respektive 2, respektive 3), nazýváme afinní prostor A afinní
přímkou (respektive afinní rovinou, respektive afinním prostorem).
Poznámka 1.1. Přísně vzato, závěr předchozí definice není formulován naprosto
přesně, neboť afinním prostorem není množina A, ale přesněji uspořádaná trojice
1
1. Pojem afinního prostoru 2
(A, V, →
). Pro jednu množinu A stačí totiž vzít jiný vektorový prostor V , respektive
jinak definovat zobrazení →
tak, aby byly splněny axiomy (1) a (2), a už dostáváme
různé afinní prostory (viz Příklad 1.3). Protože však dále budeme vždy hovořit o
jednom, pevném afinním prostoru (A, V, →
), postačí nám poněkud nepřesné, ale
mnohem stručnější označení zavedené v úvodní Definici 1.1. ♢
Příklad 1.1. Nechť A je množina všech bodů v rovině (studovaná na střední škole),
nechť V je vektorový prostor všech volných vektorů v rovině a zobrazení →
přiřazuje
uspořádané dvojici bodů A, B volný vektor, jehož jedním umístěním je orientovaná
úsečka s počátečním bodem A a koncovým bodem B. Na střední škole bylo mj.
ukázáno, že jsou splněny axiomy (1) a (2) z Definice 1.1. Dostáváme tak tedy afinní
prostor, který budeme nazývat názorná rovina.
Analogicky lze postupovat v případě obyčejného 3-rozměrného prostoru, studovaného
na střední škole. Dostáváme opět afinní prostor, který budeme nazývat
názorný prostor. ♡
Příklad 1.2. Nechť A = Rn
(tzn. roli "bodů" budou nyní hrát vektory z Rn
) a
nechť V = Rn
. Položme
−→
ab = b − a, pro libovolné a, b ∈ A = Rn
, kde − značí
rozdíl vektorů v Rn
. Pak platí:
(1) Pro libovolné a ∈ A a libovolné u ∈ V existuje jednoznačně b ∈ A tak, že
−→
ab = u, konkrétně b = u + a .
(2) Pro libovolné a, b, c ∈ A platí
−→
ab +
−→
bc = −→ac .
Je zřejmé, že tímto způsobem lze každý vektorový prostor (nad tělesem R) chápat
jako afinní prostor. Hovoříme pak o tzv. kanonickém afinním prostoru.
Specielně R je afinní i vektorový prostor. ♡
Příklad 1.3. Nechť A = {(a1; . . . ; an; 1)|ai ∈ R}; nechť V je podprostor vektorového
prostoru Rn+1
tvaru V = {(u1; . . . ; un; 0)|ui ∈ R}. Pro dva body A =
(a1; . . . ; an; 1), B = (b1; . . . ; bn; 1) ∈ A položme
−→
AB = (b1 − a1; . . . ; bn − an; 0) .
Rozepsáním se lehce ověří, že jsou splněny axiomy (1) a (2) z Definice 1.1, tzn. A je
afinní prostor, přičemž dim A = n (neboť dim V = n).
Poznamenejme, že položíme-li
−→
AB
′
= (a1 − b1; . . . ; an − bn; 0) , dostaneme rovněž
afinní prostor, přičemž oba afinní prostory, tj. (A, V, →
) a (A, V, →′
), jsou jistě různé,
i když množiny bodů i zaměření jsou v obou případech rovné. ♡
Úmluva 1.1. Místo symbolu →
pro zobrazení A × A → V budeme podle potřeby
používat též symbol − a místo
−→
AB budeme psát B − A. Axiom (2) z Definice 1.1
má potom tvar (B − A) + (C − B) = C − A.
Dále, pro pevné A ∈ A definujeme zobrazení fA : A → V takto: fA(B) =
−→
AB.
Z axiomu (1) plyne, že fA je bijekce. Existuje tedy inverzní zobrazení f−1
A : V → A,
1. Pojem afinního prostoru 3
pomocí něhož definujeme zobrazení + : A × V → A takto: +(A, u) := A + u =
f−1
A (u). Pro zobrazení →
a + pak platí: u =
−→
AB = B −A právě když B = +(A, u) =
A + u.
Zobrazení + : A × V → A si můžeme jednoduše představit v názorné rovině
(Příklad 1.1). Každému bodu A a volnému vektoru u je jednoznačně přiřazen bod
B, který je koncovým bodem vázaného vektoru u s počátkem v bodě A. ♢
Poznámka 1.2. Je nutné si uvědomit, že zavedení označení B−A, respektive A+u,
nás nikterak neopravňuje k tomu, abychom pro počítání s body afinního prostoru
používali libovolná početní pravidla, která platí pro sečítání nebo odečítání reálných
čísel. Při odvozování početních pravidel pro výše zavedená zobrazení − (respektive
+) musíme důsledně vycházet pouze z axiomů (1) a (2) Definice 1.1. ♢
Věta 1.1. Nechť A, B ∈ A; u, v ∈ Z(A) a nechť o značí nulový vektor zaměření
Z(A). Pak platí:
1.
−→
AB = o ⇔ A = B; je tedy A + o = A .
2.
−→
AB = −
−→
BA .
3. A + (u + v) = (A + u) + v .
4. A + u = B + v ⇔
−→
AB = u − v .
Důkaz. 1. "⇐" Podle Definice 1.1 je
−→
AA+
−→
AA =
−→
AA. Přičtením vektoru opačného
k oběma stranám rovnice dostáváme
−→
AA = o.
"⇒" Nechť
−→
AB = o; podle předchozího je však
−→
AA = o, tzn. podle axiomu (1)
je A = B.
2. Podle Definice 1.1 je
−→
AB +
−→
BA =
−→
AA = o, tzn.
−→
BA = −
−→
AB.
3. Nechť B je bod takový, že
−→
AB = u a C je bod takový, že
−→
AC = u+v, tj. podle
naší Úmluvy 1.1 je B = A + u a C = A + (u + v). Potom
−−→
BC =
−→
BA +
−→
AC = −u +
(u+v) = v, neboli C = B +v. Dohromady A+(u+v) = C = B +v = (A+u)+v.
4. A + u = B + v ⇔ (A + u) − v = (B + v) − v ⇔ A + (u − v) = B + o = B ⇔
−→
AB = u − v.
Následující věta ukazuje, že zobrazení →
v definici afinního prostoru by bylo
možno nahradit zobrazením +. V některých učebnicích je možné se s tímto přístupem
skutečně setkat.
Věta 1.2. Nechť A je neprázdná množina, nechť V je vektorový prostor nad tělesem
R reálných čísel a nechť + : A × V → A je surjektivní zobrazení, splňující:
(i) Pro libovolný prvek A ∈ A platí A = A + u ⇔ u = o .
(ii) Pro libovolný prvek A ∈ A a libovolné vektory u, v ∈ V platí
A + (u + v) = (A + u) + v .
Pak na A je dána struktura afinního prostoru se zaměřením V .
1. Pojem afinního prostoru 4
Důkaz. Mějme libovolný bod A ∈ A a uvažujme zobrazení +(A, −) : V → A.
Potom toto zobrazení je bijekcí. Opravdu A + u = A + v ⇔ (A + u) − u = (A +
v) − u ⇔ A + (u − u) = A + (v − u) ⇔ A = A + (v − u) ⇔ v − u = o. Potom
inverzní zobrazení označíme →
(A, −) : A → V a protože A byl libovolný, dostáváme
zobrazení →
: A × A → V takové, že
−→
AB = u je ekvivalentní B = A + u. Toto
zobrazení evidentně splňuje axiom (1) Definice 1.1.
Abychom dokázali axiom (2) Definice 1.1, označme C = A+(u+v) a B = A+u.
Potom z (ii) C = B + v. Při našem určení zobrazení →
máme
−→
AC = u + v =
−→
AB +
−−→
BC.
Poznámka 1.3. Ve Větě 1.1 jsme ukázali, že axiomy (1) a (2) pro zobrazení →
implikují vlastnosti (i) a (ii) zobrazení + a ve Větě 1.2 naopak, že (i) a (ii) implikují
(1) a (2). Jsou tedy tyto dvě dvojice podmínek navzájem ekvivalentní a afinní prostor
bychom mohli definovat také pomocí zobrazení +, které splňuje axiomy (i) a (ii).
Afinní prostor tedy můžeme ekvivalentně chápat jako uspořádanou trojici (A, V, +),
kde zobrazení + : A × V → A splňuje podmínky (i) a (ii). Všude dále budeme
používat obou přístupů k pojmu afinního prostoru bez toho, že bychom mezi nimi
dělali rozdíly. ♢
Poznámka 1.4. Připomeňme, že zobrazení →
: A×A → V je vždy surjektivní, tzn.
platí {
−→
AB | A, B ∈ A} = V (což plyne bezprostředně z Definice 1.1), ale obecně není
injektivní (podle Věty 1.1 je totiž o =
−→
AA pro každý bod A ∈ A). Zobrazení →
je
tedy injektivní právě tehdy, když A je jednoprvková množina. Tuto situaci popisuje
následující Věta 1.3. ♢
Věta 1.3. Nechť A je afinní prostor. Pak platí, že
dim A = 0 ⇔ A je jednoprvková množina.
Důkaz. "⇒" Nechť dim A = 0, pak zaměření Z(A) musí být nulovým vektorovým
prostorem, tzn. Z(A) = {o}. Nechť A, B ∈ A libovolné, pak
−→
AB ∈ Z(A), tzn.
−→
AB = o, odtud A = B podle Věty 1.1. Je tedy A = {A}.
"⇐" Nechť A = {A}, pak podle Poznámky 1.4 je Z(A) = {
−→
AA}, tzn. Z(A)
= {o}, a platí dim A = 0.
Úloha 1.1. Nechť A = R3
a V = R3
. Pro libovolné A = (a1; a2; a3), B =
(b1; b2; b3) ∈ A položme
−→
AB = (a1 − b2; a2 − b3; a3 − b1). Rozhodněte, zda (A, V, →
)
je afinní prostor.
Řešení : Zřejmě A je neprázdná množina, V je vektorový prostor a →
je zobrazení
A × A do V . Zbývá tedy ověřit platnost axiomů (1) a (2) z Definice 1.1.
Ad (1). Nechť A = (a1; a2; a3) ∈ A, u = (u1; u2; u3) ∈ V jsou libovolné. Hledáme
bod B = (x1; x2; x3) ∈ A, splňující
−→
AB = u. Ale
−→
AB = (a1 − x2; a2 − x3; a3 − x1).
Odtud plyne a1 − x2 = u1, a2 − x3 = u2, a3 − x1 = u3, tj. x1 = a3 − u3, x2 = a1 − u1,
x3 = a2 − u2, a odtud plyne, že bod B s uvedenou vlastností existuje a je jediný.
2. Podprostory afinního prostoru 5
Ad (2). Nechť A = (a1; a2; a3), B = (b1; b2; b3), C = (c1; c2; c3) ∈ A jsou libovolné.
Pak
−→
AB +
−−→
BC = (a1 −b2; a2 −b3; a3 −b1)+(b1 −c2; b2 −c3; b3 −c1) = (a1 −b2 +
b1−c2; a2−b3+b2−c3; a3−b1+b3−c1). Na druhé straně
−→
AC = (a1−c2; a2−c3; a3−c1)
a obecně
−→
AB +
−−→
BC ̸=
−→
AC, a tedy A není afinním prostorem. △
Úloha 1.2. Nechť A je afinní prostor, nechť A, B, C, D ∈ A, u ∈ Z(A). Dokažte,
že platí:
1.
−→
AB +
−−→
CD =
−−→
AD +
−−→
CB .
2. (A + u) − C = (A − C) + u .
Řešení : 1.
−→
AB +
−−→
CD =
−→
AB + o +
−−→
CD =
−→
AB + (
−→
CA +
−→
AC) +
−−→
CD = (
−→
AC +
−−→
CD) + (
−→
CA +
−→
AB) =
−−→
AD +
−−→
CB .
2. Nejprve si uvědomme, že A + u je bod, respektive A − C je vektor, tzn. obě
strany rovnice dávají smysl a jsou to vektory ze Z(A). Označme B = A + u, tzn.
B − A = u. Potom
(A + u) − C = B − C = (B − A) + (A − C) = (A − C) + u . △
2 Podprostory afinního prostoru
Základním geometrickým útvarem v afinním prostoru, kterým se budeme v těchto
skriptech zabývat, je afinní podprostor. V tomto paragrafu zavedeme pojem afinního
podprostoru a budeme studovat základní vlastnosti a způsoby zadání afinního
podprostoru.
Definice 2.1. Nechť A je afinní prostor se zaměřením V . Nechť B je neprázdná
podmnožina A a nechť W = {
−−→
XY |X, Y ∈ B}. Jestliže platí:
(1) W je vektorovým podprostorem ve V ,
(2) pro libovolný bod X ∈ B a libovolný vektor u ∈ W existuje bod Y ∈ B
s vlastností
−−→
XY = u,
pak B nazýváme afinním podprostorem v A se zaměřením W (respektive podprostorem
v A).
Poznámka 2.1. Bod Y v axiomu (2) Definice 2.1 existuje zřejmě jediný (plyne
z Definice 1.1 afinního prostoru A). Vidíme tedy, že afinní podprostor B je sám
afinním prostorem, přičemž jeho zaměření Z(B) = W a zobrazení B × B → W
požadované v definici afinního prostoru obdržíme jako zúžení zobrazení →
: A×A →
V na množinu B × B. Je-li tedy podprostor B sám afinním prostorem, můžeme mj.
hovořit o jeho dimenzi, přičemž dim B = dim W. ♢
Poznámka 2.2. Z Definice 2.1 vyplývá, že zatímco pro totožnost afinních prostorů
bylo nutno, aby se rovnaly uspořádané trojice
(A, Z(A), →
) = (A′
, Z(A′
), →′
) ,
2. Podprostory afinního prostoru 6
pro totožnost dvou podprostorů daného afinního prostoru stačí, aby se rovnaly množiny
bodů. Rovnost zaměření a totožnost příslušných zobrazení je již důsledkem
Definice 2.1. ♢
Poznámka 2.3. Ukážeme si, že v Definici 2.1 afinního podprostoru jsou nutné oba
axiomy (1) a (2). Uvažujme kanonický afinní prostor R2
(viz Příklad 1.2). Potom:
1. Podmnožina B = {(a, 0)|a ∈ R, a ̸= 0} ⊂ R2
splňuje axiom (1), ale nesplňuje
axiom (2). Opravdu, pro bod A = (a, 0) a vektor u = (−a, 0), bod B = A + u =
(0, 0) ̸= B.
2. Podmnožina B = {(a, 0)|a ∈ Z} ⊂ R2
splňuje axiom (2), ale nesplňuje axiom
(1). Opravdu, W = {(a, 0)|a ∈ Z} ⊂ R2
není vektorový podprostor, protože není
uzavřená vzhledem k násobení reálnými čísly.
3. Podmnožina B = {(a, 0)|a ∈ R} ⊂ R2
splňuje oba axiomy (1) a (2) a jedná se
tedy o afinní podprostor (dimenze jedna). ♢
Věta 2.1. Nechť B, B′
jsou podprostory v A. Pak
B ⊆ B′
=⇒ Z(B) ⊆ Z(B′
) a dim B ≤ dim B′
.
Důkaz. Tvrzení je zřejmé z Definice 2.1.
Definice 2.2. Nechť B je podprostor v A. Je-li dim B = 0 (respektive 1, respektive
2, respektive (dim A−1)), pak podprostor B nazýváme bodem (respektive přímkou,
respektive rovinou, respektive nadrovinou) prostoru A.
Podprostory dimenze 0 (body) a n (celý prostor) nazýváme triviální podprostory.
Je vidět, že zavedené pojmy přímka a rovina odpovídají vžitým středoškolským
představám. Pojem nadrovina se na střední škole nezaváděl, protože v názorné rovině
je nadrovinou přímka, respektive v názorném prostoru je nadrovinou rovina, tedy
útvary, které již mají své pojmenování. Pro označení přímek (respektive rovin) budeme,
kromě zavedeného označení, používat též často označování malými latinskými
(respektive řeckými) písmeny.
Úmluva 2.1. Nechť A ∈ A je bod a W ⊆ V je vektorový podprostor ve V . Pak
symbolem {A; W} budeme označovat podmnožinu v A tvaru
{A; W} = {A + w | w ∈ W} . ♢ (2.1)
Věta 2.2. Nechť A ∈ A je bod a W je podprostor zaměření Z(A). Pak:
1. {A; W} je podprostor v A se zaměřením W.
2. Je-li B podprostor v A takový, že A ∈ B a Z(B) = W, pak je
B = {A; W}.
Důkaz. 1. Označme B′
= {A; W}, respektive W′
= {
−−→
XY |X, Y ∈ B′
}. Zřejmě je
∅ ̸= B′
⊆ A. Dále platí, že W = W′
(je-li w ∈ W, pak A + w = T ∈ B′
, přičemž
2. Podprostory afinního prostoru 7
A ∈ B′
. Tedy w =
−→
AT ∈ W′
. Naopak, nechť
−−→
XY ∈ W′
. Pak X = A+u, Y = A+v,
kde u, v ∈ W. Pak ale
−−→
XY =
−−→
XA +
−→
AY = −u + v ∈ W). Tedy W′
= W je
podprostor ve V .
Dále, nechť X ∈ B′
, u ∈ W′
libovolné. Pak (podle Definice 1.1 afinního prostoru
A) existuje jediný bod Y ∈ A s vlastností:
−−→
XY = u. Ale
−→
AY =
−−→
AX +
−−→
XY =
−−→
AX + u ∈ W′
= W, tzn. Y = (A +
−−→
AX) + u = A + (
−−→
AX + u) ∈ B′
, a tvrzení platí.
2. “⊆" Nechť X ∈ B, pak
−−→
AX ∈ W, tzn. X = A +
−−→
AX ∈ {A; W}.
“⊇" Nechť X ∈ {A; W}; pak X = A + w, kde w ∈ W. Tedy
−−→
AX = w ∈ W;
A ∈ B, tzn. podle Definice 2.1 je X ∈ B.
Důsledek 2.1. Nechť B, B′
jsou dva podprostory v A takové, že Z(B) = Z(B′
) a
B ∩ B′
̸= ∅. Potom B = B′
.
Důkaz. Nechť A ∈ B ∩ B′
, potom B = {A; Z(B)} = {A; Z(B′
)} = B′
.
Poznámka 2.4. Z předchozí věty plyne, že každý podprostor afinního prostoru A
je jednoznačně určen zadáním dvou údajů, a to zadáním jednoho svého bodu a
zadáním svého zaměření. ♢
Definice 2.3. Nechť B, B′
jsou dva podprostory v A. Je-li B ∩ B′
̸= ∅ (respektive
B∩B′
= ∅), pak říkáme, že podprostory B a B′
se protínají (respektive neprotínají).
Je-li bod A ∈ B, pak říkáme, že podprostor B prochází bodem A.
Jsou-li oba podprostory 0-dimenzionální (tj. body), potom říkáme, že jsou totožné
nebo různé.
Protínání dvou podprostorů charakterizuje následující důležitá věta.
Věta 2.3. Nechť B1 = {B1; W1}, B2 = {B2; W2} jsou podprostory afinního prostoru
A. Pak podprostory B1, B2 se protínají ⇔
−−−→
B1B2 ∈ W1 + W2.
Důkaz. “⇒" Nechť B1 ∩ B2 ̸= ∅ a nechť A ∈ B1 ∩ B2. Pak
−−→
B1A ∈ W1,
−−→
AB2 ∈ W2,
odkud
−−−→
B1B2 =
−−→
B1A +
−−→
AB2 ∈ W1 + W2.
“⇐" Nechť
−−−→
B1B2 ∈ W1 + W2, tzn.
−−−→
B1B2 = w1 + w2, kde w1 ∈ W1, w2 ∈ W2.
Pak B1 + w1 = B1 + (
−−−→
B1B2 − w2) = (B1 +
−−−→
B1B2) + (−w2) = B2 + (−w2) ∈ B1 ∩ B2.
Tedy B1 ∩ B2 ̸= ∅.
Poznámka 2.5. Uvědomme si, jaký je rozdíl mezi podprostory vektorového prostoru
a afinního prostoru. Zatímco ve vektorových prostorech mají každé dva vektorové
podprostory neprázdný průnik, v afinním prostoru mohou být podprostory
disjunktní. ♢
Věta 2.4. Nechť I je neprázdná indexová množina, nechť Bi, i ∈ I, jsou podprostory
afinního prostoru A a nechť B = ∩i∈IBi ̸= ∅. Pak B je podprostorem afinního
prostoru A se zaměřením Z(B) = ∩i∈IZ(Bi).
2. Podprostory afinního prostoru 8
Důkaz. Ověříme jednotlivé požadavky z Definice 2.1. Především, podle předpokladu,
je B ̸= ∅. Dále označme W = {
−−→
XY |X, Y ∈ B}. Poněvadž Z(Bi) = {
−−→
XY |X, Y ∈
Bi}, je zřejmě W = ∩Z(Bi) (i ∈ I), a tedy (viz [Ho94]) W je vektorový podprostor
v Z(A).
Dále, nechť X ∈ B, u ∈ W jsou libovolné. Pak existuje jediný bod Y ∈ A
takový, že
−−→
XY = u. Ale X ∈ Bi, u ∈ Z(Bi), a tedy Y ∈ Bi, pro každé i ∈ I. Pak je
Y ∈ B.
Důsledek 2.2. Nechť M je neprázdná podmnožina v afinním prostoru A. Pak
B = ∩Bi (Bi je afinní podprostor v A; Bi ⊇ M)
je nejmenší (vzhledem k množinové inkluzi) afinní podprostor v A, který obsahuje
množinu M.
Důkaz. Především, existuje vždy alespoň jeden podprostor v A s uvedenou vlastností
(totiž prostor A samotný), a tedy symbol ∩Bi má smysl. Podle předchozí věty
je B podprostorem v A, respektive z vlastností množinového průniku plyne, že B je
nejmenší podprostor obsahující množinu M.
Definice 2.4. Nechť platí předpoklady a označení z předchozího Důsledku 2.2.
Pak B se nazývá afinní podprostor v A generovaný množinou M a označuje se
obvykle symbolem ⟨M⟩. Podprostor ⟨M⟩ budeme také nazývát afinní obal množiny
M.
V případě, že množina M je konečná, například M = {A0, A1, . . . , Ak}, pak
místo ⟨{A0, A1, . . . , Ak}⟩ píšeme stručně ⟨A0, A1, . . . , Ak⟩ a hovoříme o afinním
podprostoru generovaném body A0, A1, . . . , Ak.
Je-li podprostor ⟨A0, A1, . . . , Ak⟩ k-rozměrný, pak body A0, A1, . . . , Ak nazýváme
body v obecné poloze.
Poznámka 2.6. Je-li speciálně množina M podprostorem, pak zřejmě ⟨M⟩ = M,
jinak je vždy M ⊂ ⟨M⟩. Přímo z definice je rovněž zřejmé, že leží-li více než (k + 1)
bodů v nějakém k-rozměrném prostoru v A, pak tyto body nemohou být v obecné
poloze.
Vezmeme-li například za prostor A afinní názorný prostor (viz Příklad 1.1) a je-li
M = {A0, A1, A2}, pak ⟨M⟩ může být buď bod (je-li A0 = A1 = A2) nebo přímka
(leží-li A0, A1, A2 na jedné přímce) nebo rovina (neleží-li A0, A1, A2 na jedné přímce).
V posledním případě jsou body A0, A1, A2 v obecné poloze, kdežto v předchozích
dvou případech nikoliv. ♢
Věta 2.5. Nechť k ≥ 0 je celé číslo a A0, A1, . . . , Ak ∈ A. Pak platí
⟨A0, A1, . . . , Ak⟩ = {Ai; L(
−−−→
AiA0,
−−−→
AiA1, . . . ,
−−−→
AiAk)}
pro libovolné i = 0, 1, · · · , k.
2. Podprostory afinního prostoru 9
Důkaz. Označme B = {Ai; L(
−−−→
AiA0, . . . ,
−−−→
AiAk)}. Zřejmě A0, . . . , Ak ∈ B, tzn. pak
⟨A0, . . . , Ak⟩ ⊆ B, odkud podle Věty 2.1 je Z(⟨A0, . . . , Ak⟩) ⊆ Z(B). Naopak, zřejmě
Z(B) = L(
−−−→
AiA0, . . . ,
−−−→
AiAk) ⊆ Z(⟨A0, . . . , Ak⟩), a tedy oba podprostory mají stejná
zaměření a navíc se jistě protínají. Podle Důsledku 2.1 pak platí dokazovaná rovnost.
Důsledek 2.3. V libovolném k-rozměrném podprostoru v A lze nalézt (k + 1) bodů
v obecné poloze.
Důkaz. Nechť B = {B; W} je k-rozměrný podprostor v A. Je-li k = 0, pak tvrzení
triviálně platí (bod B sám je v obecné poloze). Nechť tedy k ≥ 1 a nechť w1, . . . , wk
je báze zaměření W. Pak dle Věty 2.5 body B, B +w1, . . . , B +wk (kterých je k+1)
generují B, a jsou tedy v obecné poloze, neboť dim B = k.
Poznámka 2.7. Definice 2.4 afinního obalu množiny je podobná, jako byla v lineární
algebře definice lineárního obalu množiny. Z toho vychází i následující definice
součtu podprostorů afinního prostoru. Na rozdíl od součtu vektorových podprostorů
však ale nemůžeme definovat součet afinních podprostorů pomocí součtu bodů a neexistuje
pojem přímého součtu. ♢
Definice 2.5. Nechť s je přirozené číslo a B1, B2, . . . , Bs jsou podprostory afinního
prostoru A. Pak podprostor ⟨B1 ∪ B2 · · · ∪ Bs⟩ nazýváme součtem (spojením)
podprostorů B1, B2, . . . , Bs a označujeme ho B1 + B2 + · · · + Bs.
Poznámka 2.8. Uvědomme si dobře, že množinové sjednocení konečného počtu
podprostorů afinního prostoru A nemusí být obecně podprostorem v A. Představme
si například v afinním názorném prostoru (viz Příklad 1.1) dvě různé rovnoběžné
přímky. Pak jejich množinovým sjednocením jistě není podprostor. Z názoru je
zřejmé, že součtem těchto dvou přímek bude rovina, která obě přímky obsahuje. Na
druhé straně, uvážíme-li v názorném prostoru pevnou přímku a dále rovinu, která
tuto přímku obsahuje, pak množinové sjednocení těchto dvou podprostorů je rovno
jejich součtu, kterým je daná rovina. Obecně o určení a dimenzi součtu libovolných
dvou podprostorů afinního prostoru hovoří následující věta. ♢
Věta 2.6. Nechť B1 = {B1; W1}, B2 = {B2; W2} jsou afinní podprostory v A. Pak:
1. B1 + B2 = {B1; W1 + W2 + L(
−−−→
B1B2)}.
2. dim(B1 + B2) =
dim(W1 + W2) je-li B1 ∩ B2 ̸= ∅,
dim(W1 + W2) + 1 je-li B1 ∩ B2 = ∅.
Důkaz. 1. Označme B = {B1; W1 + W2 + L(
−−−→
B1B2)}. Potom zřejmě platí B2 =
B1 +
−−−→
B1B2 ∈ B.
Bezprostředním rozepsáním se ověří, že B ⊇ B1 ∪ B2. Dále nechť C je podprostor
v A takový, že C ⊇ B1 ∪ B2. Pak podle Věty 2.1 je W1, W2 ⊆ Z(C) a navíc
2. Podprostory afinního prostoru 10
−−−→
B1B2 ∈ Z(C), tzn. L(
−−−→
B1B2) ⊆ Z(C). Tedy je W1 + W2 + L(
−−−→
B1B2) ⊆ Z(C), odkud
již dostáváme, že B ⊆ C.
Tedy B je nejmenší podprostor obsahující B1 ∪ B2, neboli B = B1 + B2.
2. Je-li B1 ∩ B2 ̸= ∅, pak podle Věty 2.3 je
−−−→
B1B2 ∈ W1 + W2, tzn. L(
−−−→
B1B2) ⊆
W1 + W2, odkud pak W1 + W2 + L(
−−−→
B1B2) = W1 + W2.
Je-li B1 ∩ B2 = ∅, pak podle Věty 2.3 je o ̸=
−−−→
B1B2 /∈ W1 + W2, odkud dostáváme
(W1 + W2) ∩ L(
−−−→
B1B2) = {o}. Užitím věty o dimenzi součtu a průniku vektorových
podprostorů dostáváme: dim(B1 + B2) = dim((W1 + W2) + L(
−−−→
B1B2)) = dim(W1 +
W2) + dim L(
−−−→
B1B2) − dim((W1 + W2) ∩ L(
−−−→
B1B2)) = dim(W1 + W2) + 1.
Důsledek 2.4. Nechť B1 = {B1; W1}, B2 = {B2; W2} jsou afinní podprostory v A
takové, že B1 ∩ B2 ̸= ∅. Potom
dim(B1 + B2) = dim B1 + dim B2 − dim(B1 ∩ B2) .
Důkaz. Podle Věty 2.6 máme
dim(B1 + B2) = dim(W1 + W2) = dim W1 + dim W2 − dim(W1 ∩ W2) .
Poznámka 2.9. Mějme v afinním prostoru dva různé body A, B. Jejich součet jako
bodů neexistuje ale existuje součet jednodimenzionálních podprostorů {A} + {B},
kterým je přímka AB. ♢
Úloha 2.1. Nechť A je 4-rozměrný kanonický prostor (viz Příklad 1.2) a nechť
B1 = {B1; W1}, B2 = ⟨A0, A1, A2, A3⟩ jsou podprostory v A, přičemž:
A0 = (1; −1; 1; 1), A1 = (2; 0; 1; 1), A2 = (0; −1; 1; 0), A3 = (1; 0; 1; 0),
B1 = (1; 1; 1; 2); W1 = {(x1; x2; x3; x4)|x1 = 0, x3 = 0}. Potom:
1. Zjistěte, zda body A0, A1, A2, A3 jsou v obecné poloze.
2. Rozhodněte, zda se podprostory B1, B2 protínají.
3. Nalezněte součet B1 + B2 a určete jeho dimenzi.
Řešení : 1. Podle Věty 2.5 je dim B2 = dim L(
−−−→
A0A1,
−−−→
A0A2,
−−−→
A0A3). Ale (viz Příklad
1.2)
−−−→
A0A1 = (1; 1; 0; 0),
−−−→
A0A2 = (−1; 0; 0; −1),
−−−→
A0A3 = (0; 1; 0; −1). Nyní stačí
matici, v jejíchž řádcích jsou uvedené vektory, převést na schodovitý tvar. Tedy


1 1 0 0
−1 0 0 −1
0 1 0 −1

 ∼


1 1 0 0
0 1 0 −1
0 0 0 0

 odkud ihned plyne, že dim B2 = 2,
a tedy body A0, A1, A2, A3 nejsou v obecné poloze.
2. Bází W1 jsou například vektory: u1 = (0, 1, 0, 0), u2 = (0, 0, 0, 1), respektive
bází Z(B2) jsou podle 1. části úlohy například vektory
−−−→
A0A1,
−−−→
A0A2. Podle Věty
2.3 stačí nyní ověřit, zda
−−−→
B1A0 ∈ W1 + Z(B1) nebo nikoliv. K tomu zřejmě stačí
pouze převést matici, v jejíchž řádcích jsou zapsány vektory báze W1, báze Z(B2) a
3. Afinní repér, afinní souřadnice 11
vektor
−−−→
B1A0, na schodovitý tvar. Lze-li úpravu provést tak, že nakonec vektor
−−−→
B1A0
přejde v nulový vektor, pak
−−−→
B1A0 ∈ W1 + Z(B2), v opačném případě nikoliv. Ale
−−−→
B1A0 = (0, 2, 0, 1), tzn.







0 1 0 0
0 0 0 1
1 1 0 0
−1 0 0 −1
. . . . . . . . . . . . . .
0 2 0 1







∼







1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 1 0 1
. . . . . . . . . .
0 2 0 1







∼







1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
. . . . . . . . . .
0 0 0 0







,
a tedy B1, B2 se protínají.
Poznamenejme, že při úpravě předchozí matice na schodovitý tvar je nejpraktičtější
napsat vektor
−−−→
B1A0 do matice až jako poslední, oddělit jej například vodorovnou
čarou a při provádění úprav jej stále ponechávat v matici jako poslední řádek.
3. Podle Věty 2.6 a výpočtem provedeným ve 2. části úlohy ihned dostáváme, že
například B1 +B2 = {B1; W}, kde W = L(
−−−→
A0A1, u1, u2), přičemž platí, že dim(B1 +
B2) = dim W = 3. △
3 Afinní repér, afinní souřadnice
Připomeňme, že s pojmem souřadnic jsme se setkali v lineární algebře, při studiu vektorových
prostorů. Je-li totiž V vektorový prostor a systém vektorů B = ⟨e1, . . . , en⟩
je bází V , pak libovolný vektor u ∈ V lze jediným způsobem vyjádřit jako lineární
kombinaci vektorů této báze, tzn. ve tvaru
u = u1e1 + · · · + unen. (3.1)
Uspořádanou n-tici koeficientů (u1; . . . ; un) pak nazýváme souřadnicemi vektoru u
v bázi B. Báze tedy určuje bijekci V na Rn
a při ztotožnění vektoru u s uspořádanou
n-ticí jeho souřadnic budeme psát u = (u1; . . . ; un). Abychom mohli používat
zkrácených maticových zápisů, budeme sloupcovou matici tvořenou souřadnicemi
vektoru u v bázi B označovat symbolem (u)B, tzn. (u)B =



u1
...
un


.
Dále, je-li B ′
= ⟨d1, . . . , dn⟩ další báze vektorového prostoru V a platí
dj = a1je1 + a2je2 + · · · + anjen, pro j = 1, . . . , n ,
pak matice A = (aij), tj. matice, v jejíchž sloupcích vystupují souřadnice vektorů
d1, . . . , dn vyjádřené v bázi B, se nazývá maticí přechodu od báze B k bázi B ′
. Pro
vztah mezi souřadnicemí vektoru u vzhledem k těmto bázím potom platí
(u)B = A(u)B′ .
3. Afinní repér, afinní souřadnice 12
Definice 3.1. Nechť A je afinní prostor, dim A ≥ 1, nechť P ∈ A je pevný bod
a nechť B = ⟨e1, . . . , en⟩ je báze zaměření Z(A). Afinním repérem (nebo afinním
souřadnicovým systémem) v A rozumíme systém
R = ⟨P; e1, . . . , en⟩ . (3.2)
Bod P se nazývá počátek a vektory e1, . . . , en se nazývají základní vektory afinního
repéru (3.2).
Přímky xi = {P; L(ei)} se nazývají osy afinních souřadnic (nebo souřadné osy
afinního repéru).
Obr. 3.1
Uvažujme bod X ∈ A a afinní repér (3.2). Potom existuje jediná uspořádaná
n-tice reálných čísel xi, i = 1, . . . , n, splňující
−−→
PX = x1e1 + · · · + xnen , (3.3)
nebo ekvivalentně
X = P + x1e1 + · · · + xnen . (3.4)
Definice 3.2. Nechť R = ⟨P; e1, . . . , en⟩ je afinní repér v A a X ∈ A je bod.
Uspořádaná n-tice reálných čísel xi, i = 1, . . . , n, splňující (3.3), se nazývá souřadnicemi
bodu X v afinním repéru R (nebo afinními souřadnicemi bodu X vzhledem
k repéru R ). Píšeme X = [x1; . . . ; xn].
Souřadnicemi vektoru u ∈ Z(A) v afinním repéru (3.2) nazýváme souřadnice
vektoru u v bázi B = ⟨e1, . . . , en⟩, tzn. uspořádanou n-tici reálných čísel ui, i =
1, . . . , n, splňující (3.1). Píšeme u = (u1; . . . ; nn).
Úmluva 3.1. Vzhledem k jednoznačnosti vyjádření (3.1) a (3.3) jsou souřadnice
bodů i vektorů v daném afinním repéru určeny jednoznačně, a tedy dva body (respektive
vektory) mají stejné souřadnice právě tehdy, když jsou si rovny. Tohoto
3. Afinní repér, afinní souřadnice 13
faktu budeme nyní často využívat v tom smyslu, že při studiu pojmů a zejména
řešení úloh, které jsou nezávislé na volbě afinního repéru v A (a těch bude drtivá
většina), budeme pracovat se souřadnicemi bodů (respektive vektorů) v nějakém
pevném afinním repéru a nebudeme muset zadávat, jak konkrétně afinní prostor A
vypadá.
Zaveď me tedy úmluvu, že v dalším (nebude-li výslovně řečeno jinak) budeme
stále předpokládat, že v A je zadán pevný afinní repér (3.2), v němž budeme souřadnice
všech bodů (respektive vektorů) vyjadřovat.
Dále, pro odlišení souřadnic bodů a vektorů, budeme důsledně používat hranaté
závorky pro body a kulaté pro vektory. ♢
Úmluva 3.2. Afinní repér R (určený bází zaměření B) tedy určuje bijekce
R : An → Rn
,
B : Z(An) → Rn
.
Při ztotožnění bodu X ∈ An (respektive vektoru u ∈ Z(An)) s uspořádanou n-ticí
jeho souřadnic budeme psát X = [x1; . . . ; xn] místo R(X) = [x1; . . . ; xn] (respektive
u = (u1; . . . ; un) místo B(u) = (u1; . . . ; un)). Abychom mohli používat zkrácených
maticových zápisů, budeme označovat (X) =



x1
...
xn


 (respektive (u) =



u1
...
un


)
sloupcovou matici tvořenou souřadnicemi bodu X (respektive vektoru u) vzhledem
k repéru R. ♢
Úmluva 3.3. V afinním prostoru dimenze dva, tj. v afinní rovině, budeme zpravidla
afinní souřadnice bodů označovat X = [x; y] a příslušné osy souřadnic budeme
nazývat osa x a osa y.
Podobně v afinním prostoru dimenze tři budeme zpravidla afinní souřadnice bodů
označovat X = [x; y; z] a příslušné osy souřadnic budeme nazývat osa x, osa y a osa
z. ♢
Nyní uvedeme několik jednoduchých důsledků, které bezprostředně vyplývají z
předchozí Definice 3.2 a které budeme v dalším velmi často (již bez odkazu) používat.
Především je zřejmě, že počátek P má všechny souřadnice rovny nule, tzn. P =
[0; . . . ; 0], neboť
−→
PP = o = 0e1 + · · · + 0en. Dále nechť X, Y ∈ A jsou libovolné
body, přičemž
X = [x1; . . . ; xn], Y = [y1; . . . ; yn] .
Víme, že body X, Y je jednoznačně určen vektor
−−→
XY = Y − X ∈ Z(A). Hledejme
nyní souřadnice tohoto vektoru. Ale
−−→
XY =
−−→
XP +
−→
PY =
−→
PY −
−−→
PX = y1e1 + · · · +
ynen − (x1e1 + · · · + xnen) = (y1 − x1)e1 + · · · + (yn − xn)en. Je tedy
−−→
XY = Y − X = (y1 − x1; . . . ; yn − xn) . (3.5)
3. Afinní repér, afinní souřadnice 14
Je-li dále u = (u1; . . . ; un) ∈ Z(A) vektor, pak je zřejmě
−−→
XY = u právě když
y1 − x1 = u1, . . . , yn − xn = un. Jinak řečeno
Y = X + u ⇔ yi = xi + ui, pro i = 1, . . . , n . (3.6)
Poznámka 3.1. Z (3.5) a (3.6) vyplývá, že vlastnosti zobrazení + a −, které jsme
popsali ve Větě 1.1, odpovídají při přechodu k afinním souřadnicím přesně vlastnostem
operací sčítání a odečítání uspořádaných n-tic reálných čísel. ♢
V další části tohoto paragrafu budeme studovat vzájemný vztah souřadnic jednoho
pevného bodu (respektive vektoru) vzhledem ke dvěma různým afinním repérům
v prostoru A. Nechť tedy v A jsou dány dva afinní repéry
R = ⟨P; e1, . . . , en⟩ , (3.7)
R ′
= ⟨P′
; e′
1, . . . , e′
n⟩ , (3.8)
přičemž P′
= [b1; . . . ; bn] je souřadnicové vyjádření bodu P′
vzhledem k repéru R
a A = (aij) je matice přechodu od báze ⟨e1, . . . , en⟩ k bázi ⟨e′
1, . . . , e′
n⟩ zaměření
Z(A), tzn. platí
e′
j =
n
i=1
aijei pro j = 1, . . . , n.
Konečně, nechť X ∈ A je pevný bod, přičemž X = [x1; . . . ; xn] vzhledem k repéru
R, respektive X = [x′
1; . . . ; x′
n] vzhledem k repéru R ′
.
Obr. 3.2
Při tomto označení platí
−−→
PX = x1e1 + · · · + xnen,
−−→
P′
X = x′
1e′
1 + · · · + x′
ne′
n,
−−→
PP′
= b1e1 + · · · + bnen.
Po dosazení za e′
j, j = 1, . . . , n, dostáváme
−−→
P′
X = x′
1 ·
n
i=1
ai1ei + · · · + x′
n ·
n
i=1
ainei .
3. Afinní repér, afinní souřadnice 15
Přitom zřejmě platí
−−→
PX =
−−→
PP′
+
−−→
P′
X (viz Obr. 3.2), odkud po dosazení a upravení
je
x1e1 + · · · + xnen = b1e1 + · · · + bnen
+
n
j=1
a1jx′
j e1 + · · · +
n
j=1
anjx′
j en .
Z jednoznačnosti tohoto vyjádření, porovnáním koeficientů u ei, i = 1, . . . , n, nyní
dostáváme
x1 = a11x′
1 + a12x′
2 + · · · + a1nx′
n + b1 ,
...
xn = an1x′
1 + an2x′
2 + · · · + annx′
n + bn .
(3.9)
Rovnice (3.9) můžeme stručně zapsat ve tvaru
xj =
n
i=1
ajix′
i + bj , j = 1, . . . , n, (3.10)
respektive, použijeme-li maticového zápisu, pak
(X)R = A(X′
)R′ + B , (3.11)
kde sloupcová matice (X′
)R′ je tvořena souřadnicemi bodu X vzhledem k repéru
R ′
a sloupcová matice B je tvořena souřadnicemi bodu P′
vzhledem k repéru R.
Podobně, je-li u ∈ Z(A)vektor, přičemž u = (u1; . . . ; un) vzhledem k repéru R,
respektive u = (u′
1; . . . ; u′
n) vzhledem k repéru R ′
, pak (jak bylo odvozeno v algebře,
[Ho94]) stejným způsobem dostáváme
u1 = a11u′
1 + a12u′
2 + · · · + a1nu′
n ,
...
un = an1u′
1 + an2u′
2 + · · · + annu′
n ,
(3.12)
respektive, použijeme-li maticového zápisu, pak
(u)R = A(u′
)R′ , (3.13)
kde sloupcová matice (u′
)R′ je tvořena souřadnicemi vektoru u vzhledem k repéru
R ′
.
Definice 3.3. Rovnice (3.10) a (3.11) (respektive rovnice (3.12) a (3.13)) nazýváme
transformační rovnice pro souřadnice bodů (respektive vektorů) při přechodu
od repéru (3.7) k repéru (3.8).
Matice A se nazývá matice přechodu od repéru (3.7) k repéru (3.8).
3. Afinní repér, afinní souřadnice 16
Poznámka 3.2. Všude dále, pokud nemůže dojít k záměně, budeme označení repérů
ve zkrácených zápisech transformací souřadnic vynechávat.
Pokud bychom potřebovali vyjádřit souřadnice vzhledem k repéru (3.8) (tj. "čárkované")
pomocí souřadnic vzhledem k repéru (3.7) (tj. "nečárkovaných"), pak stačí
jednoduše v maticových rovnicích (3.11) (respektive (3.13)) obě strany vynásobit
zleva maticí A−1
(která musí existovat, neboť matice přechodu A je vždy regulární,
jak víme z algebry, [Ho94]) a dostaneme
(X′
) = A−1
(X) − A−1
B, respektive (u′
) = A−1
(u) , (3.14)
a je tedy matice A−1
maticí přechodu od repéru (3.8) k repéru (3.7).
Z předchozího dále vyplývá, že zadáním (3.7) a (3.8) je jednoznačně určena
matice A a čísla b1, . . . , bn splňující transformační rovnice (3.9) a (3.12). Velmi jednoduše
lze ukázat, že naopak, zadáme-li afinní repér (3.7), regulární matici A (řádu
n) a čísla b1, . . . , bn, pak existuje právě jeden afinní repér (3.8) v An tak, že platí
(3.9) a (3.12). ♢
Poznámka 3.3. Označíme-li bijekci An na Rn
určenou repérem R (respektive R ′
)
stejným symbolem R (respektive R ′
), pak transformační rovnice přechodu pro souřadnice
bodů od repéru R k repéru R ′
můžeme chápat jako zobrazení Rn
na Rn
,
které je dáno složením R ◦ (R ′
)−1
podle následujícího diagramu
Rn
d
d
d
dd‚
(R ′
)−1
E Rn
 
 
 
  
R
An ♢
Úloha 3.1. Ve 3-rozměrném afinním prostoru A3 jsou dány afinní repéry R =
⟨P; e1, e2, e3⟩ a R ′
= ⟨P′
; e′
1, e′
2, e′
3⟩ a dále jsou dány transformační rovnice pro
souřadnice bodů při přechodu od repéru R k repéru R ′
x = 3x′
− 4y′
+ 5z′
+ 2 ,
y = 2x′
− 3y′
+ z′
,
z = 3x′
− 5y′
− z′
− 1 .
Napište transformační rovnice pro souřadnice bodů a transformační rovnice pro
souřadnice vektorů při přechodu od repéru R ′
k repéru R.
Řešení : Matice přechodu A má v našem případě tvar
A =


3 −4 5
2 −3 1
3 −5 −1

 .
4. Orientace afinního prostoru 17
Nyní (některou z metod odvozených v algebře) spočteme inverzní matici A−1
. Do-
staneme
A−1
=


−8 29 −11
−5 18 −7
1 −3 1

 , a odtud A−1
·


2
0
−1

 =


−5
−3
1

 ,
a podle (3.14) můžeme přímo psát výsledné transformační rovnice při přechodu od
repéru R ′
k repéru R, a to
(i) pro souřadnice bodů (ii) pro souřadnice vektorů
x′
= −8x + 29y − 11z + 5 , u′
1 = −8u1 + 29u2 − 11u3 ,
y′
= −5x + 18y − 7z + 3 , u′
2 = −5u1 + 18u2 − 7u3 ,
z′
= x − 3y + z − 1 , u′
3 = u1 − 3u2 + u3 . △
4 Orientace afinního prostoru
V tomto paragrafu se stručně zmíníme o pojmu orientace afinního prostoru An.
Studium tohoto pojmu převedeme na úvahy o zaměření Z(An) afinního prostoru
An (tzn. na úvahy o vektorových prostorech). Takovýto obrat, jak uvidíme, budeme
v různých souvislostech poměrně často používat. Zabývejme se tedy nejprve bázemi
n-rozměrného (reálného) vektorového prostoru Vn.
Definice 4.1. Nechť
B = ⟨e1, . . . , en⟩ , (4.1)
B ′
= ⟨e′
1, . . . , e′
n⟩ (4.2)
jsou báze vektorového prostoru Vn (nad R). Báze (4.1) a (4.2) nazveme souhlasné
(respektive nesouhlasné), je-li determinant matice přechodu od báze (4.1) k bázi
(4.2) číslo kladné (respektive záporné).
Dále, na množině všech bází prostoru V definujeme relaci ∼ takto:
B ∼ B ′
právě když B, B ′
jsou souhlasné báze.
Poznámka 4.1. Vzhledem k tomu, že matice přechodu od jedné báze k jiné bázi
prostoru Vn je regulární, musí být její determinant různý od nuly (tzn. je buď kladný
nebo záporný) a předchozí definice je korektní. Následující věta si blíže všimne právě
definované relace ∼. ♢
Věta 4.1. Relace ∼ je relací ekvivalence na množině všech bází vektorového prostoru
Vn a rozklad M/∼ příslušný ekvivalenci ∼ má dvě třídy.
4. Orientace afinního prostoru 18
Důkaz. Nejprve ukážeme, že ∼ je relací ekvivalence na množině všech bází prostoru
Vn. Ale reflexivita ∼ plyne z toho, že maticí přechodu od báze (4.1) k bázi (4.1) je
jednotková matice En, přičemž |En| = 1 > 0. Symetričnost relace ∼ plyne z toho,
že je-li A maticí přechodu od báze (4.1) k bázi (4.2), pak A−1
je maticí přechodu
od báze (4.2) k bázi (4.1) a platí |A−1
| = 1
|A|
. Jsou tedy determinanty |A| a |A−1
|
buď oba kladné nebo oba záporné. Tranzitivita relace ∼ pak plyne z Cauchyovy
věty o součinu determinantů. Tedy ∼ je skutečně relací ekvivalence.
Nyní nalezneme počet tříd rozkladu M/∼. Uvažme bázi
B ′′
= ⟨−e1, e2, . . . , en⟩ (4.3)
a označme symbolem A (respektive B, respektive C) matici přechodu od báze (4.1)
k bázi (4.2) (respektive od báze (4.2) k bázi (4.3), respektive od báze (4.1) k bázi
(4.3)). Z algebry víme, že platí C = A · B, tzn. podle Cauchyovy věty je pak
|C| = |A| · |B| . (4.4)
Ale zřejmě |C| = −1 (ověřte rozepsáním!), tzn. báze (4.1) a (4.3) nepatří do jedné
třídy rozkladu M/∼, a tedy rozklad M/∼ má alespoň dvě třídy. Nechť (4.2) je
libovolná báze prostoru Vn, která nepatří do jedné třídy rozkladu M/∼ s bází (4.1).
Pak je |A| < 0 a ze vztahu (4.4) plyne, že musí být |B| > 0, tzn. báze (4.2) patří do
jedné třídy s bází (4.3), odkud plyne, že rozklad M/∼ má právě dvě třídy.
Definice 4.2. Orientací vektorového prostoru Vn rozumíme prohlášení jedné z tříd
rozkladu M/∼ (tj. tříd bází prostoru Vn) za kladnou a druhé za zápornou.
O dané bázi vektorového prostoru Vn pak říkáme, že je kladná (respektive záporná),
leží-li v kladné (respektive záporné) třídě rozkladu M/∼.
Orientací afinního prostoru An budeme rozumět orientaci jeho zaměření Z(An).
Afinní prostor se zadanou orientací budeme nazývat orientovaným afinním prosto-
rem.
Poznámka 4.2. Afinní prostor má zřejmě dvě možné orientace, přičemž orientace
je jednoznačně určena například prohlášením jedné konkrétní báze zaměření Z(An)
za kladnou bázi. Máme-li orientovat daný afinní prostor, pak záleží zcela na naší
libovůli, kterou z bází zaměření Z(An) prohlásíme za kladnou. Jakmile tak však
učiníme, pak je již každá z bází Z(An) buď kladná nebo záporná (což lze zjistit
výpočtem determinantu patřičné matice přechodu).
V rovině se zpravidla za kladnou orientaci volí taková orientace, že kladný směr
osy x "přechází" do kladného směru osy y proti směru hodinových ručiček. V třírozměrném
prostoru se zpravidla jako kladná orientace volí orientace zvolená podle
"pravidla pravé ruky" (jestliže prsty pravé ruky ukazují přechod kladného směru
osy x do kladného směru osy y, ukazuje palec směr osy z). Na Obr. 4.1 je to druhá
z možností.
5. Souřadnicové vyjádření podprostoru 19
Obr. 4.1
♢
Úloha 4.1. V orientovaném vektorovém prostoru R4
jsou dány dvě báze
⟨u1, u2, u3, u4⟩, respektive ⟨v1, v2, v3, v4⟩.
Zjistěte, zda jsou tyto báze souhlasně či nesouhlasně orientovány. Přitom:
u1 = (3; 2; −8; −11), u2 = (1; 1; 5; 7), u3 = (1; 1; 9; 7), u4 = (1; 1; 5; 4);
v1 = (2; −3; 5; 4), v2 = (5; −7; 9; 6), v3 = (1; −1; 2; 1), v4 = (2; 4; 7; 2).
Řešení : Úlohu je možno řešit přímo užitím definice, tj. nalezením matice přechodu
od jedné báze ke druhé a výpočtem jejího determinantu (což v našem případě
vyžaduje řešení 4 systémů lineárních rovnic o 4 neznámých a výpočet jednoho determinantu
4. řádu a je tedy dosti pracné).
Výhodnější bude uvážit kanonickou bázi e1 = (1; 0; 0; 0), e2 = (0; 1; 0; 0), e3 =
(0; 0; 1; 0), e4 = (0; 0; 0; 1) prostoru R4
a zjistit, zda obě zadané báze jsou s touto
bází souhlasně či nesouhlasně orientovány, odkud již ihned plyne odpověď na původní
otázku (výhoda spočívá v tom, že obě příslušné transformační matice můžeme
okamžitě psát, a je tedy v tomto případě nutné počítat pouze dva determinanty 4.
řádu). Dostaneme
3 1 1 1
2 1 1 1
−8 5 9 5
−11 7 7 4
= −12 < 0, respektive
6 8 −9 −12
4 6 −6 −9
−3 −4 6 8
−2 −3 4 6
= 9 > 0 ,
odkud máme výsledek: báze ⟨u1, u2, u3, u4⟩ a ⟨v1, v2, v3, v4⟩ jsou nesouhlasně orientovány.
△
5 Souřadnicové vyjádření podprostoru
Připomeňme, že všude dále v tomto textu předpokládáme, že v afinním prostoru
An, n ≥ 1, je pevně zadán afinní repér
R = ⟨P; e1, . . . , en⟩ , (5.1)
5. Souřadnicové vyjádření podprostoru 20
přičemž souřadnice všech bodů, respektive vektorů, jsou vyjadřovány vzhledem k
tomuto afinnímu repéru.
Věta 5.1. Nechť Bk = {B; W} je netriviální podprostor v An, nechť B = ⟨u1, . . . , uk⟩
je báze jeho zaměření W. Nechť X ∈ An je bod. Pak X ∈ Bk právě když existují
reálná čísla t1, . . . , tk tak, že
X = B + t1u1 + · · · + tkuk . (5.2)
Je-li navíc X = [x1; . . . ; xn], B = [b1; . . . ; bn], ui = (u1i; . . . ; uni), 1 ≤ i ≤ k, pak
(5.2) lze psát ve tvaru
x1 = b1 + t1u11 + · · · + tku1k ,
x2 = b2 + t1u21 + · · · + tku2k ,
...
xn = bn + t1un1 + · · · + tkunk .
(5.3)
Důkaz. Tvrzení věty je zřejmé, neboť podle Definice 2.1 afinního podprostoru je
X ∈ B ⇔
−−→
BX ∈ W. Rovnice (5.3) pak plynou ihned z (3.5).
Definice 5.1. Vyjádření (5.2), respektive (5.3), se nazývá parametrickým vyjádřením
(rovnicemi) podprostoru Bk. Reálná čísla t1, . . . , tk se nazývají parametry bodu
X.
Má-li podprostor Bk parametrické vyjádření (5.2), pak budeme též psát
Bk ≡ X = B + t1u1 + · · · + tkuk ,
a soustavu rovnic (5.3) budeme zkráceně zapisovat ve tvaru
X = [b1; . . . ; bn] + t1(u11; . . . ; un1) + · · · + tk(u1k; . . . ; unk) .
Poznámka 5.1. Podprostor Bk ⊆ An je sám afinním prostorem dimenze k a soustava
⟨B; u1, . . . , uk⟩ je afinním repérem v Bk. Parametry t1, . . . , tk jsou potom afinními
souřadnicemi bodu X ∈ Bk vzhledem k tomuto repéru. ♢
Poznámka 5.2. Přímka je podprostor dimenze 1 a její parametrické rovnice p ≡
X = B + tu mají velice jednoduchou fyzikální interpretaci. Přímka je dráha rovnoměrného
přímočarého pohybu o rychlosti u, t reprezentuje čas. ♢
Věta 5.2. Nechť Bk = ⟨A0, A1, . . . , Ak⟩, kde Ai = [a1i; . . . ; ani], i = 0, 1, . . . , k, jsou
body v obecné poloze. Pak X = [x1; . . . ; xn] ∈ Bk právě když existují reálná čísla
t0, t1, . . . , tk tak, že platí:
x1 = t0a10 + t1a11 + · · · + tka1k ,
x2 = t0a20 + t1a21 + · · · + tka2k ,
...
xn = t0an0 + t1an1 + · · · + tkank ,
(5.4)
5. Souřadnicové vyjádření podprostoru 21
kde t0 + t1 + · · · + tk = 1.
Důkaz. Podle Věty 2.5 je Bk = {A0; L(
−−−→
A0A1, . . . ,
−−−→
A0Ak)}, přičemž vektory
−−−→
A0A1,
. . . ,
−−−→
A0Ak jsou podle předpokladu bází zaměření podprostoru Bk. Užitím předchozí
Věty 5.1 dostaneme
X ∈ B ⇔ xi = ai0 + t1(ai1 − ai0) + · · · + tk(aik − ai0), 1 ≤ i ≤ n ⇔
⇔ xi = (1 − t1 − . . . − tk)ai0 + t1ai1 + · · · + tkaik, 1 ≤ i ≤ n.
Označíme-li t0 = 1 − t1 − . . . − tk, dostáváme tvrzení věty.
Označení. Vztahy (5.4) budeme v dalším stručně zapisovat ve tvaru
B ≡ X = t0A0 + t1A1 + · · · + tkAk; t0 + t1 + · · · + tk = 1 . (5.5)
Uvědomme si dobře, že tímto označením jsme nezavedli žádnou novou operaci "lineární
kombinace bodů", ale, že jde pouze o symbolický, zkrácený zápis vztahů (5.4),
což je celkem n rovnic v oboru reálných čísel. ♢
Definice 5.2. Vyjádření (5.4), respektive (5.5), se nazývá afinní kombinace bodů
A0, A1, . . . , Ak.
Je-li k = n, budeme soustavu ⟨A0, A1, . . . , An⟩ (n + 1) bodů v obecné poloze
nazývat bodovým repérem v An. Čísla t0, t1, . . . , tn taková, že
X = t0A0 + t1A1 + · · · + tnAn , t0 + · · · + tn = 1 ,
se nazývají barycentrické souřadnice bodu X vzhledem k bodovému repéru
⟨A0, A1, . . . , An⟩ . (5.6)
Poznámka 5.3. Například, je-li přímka určena dvojicí různých bodů A, B, je množina
všech bodů této přímky vyjádřena jako
p : X = α A + β B , α + β = 1, α, β ∈ R .
V řadě praktických výpočtů je toto vyjádření přímky velice užitečné. ♢
Poznámka 5.4. Afinní kombinaci bodů můžeme definovat i pro body, které nejsou
v obecné poloze. Koeficienty v afinní kombinaci bodů mají také fyzikální význam.
Uvažujeme-li hmotnou soustavu o celkové hmotnosti jedna takovou, že veškerá hmota
je soustředěna pouze do konečného počtu bodů Ai, i = 0, 1, . . . , k, tak, že v bodu
Ai je hmotnost o velikosti ti (připouštíme také záporné hodnoty), pak bod
T = t0A0 + t1A1 + · · · + tkAk , t0 + · · · + tk = 1 ,
5. Souřadnicové vyjádření podprostoru 22
je těžištěm této hmotné soustavy. Speciálně, je-li v každém bodu soustavy stejná
hmotnost, tj. 1/(k + 1), pak dostáváme v rovině vzorce pro výpočet souřadnic těžiště
úsečky AB (respektive trojúhelníka △ABC, respektive čtyřúhelníka ABCD)
ve tvaru
TAB =
1
2
(A + B) ,
(respektive TABC =
1
3
(A + B + C) ,
respektive TABCD =
1
4
(A + B + C + D)) .
Stejné vzorce platí i v prostoru pro výpočet těžiště úsečky, trojúhelníka nebo
čtyřstěnu. ♢
Poznámka 5.5. Afinní kombinace bodů se používají v počítačové grafice ke konstrukci
takzvaných Bézierových křivek. Nejdříve musíme definovat (hladkou, regulární)
křivku v afinním prostoru An, n ≥ 2, jako zobrazení X : I → An, kde I je
interval v R, takové, že v libovolném afinním repéru je X(t) = [x1(t), . . . , xn(t)], kde
xi(t), ∀t ∈ I, jsou funkce jedné reálné proměnné (můžeme si ji představovat jako čas)
takové, že existují jejich derivace nejméně 1. řádu a vektor u(t) = dx1
dt
, . . . , dxn
dt
je
nenulový pro všechna t ∈ I.
Nyní uvažujme (k+1) bodů P0, . . . , Pk v An. Hladká regulární křivka procházející
body P0 a Pk bude taková křivka X(t) (definovaná na celém R), že X(0) = P0 a
X(1) = Pk. Jestliže najdeme (k +1) hladkých funkcí λ0,k(t), . . . , λk,k(t) takových, že
λ0,k(t) + · · · + λk,k(t) = 1 pro všechna t ∈ R, λ0,k(0) = 1, λ1,k(0) = 0, . . . , λk,k(0) = 0
a λ0,k(1) = 0, . . . , λk−1,k(1) = 0, λk,k(1) = 1, dostaneme jako afinní kombinaci
X(t) = λ0,k(t) P0 + · · · + λk,k(t) Pk =
k
i=0
λi,k(t) Pi (5.7)
hladkou regulární křivku procházející body P0 a Pk. Uvažujme takzvané Bersteinovy
polynomy k-tého stupně
λi,k(t) =
k
i
ti
(1 − t)k−i
. (5.8)
Snadno se vidí, že tyto polynomy splňují výše uvedené předpoklady a odpovídající
afinní kombinace (5.7) je takzvaná Bézierova křivka. Při pevně zvolených bodech P0
a Pk tak můžeme volbou ostatních bodů modelovat různé křivky procházející body
P0 a Pk. Beziérovy křivky pro (k +1) bodů jsou stupně k, tj. pro k = 1 je to přímka,
pro k = 2 je to kuželosečka, pro k = 3 je to kubika, atd.
Na Obr. 5.1 jsou Bézierovy křivky v rovině pro k = 2, 3, 4 vykreslené pro t ∈
⟨0, 1⟩.
Následující odkaz Vás zavede na interaktivní soubor v GeoGebře, kde si můžete
volit počty a polohy základních bodů.
https://www.geogebra.org/m/h98yusqh
5. Souřadnicové vyjádření podprostoru 23
Obrázek 5.1: Bézierovy křivky pro k = 2, 3, 4
Poznámka 5.6. Podobným způsobem jako Bézierovy křivky se dají v afinním prostoru
modelovat i Bézierovy plochy. Nejdříve musíme definovat hladkou regulární
plochu v afinním prostoru An, n ≥ 3, jako zobrazení X : I × I → An takové, že v libovolném
afinním repéru je X(u, v) = [x1(u, v), . . . , xn(u, v)], kde xi(u, v), ∀u, v ∈ I,
jsou funkce dvou reálných proměnných takové, že existují jejich parciální derivace
alespoň 1. řádu a matice
∂x1
∂u
. . . ∂xn
∂u
∂x1
∂v
. . . ∂xn
∂v
má hodnost 2 pro všechna u, v ∈ I.
Nyní uvažujme (k +1).(l+1) bodů Pij, i = 0, . . . , k , j = 0, . . . , l. Potom afinní
kombinace bodů
X(u, v) =
k
i=0
l
j=0
λi,k(u) λj,l(v) Pij (5.9)
je Bézierova plocha určená body Pij. Tato plocha prochází body P00, P0l, Pk0 a Pkl.
Volbou ostatních bodů tak můžeme plochu libovolně tvarovat.
Na Obr. 5.2 je Bézierova plocha v prostoru pro k = l = 3 vykreslená pro u, v ∈
⟨0, 1⟩.
Následující odkaz Vás zavede na interaktivní soubor v GeoGebře pro k = l = 2.
https://www.geogebra.org/m/FiA5VKZt
Poznámka 5.7. Uvažujme hladkou regulární křivku procházející body P0 a P1
definovanou v Poznámce 5.5. Potom tečna k této křivce v bodě X(t0), t0 ∈ I, je
dána parametricky bodem X(t0) a vektorem u(t0) = dx1
dt
(t0), . . . , dxn
dt
(t0) .
Uvažujme nyní dva body P0 a P1 v rovině a dva nenulové vektory p0
a p1
.
Fergusonova kubika (křivka 3. stupně) daná body P0, P1 a vektory p0
, p1
je křivka
procházející body P0 a P1 taková, že tečna v bodě Pi je dána vektorem pi
. Tato
křivka má vyjádření
X(t) = λ0(t) P0 + λ1(t) P1 + α0(t) p0
+ α1(t) p1
, (5.10)
5. Souřadnicové vyjádření podprostoru 24
Obrázek 5.2: Bézierova plocha pro k = l = 3
kde
λ0(t) = 2 t3
− 3 t2
+ 1 ,
λ1(t) = −2 t3
+ 3 t2
,
α0(t) = t3
− 2 t2
+ t ,
α1(t) = t3
− 2 t2
.
Snadno se vidí, že λ0(t), λ1(t) splňují podmínky z Poznámky 5.5 pro koeficienty v
afinní kombinaci bodů. Potom rovnice (5.10) určuje Fergusonovu kubiku.
Na Obr. 5.3 jsou Fergusonovy kubiky zakreslené pro t ∈ ⟨0, 1⟩.
Obrázek 5.3: Furgusonovy kubiky
Příklad 5.1. V 3-rozměrném afinním prostoru A3 je dána přímka p dvěma body
A = [2; −1; 1], B = [−1; 0; 1]. Pak p = {A; L(
−→
AB)}, kde
−→
AB = (−3; 1; 0) a parametrické
vyjádření přímky p je například tvaru p ≡ X = A + t
−→
AB, neboli
p ≡



x = 2 − 3t ,
y = −1 + t ,
z = 1 ,
5. Souřadnicové vyjádření podprostoru 25
což je vyjádření známé ze střední školy. Podle Věty 5.2 lze přímku p též vyjádřit ve
tvaru p ≡ X = t1A + t2B, t1 + t2 = 1, neboli
p ≡



x = 2t1 − t2 ,
y = −t1 ,
z = t1 + t2 ,
kde t1 + t2 = 1. ♡
Definice 5.3. Nechť je dána soustava lineárních rovnic nad R
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 ,
...
ak1x1 + ak2x2 + · · · + aknxn = bk ,
(5.11)
kde aij, bi ∈ R , jejíž matici soustavy označme A = (aij). Bod X = [x1; . . . ; xn] ∈
An nazveme řešením soustavy (5.11) právě když uspořádaná n-tice reálných čísel
(x1; . . . ; xn) je řešením soustavy (5.11).
Z vlastností řešení soustav lineárních rovnic (viz [Ho94]) víme, že rozdíl dvou
řešení soustavy (5.11) je řešením zhomogenizované soustavy
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0 ,
...
ak1x1 + ak2x2 + · · · + aknxn = 0 ,
(5.12)
k soustavě (5.11). Jsou-li tedy body X = [x1; . . . ; xn], Y = [y1; . . . ; yn] ∈ An řešením
soustavy (5.11), je vektor
−−→
XY = (y1 − x1; . . . ; yn − xn) ∈ Z(An) řešením homogenní
soustavy (5.12). Víme, že množina všech řešení soustavy (5.12) tvoří vektorový prostor
W v Rn
, pro jehož dimenzi platí dim W = n − h(A), a s využitím bijekce mezi
Rn
a Z(An), která je dána afinním repérem (viz Paragraf 3), můžeme množinu všech
řešení homogenní soustavy (5.12) považovat za jistý podprostor zaměření Z(An).
Všude dále v tomto textu budeme řešení soustavy (5.11) interpretovat jako body
n-rozměrného afinního prostoru An a řešení zhomogenizované soustavy (5.12) budeme
interpretovat jako vektory zaměření Z(An).
Věta 5.3. Nechť (5.11) je řešitelná soustava lineárních rovnic a nechť hodnost matice
soustavy h(A) = k. Pak množina všech bodů z An, které jsou řešeními (5.11),
tvoří (n − k)-rozměrný podprostor B = {B; W} afinního prostoru An, kde B je
libovolné pevné řešení (5.11) a zaměření W je rovno podprostoru řešení zhomogenizované
soustavy (5.12).
Důkaz. Označme M množinu všech bodů z An, které jsou řešeními (5.11). Stačí
dokázat množinovou rovnost M = B, neboť tvrzení o dimenzi plyne z toho, jaká je
dimenze řešení soustavy (5.12).
Inkluze B ⊆ M plyne opět z vlastností řešení soustav lineárních rovnic, totiž
součet řešení (5.11) s řešením (5.12) je řešením (5.11). Naopak, nechť X ∈ M je
5. Souřadnicové vyjádření podprostoru 26
libovolné řešení (5.11). Pak existuje w =
−−→
BX, tj. w ∈ W, které je řešením (5.12), a
tedy X = B + w ∈ B.
Věta 5.4. Nechť B je k-rozměrný podprostor v n-rozměrném afinním prostoru An,
přičemž k < n. Pak existuje soustava (n − k) lineárně nezávislých lineárních rovnic
o n neznámých taková, že množina jeho řešení je rovna právě B.
Důkaz. Nechť B = {B; W}, přičemž B = [b1; . . . ; bn]. Z algebry víme, že existuje
soustava (n − k) lineárně nezávislých homogenních rovnic
a11x1 + · · · + a1nxn = 0 ,
...
an−k,1x1 + · · · + an−k,nxn = 0 ,
jejíž množina řešení je rovna W. Označme
ai1b1 + ai2b2 + · · · + ainbn = ci, i = 1, 2, . . . , n − k ,
a uvažme soustavu nehomogenních rovnic
a11x1 + · · · + a1nxn = c1 ,
...
an−k,1x1 + · · · + an−k,nxn = cn−k ,
(5.13)
které jsou zřejmě lineárně nezávislé. Tato soustava je však řešitelná (například B je
jejím řešením), tzn. podle Věty 5.3 množina řešení (5.13) tvoří podprostor B′
v An,
jehož zaměření je rovno W. Ale B ∈ B′
, tzn. B′
= {B; W} = B.
Definice 5.4. Soustavu lineárních rovnic (5.13) nazýváme neparametrickým (nebo
též obecným) vyjádřením (rovnicemi) podprostoru B a označujeme
B ≡



a11x1 + · · · + a1nxn = c1 ,
...
an−k,1x1 + · · · + an−k,nxn = cn−k ,
nebo
B ≡



a11x1 + · · · + a1nxn −c1 = 0 ,
...
an−k,1x1 + · · · + an−k,nxn −cn−k = 0 .
Poznámka 5.8. Z Vět 5.3 a 5.4 plyne, že každá řešitelná soustava lineárních rovnic
o n neznámých jednoznačně určuje jistý podprostor afinního prostoru An, avšak naopak,
daný podprostor má více (zřejmě dokonce nekonečně mnoho) neparametrických
vyjádření.
5. Souřadnicové vyjádření podprostoru 27
Dále je třeba si dobře uvědomit, že rovnice vystupující v neparametrickém vyjádření
podprostoru B požadujeme lineárně nezávislé, tzn. je jednoznačně dán jejich
počet, z něhož můžeme mj. ihned určit dimenzi B. V případě, že je soustava závislá,
určuje sice podprostor, ale tuto soustavu nechápeme jako neparametrické vyjádření,
které je tvořeno teprve maximálním počtem libovolných nezávislých rovnic, které z
ní můžeme vybrat. ♢
Věta 5.5. Podprostor B afinního prostoru An je nadrovinou právě když jeho neparametrické
vyjádření má tvar
B ≡ a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = a ,
kde alespoň jeden z koeficientů ai, i = 1, . . . , n, je nenulový.
Důkaz. B je nadrovina ⇔ dim B = n − 1 ⇔ soustava (5.13) má n − (n − 1) = 1
rovnici uvedeného tvaru, kterou budeme nazývat rovnicí nadroviny B.
Poznámka 5.9. Z Věty 5.5 a z (5.13) plyne, že každý k-rozměrný podprostor v A
můžeme chápat jako průnik jistých (n − k) nadrovin. ♢
Pro větší názornost popišme nyní explicitně vyjádření podprostorů pro netriviální
podprostory nejjednodušších afinních prostorů – roviny (tj. dim A = 2) a
3-rozměrného prostoru (tj. dim A = 3). Dostáváme:
1. Přímka p v rovině:
Parametrické vyjádření: p ≡ X = A + tu,
kde u ̸= o.
Neparametrické vyjádření: p ≡ ax + by + c = 0,
kde a ̸= 0 ∨ b ̸= 0.
Směrnicová rovnice přímky: p ≡ y = k x + q,
lze jen pro p nerovnoběžnou s osou y.
Používá se jen v euklidovské rovině.
Afinní obal bodů: p ≡ X = t1A + t2B,
kde A ̸= B, t1 + t2 = 1.
2. a: Rovina ϱ v prostoru:
Parametrické vyjádření: ϱ ≡ X = A + tu + rv,
kde u, v jsou lineárně nezávislé.
Neparametrické vyjádření: ϱ ≡ ax + by + cz + d = 0,
kde a ̸= 0 ∨ b ̸= 0 ∨ c ̸= 0.
Afinní obal bodů: p ≡ X = t1A + t2B + t3C, kde A, B, C
jsou v obecné poloze a t1 + t2 + t3 = 1.
5. Souřadnicové vyjádření podprostoru 28
b: Přímka p v prostoru:
Parametrické vyjádření: p ≡ X = A + tu, kde u ̸= o.
Neparametrické vyjádření: p ≡
ax + by + cz + d = 0
ex + fy + gz + h = 0
,
kde h
a b c
e f g
= 2.
Afinní obal bodů: p ≡ X = t1A + t2B,
kde A ̸= B, t1 + t2 = 1.
Všimněme si, že v parametrickém vyjádření podprostoru a ve vyjádření podprostoru
jako afinního obalu bodů nehraje roli dimenze celého prostoru. Ta se projeví
pouze při rozepsání do souřadnic.
Poznámka 5.10. Ve starších sbírkách příkladů z matematiky se poměrně často
můžeme setkat s kanonickými rovnicemi přímky ve 3-rozměrném prostoru ve tvaru
p ≡
x − a1
u1
=
y − a2
u2
=
z − a3
u3
.
Jedná se pak o přímku procházející bodem A = [a1; a2; a3] se směrovým vektorem
u = (u1; u2; u3). Toto vyjádření je nutno brát jen jako formální zápis, protože ve
jmenovatelích některých zlomků může být i nula. Parametrické rovnice přímky se
odtud určí okamžitě. Neparametrické rovnice dostaneme tak, že si vybereme všechny
dvojice zlomků, čitatele vynásobíme do kříže jmenovateli a po převedení na jednu
stranu dostaneme nehomogenní soustvu lineárních rovnic
u2x − u1y + u1a2 − u2a1 = 0 ,
u3x − u1z + u1a3 − u3a1 = 0 ,
u3y − u2z + u2a3 − u3a2 = 0 .
Tato soustava rovnic má hodnost 2, takže libovolné dvě lineárně nezávislé rovnice
určují obecné vyjádření přímky p. ♢
Úloha 5.1. Nechť je přímka p zadána kanonickými rovnicemi
p ≡
x − 1
1
=
y
0
=
z + 1
2
.
Určete její parametrické i neparametrické rovnice.
Řešení: Parametrická rovice je
p ≡ X = [1; 0; −1] + t (1; 0; 2) .
Z kanonických rovnic dostaneme soustavu lineárních rovnic
0.(x − 1) = 1.y ,
2 (x − 1) = 1.(z + 1) ,
2.y = 0.(z + 1) .
5. Souřadnicové vyjádření podprostoru 29
Neparametrické rovnice jsou
2 x − z − 3 = 0 ,
y = 0 . △
Při řešení úloh je nutno často převádět jeden typ zadání podprostorů na druhý.
Převádění podprostoru určeného body na parametrické zadání a naopak je zřejmé z
důkazu Věty 5.2.
Pro určení obecných rovnic podprostoru, který je určen body v obecné poloze,
máme více možností. První spočívá v tom, že do obecné rovnice nadroviny (viz Věta
5.5) dosazujeme souřadnice bodů. Pro koeficienty nadroviny tak dostaneme soustavu
homogenních rovnic a souřadnice vektorů z báze řešení soustavy potom tvoří koeficienty
matice obecných rovnic daného podprostoru. Druhý způsob je důsledkem
následující věty.
Věta 5.6. Nechť v afinním prostoru An je dáno (k + 1) bodů v obecné poloze,
1 ≤ k < n, Ai = [ai1; . . . ; ain], i = 0, 1, . . . , k. Pak bod X = [x1; . . . ; xn] leží v
podprostoru B = ⟨A0, A1, . . . , Ak⟩ právě když
h





x1 x2 . . . xn 1
a01 a02 . . . a0n 1
...
...
...
...
ak1 ak2 . . . akn 1





= k + 1 .
Důkaz. Podle Věty 2.5 je B = {A0; L(
−−−→
A0A1, . . . ,
−−−→
A0Ak)}. Pak X ∈ B ⇔ existují
t1, . . . , tk ∈ R :
−−→
A0X = t1
−−−→
A0A1 + · · · + tk
−−−→
A0Ak ⇔
⇔ h





x1 − a01 . . . xn − a0n
a11 − a01 . . . a1n − a0n
...
...
ak1 − a01 . . . akn − a0n





= k ⇔
⇔ h





x1 − a01 . . . xn − a0n 0
a11 − a01 . . . a1n − a0n 0
...
...
...
ak1 − a01 . . . akn − a0n 0





= k ⇔
⇔ h







x1 − a01 . . . xn − a0n 0
a01 . . . a0n 1
a11 − a01 . . . a1n − a0n 0
...
...
...
ak1 − a01 . . . akn − a0n 0







= k + 1 ⇔ h







x1 . . . xn 1
a01 . . . a0n 1
a11 . . . a1n 1
...
...
...
ak1 . . . akn 1







=
= k + 1.
5. Souřadnicové vyjádření podprostoru 30
Z Věty 5.6 nyní vyplývá, že všechny determinanty z čtvercových submatic řádu
(k + 2), které vybíráme z matice ve Větě 5.6, jsou nulové. Stačí vybrat (n − k)
submatic takových, aby soustava lineárních rovnic, kterou dostaneme spočtením determinantů,
byla nezávislá. Speciálně pro nadrovinu dostaneme následující důsledek.
Důsledek 5.1. Nechť v n-rozměrném afinním prostoru An je dáno n bodů v obecné
poloze Bi = [bi1; . . . ; bin], i = 1, . . . , n. Pak bod X = [x1; . . . ; xn] leží v nadrovině
N = ⟨B1, . . . , Bn⟩ právě když
x1 . . . xn 1
b11 . . . b1n 1
...
...
...
bn1 . . . bnn 1
= 0 . (5.14)
Důkaz. Uvážíme-li, že hodnost uvedené matice je rovna n, pak tvrzení důsledku
plyne přímo z Věty 5.6 pro k = n − 1.
Poznámka 5.11. Vyjádření (5.14) používáme s výhodou v praktických příkladech
při hledání neparametrického vyjádření nadroviny určené n body v obecné poloze,
tzn. například přímky v rovině, zadané 2 body, respektive roviny v 3-rozměrném
prostoru, zadané 3 body, atd.
Například přímka p určená v rovině body A = [2; 1] a B = [−1; 3] má neparametrickou
rovnici
x y 1
2 1 1
−1 3 1
= −2 x − 3 y + 7 = 0 . ♢
V praxi se nejčastěji setkáme s nutností převést parametrické vyjádření zadaného
podprostoru na neparametrické a naopak. Převádění z neparametrického vyjádření
na parametrické je popsáno v důkaze Věty 5.3. Nalezneme jedno konkrétní řešení
soustavy (5.11) a dostaneme bod. Báze řešení zhomogenizované soustavy potom
tvoří bázi zaměření.
Opačný postup od parametrického zadání k neparametrickému je pracnější. První
způsob byl popsán v algebře (viz [Ho94] a důkaz Věty 5.4) a spočívá v nalezení nehomogenní
soustavy lineárních rovnic, jejíž řešení známe. Konkrétně uvažujeme homogenní
soustavu, jejíž matice je tvořena souřadnicemi bázových vektorů zaměření
daného podprostoru. Báze řešení této soustavy je tvořena (n − k) vektory. Jestliže
uvažujeme homogenní soustavu, jejíž matice je tvořena těmito bázovými vektory,
dostaneme soustavu, jejímž řešením je zaměření daného podprostoru. Dosazením
souřadnic daného bodu do této homogenní soustavy obdržíme příslušné pravé strany
hledaného neparametrického vyjádření.
Druhý způsob spočívá ve vylučování parametrů v souřadnicovém zadání (5.3).
U podprostoru vyšších dimenzí je ale tato metoda pracná a snadno dojde k chybě.
5. Souřadnicové vyjádření podprostoru 31
Existuje ovšem možnost, jak postupovat systematicky. Rovnice (5.3) přepíšeme do
tvaru
t1u11 + · · · + tku1k − x1 + b1 = 0 ,
t1u21 + · · · + tku2k − x2 + b2 = 0 ,
...
t1un1 + · · · + tkunk − xn + bn = 0 ,
který chápeme formálně jako soustavu lineárních rovnic pro neznámé t1, . . . , tk,
x1, . . . , xn s maticí





u11 . . . u1k −1 0 . . . 0 b1
u21 . . . u2k 0 −1 . . . 0 b2
...
...
...
...
...
...
un1 . . . unk 0 0 . . . −1 bn





.
Protože jsou vektory u1, . . . , uk lineárně nezávislé a k ≤ n, docílíme řádkovými
úpravami matice před první svislou čarou toho, aby posledních (n − k) řádků bylo
nulových. Potom koeficienty za první čarou v těchto řádcích jsou koeficienty obecných
rovnic daného podprostoru.
Úloha 5.2. V afinním prostoru A4 je zadán (parametricky) podprostor
B ≡ X = B + t1u + t2v,
kde B = [1; 2; −2; 0], u = (1; 0; 0; −1), v = (0; −1; −1; 2). Nalezněte neparametrické
vyjádření B.
Řešení : Zřejmě dim B = 2, tzn. jde o rovinu v 4-rozměrném afinním prostoru a
neparametrické vyjádření B sestává z 4−2 = 2 lineárně nezávislých rovnic. Úlohu je
možno řešit buď přímým vyloučením parametrů (což však často bývá dosti pracné
a nepřehledné) anebo aplikací důkazu Věty 5.4. Předvedeme nyní obě metody.
(i) Vyloučení parametrů. Parametrické rovnice jsou
B ≡



x1 = 1 + t1 ,
x2 = 2 − t2 ,
x3 = −2 − t2 ,
x4 = −t1 + 2t2 .
Tomu odpovídá matice




1 0 −1 0 0 0 1
0 −1 0 −1 0 0 2
0 −1 0 0 −1 0 −2
−1 2 0 0 0 −1 0



 ∼ · · · ∼
∼





1 0 −1 0 0 0 1
0 −1 0 −1 0 0 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 1 −1 0 −4
0 0 −1 −1 −1 −1 1





5. Souřadnicové vyjádření podprostoru 32
a odtud dostáváme obecné rovnice
B ≡
x2 − x3 − 4 = 0 ,
x1 + x2 + x3 + x4 − 1 = 0 .
(ii) Aplikace důkazu Věty 5.4.
a) Nalezneme nejdříve homogenní soustavu, jejíž množina řešení je rovna
zaměření Z(B). Souřadnice vektorů u a v jsou koeficienty v homogenní soustavě
x1 − x4 = 0 ,
−x2 − x3 + 2x4 = 0 ,
=⇒
x1 = x4 ,
x2 = −x3 + 2x4 ,
jejíž báze řešení je dána například vektory w1 = (0; −1; 1; 0), w2 = (1; 2; 0; 1).
Vezmeme-li souřadnice vektorů w1 a w2 jako koeficienty homogenní soustavy, dostaneme
soustavu
−x2 + x3 = 0 ,
x1 + 2x2 + x4 = 0 ,
jejímž řešením je zaměření B.
b) Výpočet pravých stran provedeme dosazením souřadnic bodu B za neznámé
do homogenního soustavy získané v a); dostaneme: c1 = −2−2 = −4, c2 = 1+4 = 5.
Výsledek je potom například
B ≡
−x2 + x3 = −4 ,
x1 + 2x2 + x4 = 5 .
△
Úloha 5.3. V afinním prostoru A4 je zadán (neparametricky) podprostor B. Nalezněte
parametrické vyjádření podprostoru B, je-li
B ≡



x1 − x2 − x3 + x4 = 1 ,
x4 = 6 ,
x2 − 2x3 = 0 .
Řešení : Zřejmě dim B = 4 − 3 = 1, tzn. jde o přímku ve 4-rozměrném afinním
prostoru. Řešíme tak, že volné neznámé v dané soustavě (jejichž počet je roven
dim B) zvolíme za parametry a výpočtem zbývajících neznámých dostáváme pak
hledané parametrické vyjádření. Zde například x3 = t, x2 = 2t, x1 = 1+x2+x3−x4 =
−5 + 3t, x4 = 6, odkud
B ≡



x1 = −5 + 3t ,
x2 = 2t ,
x3 = t ,
x4 = 6 .
△
Poznámka 5.12. Volba afinního repéru (5.1) a pomocí něho pak možnost parametrického,
respektive neparametrického, vyjádření podprostorů v daném afinním
prostoru An nám umožňuje řešit jednotným způsobem geometrické úlohy v An, bez
5. Souřadnicové vyjádření podprostoru 33
ohledu na to, jak konkrétně afinní prostor An vypadá. Stačí si pouze vyjádřit (nebo
mít zadány) potřebné body a vektory pomocí afinních souřadnic a pak používat
znalostí o počítání v Rn
tak, jak je známe z algebry. To je obecný princip analytické
metody v geometrii, kterou budeme většinou při řešení příkladů používat. ♢
Úloha 5.4. V 5-rozměrném afinním prostoru A5 jsou dány dva podprostory B1 =
{B1; L(u1, u2, u3)}, B2 = {B2; L(v1, v2)}. Nalezněte průnik B1 ∩B2 a součet B1 +B2,
je-li B1 = [2; 0; −1; 3; 4], u1 = (1; 1; 0; 1; 0), u2 = (0; 1; 2; 0; −1), u3 =(1; −1; 0; 1; 3),
B2 =[1; 1; 2; 1; 1], v1 =(1; −1; 3; 0; 3), v2 =(1; 0; 1; 0; 1).
Řešení : (i) Pro průnik B1 ∩ B2 platí, že X ∈ B1 ∩ B2 právě tehdy, když
X = B1 + t1u1 + t2u2 + t3u3
a současně
X = B2 + t4v1 + t5v2 ,
odkud porovnáním dostaneme
t1u1 + t2u2 + t3u3 − t4v2 − t5v2 =
−−−→
B1B2 ,
což po rozepsání do souřadnic dává soustavu pěti nehomogenních lineárních rovnic
o pěti neznámých, kterou řešíme například Gaussovou metodou






1 0 1 −1 −1 −1
1 1 −1 1 0 1
0 2 0 −3 −1 3
1 0 1 0 0 −2
0 −1 3 −3 −1 −3






∼ · · · ∼






1 0 1 −1 −1 1
0 1 −2 2 1 2
0 0 1 −1 0 −1
0 0 0 1 1 −1
0 0 0 0 0 0






.
Vidíme, že soustava je řešitelná, má jednu volnou neznámou (například t5), a tedy
B1 ∩B2 je 1-rozměrný podprostor, tzn. přímka. Položíme-li t5 = t, pak t4 = −1−t (je
zřejmé, že k vyjádření B1 ∩ B2 stačí znát buď t4, t5 nebo t1, t2, t3 a ostatní neznámé
není třeba počítat) a máme:
X = B2 + (−1 − t)v1 + tv2 = (B2 − v1) + t(v2 − v1) .
Průnikem B1 ∩ B2 je tedy přímka určená bodem (B2 − v1) = [0; 2; −1; 1; −2] a
vektorem v2 − v1 = (0; 1; −2; 0; −2).
(ii) Pro součet B1 + B2 je třeba vypočítat pouze zaměření součtu B1 + B2. Podle
Věty 2.6 je Z(B1 + B2) = W1 + W2 + L(
−−−→
B1B2), přičemž však z (i) víme, že B1, B2
se protínají, tzn., že
−−−→
B1B2 ∈ W1 + W2. Tedy Z(B1 + B2) je generováno vektory
u1, u2, u3, v1, v2 a bázi Z(B1 + B2) zjistíme úpravou na schodovitý tvar matice,
v jejíž řádcích tyto vektory vystupují. Tedy zde






1 1 0 1 0
0 1 2 0 −1
1 −1 0 1 3
1 −1 3 0 3
1 0 1 0 1






∼ · · · ∼






1 1 0 1 0
0 1 2 0 −1
0 0 4 0 1
0 0 0 4 3
0 0 0 0 0






.
6. Vzájemná poloha podprostorů 34
Výsledek: součet B1 + B2 = {B1; W}, kde báze W je tvořena například vektory
(1; 1; 0; 1; 0), (0; 1; 2; 0; −1), (0; 0; 4; 0; 1), (0; 0; 0; 4; 3). △
6 Vzájemná poloha podprostorů
Základní úlohy, které jsou řešitelné v afinním prostoru, jsou takzvané polohové úlohy.
V tomto paragrafu se budeme zabývat vzájemnou polohou podprostorů a vyřešíme
některé typické polohové úlohy.
Definice 6.1. Nechť B1, B2 jsou podprostory afinního prostoru A. Je-li Z(B1)
⊆ Z(B2) nebo Z(B2) ⊆ Z(B1), pak podprostory B1, B2 nazýváme rovnoběžné a
značíme B1 ∥ B2.
V opačném případě (tzn. Z(B1) ⊈ Z(B2) ∧ Z(B2) ⊈ Z(B1)) říkáme, že B1, B2
nejsou rovnoběžné, a píšeme B1 ∦ B2.
Poznámka 6.1. Pojem rovnoběžnosti podprostorů tak, jak jsme ho definovali v Definici
6.1, je poněkud obecnější než rovnoběžnost chápána intuitivně v názorné rovině.
Především z Definice 6.1 vyplývá, že bod (0-dimenzionální podprostor) je rovnoběžný
s libovolným podprostorem. Dále i podprostory, které jsou v inkluzi (jeden
podprostor je podprostorem druhého), jsou podle Definice 6.1 rovnoběžné (viz následující
Věta 6.1). ♢
Věta 6.1. Nechť B1, B2 jsou podprostory afinního prostoru A. Pak:
1. B1 ⊆ B2 =⇒ B1 ∥ B2 ,
2. B1 ∥ B2 =⇒ B1 ⊆ B2 nebo B2 ⊆ B1 nebo B1 ∩ B2 = ∅ .
Důkaz. 1. B1 ⊆ B2 =⇒ Z(B1) ⊆ Z(B2) =⇒ B1 ∥ B2.
2. Dokážeme sporem. Nechť B1 ∥ B2 a nechť B1 ⊈ B2 ∧ B2 ⊈ B1 ∧ B1 ∩ B2 ̸=
∅. Potom například Z(B1) ⊆ Z(B2) a existuje bod A ∈ B1 ∩ B2. Pak ale B1 =
{A; Z(B1)} ⊆ {A; Z(B2)} = B2, což je ve sporu s předpokladem. Analogicky se
dostaneme do sporu v případě Z(B2) ⊆ Z(B1). Tedy 2. platí.
Věta 6.2. [Zobecněný Euklidův axiom o rovnoběžkách]
Nechť B je k-rozměrný podprostor afinního prostoru An; nechť A ∈ An je bod.
Pak bodem A prochází právě jeden k-rozměrný podprostor B1, který je rovnoběžný
s B.
Důkaz. Existence: Zřejmě podprostor B1 = {A; Z(B)} splňuje tvrzení věty.
Jednoznačnost: Nechť B2 je podprostor splňující: A ∈ B2, B2 ∥ B a dim B2 =
dim B = k. Chceme dokázat, že B2 = B1. Ale je Z(B2) ⊆ Z(B) nebo Z(B) ⊆ Z(B2),
přičemž dim Z(B2) = dim Z(B), tzn. musí být (viz [Ho94]) Z(B2) = Z(B). Pak ale
B2 = {A; Z(B)} = B1.
Důsledek 6.1. Nechť B1, B2 jsou dva k-rozměrné rovnoběžné podprostory, které se
protínají. Pak B1, B2 jsou totožné.
6. Vzájemná poloha podprostorů 35
Důkaz. Tvrzení je bezprostředním důsledkem předchozí Věty 6.2.
Věta 6.3. Nechť B ≡ b1x1 +· · ·+bnxn = b, C ≡ c1x1 +· · ·+cnxn = c jsou nadroviny
v afinním prostoru An. Potom
B ∥ C ⇔ ∃ reálné číslo λ ̸= 0 tak, že bi = λci, i = 1, . . . , n.
Je-li navíc b = λc, jsou nadroviny B, C totožné.
Důkaz. Podle předpokladu je dim Z(B) = dim Z(C). Pak B ∥ C ⇔ Z(B) = Z(C) ⇔
rovnice: b1x1 + · · · + bnxn = 0 a c1x1 + · · · + cnxn = 0 mají stejné množiny řešení
⇔ ∃ nenulové číslo λ takové, že bi = λci, i = 1, . . . , n.
Důsledek 6.2. Je-li B ≡ b1x1 + · · · + bnxn = b nadrovina, potom
b1x1 + · · · + bnxn = α b, α ∈ R ,
je soustava všech nadrovin v An rovnoběžných s B. □
Definice 6.2. Dva podprostory B1, B2 afinního prostoru A se nazývají
a) různoběžné, jestliže B1 ∦ B2 a B1 ∩ B2 ̸= ∅ ,
b) mimoběžné, jestliže B1 ∦ B2 a B1 ∩ B2 = ∅ .
Poznámka 6.2. Z předchozích dvou definic logicky vyplývá, že pro libovolné dva
podprostory v An musí nastat právě jedna ze tří možností: jsou rovnoběžné, jsou různoběžné,
jsou mimoběžné. Přitom zřejmě podprostory, které jsou totožné, respektive
v inkluzi, jsou speciálním případem rovnoběžných prostorů.
Výše uvedené věty o rovnoběžných podprostorech je možno bez problémů ilustrovat
v názorné rovině nebo v názorném prostoru, tzn. v situacích rozebíraných na
střední škole. Ve zbytku tohoto paragrafu budeme studovat některé vlastnosti různoběžných
a mimoběžných podprostorů. Získaným výsledkům je možno ve většině
případů (ale ne vždycky!) opět dát názorný středoškolský význam. ♢
Věta 6.4. Nechť B1, B2 jsou mimoběžné podprostory v An. Pak
1 ≤ dim B1, dim B2 ≤ n − 2 .
Důkaz. B1, B2 jsou mimoběžné, tzn. musí být (Z(B1)∩Z(B2)) ⊂ Z(B2), odkud (viz
[Ho94]) dim(Z(B1) ∩ Z(B2)) < dim Z(B2). Je tedy
dim Z(B2) − dim(Z(B1) ∩ Z(B2)) ≥ 1.
Odtud a podle Věty 2.6 (část 2) dostáváme dim(B1 + B2) = dim(Z(B1) + Z(B2))
+1 = dim Z(B1) + dim Z(B2) − dim(Z(B1) ∩ Z(B2)) + 1 ≥ dim Z(B1) + 1 + 1 =
dim B1 +2. Tedy n ≥ dim(B1 +B2) ≥ dim B1 +2, odkud dim B1 ≤ n−2. Analogicky
dostaneme, že dim B2 ≤ n − 2.
Zbytek tvrzení, tzn. 1 ≤ dim B1, dim B2, je zřejmý, neboť 0-rozměrný podprostor,
tj. bod, je vždy rovnoběžný s jakýmkoliv jiným podprostorem.
6. Vzájemná poloha podprostorů 36
Poznámka 6.3. Z předchozí Věty 6.4 vyplývá, že v afinním prostoru A, kde dim A =
0, 1, 2, žádné mimoběžné podprostory neexistují. O mimoběžných podprostorech má
tedy smysl uvažovat pouze v případech, kdy dim A ≥ 3. Přitom, je-li dim A = 3, pak
mimoběžnými podprostory mohou být pouze dvě přímky, respektive je-li dim A = 4,
pak mimoběžnými podprostory mohou být dvě přímky nebo dvě roviny nebo přímka
a rovina.
Z poslední úvahy je patrno, že ve více než třírozměrných afinních prostorech
obecně selhávají naše vžité názorné představy, které jsme si přinesli ze střední školy.
V těchto situacích, kdy už není možné se opírat o názor, je pak třeba vycházet ze
solidní znalosti algebry, především kapitol o vektorových prostorech a soustavách
lineárních rovnic. ♢
Věta 6.5. Nechť N je nadrovina, B je libovolný podprostor v A. Pak:
1. N a B jsou buď rovnoběžné nebo různoběžné.
2. Jsou-li N a B různoběžné, pak dim(N ∩ B) = dim B − 1.
Důkaz. 1. Tvrzení je přímým důsledkem Věty 6.4.
2. Nechť N a B jsou různoběžné, pak Z(B) ⊈ Z(N), tzn. je Z(N) + Z(B) =
Z(A), odkud dim(Z(N) + Z(B)) = dim A = n. Podle Věty 2.4 je dim(N ∩ B) =
dim(Z(N)∩Z(B)) = dim Z(N)+dim Z(B)−dim(Z(N)+Z(B)) = n−1+dim Z(B)−
n = dim B − 1.
Věta 6.6. Nechť je dána přímka p ≡ X = A+tu, kde u = (u1; . . . ; un) a nadrovina
N ≡ a1x1 + · · · + anxn = a v afinním prostoru An, n ≥ 2.
Pak p a N jsou rovnoběžné (respektive různoběžné) právě když platí
a1u1 + · · · + anun = 0 (respektive ̸= 0).
Důkaz. p ∥ N ⇔ Z(p) ⊆ Z(N) ⇔ u ∈ Z(N) ⇔ a1u1 +· · ·+anun = 0, neboť podle
Věty 5.3 je Z(N) rovno množině všech řešení homogenní rovnice a1x1 +· · ·+anxn =
0.
Podle Věty 6.4 však p a N mohou být pouze rovnoběžné nebo různoběžné, tzn.
druhá část tvrzení je pak logickým důsledkem 1. části.
Věta 6.7. Nechť B1 = {B1; W1} a B2 = {B2; W2} jsou dva podprostory v A. Pak:
1. B1 ⊆ B2 ∨ B2 ⊆ B1 ⇔ W1 ⊆ W2 ∨ W2 ⊆ W1,
−−−→
B1B2 ∈ W1 + W2.
2. B1 ∥ B2 ∧ B1 ∩ B2 = ∅ ⇔ W1 ⊆ W2 ∨ W2 ⊆ W1,
−−−→
B1B2 /∈ W1 + W2.
3. B1, B2 jsou různoběžné ⇔ W1 ⊈ W2 ∧ W2 ⊈ W1,
−−−→
B1B2 ∈ W1 + W2.
4. B1, B2 jsou mimoběžné ⇔ W1 ⊈ W2 ∧ W2 ⊈ W1,
−−−→
B1B2 /∈ W1 + W2.
Důkaz. Tvrzení věty je důsledkem Definice 6.1 a Věty 2.3.
Věta 6.8. Nechť B1 = {B1; W1} a B2 = {B2; W2} jsou dva podprostory v A. Pak:
6. Vzájemná poloha podprostorů 37
1. B1 ⊆ B2 ∨ B2 ⊆ B1 ⇔ dim(W1 + W2 + L(
−−−→
B1B2)) =
= max(dim W1, dim W2).
2. B1 ∥ B2 ∧ B1 ∩ B2 = ∅ ⇔ dim(W1 + W2) = max(dim W1, dim W2),
dim(W1 + W2 + L(
−−−→
B1B2)) =
= dim(W1 + W2) + 1.
3. B1, B2 jsou různoběžné ⇔ dim(W1 + W2) > max(dim W1, dim W2),
dim(W1 + W2 + L(
−−−→
B1B2)) =
= dim(W1 + W2).
4. B1, B2 jsou mimoběžné ⇔ dim(W1 + W2) > max(dim W1, dim W2),
dim(W1 + W2 + L(
−−−→
B1B2)) =
= dim(W1 + W2) + 1.
Důkaz. Pro rovnoběžné podprostory je W1 + W2 rovno většímu z podprostorů W1
nebo W2. Odtud je dim(W1 + W2) = max(dim W1, dim W2). Pro nerovnoběžné podprostory
je W1 + W2 ostře větší než jednotlivé podprostory W1 nebo W2, a proto je
dim(W1 + W2) > max(dim W1, dim W2).
Pro podprostory s neprázdným průnikem je
−−−→
B1B2 ∈ W1 +W2, a odtud dim(W1 +
W2 +L(
−−−→
B1B2)) = dim(W1 +W2). Pro neprotínající se podprostory je dim(W1 +W2 +
L(
−−−→
B1B2)) = dim(W1 + W2) + 1.
Tvrzení je nyní důsledkem Věty 6.7.
Poznámka 6.4. Z Věty 6.8 je vidět, že pro určení vzájemné polohy podprostorů
B1 = {B1; W1} a B2 = {B2; W2} stačí znát dimenze vektorových prostorů W1, W2,
W1 +W2 a W1 +W2 +L(
−−−→
B1B2). To se dá určit následujícím algoritmem. Předpokládejme,
že k = dim(B1) ≥ dim(B2) = l a W1 = L(u1, . . . , uk), W2 = L(v1, . . . , vl). V
libovolném afinním repéru vyjádříme vektory u1, . . . , uk, v1, . . . , vl,
−−−→
B1B2 v souřadnicích
a toto souřadnicové vyjádření zapíšeme do matice, kde souřadnice vektorů, ve
výše uvedeném pořadí, jsou řádky matice. Matici potom převedeme do schodovítého
tvaru. Při úpravách je nutno "hlídat" řádek odpovídající vektoru
−−−→
B1B2, nejlépe tak,
že tento řádek při úpravách matice ponecháváme stále jako poslední (případně jej
ještě můžeme graficky oddělit čarou). Ze schodovitého tvaru matice potom vyčteme
všechny potřebné informace. Mohou nastat následující možnosti:
1. Počet nenulových řádků vzniklých úpravou řádků, které odpovídají vektorům
u1, . . . , uk, v1, . . . , vl je k a řádek odpovídající vektoru
−−−→
B1B2 je nulový. Potom
podprostor B2 je podprostorem v B1.
2. Počet nenulových řádků vzniklých úpravou řádků, které odpovídají vektorům
u1, . . . , uk, v1, . . . , vl je k a řádek odpovídající vektoru
−−−→
B1B2 je nenulový. Potom
podprostoru jsou rovnoběžné s prázdným průnikem.
3. Počet nenulových řádků vzniklých úpravou řádků, které odpovídají vektorům
u1, . . . , uk, v1, . . . , vl je větší než k a řádek odpovídající vektoru
−−−→
B1B2 je nulový.
Potom podprostory jsou různoběžné a dimenze průniku je rovna počtu nulových
řádků, které odpovídají vektorům u1, . . . , uk, v1, . . . , vl.
6. Vzájemná poloha podprostorů 38
4. Počet nenulových řádků vzniklých úpravou řádků, které odpovídají vektorům
u1, . . . , uk, v1, . . . , vl je větší než k a řádek odpovídající vektoru
−−−→
B1B2 je nenulový.
Potom podprostory jsou mimoběžné a dimenze průniku zaměření je rovna počtu
nulových řádků, které odpovídají vektorům u1, . . . , uk, v1, . . . , vl. ♢
Důsledek 6.3. Nechť p ≡ X = A+tu je přímka a B = {B; W} je podprostor v A,
dim B ≥ 1. Pak:
1. p ⊆ B ⇔ u,
−→
AB ∈ W.
2. p ∥ B ∧ p ∩ B = ∅ ⇔ u ∈ W,
−→
AB /∈ W.
3. p, B jsou různoběžné ⇔ u /∈ W,
−→
AB ∈ L(u) + W.
4. p, B jsou mimoběžné ⇔ u /∈ W,
−→
AB /∈ L(u) + W.
Důkaz. Tvrzení je přímým důsledkem Věty 6.7.
Poznámka 6.5. Pro praktické výpočty je výhodnější přeformulovat tvrzení předchozího
Důsledku 6.3 do následujícího tvaru (ten je zřejmě ekvivalentní s původním
a je důsledkem Věty 6.8):
1. p ⊆ B ⇔ dim(W + L(u) + L(
−→
AB)) = dim W.
2. p ∥ B ∧ p ∩ B = ∅ ⇔ dim(W + L(u)) = dim W,
dim(W + L(u) + L(
−→
AB)) = dim W + 1.
3. p, B jsou různoběžné ⇔ dim(W + L(u)) =
= dim(W + L(u) + L(
−→
AB)) = dim W + 1.
4. p, B jsou mimoběžné ⇔ dim(W + L(u) + L(
−→
AB)) = dim W + 2. ♢
Důsledek 6.4. Nechť p ≡ X = A + tu, q ≡ X = B + tv jsou dvě přímky v A. Pak
platí:
1. p ≡ q ⇔ dim(L(u, v,
−→
AB) = 1.
2. p ∥ q ∧ p ∩ q = ∅ ⇔ dim L(u, v) = 1, dim L(u, v,
−→
AB) = 2.
3. p, q jsou různoběžné ⇔ dim L(u, v) = dim L(u, v,
−→
AB) = 2.
4. p, q jsou mimoběžné ⇔ dim L(u, v,
−→
AB) = 3.
Důkaz. Tvrzení plyne bezprostředně z předchozí poznámky.
Poznámka 6.6. Předchozí důsledek popisuje všechny možné případy vzájemné polohy
dvou přímek v afinním prostoru A. Je třeba si uvědomit, že výsledek je částečně
závislý na dimenzi celého prostoru A (zřejmě například v afinní rovině, tj.
pro dim A = 2 nemůže nastat případ 4). V následující větě rozebereme analogicky
všechny možné případy vzájemné polohy dvou rovin v A a na závěr pak vyšetříme
úlohy o tzv. příčkách mimoběžných přímek. Přitom budeme používat následující
terminologii:
Řekneme, že dvě mimoběžné roviny mají společný jeden směr, jestliže průnik
zaměření těchto rovin má dimenzi 1.
6. Vzájemná poloha podprostorů 39
Řekneme, že přímka p = {A; L(u)} je rovnoběžná s vektorem w (̸= o), je-li
w ∈ L(u), tzn. jsou-li vektory u, w lineárně závislé. ♢
Věta 6.9. Nechť ϱ ≡ X = A + t1u1 + t2u2; σ ≡ X = B + s1v1 + s2v2 jsou dvě
roviny v A. Označme k = dim L(u1, u2, v1, v2), l = dim L(u1, u2, v1, v2,
−→
AB). Pak:
1. ϱ, σ jsou totožné ⇔ l = 2.
2. ϱ ∥ σ ∧ ϱ ∩ σ = ∅ ⇔ k = 2, l = 3.
3. ϱ, σ jsou různoběžné a mají společnou přímku ⇔ k = l = 3.
4. ϱ, σ jsou různoběžné a mají společný jeden bod ⇔ k = l = 4.
5. ϱ, σ jsou mimoběžné a mají společný jeden směr ⇔ k = 3, l = 4.
6. ϱ, σ jsou mimoběžné a nemají společný žádný směr ⇔ l = 5.
Důkaz. Z algebry víme, že L(u1, u2) + L(v1, v2) = L(u1, u2, v1, v2) a dále, že
dim L(u1, u2, v1, v2)+dim(L(u1, u2)∩L(v1, v2)) = dim L(u1, u2)+dim L(v1, v2) =
4. Navíc, podle Věty 2.3 se roviny ϱ, σ protínají právě když
−→
AB ∈ L(u1, u2, v1, v2).
Nyní již můžeme odvodit jednotlivá tvrzení:
"1." ϱ, σ jsou totožné ⇔ L(u1, u2) = L(v1, v2)∧
−→
AB ∈ L(u1, u2, v1, v2) ⇔ l = 2.
"2." ϱ ∥ σ ∧ ϱ ∩ σ ̸= ∅ ⇔ L(u1, u2) = L(v1, v2) ∧
−→
AB /∈ L(u1, u2) ⇔ k = 2,
l = 3.
"3." ϱ, σ jsou různoběžné a mají společnou přímku ⇔
−→
AB ∈ L(u1, u2, v1, v2) a
dim(L(u1, u2) ∩ L(v1, v2)) = 1 ⇔ k = l = 3.
"4." ϱ, σ jsou různoběžné a mají společný právě jeden bod ⇔
⇔
−→
AB ∈ L(u1, u2, v1, v2) a dim(L(u1, u2) ∩ L(v1, v2)) = 0 ⇔ k = l = 4.
"5." ϱ, σ jsou mimoběžné a mají společný směr ⇔
−→
AB /∈ L(u1, u2, v1, v2) a
dim(L(u1, u2) ∩ L(v1, v2)) = 1 ⇔ k = 3, l = 4.
"6." ϱ, σ jsou mimoběžné a nemají společný žádný směr ⇔
−→
AB /∈ L(u1, u2,
v1, v2) a dim(L(u1, u2) ∩ L(v1, v2)) = 0 ⇔ l = 5.
Poznámka 6.7. Předchozí Věta 6.9 popisuje všechny možné případy vzájemné
polohy dvou rovin v afinním prostoru A. Vidíme, že dvě roviny nemohou být mimoběžné
v prostoru dimenze 3. Teprve ve čtyřrozměrném afinním prostoru mohou
být dvě roviny mimoběžné, ale musí mít společný směr. Někdy se takovéto roviny
(a obecně i mimoběžné podprostory dimenzí 1 < k, l < n − 1, jejichž průnik zaměření
má dimenzi větší nebo rovnu jedné) nazývají částečně mimoběžné a částečně
rovnoběžné. V prostoru dimenze 5 mohou být dvě roviny mimoběžné a nemusí
mít společný směr. Takovéto roviny (a obecně i mimoběžné podprostory dimenzí
1 < k, l < n − 1, jejichž průnik zaměření je nulový podprostor) se někdy nazývají
úplně (totálně) mimoběžné. ♢
Definice 6.3. Nechť p, q jsou mimoběžné přímky (mimoběžky) v A. Pak přímka
r, která je různoběžná s přímkou p i q, se nazývá příčka mimoběžek p, q.
6. Vzájemná poloha podprostorů 40
Poznámka 6.8. Je zřejmé, že o mimoběžkách v A můžeme hovořit pouze tehdy,
je-li dim A ≥ 3. Dále, jsou-li p = {A; L(u)}, q = {B; L(v)} mimoběžky v A, pak
součtem obou přímek (ve smyslu součtu podprostorů) je
p + q = {A; L(u, v,
−→
AB)} ,
což je 3-rozměrný podprostor v A a je zřejmé, že každá příčka r = {C; L(w)}
mimoběžek p, q musí ležet v tomto 3-rozměrném podprostoru(p+q), tzn. musí platit
r ⊆ (p + q), w ∈ L(u, v,
−→
AB) .
Později (Příklady 6.1 a 6.2) rozebereme dvě základní úlohy o příčkách mimoběžek.
♢
Poznámka 6.9. Pojem příčky mimoběžek se dá zobecnit na příčky libovolných
podprostorů B1 a B2 takových, že B1 ∩ B2 = ∅. V tomto případě definujeme jako
příčku podprostorů B1 a B2 libovolnou přímku, která oba podprostory protíná. ♢
Příklad 6.1. Nechť p = {A; L(u)}, q = {B; L(v)} jsou mimoběžky v A, nechť
w ∈ L(u, v,
−→
AB) je nenulový vektor. Nalezněte příčku r mimoběžek p, q, která je
rovnoběžná s vektorem w.
Řešení : Nechť příčka r protíná přímku p v bodě P a přímku q v bodě Q (viz
Obr. 6.1).
Obr. 6.1
Pak
P = A + xu; Q = B + yv
a k vyřešení úlohy stačí nalézt čísla x, y. Podle předpokladu existují reálná čísla
a, b, c, d tak, že platí
w = au + bv + c
−→
AB ,
−→
PQ = dw, d ̸= 0
Ale
−→
PQ =
−→
PA +
−→
AB +
−−→
BQ = −xu +
−→
AB + yv a po dosazení dostáváme
−xu +
−→
AB + yv = adu + bdv + cd
−→
AB ,
6. Vzájemná poloha podprostorů 41
odkud
(ad + x)u + (bd − y)v + (cd − 1)
−→
AB = o .
Z lineární nezávislosti vektorů u, v,
−→
AB plyne x = −ad, y = bd, cd = 1, odkud
vzhledem k tomu, že platí c = 0 ⇔ w ∈ L(u, v), dostáváme následující výsledek:
(i) Je-li w ∈ L(u, v), pak úloha nemá řešení.
(ii) Je-li w /∈ L(u, v), pak úloha má jediné řešení, kde x = −a
c
, y = b
c
a hledaná
příčka je r = {P; L(
−→
PQ)}. ♡
Příklad 6.2. Nechť p = {A; L(u)}, q = {B; L(v)} jsou mimoběžky v A, nechť
M ∈ p + q je bod. Nalezněte příčku r mimoběžek p, q, která prochází bodem M.
Řešení : Nechť příčka r protíná přímku p v bodě P a přímku q v bodě Q (viz
Obr. 6.2).
Pak
P = A + xu, Q = B + yv
a k vyřešení úlohy stačí nalézt čísla x, y. Podle předpokladu existují reálná čísla
a, b, c, d tak, že platí
−−→
AM = au + bv + c
−→
AB ,
−−→
PM = d
−→
PQ = d (−x u +
−→
AB + y v) ,
což plyne z
−→
PQ =
−→
PA +
−→
AB +
−−→
BQ = −xu +
−→
AB + yv.
Obr. 6.2
Dále
−−→
AM =
−→
AP +
−−→
PM = xu − dxu + d
−→
AB + dyv ,
odkud porovnáním
au + bv + c
−→
AB = (x − dx)u + dyv + d
−→
AB ,
6. Vzájemná poloha podprostorů 42
tzn.
(a − x + dx)u + (b − dy)v + (c − d)
−→
AB = o .
Z lineární nezávislosti vektorů u, v,
−→
AB pak plyne
a − x(1 − d) = 0 ,
b − dy = 0 ,
c − d = 0 ,
=⇒
x(1 − c) = a ,
yc = b ,
odkud dostáváme následující výsledek:
(i) Je-li c = 0, b = 0, pak bod M ∈ p a úloha má nekonečně mnoho řešení,
přičemž x = a, y je libovolné.
(ii) Je-li c = 0, b ̸= 0, pak přímka q je rovnoběžná s rovinou určenou bodem M
a přímkou p a úloha nemá řešení.
(iii) Je-li c = 1, a = 0, pak bod M ∈ q a úloha má nekonečně mnoho řešení,
přičemž x je libovolné, y = b.
(iv) Je-li c = 1, a ̸= 0, pak přímka p je rovnoběžná s rovinou určenou bodem M
a přímkou q a úloha nemá řešení.
(v) Je-li c ̸= 0, 1, tj. ve všech ostatních případech, má úloha jediné řešení, přičemž
x = a
1−c
, y = b
c
. ♡
Poznámka 6.10. Pro dobré pochopení úloh o mimoběžkách je nutné umět si představit,
respektive znázornit nebo vymodelovat, jednotlivé možné situace pro případ
n = 3 v afinním názorném prostoru.
Dále poznamenejme, že pro řešení konkrétních úloh o příčkách mimoběžek není
třeba si nazpaměť pamatovat hodnoty x a y získané diskuzí v Příkladech 6.1 a
6.2. Výhodnější je nalezení bodů P, respektive Q, běžným způsobem, tzn. využitím
konkrétních podmínek ze zadané úlohy. Z výpočtu pak již automaticky vyjde, zda
a kolik řešení úloha má a rovněž tvar řešení.
V praxi se úlohy o příčkách mimoběžek řeší velice často tak, že určíme rovinu α
určenou přímkou p a vektorem w (případně bodem M). Bod Q je potom průsečík
přímky q a roviny α (pokud existuje). Podobně, je-li rovina β určenou přímkou q a
vektorem w (případně bodem M), je bod P průsečík přímky p a roviny β. ♢
Poznámka 6.11. S příčkami mimoběžek se v běžném životě potkáváme často při
zastřešení budov. Máme-li například dvě mimoběžky a rovinu, která není rovnoběžná
s žádnou z těchto mimoběžek, vytvoří všechny příčky mimoběžek rovnoběžné s danou
rovinou plochu, která se nazývá hyperbolický paraboloid nebo sedlo. Na Obrázku 6.3
vlevo je sedlo použito k zastřešení autobusové zastávky.
Podobně i věž Štramberské trůby (viz Obrázek 6.3 vpravo) vzniká tak, že ze všech
bodů kružnice v horizontální rovině sestrojíme příčky dvou kolmých horizontálních
mimoběžek. Takto vzniklá plocha se nazývá plocha Štramberské trůby. ♢
6. Vzájemná poloha podprostorů 43
Obrázek 6.3: Sedlo (vlevo) a plocha Štramberské trůby (vpravo)
Úloha 6.1. Vyšetřete vzájemnou polohu podprostorů B1 = {B1; L(u1, u2)} a B2 =
{B2; L(v1, v2, v3)} afinního prostoru A5, je-li B1 = [2; 1; 4; 0; 0], u1 = (0; −1; −1; 2; 1),
u2 = (1; 0; 1; 1; 0), B2 = [3; 0; 1; 3; 3], v1 = (1; 1; 0; 0; 1), v2 = (1; 0; −2; 1; 1), v3 =
(1; −1; 0; 3; 1).
Řešení : Ze zadání plyne, že dim B1 = 2, dim B2 = 3.
(i) Ověření rovnoběžnosti B1 a B2. Platí B1 ∥ B2, jestliže W1 ⊆ W2 (opačná
inkluze je zde vyloučena vzhledem k dimenzím B1 a B2), tzn. jestliže hodnost matice
složené po řádcích ze souřadnic vektorů v1, v2, v3, u1, u2 je rovna 3. Je-li hodnost
větší než 3, pak B1, B2 rovnoběžné nejsou.
(ii) Ověření protínání B1 a B2. Podprostory B1 a B2 se protínají (tj. B1 ∩B2 ̸= ∅),
jestliže
−−−→
B1B2 ∈ W1 + W2 (viz Věta 2.3), tzn. jestliže hodnost matice vyšetřované
v (i) se přidáním řádku souřadnic vektoru
−−−→
B1B2 nezmění. V opačném případě, tzn.
jestliže se hodnost zvětší, je B1 ∩ B2 = ∅.
Z rozboru je vidět, že obě části úlohy lze provést najednou. Je nutné přitom pouze
"hlídat" řádek odpovídající vektoru
−−−→
B1B2, nejlépe tak, že tento řádek při úpravách
matice ponecháváme stále jako poslední (případně jej ještě můžeme graficky oddělit
čarou). Tedy zde
−−−→
B1B2 = (1; −1; −3; 3; 3), odkud pak









1 1 0 0 1
1 0 −2 1 1
1 −1 0 3 1
0 −1 −1 2 1
1 0 1 1 0
. . . . . . . . . . . . . . . . .
1 −1 −3 3 3









∼ · · · ∼









1 1 0 0 1
0 −1 −2 1 0
0 0 1 1 1
0 0 0 −3 −4
0 0 0 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 1









.
Z tvaru výsledné matice pak odvodíme, že podprostory B1, B2 jsou mimoběžné a
jejich zaměření mají jako průnik jednodimenzionální podprostor (plyne z počtu nu-
6. Vzájemná poloha podprostorů 44
lových řádků nad čarou). Podprostory jsou tedy částečně mimoběžné a částečně
rovnoběžné, viz Poznámka 6.7. △
Úloha 6.2. V A4 vyšetřete vzájemnou polohu rovin ϱ = {A; L(u1, u2)}, σ =
{B; L(v1, v2)} v závislosti na parametrech r, s, je-li A = [2; −1; −1; 4], u1 = (1; 1; 0; 2),
u2 = (1; 2; −2; 3), B = [2; −1; r; 9], v1 = (2; 1; 1; −3), v2 = (−1; 0; 1; 2s).
Řešení : Protože se jedná o dvě roviny, můžeme použít Větu 6.9, tzn. nalézt
hodnoty k, respektive l tak, že nalezneme hodnost matice složené po řádcích ze
souřadnic vektorů u1, u2, v1, v2, respektive ještě
−→
AB. Při výpočtu je opět nutné
"hlídat" řádek odpovídající vektoru
−→
AB.
Tedy zde
−→
AB = (0; 0; r + 1; 5), odkud pak







1 1 0 2
1 2 −2 3
2 1 1 −3
−1 0 1 2s
. . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 r + 1 5







∼ · · · ∼







1 1 0 2
0 1 −2 1
0 0 −1 −6
0 0 0 2s − 17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 −6r − 1







.
Odtud dostáváme:
(i) Je-li s = 17
2
, r = −1
6
, pak k = l = 3 a roviny ϱ, σ jsou různoběžné a mají
společnou přímku.
(ii) Je-li s = 17
2
, r ̸= −1
6
, pak k = 3, l = 4 a roviny ϱ, σ jsou mimoběžné a mají
společný jeden směr.
(iii) Je-li s ̸= 17
2
, pak pro všechna r ∈ R je k = l = 4 a roviny ϱ, σ jsou různoběžné
a mají společný jeden bod. △
Úloha 6.3. V A4 nalezněte příčku r mimoběžek p ≡ X = A + tu, q ≡ X = B + sv,
procházející bodem M, je-li A = [1; 5; 2; −1], u = (1; 2; 1; 0), B = [0; −1; 1; 1],
v = (3; 1; 0; 1), M = [0; 1; −5; −3].
Řešení : Označme P (respektive Q) průsečík hledané příčky s přímkou p (respektive
q). Potom je P = [1+t; 5+2t; 2+t; −1] a Q = [3s; −1+s; 1; 1+s]. Neznámými,
které chceme vypočítat, jsou pak hodnoty t a s (k vyřešení úlohy tak, jak byla formulována,
však stačí nalézt jen jednu z hodnot t, s, neboť k určení hledané příčky
r stačí znát jeden z bodů P, Q).
Platí například (viz obrázek k Příkladu 6.2)
−−→
MP = k
−−→
MQ, tzn.
(1 + t; 4 + 2t; 7 + t; 2) = k(3s; −2 + s; 6; 4 + s) ,
odkud z rovnosti odpovídajících si složek dostáváme soustavu lineárních rovnic
o třech neznámých ks, k, t.
3ks − t = 1 ,
ks − 2k − 2t = 4 ,
6k − t = 7 ,
ks + 4k = 2 ,
7. Svazek nadrovin, trs rovin 45
jehož vyřešením například Gaussovou metodou dostáváme t = −3 (respektive k = 2
3
,
ks = −2
3
, odkud pak s = −1). Dosazením za t pak získáme vektor
−−→
MP. Výsledná
příčka je tedy r ≡ X = M + tw, kde M = [0; 1; −5; −3], w =
−−→
MP = (−2; −2; 4; 2).
△
Úloha 6.4. V A3 nalezněte příčku r mimoběžek p ≡ X = A + tu, q ≡ X = B + sv,
která je rovnoběžná s vektorem w, je-li w = (8; 7; 1), A = [10; −7; 0], u = (5; 4; 1),
B = [−3; 5; 0], v = (2; 1; 1).
Řešení : Označme P (respektive Q) průsečík hledané příčky s přímkou p (respektive
q). Potom P = [10 + 5t; −7 + 4t; t] (respektive Q = [−3 + 2s; 5 + s; s]) a opět
hledáme hodnoty t, s. Platí
−→
PQ = kw, neboli
(−13 + 2s − 5t; 12 + s − 4t; s − t) = (8k; 7k; k) ,
tzn. dostáváme soustavu lineárních rovnic o třech neznámých k, s, t
8k − 2s + 5t = −13 ,
7k − s + 4t = 12 ,
k − s + t = 0 ,
o níž však výpočtem snadno zjistíme, že nemá řešení, takže hledaná příčka r neexistuje.
△
7 Svazek nadrovin, trs rovin
V tomto paragrafu zavedeme pojem svazku nadrovin a podrobněji si všimneme především
svazku přímek v rovině a svazku rovin v A3. Zavedeme také pojem trsu rovin
v A3. Svazky a trsy jsou užitečným nástrojem při řešení celé řady geometrických
úloh.
Definice 7.1. Nechť B je (n−2)-dimenzionální podprostor v An, n ≥ 2. Množina
nadrovin v An, které obsahují podprostor B, se nazývá svazek nadrovin 1. druhu.
Množina navzájem rovnoběžných nadrovin v An se nazývá svazek nadrovin 2.
druhu.
Pro n = 2 hovoříme o svazku přímek 1. a 2. druhu a bod S, společný pro všechny
přímky svazku 1. druhu, se nazývá střed nebo vrchol svazku.
Pro n = 3 hovoříme o svazku rovin 1. a 2. druhu a přímka o, společná pro
všechny roviny svazku 1. druhu, se nazývá osa svazku.
Věta 7.1. Libovolné dvě různé nadroviny v An určují svazek nadrovin.
Důkaz. Dvě nadroviny v An mohou být buď rovnoběžné nebo různoběžné a jejich
průnikem je podprostor dimenze (n−2) (viz Věta 6.5). V prvním případě určují svazek
navzájem rovnoběžných nadrovin a ve druhém případě svazek nadrovin prvního
druhu.
7. Svazek nadrovin, trs rovin 46
Úmluva 7.1. Dále se budeme zabývat souřadnicovým vyjádřením svazku nadrovin.
Abychom zkrátili zápisy, budeme používat následující symbolické označení: L(X) =
a1x1 + · · · + anxn + a, tj. obecná rovnice nadroviny α je tvaru α ≡ L(X) = 0. ♢
Věta 7.2. Nechť α1 ≡ L1(X) = a1x1 + · · · + anxn + a = 0, α2 ≡ L2(X) =
b1x1 + · · · + bnxn + b = 0 jsou dvě různé nadroviny. Pak nadrovina α patří do svazku
nadrovin určeného nadrovinami α1 a α2 právě tehdy, když existují λ1, λ2 ∈ R tak, že
α ≡ λ1L1(X) + λ2L2(X) = 0 , (7.1)
tj.
α ≡
n
i=1
(λ1ai + λ2bi)xi + (λ1a + λ2b) = 0 , (7.2)
přičemž (λ1, λ2) není řešením homogenní soustavy n lineárních rovnic
a1x1 + b1x2 = 0 ,
... (7.3)
anx1 + bnx2 = 0 .
Důkaz. "⇐" Z podmínky (7.3) vyplývá, že
α ≡ λ1L1(X) + λ2L2(X) = 0
je rovnice nadroviny. Musíme ukázat, že nadrovina α patří do svazku určeného nadrovinami
α1 a α2. Situaci musíme rozdělit na dva případy.
1. Nechť α1 ∩ α2 ̸= ∅, pak α1 a α2 určují svazek nadrovin 1. druhu se společným
podprostorem B = α1 ∩ α2, dim B = n − 2. Předpokládejme, že Y ∈ B je libovolný
bod, tj. Y ∈ α1 ⇔ L1(Y ) = 0 a Y ∈ α2 ⇔ L2(Y ) = 0. Potom λ1L1(Y ) + λ2L2(Y ) =
0 ⇔ Y ∈ α, a tedy B ⊂ α a α patří do svazku nadrovin, který je určen nadrovinami
α1 a α2.
2. Nechť α1 ∥ α2, pak podle Věty 6.3 existuje nenulové číslo k ∈ R takové, že
bi = kai, i = 1, . . . , n. Ze (7.2) potom dostáváme λ1ai + λ2bi = (λ1 + kλ2)ai a z
podmínky (7.3) je (λ1 + kλ2) ̸= 0. Je tedy nadrovina α rovnoběžná s nadrovinou α1
a patří do svazku nadrovin 2. druhu určeného nadrovinami α1 a α2.
"⇒" Nechť patří α do svazku nadrovin určeného nadrovinami α1 a α2. Potom
nastávají následující možnosti:
a) α ≡ α1 ⇔ α ≡ λ1L1(X) = 0 , λ1 ̸= 0.
b) α ≡ α2 ⇔ α ≡ λ2L2(X) = 0 , λ2 ̸= 0.
c) α ̸≡ α1 a α ̸≡ α2. Uvažujme libovolný bod P ∈ α takový, že P /∈ α1 a P /∈ α2,
tj. L1(P) ̸= 0 a L2(P) ̸= 0. Označme λ1 = L2(P) a λ2 = −L1(P). Ukážeme sporem,
že λ1, λ2 nejsou řešením soustavy (7.3). Předpokládejme tedy, že
aiL2(P) − biL1(P) = 0 (7.4)
7. Svazek nadrovin, trs rovin 47
pro všechna i = 1, . . . , n. Z předpokladu L1(P) ̸= 0 je
bi = λai , λ =
L2(P)
L1(P)
. (7.5)
Nyní musíme rozlišit dva případy:
1. α1, α2 určují svazek 1. druhu ⇔ α1 ∦ α2 ⇔ (b1; . . . ; bn) ̸= k(a1; . . . ; an), což je
ve sporu s (7.5).
2. α1, α2 určují svazek 2. druhu ⇔ α1 ∥ α2 ⇔ (b1; . . . ; bn) = k(a1; . . . ; an). Potom
ze (7.4) plyne b = ka, tj. L2(X) = kL1(X) ⇔ α1 ≡ α2, což je ve sporu s
předpokladem, že α1, α2 jsou různé nadroviny.
Dohromady tedy dostáváme, že λ1 = L2(P) a λ2 = −L1(P) nejsou řešením
soustavy (7.3), a odtud
λ1L1(X) + λ2L2(X) = 0
je rovnicí nadroviny, která podle první části důkazu patří do svazku nadrovin určeného
nadrovinami α1, α2 a prochází bodem P.
Poznámka 7.1. Rovnici
α ≡ λ1L1(X) + λ2L2(X) = 0
nazýváme rovnicí svazku nadrovin, který je určen nadrovinami α1 ≡ L1(X) = 0 a
α2 ≡ L2(X) = 0. Čísla λ1, λ2 se nazývají parametry (vzhledem k nadrovinám α1, α2)
nadroviny α ve svazku. Protože je rovnice nadroviny určena až na nenulový násobek,
jsou pro nenulové k ∈ R čísla kλ1, kλ2 parametry téže nadroviny, a nadrovina je tedy
určena poměrem λ1 : λ2. ♢
Poznámka 7.2. Z Věty 7.1 vyplývá, že neparametrické rovnice podprostoru B dimenze
(n − 2) jsou vlastně rovnice dvou nadrovin, které určují B jako podprostor
společný všem nadrovinám svazku těmito nadrovinami určeného. ♢
Poznámka 7.3. Nechť α1, α2 určují svazek nadrovin druhého druhu, tj. α1 ∥ α2,
což je ekvivalentní s (b1; . . . ; bn) = k(a1; . . . ; an), 0 ̸= k ∈ R. Potom pro nadrovinu α
ve svazku můžeme zvolit parametry λ1, λ2 tak, že λ1 +kλ2 = 1 a ze (7.2) dostaneme
α ≡ a1x1 + · · · + anxn + c = 0 ,
kde c = λ1a + λ2b. Toto vyjádření nadroviny ve svazku 2. druhu je mnohem užitečnější
při praktických výpočtech. ♢
Věta 7.3. Tři různé nadroviny α1 ≡ L1(X) = a1x1 + · · · + anxn + a = 0, α2 ≡
L2(X) = b1x1 + · · · + bnxn + b = 0, α3 ≡ L3(X) = c1x1 + · · · + cnxn + c = 0 patří do
téhož svazku nadrovin právě tehdy, když
h


a1 · · · an a
b1 · · · bn b
c1 · · · cn c

 = 2 . (7.6)
7. Svazek nadrovin, trs rovin 48
Důkaz. "⇒" Patří-li např. α3 do svazku nadrovin určeného nadrovinami α1, α2, je
L3(X) = λ1L1(X)+λ2L2(X), kde (λ1, λ2) není řešením soustavy (7.3). Potom je třetí
řádek matice lineární kombinací prvních dvou (s koeficienty λ1, λ2) a z předpokladu
α1 ̸≡ α2 dostáváme tvrzení.
"⇐" Z h(A) = 2 a různosti rovin αi je např. třetí řádek matice lineární kombinací
prvních dvou, tj. ci = λ1ai + λ2bi, i = 1, . . . , n, c = λ1a + λ2b. Potom
L3(X) = λ1L1(X) + λ2L2(X) a α3 patří do svazku nadrovin určeného nadrovinami
α1, α2.
Důsledek 7.1. Tři různé přímky p1 ≡ L1(X) = a1x + a2y + a = 0, p2 ≡ L2(X) =
b1x + b2y + b = 0, p3 ≡ L3(X) = c1x + c2y + c = 0 patří do téhož svazku přímek
právě tehdy, když
a1 a2 a
b1 b2 b
c1 c2 c
= 0 . (7.7)
Důkaz. Tvrzení je přímým důsledkem Věty 7.2.
Na závěr tohoto paragrafu ještě zavedeme pojem trsu rovin v A3. Podobně jako
u svazku nadrovin bychom mohli definovat i trs nadrovin pro libovolnou dimenzi
n ≥ 3, ale prakticky se nesetkáme s jiným případem než n = 3.
Definice 7.2. Nechť S je bod a p je přímka v A3. Množina rovin v A3, které
obsahují bod S, se nazývá trs rovin 1. druhu. Bod S se nazývá vrchol nebo střed
trsu rovin.
Množina rovin v A3, které jsou rovnoběžné s přímkou p, se nazývá trs rovin 2.
druhu.
Věta 7.4. Libovolné tři různé roviny v A3, které nepatří do jednoho svazku rovin,
určují trs rovin.
Důkaz. Tři roviny v A3, které nepatří do jednoho svazku rovin, mají buď právě
jeden společný bod nebo nemají žádný společný bod a jejich zaměření mají právě
jeden společný směr. V prvním případě určují trs rovin 1. druhu a ve druhém případě
trs rovin 2. druhu.
Věta 7.5. Nechť ρ1 ≡ L1(X) = a1x1 + a2x2 + a3x3 + a = 0, ρ2 ≡ L2(X) =
b1x1 + b2x2 + b3x3 + b = 0, ρ3 ≡ L3(X) = c1x1 + c2x2 + c3x3 + c = 0 jsou tři roviny,
které nepatří do jednoho svazku rovin. Pak nadrovina ρ patří do trsu rovin určeného
rovinami ρ1, ρ2 a ρ3 právě tehdy, když existují λ1, λ2, λ3 ∈ R tak, že
ρ ≡ λ1L1(X) + λ2L2(X) + λ3L3(X) = 0 , (7.8)
přičemž (λ1, λ2, λ3) není řešením homogenní soustavy rovnic
a1x1 + b1x2 + c1x3 = 0 ,
a2x1 + b2x2 + c2x3 = 0 , (7.9)
a3x1 + b3x2 + c3x3 = 0 .
7. Svazek nadrovin, trs rovin 49
Důkaz. Důkaz se provede stejně jako důkaz Věty 7.2 a ponecháme jej na čtenáři.
Věta 7.6. Čtyři různé roviny ρ1 ≡ L1(X) = a1x1 + a2x2 + a3x3 + a = 0, ρ2 ≡
L2(X) = b1x1 + b2x2 + b3x3 + b = 0, ρ3 ≡ L3(X) = c1x1 + c2x2 + c3x3 + c = 0,
ρ4 ≡ L4(X) = d1x1 + d2x2 + d3x3 + d = 0, z nichž žádné tři nepatří do téhož svazku
rovin, patří do téhož trsu rovin právě tehdy, když
a1 a2 a3 a
b1 b2 b3 b
c1 c2 c3 c
d1 d2 d3 d
= 0 . (7.10)
Důkaz. Podmínka, že žádné tři z rovin ρ1, . . . , ρ4 nepatří do téhož svazku rovin,
je ekvivalentní tomu, že matice A sestavená z koeficientů rovnic má hodnost ≥ 3.
Stejně jako v důkazu Věty 7.3 se dokáže, že ρ1, . . . , ρ4 patří do téhož trsu rovin právě
tehdy, když h(A) = 3, a odtud dostáváme |A| = 0. Na druhé straně, je-li |A| = 0,
je např. poslední řádek matice A lineární kombinaci prvních tří, což je ekvivalentní
s tím, že ρ4 patří do trsu určeného rovinami ρ1, ρ2, ρ3.
Úloha 7.1. Určete rovnici přímky r v rovině, která prochází průsečíkem přímek
p1 ≡ x + 2y − 5 = 0 a p2 ≡ 3x − 2y + 1 = 0 a navíc
a) prochází bodem P = [3; −1],
b) je rovnoběžná s přímkou q ≡ 4x + 3y + 1 = 0.
Řešení : a) Hledaná přímka r patří do svazku přímek 1. druhu, který je určen
přímkami p1 a p2, tj. r ≡ λ1(x + 2y − 5) + λ2(3x − 2y + 1) = 0. Podmínka P ∈ r
dává rovnici −4λ1 + 12λ2 = 0, odkud λ1 : λ2 = 12 : 4 = 3 : 1.
Výsledek: r ≡ 6x + 4y − 14 = 0.
Tato úloha je analytickou obdobou planimetrické úlohy nalézt spojnici daného
bodu s nedostupným průsečíkem přímek.
b) Hledaná přímka r patří do svazku přímek 2. druhu určeného přímkou q, tj.
r ≡ 4x+3y +c = 0, a současně do svazku přímek 1. druhu, který je určen přímkami
p1 a p2. Z Důsledku 7.1 je
1 2 −5
3 −2 1
4 3 c
= 0 ⇔ c = −10 .
Výsledek: r ≡ 4x + 3y − 10 = 0. △
Úloha 7.2. Bodem M = [2; 3; 1] veď te příčku mimoběžek
p ≡
x + y = 0 ,
x − y + z + 4 = 0 ,
q ≡
x + 3y − 1 = 0 ,
y + z − 2 = 0 .
Řešení : Hledaná příčka r musí ležet v rovinách ρ1(M, p) a ρ2(M, q). Rovina ρ1
patří do svazku s osou p, tj. ρ1 ≡ λ1(x + y) + λ2(x − y + z + 4) = 0 a podmínka
8. Dělicí poměr, střed dvojice bodů 50
M ∈ ρ1 dává rovnici 5λ1 + 4λ2 = 0, tj. λ1 : λ2 = −4 : 5, odkud dostáváme
ρ1 ≡ x − 9y + 5z + 20 = 0.
Podobně rovina ρ2 patří do svazku s osou q, tj. ρ2 ≡ λ1(x+3y−1)+λ2(y+z−2) =
0 a podmínka M ∈ ρ2 dává rovnici 10λ1 + 2λ2 = 0, tj. λ1 : λ2 = −1 : 5, odkud
dostáváme ρ2 ≡ x − 2y − 5z + 9 = 0.
Výsledek: hledaná příčka r ≡
x − 9y + 5z + 20 = 0 ,
x − 2y − 5z + 9 = 0 .
△
8 Dělicí poměr, střed dvojice bodů
Definice 8.1. Nechť A, B, C jsou tři navzájem různé body ležící na dané přímce
p. Reálné číslo λ splňující vztah
−→
AC = λ
−−→
BC (8.1)
nazýváme dělicím poměrem bodu C vzhledem k bodům A, B (v tomto pořadí) a
označujeme symbolem (C; A, B).
Poznámka 8.1. Předchozí definice je formálně vyslovena pro přímku, tj. pro jednorozměrný
afinní prostor, ale je zřejmé, že pojem dělicího poměru je stejným způsobem
definován i pro tři navzájem různé body jakéhokoliv jednorozměrného podprostoru
(tj. přímky) v afinním n-rozměrném prostoru A. Podstatné je tedy pouze
to, aby uvažované body A, B, C ležely na jedné přímce. ♢
Věta 8.1. Nechť A = [a1; . . . ; an], B = [b1; . . . ; bn], C = [c1; . . . ; cn] jsou tři navzájem
různé body ležící na jedné přímce v afinním prostoru A. Nechť (C; A, B) = λ.
Pak platí
ci − ai = λ(ci − bi), i = 1, . . . , n . (8.2)
Důkaz. Platí-li předpoklady věty, pak
−→
AC = (c1 − a1; . . . ; cn − an),
−−→
BC = (c1 −
b1; . . . ; cn − bn) a tvrzení věty vyplývá přímo z Definice 8.1.
Poznámka 8.2. Vztahy (8.2), což je celkem n rovností mezi reálnými čísly, budeme
dále obvykle stručně zapisovat jedinou symbolickou rovnicí
(C − A) = λ(C − B) .
Bezprostředně lze ověřit (například rozepsáním pomocí transformačních rovnic
pro souřadnice bodů), že hodnota dělicího poměru λ, která je vztahy (8.2) jednoznačně
určena, nezávisí na volbě afinního repéru.
Zárověň připomeňme, že hodnota λ není obecně jednoznačně určena každým ze
vztahů (8.2). Může se totiž stát, že ai = bi = ci pro jeden nebo více indexů i (nikoliv
však pro všechny!) a pro takové i je pak (8.2) tvaru 0 = λ · 0. Je-li však prostor
8. Dělicí poměr, střed dvojice bodů 51
A jednorozměrný a A = [a], B = [b], C = [c], pak musí být a, b, c navzájem různá
reálná čísla, a je
(C; A, B) =
c − a
c − b
.
Konečně, z Definice 8.1 ihned plyne, že dělicí poměr λ = (C; A, B) je reálné
číslo, různé od 0, respektive 1, neboť jinak by bylo A = C, respektive A = B, což
je vyloučeno. V následující větě ukážeme, že zobrazení přiřazující každému bodu C
(C ̸= B, C ̸= A) dělicí poměr (C; A, B) je bijekcí množiny p − {A, B} na množinu
R − {0, 1}. ♢
Věta 8.2. Nechť A, B jsou dva různé body na přímce p, nechť λ je reálné číslo
0 ̸= λ ̸= 1. Pak existuje na přímce p jediný bod C, různý od A, B, splňující vztah
(C; A, B) = λ.
Důkaz. Protože pojem dělicího poměru nezávisí na volbě afinního repéru, provedeme
důkaz v souřadnicích vzhledem k vhodně zvolenému afinnímu repéru, s využitím
Věty 8.1. Nechť tedy ⟨A;
−→
AB⟩ je afinní repér na p. Vzhledem k němu je
pak A = [0], B = [1]. Budeme hledat všechny body C = [x], které splňují vztah
(C; A, B) = λ. Podle Věty 8.1 je x − 0 = λ · (x − 1), odkud x = λ
λ−1
. Vidíme,
že hodnota x je určena jednoznačně a je x ̸= 0, x ̸= 1, a tedy bod C s uvedenou
vlastností je jediný a je různý od A i B.
Z Definice 8.1, případně z Věty 8.1 je zřejmé, že pořadí, v jakém zapisujeme body
A, B, C ve výrazu pro dělicí poměr, je pevně dáno a je podstatné. Následující věta
ukáže, jak se změní dělicí poměr tří bodů, změníme-li jejich pořadí.
Věta 8.3. Nechť A, B, C jsou tři navzájem různé body na přímce a nechť (C; A, B) =
λ. Pak platí
1. (C; B, A) =
1
λ
, 2. (B; A, C) = 1 − λ , 3. (B; C, A) =
1
1 − λ
,
4. (A; B, C) =
λ − 1
λ
, 5. (A; C, B) =
λ
λ − 1
.
Důkaz. 1. Podle předpokladu
−→
AC = λ
−−→
BC, odkud
−−→
BC = 1
λ
−→
AC, a tedy (C; B, A) =
1
λ
.
2.
−→
AC =
−→
AB +
−−→
BC = λ
−−→
BC, tzn.
−→
AB = (λ − 1)
−−→
BC, odkud dostáváme
−→
AB =
(1 − λ)
−−→
CB, a tedy (B; A, C) = 1 − λ.
3., 4., 5. plynou bezprostředně z 1. a 2.
Věta 8.4. Nechť N1, N2, N3 jsou tři různé rovnoběžné nadroviny v afinním n-rozměrném
prostoru An, n ≥ 2. Nechť r, s jsou přímky v An, různoběžné s těmito
nadrovinami. Označme Ri = r ∩ Ni, Si = s ∩ Ni, i = 1, 2, 3. Pak platí
(R3; R1, R2) = (S3; S1, S2) .
Důkaz. Pro názornost si nejprve situaci popsanou ve Větě 8.4 ilustrujme obrázkem
pro nejjednodušší případy, tj. n = 2, 3 (viz Obr. 8.1).
8. Dělicí poměr, střed dvojice bodů 52
Obr. 8.1
Nyní k vlastnímu důkazu. Nechť r = {A; L(u)}, s = {B; L(v)} a dále zvolme v An
afinní repér
R = ⟨P; e1, . . . , en−1, en⟩ (8.3)
a to tak, že vektory e1, . . . , en−1 jsou bází zaměření nadroviny N1 (a tudíž i N2 a
N3) a všechny souřadnice vyjadřujeme nyní vzhledem k (8.3). Potom Ni ≡ xn = ci,
kde ci, i = 1, 2, 3, jsou navzájem různá reálná čísla. Nechť Ri = [r1i; . . . ; rni], Si =
[s1i; . . . ; sni], u = (u1; . . . ; un), v = (v1; . . . ; vn). Vzhledem k tomu, jak jsme zvolili
repér R, musí být rn1 = sn1 = c1, rn2 = sn2 = c2, rn3 = sn3 = c3 (neboť body
Ri, Si leží oba v nadrovině Ni), respektive un ̸= 0, vn ̸= 0 (neboť přímky r, s nejsou
rovnoběžné s N1), a tedy také rni − rnj ̸= 0, sni − snj ̸= 0 pro i ̸= j. Odtud a z (8.2)
pak dostáváme
(R3; R1, R2) =
rn3 − rn1
rn3 − rn2
=
c3 − c1
c3 − c2
=
sn3 − sn1
sn3 − sn2
= (S3; S1, S2) .
Definice 8.2. Nechť A, B jsou body afinního prostoru A. Je-li A = B, pak středem
dvojice bodů A, B nazýváme bod A. Je-li A ̸= B, pak středem dvojice bodů A, B
nazýváme bod S ∈ A, pro který platí (S; A, B) = −1.
Poznámka 8.3. Uvědomme si, že v definici středu dvojice bodů nezáleží na pořadí
bodů A, B (neboť podle Věty 8.3 je (S; A, B) = −1 právě když (S; B, A) = −1).
Vzhledem k Větě 8.2 je pak střed dvojice bodů určen jednoznačně. ♢
8. Dělicí poměr, střed dvojice bodů 53
Věta 8.5. Nechť A, B ∈ A jsou libovolné body. Pak bod S je středem dvojice bodů
A, B právě když
S = A +
1
2
−→
AB .
Důkaz. Tvrzení je zřejmé, pokud A = B. Nechť tedy A ̸= B. Potom:
“⇒" Nechť S je středem dvojice bodů A, B. Pak (S; A, B) = −1, tj.
−→
AS =
−
−→
BS = −(
−→
BA +
−→
AS), odkud 2
−→
AS =
−→
AB. Pak
−→
AS = 1
2
−→
AB, neboli S = A + 1
2
−→
AB.
“⇐" Nechť S = A+ 1
2
−→
AB, pak 2
−→
AS =
−→
AS+
−→
AS =
−→
AB, odkud
−→
AS =
−→
SA+
−→
AB =
−→
SB = −
−→
BS. Tedy (S; A, B) = −1 a S je středem dvojice bodů A, B.
Důsledek 8.1. Nechť A = [a1; . . . ; an], B = [b1; . . . ; bn] jsou libovolné body v An.
Pak bod S je středem dvojice bodů A, B právě když
S =
1
2
(a1 + b1); . . . ;
1
2
(an + bn) .
Důkaz. Tvrzení plyne přímo z předchozí věty, uvědomíme-li si, že platí
−→
AB =
(b1 − a1; . . . ; bn − an).
Poznámka 8.4. Vyjádření souřadnic středu S dvojice bodů A, B z předchozího
důsledku můžeme zapsat stručně symbolickou rovnicí
S =
1
2
(A + B) =
1
2
A +
1
2
B .
Přitom je třeba ještě jednou zdůraznit, že tento zápis je symbolický a znamená,
že bod S je afinní kombinací bodů A, B (viz Definice 5.2) a symbolizuje tedy n
odpovídajících rovností mezi souřadnicemi.
Podle Poznámky 5.4 je střed dvojice bodů těžištěm hmotné soustavy tvořené
pouze těmito body. ♢
Věta 8.6. Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v An. Potom platí
−→
AB =
−−→
CD ⇔
1
2
(A + D) =
1
2
(B + C) .
Důkaz. Nechť A = [a1; . . . ; an], B = [b1; . . . ; bn], C = [c1; . . . ; cn], D = [d1; . . . ; dn].
Pak
−→
AB = (b1 − a1; . . . ; bn − an),
−−→
CD = (d1 − c1; . . . ; dn − cn) a zřejmě platí
bi − ai = di − ci ⇔
1
2
(ai + di) =
1
2
(bi + ci), i = 1, . . . , n .
Poznámka 8.5. Předchozí Věta 8.6 ukazuje souvislost v algebře zavedeného pojmu
vektoru (viz [Ho94]) se středoškolským pojmem vektoru. Věta 8.6 totiž říká, že
dvojice bodů A, B a C, D určují stejný vektor právě tehdy, mají-li dvojice bodů
8. Dělicí poměr, střed dvojice bodů 54
A, D a B, C stejný střed (viz Obr. 8.2), což je jeden z obvyklých způsobů používaný
při zavádění (volných) vektorů na střední škole.
Obr. 8.2
Konkrétně, v názorné rovině (prostoru) je vázaný vektor definován jako uspořádaná
dvojice bodů (A, B), kterou značíme
−→
AB. Na množině vázaných vektorů se
definuje relace ekvipolence takto:
−→
AB =
−−→
CD ⇔
1
2
(A + D) =
1
2
(B + C) .
Tato relace je relací ekvivalence na množině všech vázaných vektorů a třídy rozkladu
příslušného této ekvivalenci se nazývají volné vektory (prvky ze zaměření názorné
roviny). ♢
Úloha 8.1. Na přímce p jsou dány čtyři navzájem různé body A, B, C, D. Dokažte,
že platí
(D; A, B) · (D; B, C) = (D; A, C) .
Řešení : Nechť vzhledem k pevnému afinnímu repéru na přímce p je A = [a],
B = [b], C = [c], D = [d]. Pak užitím Věty 8.1 dostáváme
(D; A, B) · (D; B, C) =
d − a
d − b
·
d − b
d − c
=
d − a
d − c
= (D; A, C) ,
což dává dokazované tvrzení. △
Úloha 8.2. Jsou dány body A = [1; −1; 2; 1], B = [2; 1; 1; 0] v A4. Určete bod
C ∈ A4, víte-li, že střed dvojice bodů A, C leží v nadrovině N ≡ x1 +x2 −x4 +4 = 0
a střed dvojice bodů B, C leží na přímce p ≡ X = [2; 0; 1; 3] + t(0; 2; −1; 1).
Řešení : Nechť C = [c1; c2; c3; c4] je hledaný bod. Potom:
a) Označíme-li SAC střed dvojice bodů A, C, pak podle Důsledku 8.1 je v souřadnicích
SAC = 1+c1
2
; −1+c2
2
; 2+c3
2
; 1+c4
2
. Ale SAC ∈ N, tzn. po dosazení souřadnic
SAC do rovnice N a úpravě dostáváme
c1 + c2 − c4 + 7 = 0 . (8.4)
9. Uspořádání na přímce, poloprostor, úhel 55
Vidíme, že body C s vlastností SAC ∈ N vyplní nadrovinu (8.4), která je rovnoběžná
s nadrovinou N.
b) Označíme-li SBC střed dvojice bodů B, C, pak v souřadnicích je SBC =
2+c1
2
; 1+c2
2
; 1+c3
2
; c4
2
. Ale SBC ∈ p, tzn. po dosazení souřadnic SBC do parametrického
vyjádření přímky p a úpravě dostáváme



c1 = 2 ,
c2 = −1 + 4t ,
c3 = 1 − 2t ,
c4 = 6 + 2t .
(8.5)
Vidíme tedy, že body C s vlastností SBC ∈ p vyplní přímku (8.5), která je
rovnoběžná s přímkou p.
Řešením úlohy je pak množina bodů patřících do průniku nadroviny (8.4) a
přímky (8.5) (což teoreticky může být buď prázdná množina nebo jeden bod nebo
přímka (8.5)). V našem případě po dosazení (8.5) do (8.4) dostáváme
2 − 1 + 4t − 6 − 2t + 7 = 0 =⇒ t = −1 ,
odkud plyne, že hledaný bod C je jediný, a sice C = [2; −5; 3; 4]. △
9 Uspořádání na přímce, poloprostor, úhel
V tomto paragrafu budeme nejprve na množině všech bodů na přímce zavádět jistou
relaci uspořádání. Připomeňme si z algebry (viz [Ho94]), že relací uspořádání na
dané množině M (̸= ∅) rozumíme relaci na M, která je reflexivní, antisymetrická
a tranzitivní. Je-li tato relace navíc ještě úplná, hovoříme pak o úplném (nebo též
lineárním) uspořádání.
Dále, je-li ϱ relací uspořádání na M a definujeme-li na M relaci ¯ϱ předpisem
x ¯ϱ y právě když y ϱ x, pro x, y ∈ M ,
pak je ihned vidět, že ¯ϱ je rovněž relací uspořádání na M. Relaci ¯ϱ pak nazýváme
opačné uspořádání k uspořádání ϱ.
Nejběžnějším příkladem úplného uspořádání na množině reálných čísel R je relace
přirozeného uspořádání (nebo též uspořádání podle velikosti), označovaná symbolem
≤ a definovaná:
x ≤ y právě když (y − x) je nezáporné číslo, pro x, y ∈ R .
Opačné uspořádání k přirozenému uspořádání na R jsme tradičně zvyklí označovat
symbolem ≥.
Nyní tedy zavedeme relaci uspořádání na afinní přímce jistým jednoduchým způsobem
(využívajícím přirozeného uspořádání množiny R) a potom budeme sledovat
základní vlastnosti pojmů, z této relace odvozených.
9. Uspořádání na přímce, poloprostor, úhel 56
Definice 9.1. Nechť p je přímka (tzn. jednorozměrný afinní prostor) a
R = ⟨P; u⟩ (9.1)
je pevný afinní repér na p. Nechť X, Y ∈ p jsou dva body, přičemž X = [x],
Y = [y] vzhledem k repéru R. Pak na přímce p definujeme relaci ω předpisem
X ω Y právě když x ≤ y .
Poznámka 9.1. Je zřejmé, že ω je relací úplného uspořádání na p (plyne ihned
z toho, že ≤ je relací úplného uspořádání na R), která však obecně bude záviset na
volbě afinního repéru R. ♢
Definice 9.2. Uspořádání ω přímky p se nazývá uspořádání určené afinním repérem
R. Jestliže pro body X, Y ∈ p platí X ω Y , pak budeme říkat, že X je roven
nebo je před Y , respektive platí-li X ω Y a X ̸= Y , pak budeme říkat, že X je před
Y .
Věta 9.1. Nechť na přímce p jsou dány afinní repéry
(1) R1 = ⟨P; u⟩ ,
(2) R2 = ⟨Q; v⟩ ,
přičemž v = ku, k ∈ R. Pak uspořádání určená afinními repéry R1 a R2 jsou rovná
právě když k > 0 a jsou opačná právě když k < 0.
Důkaz. Označme ω1 (respektive ω2) uspořádání p určené R1 (respektive určené R2).
Nechť X, Y ∈ p jsou libovolné body a nechť vzhledem k R1 je X = [x], Y = [y],
Q = [q] (respektive vzhledem k R2 je X = [x′
], Y = [y′
]). Pak podle (3.10) je
x = kx′
+ q , y = ky′
+ q ,
x′
=
1
k
x −
q
k
, y′
=
1
k
y −
q
k
.
(9.2)
(i) Nechť k > 0, pak úpravou z (9.2) x ≤ y právě když x′
≤ y′
, a tedy X ω1 Y
právě když X ω2 Y . Obě uspořádání ω1 a ω2 jsou tedy rovná.
(ii) Nechť k < 0, pak z (9.2) plyne x ≤ y právě když y′
≤ x′
, a tedy X ω1 Y
právě když Y ω2 X a uspořádání ω1, ω2 jsou opačná.
Zbývající implikace z tvrzení věty jsou již logickým důsledkem (i) a (ii).
Věta 9.2. Na přímce p existují právě dvě uspořádání určená afinními repéry a tato
uspořádání jsou navzájem opačná.
Důkaz. Tvrzení plyne přímo z Věty 9.1, uvědomíme-li si, že číslo k musí být různé
od nuly, a tedy buď je k > 0 nebo k < 0.
9. Uspořádání na přímce, poloprostor, úhel 57
Definice 9.3. Nechť ω je uspořádání přímky p určené pevným afinním repérem;
nechť A, B, C jsou tři navzájem různé body na p. Řekneme, že bod C leží mezi
body A, B, je-li
A ω C ω B nebo B ω Cω A .
Poznámka 9.2. Z předchozích vět vidíme, že uspořádání přímky p, určené afinním
repérem, závisí na volbě tohoto repéru jenom zčásti – přesněji řečeno, musí být
jedním ze dvou možných uspořádání. Máme-li tedy například dva různé body A, B ∈
p, pak při jednom z obou možných uspořádání je bod A před bodem B a při druhém
je bod B před bodem A. Je tedy zřejmé, že výše definovaný pojem ležet mezi body
A, B nezáleží na pořadí bodů A, B ani na zvoleném uspořádání přímky p. ♢
Věta 9.3. Nechť A, B, C ∈ p; A ̸= B. Pak bod C leží mezi body A, B právě když
(C; A, B) < 0.
Důkaz. V pevně zvoleném afinním repéru nechť je A = [a], B = [b], C = [c]. Podle
Poznámky 8.2 je (C; A, B) = c−a
c−b
. Tedy (C; A, B) < 0 ⇔ (c − a > 0, c − b < 0) nebo
(c − a < 0, c − b > 0) ⇔ (a < c < b) nebo (b < c < a) ⇔ bod C leží mezi body
A, B.
Při studiu pojmů "uspořádání určené afinním repérem" a "bod leží mezi dvěma
body" jsme se zatím z přirozených důvodů omezovali na jednorozměrné afinní
prostory. Dále těchto pojmů využijeme pro studium dalších lineárních útvarů v nrozměrném
afinním prostoru An. Připomeňme, že libovolné dva různé body A, B ∈
An jednoznačně určují přímku {A; L(
−→
AB)}, kterou budeme v dalším někdy také
nazývat "přímka AB".
Definice 9.4. Nechť A, B jsou body afinního prostoru A. Množina bodů X ∈ A
tvaru
X = A + t
−→
AB, kde 0 ≤ t ≤ 1 ,
se nazývá úsečka s krajními body A, B nebo krátce úsečka AB a označuje se symbolem
[A, B].
Množina bodů [A, B] − {A, B} se nazývá vnitřek úsečky [A, B] nebo otevřená
úsečka [A, B].
Poznámka 9.3. Uvědomme si, že v definici úsečky nezáleží na pořadí bodů A, B,
neboť bezprostředním rozepsáním se ukáže, že {X ∈ A | X = A + t
−→
AB, 0 ≤ t ≤
1} = {X ∈ A | X = B + q
−→
BA, 0 ≤ q ≤ 1}. Dále, definice zřejmě nevylučuje případ
A = B, kdy pak dostaneme [A, B] = {A} a vnitřek takovéto úsečky je prázdná
množina. Následující dvě věty blíže popisují strukturu úsečky. ♢
Věta 9.4. Nechť A, B ∈ A. Pak vnitřek úsečky [A, B] je právě množina všech bodů
afinního prostoru A, které leží mezi body A, B.
9. Uspořádání na přímce, poloprostor, úhel 58
Důkaz. Je-li A = B, pak tvrzení věty zřejmě platí. Nechť tedy A ̸= B. Zřejmě se
stačí omezit pouze na body přímky AB. Na přímce AB zvolme afinní repér ⟨A;
−→
AB⟩.
Pak je A = [0], B = [1] a bod X = [x] je bodem vnitřku úsečky [A, B] právě když
X = A + x
−→
AB, 0 < x < 1, tj. právě když bod X leží mezi body A, B.
Věta 9.5. Nechť A = [a1; . . . ; an], B = [b1; . . . ; bn], X = [x1; . . . ; xn] ∈ A. Pak bod
X je bodem úsečky [A, B] právě když
xi = rai + sbi kde r + s = 1, r ≥ 0, s ≥ 0, pro i = 1, . . . , n . (9.3)
Důkaz. X ∈ [A, B] ⇔ X = A + t
−→
AB, 0 ≤ t ≤ 1 ⇔
−−→
AX = t
−→
AB, 0 ≤ t ≤ 1 ⇔
xi − ai = t(bi − ai), 0 ≤ t ≤ 1, pro i = 1, . . . , n ⇔ xi = (1 − t)ai + tbi, 0 ≤ t ≤ 1, pro
i = 1, . . . , n, což dává tvrzení, položíme-li r = 1 − t, s = t.
Poznámka 9.4. Vztahy (9.3) můžeme opět zapsat symbolickou rovnicí
X = rA + sB, r + s = 1, r ≥ 0, s ≥ 0 .
Dále budeme z důvodů stručnosti téměř vždy již bez výslovného upozornění používat
tento symbolický zápis. Při jeho úpravách je však nutno mít na paměti, že se ve
skutečnosti jedná o n rovností mezi reálnými čísly a rozmyslet si, že prováděné
úpravy jsou korektní. ♢
Definice 9.5. Nechť N je nadrovina afinního prostoru A. Řekneme, že body
A, B ∈ A − N jsou oddělovány nadrovinou N, jestliže N ∩ [A, B] ̸= ∅. V opačném
případě říkáme, že body A, B nejsou oddělovány nadrovinou N.
Věta 9.6. Nechť N je nadrovina v A. Na množině bodů A − N definujeme relaci
∼ takto: pro A, B ∈ A − N položíme
A ∼ B právě když body A, B nejsou oddělovány nadrovinou N.
Potom relace ∼ je relací ekvivalence na množině A − N a rozklad množiny A − N
příslušný této relaci ekvivalence ∼ má dvě třídy.
Důkaz. Nejprve si relaci ∼ vyjádříme jiným způsobem, z něhož pak celkem lehce
vyplyne tvrzení věty. Nechť tedy P ∈ N je pevný bod, u ∈ Z(A) − Z(N) pevný
(nenulový) vektor a u1, . . . , un−1 je pevná báze zaměření Z(N) (pokud existuje, tzn.
pro dim A ≥ 2). Potom
⟨P; u, u1, . . . , un−1⟩ (9.4)
je afinní repér v A. Poznamenejme, že při takto zvoleném afinním repéru zřejmě bod
leží (respektive neleží) v N právě když jeho 1. souřadnice je rovna nule (respektive
je různá od nuly).
Nyní, nechť A, B ∈ A − N, přičemž v souřadnicích vzhledem k (9.4) je A =
[a; a1; . . . ; an−1], B = [b; b1; . . . ; bn−1] . Zřejmě pak a ̸= 0, b ̸= 0 a platí [A, B] ∩ N ̸=
9. Uspořádání na přímce, poloprostor, úhel 59
∅ ⇔ ∃t0 : 0 < t0 < 1, A + t0
−→
AB ∈ N ⇔ ∃t0 : 0 < t0 < 1, a + t0(b − a) = 0,
a ̸= b ⇔ 0 < a
a−b
< 1. Přitom mohou nastat dvě možnosti:
(i) a − b > 0, pak [A, B] ∩ N ̸= ∅ ⇔ a > 0, b < 0 ;
(ii) a − b < 0, pak [A, B] ∩ N ̸= ∅ ⇔ a < 0, b > 0 .
Dohromady tedy [A, B] ∩ N ̸= ∅ právě když a · b < 0, odkud [A, B] ∩ N = ∅
právě když a · b > 0 a relaci ∼ pak můžeme vyjádřit takto:
A ∼ B právě když a · b > 0 . (9.5)
Z (9.5) je ihned vidět, že relace ∼ je reflexivní a symetrická. Zbývá ověřit tranzitivitu.
Nechť A, B, C ∈ A − N, A = [a; a1; . . . ; an−1], B = [b; b1; . . . ; bn−1],
C = [c; c1; . . . ; cn−1] vzhledem k repéru (9.4) a nechť platí A ∼ B, B ∼ C. Potom
však a · b > 0, b · c > 0, odkud plyne, že a · c > 0, a tedy A ∼ C.
Tedy ∼ je relací ekvivalence na množině A − N a z (9.5) ihned plyne, že rozklad
množiny A − N příslušný ekvivalenci ∼ má právě dvě třídy.
Definice 9.6. Nechť N je nadrovina v A. Třídy rozkladu množiny A − N příslušného
ekvivalenci ∼ budeme označovat P′
1 a P′
2 a nazývat otevřené poloprostory
v A vyť até nadrovinou N. Množiny P1 = P′
1 ∪ N a P2 = P′
2 ∪ N budeme nazývat
poloprostory v A vyť até nadrovinou N a nadrovinu N jejich hranicí. Body z P′
i
(respektive z N) budeme nazývat vnitřními body (respektive hraničními body) poloprostoru
Pi, pro i = 1, 2.
Poloprostory na přímce (respektive v rovině) budeme nazývat polopřímkami
(respektive polorovinami).
Poznámka 9.5. Z předchozího vyplývá, že každý poloprostor je jednoznačně určen
svou hranicí N (tj. nadrovinou) a podmínkou, aby daný bod (neležící v N) ležel,
respektive neležel, v tomto poloprostoru.
Poloprostor P daný hranicí N a vnitřním bodem A budeme v dalším označovat
symbolem P = (N; A). ♢
Následující věty nám pak udají další možnosti explicitního vyjádření poloprostorů
v afinním prostoru A.
Věta 9.7. Nechť N je nadrovina prostoru A, nechť u ∈ Z(A) − Z(N) je pevný
vektor. Pak poloprostory P1, P2 v A, vyť até nadrovinou N jsou tvaru
P1 = {X + tu | X ∈ N, t ≥ 0}, P2 = {X + tu | X ∈ N, t ≤ 0}. (9.6)
Důkaz. Zvolíme-li stejným způsobem jako v důkazu Věty 9.6 afinní repér (9.4), pak
libovolný bod T ∈ A lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru
T = P + tu + t1u1 + · · · + tn−1un−1 = (P + t1u1 + · · · + tn−1un−1) + tu .
Označíme-li nyní X = P + t1u1 + · · · + tn−1un−1 ∈ N, pak tvrzení věty plyne ze
vztahu (9.5) v důkazu Věty 9.6.
9. Uspořádání na přímce, poloprostor, úhel 60
Věta 9.8. Nechť N ≡ a1x1 +· · ·+anxn +a = 0 je nadrovina v An. Pak poloprostory
P1, P2 v An, vyť até nadrovinou N jsou tvaru
P1 = {X = [x1; . . . ; xn] | a1x1 + · · · + anxn + a ≥ 0} , (9.7)
P2 = {X = [x1; . . . ; xn] | a1x1 + · · · + anxn + a ≤ 0} .
Důkaz. Nechť Y = [y1; . . . ; yn], Z = [z1; . . . ; zn] ∈ An − N jsou dva různé body.
1. Je-li
−→
Y Z ∈ Z(N), pak přímka Y Z neprotíná nadrovinu N (podle Věty 6.1).
Je tedy [Y, Z] ∩ N = ∅ a body Y, Z leží ve stejném poloprostoru v An, vyť atém
nadrovinou N. Na druhé straně, z podmínky
−→
Y Z ∈ Z(N) plyne (viz Věta 5.3), že
a1(z1 − y1) + · · · + an(zn − yn) = 0, tzn. po úpravě
a1z1 + · · · + anzn + a = a1y1 + · · · + anyn + a ,
a tedy výrazy (a1y1 + · · · + anyn + a) a (a1z1 + · · · + anzn + a) jsou oba kladné nebo
oba záporné.
2. Je-li
−→
Y Z /∈ Z(N), pak přímka Y Z protíná nadrovinu N v jediném bodě
B = [b1; . . . ; bn].
Ale B ̸= Y , B ̸= Z, tzn. existuje λ ∈ R :
−−→
BY = λ
−→
BZ, λ ̸= 0, λ ̸= 1. Přechodem
k souřadnicím dostáváme symbolickou rovnici Y −B = λ·(Z −B), kterou upravíme
B =
1
1 − λ
(Y − λZ) , (9.8)
tzn. B = 1−λ+λ
1−λ
Y + −λ
1−λ
Z = Y + λ
λ−1
(Z − Y ), což jinak zapsáno je
B = Y +
λ
λ − 1
−→
Y Z . (9.9)
Bod B je však průsečíkem přímky Y Z s nadrovinou N, tzn. a1b1 +· · ·+anbn +a = 0,
odkud po dosazení z (9.8) vypočítáme λ
0 =
n
i=1
ai
1
1 − λ
(yi − λzi) + a ,
0 =
n
i=1
aiyi − λ
n
i=1
aizi + (1 − λ)a ,
λ =
a1y1 + · · · + anyn + a
a1z1 + · · · + anzn + a
.
Body Y, Z leží ve stejném poloprostoru v A vyť atém nadrovinou N ⇔ body Y, Z
nejsou oddělovány nadrovinou N
(9.9)
⇐⇒ λ
λ−1
> 1 nebo λ
λ−1
< 0 ⇔ λ > 1 nebo
0 < λ < 1 ⇔ výrazy (a1y1 + · · · + anyn + a), (a1z1 + · · · + anzn + a) jsou oba kladné
nebo oba záporné.
Přidáme-li k vyšetřovaným bodům i body ležící v nadrovině N, pak z 1. a 2.
plyne tvrzení věty.
9. Uspořádání na přímce, poloprostor, úhel 61
Poznámka 9.6. Vyjádření (9.6) nazýváme též parametrickým vyjádřením poloprostorů
(vyť atých v A nadrovinou N). Uvědomme si, že pro toto vyjádření je
nutné umět každý bod afinního prostoru A vyjádřit v jistém speciálním tvaru (jako
součet bodu z N a vektoru ze Z(A) − Z(N)), což může být někdy pro praktické
počítání nevýhodné.
Vyjádření (9.7) nazýváme též neparametrickým vyjádřením poloprostorů (vyť atých
v A nadrovinou N). Dále budeme pro toto vyjádření užívat stručnějšího zápisu
P1 ≡ a1x1 + · · · + anxn + a ≥ 0 ,
P2 ≡ a1x1 + · · · + anxn + a ≤ 0 . ♢
Věta 9.9. Nechť P = (N; A) je poloprostor v An, přičemž nadrovina N je určena
n body A1, . . . , An v obecné poloze. Potom bod X ∈ P právě když
X = t1A1 + · · · + tnAn + tA, kde t1 + · · · + tn + t = 1 a t ≥ 0 .
Důkaz. Z předpokladů plyne, že
−−−→
A1A2, . . . ,
−−−→
A1An,
−−→
A1A je báze Z(An), přičemž
−−→
A1A ∈ Z(An) − Z(N). Poněvadž A = A1 +
−−→
A1A, je podle Věty 9.7 X ∈ P ⇔
X = A1 + t2
−−−→
A1A2 + · · · + tn
−−−→
A1An + t
−−→
A1A, t ≥ 0, odkud přechodem k souřadnicím a
označením t1 = 1 − t2 − . . . − tn − t, dostáváme tvrzení.
Důsledek 9.1. Nechť A, B jsou dva různé body afinní přímky. Pak polopřímka
(A; B) určená hranicí A a vnitřním bodem B má vyjádření
(A; B) = {X = rA + sB | r + s = 1, s ≥ 0} .
Důkaz. Tvrzení plyne přímo z Věty 9.9 pro n = 1.
Na závěr paragrafu se budeme zabývat speciálním případem průniku dvou poloprostorů
– a sice průnikem dvou polorovin (tj. poloprostorů ve dvourozměrném
afinním prostoru) takových, že jejich hraniční přímky jsou různoběžné.
Definice 9.7. Nechť P = (p; A), Q = (q; A) jsou dvě poloroviny v afinní rovině
takové, že jejich hraniční přímky p, q jsou různoběžné. Pak množinu P ∩ Q
nazýváme úhlem. Polopřímky p ∩ Q, q ∩ P nazýváme rameny tohoto úhlu a bod
V = p ∩ q jeho vrcholem.
Obr. 9.1
9. Uspořádání na přímce, poloprostor, úhel 62
Poznámka 9.7. Bezprostředním rozepsáním ve vhodně zvoleném afinním repéru
lehce zjistíme, že průnikem p ∩ Q (respektive q ∩ P) jsou skutečně polopřímky,
tzn. předchozí definice je korektní. Úhly budeme obvykle označovat malými řeckými
písmeny, jak jsme zvyklí ze střední školy. Jedná se tedy o jistou podmnožinu afinní
roviny, kterou budeme nyní blíže charakterizovat. ♢
Věta 9.10. Nechť v afinní rovině je dán úhel α tak, že V je jeho vrchol a polopřímky
(V ; A), (V ; B) jeho ramena. Potom je
α = {rV + sA + tB | r + s + t = 1, s ≥ 0, t ≥ 0} .
Důkaz. Označme P (respektive Q) polorovinu s hraniční přímkou V A (respektive
V B), obsahující bod B (respektive bod A). Potom je α = P ∩Q a tvrzení věty plyne
přímo z Věty 9.9.
Věta 9.11. Nechť v afinní rovině je dán úhel α tak, že V je jeho vrchol a polopřímky
(V ; A), (V ; B) jeho ramena. Potom je
X ∈ α právě když X = V nebo X ̸= V a (V ; X) ∩ [A, B] ̸= ∅ .
Důkaz. 1. Nechť X ∈ α a nechť X ̸= V . Potom podle Věty 9.10 je X = rV +
sA + tB, r + s + t = 1, s ≥ 0, t ≥ 0 a s + t ̸= 0. Jinak napsáno je tedy X =
rV + (s + t) s
s+t
A + t
s+t
B . Označme C = s
s+t
A + t
s+t
B. Podle Důsledku 9.1 je
X ∈ (V ; C), a tudíž i C ∈ (V ; X). Dále podle Věty 9.9 je C ∈ [A, B]. Pak ovšem
C ∈ (V ; X) ∩ [A, B] a tedy (V ; X) ∩ [A, B] ̸= ∅.
2. Je-li X = V , pak zřejmě X ∈ α. Nechť tedy X ̸= V a (V ; X) ∩ [A, B] ̸= ∅.
Pak existuje bod Z ∈ (V ; X) ∩ [A, B]. Pak ale také X ∈ (V ; Z) a platí
X = pV + qZ, p + q = 1, q ≥ 0 ,
Z = rA + sB, r + s = 1, r ≥ 0, s ≥ 0 ,
(podle Důsledku 9.1, respektive Poznámky 9.4). Dohromady dostáváme
X = pV + qrA + qsB ,
kde p + qr + qs = p + q(r + s), qr ≥ 0, qs ≥ 0, tzn. podle Věty 9.10 je X ∈ α.
Poznámka 9.8. Předchozí dvě věty nám charakterizují úhel α jednak množinově a
jednak geometricky. Názorně můžeme říci, že úhel α je sjednocením všech polopřímek
majících hraniční bod ve vrcholu úhlu α a protínajících pevnou úsečku s koncovými
body na obou ramenech úhlu α (viz Obr. 9.2).
Obr. 9.2
10. Konvexní množiny 63
Studujeme-li vzájemnou polohu úhlu α a přímky p, pak celkem jednoduše odvodíme,
že průnikem p ∩ α je buď prázdná množina nebo polopřímka nebo úsečka.
Podobně, máme-li dva úhly α, β se společným vrcholem V , potom průnikem
α ∩ β je buď jednobodová množina {V } nebo společné rameno úhlů α, β nebo úhel
s vrcholem V , jehož každé rameno je ramenem α nebo β. ♢
10 Konvexní množiny
Definice 10.1. Podmnožina K afinního prostoru A se nazývá konvexní množina
(v A), jestliže pro libovolné A, B ∈ K platí, že [A, B] ⊆ K.
Příklad 10.1. Nejjednoduššími příklady konvexních množin v A jsou prázdná množina,
respektive úsečka, respektive podprostor afinního prostoru A (plyne přímo z definice
podprostoru). Tedy speciálně bod a celý afinní prostor jsou konvexní množiny.
♡
Následující obrázek ukazuje množiny v rovině, které jsou konvexní a), b), c),
respektive nejsou konvexní d), e), f) – v těchto případech je vyznačena úsečka, jejíž
krajní body do dané množiny patří, ale která není celá částí této množiny.
Obr. 10.1
Vyšetřujeme-li konvexní množiny v jednorozměrném afinním prostoru (tzn. na
přímce), pak celkem jednoduše získáme jejich úplnou charakterizaci (volbou afinního
repéru na přímce převedeme všechny úvahy na úvahy o reálných intervalech).
Konvexními množinami na přímce jsou totiž právě prázdná množina, celá přímka,
otevřená polopřímka, polopřímka, úsečka a úsečka bez jednoho nebo obou krajních
bodů.
Následující věty ukazují příklady konstrukcí dalších konvexních množin v nrozměrném
afinním prostoru An.
10. Konvexní množiny 64
Věta 10.1. Poloprostor P afinního prostoru An je konvexní množina.
Důkaz. Nechť nadrovina N ≡ a1x1 + · · · + anxn + a = 0 je hranicí poloprostoru P
a nechť P = [p1; . . . ; pn], Q = [q1; . . . ; qn] jsou libovolné body v P. Podle Věty 9.8
výrazy n
i=1 aipi + a, n
i=1 aiqi + a mají stejné znaménko.
1. Nechť n
i=1 aipi+a ≥ 0, n
i=1 aiqi+a ≥ 0. Nechť Y = [y1; . . . ; yn] je libovolný
bod úsečky [P, Q], tzn. je
Y = P + t
−→
PQ, 0 ≤ t ≤ 1 .
Potom n
i=1 aiyi +a = n
i=1 ai ·(pi +t(qi −pi))+a = (1−t)· n
i=1 aipi +t· n
i=1 aiqi +
a ≥ (1 − t) · (−a) + t · (−a) + a = 0. Je tedy Y ∈ P.
2. Je-li n
i=1 aipi + a ≤ 0, n
i=1 aiqi ≤ 0, pak analogicky dostaneme, že
∀Y ∈ [P, Q] =⇒ Y ∈ P.
Dohromady dostáváme, že P je konvexní množina.
Věta 10.2. Nechť I je neprázdná indexová množina a nechť Ki, i ∈ I, jsou konvexní
množiny. Potom ∩i∈IKi je konvexní množina.
Důkaz. Je-li ∩i∈IKi = ∅, pak tvrzení věty platí. Nechť tedy ∩i∈IKi ̸= ∅ a nechť
A, B ∈ ∩i∈IKi. Pak A, B ∈ Ki pro všechna i ∈ I, a tedy [A, B] ⊆ Ki, pro každé
i ∈ I. Tedy [A, B] ⊆ ∩i∈IKi a podle Definice 10.1 je ∩i∈IKi konvexní množina.
Poznámka 10.1. Podle Věty 10.2 je množinový průnik libovolného počtu konvexních
množin opět konvexní množina. Na druhé straně zřejmě množinové sjednocení
konvexních množin není obecně konvexní množinou. K libovolné podmnožině M
afinního prostoru A však existuje nejmenší konvexní množina, která ji obsahuje, jak
ukazuje následující věta. ♢
Věta 10.3. Nechť M je libovolná podmnožina afinního prostoru A. Nechť K(M)
značí průnik všech konvexních množin, obsahujících množinu M. Pak K(M) je
nejmenší (vzhledem k množinové inkluzi) konvexní množina obsahující množinu M.
Důkaz. Existuje alespoň jedna konvexní množina obsahující M, a sice A, a tedy
K(M) je definováno. Tvrzení pak bezprostředně plyne z předchozí věty a z vlastností
množinového průniku.
Definice 10.2. Nechť M je libovolná podmnožina afinního prostoru A. Pak množinu
K(M) nazýváme konvexním obalem množiny M.
Poznámka 10.2. Přímo z definice konvexního obalu plynou tyto jeho jednoduché
vlastnosti:
1. M je konvexní množina ⇔ K(M) = M. Speciálně je K(∅) = ∅, K(A) = A a
K({A}) = {A} pro libovolné A ∈ A.
10. Konvexní množiny 65
2. M1 ⊆ M2 =⇒ K(M1) ⊆ K(M2), přičemž opačná implikace obecně zřejmě
neplatí. Opravdu, nechť A, B jsou různé body a C je vnitřní bod úsečky [A, B].
Potom K({A, C}) ⊂ K({A, B}), přičemž {A, C} ̸⊂ {A, B}.
3. K({A, B}) = [A, B], pro A, B ∈ A. ♢
Věta 10.4. Nechť M je libovolná neprázdná podmnožina v A. Pak
(10.1) K(M) = {t1M1 + · · · + tsMs | s ∈ N, Mi ∈ M, ti ≥ 0, s
i=1 ti = 1} .
Důkaz. Označme množinu na pravé straně (10.1) symbolem W. Pak:
1. Zřejmě platí M ⊆ W.
2. Dokážeme, že W je konvexní množina. Nechť A, B ∈ W libovolné. Pak (při
vhodném označení) existuje přirozené číslo r a body M1, . . . , Mr ∈ M tak, že
A = p1M1 + · · · + prMr; pi ≥ 0, p1 + · · · + pr = 1 ,
B = q1M1 + · · · + qrMr; qi ≥ 0, q1 + · · · + qr = 1 .
Pro libovolný bod X ∈ [A, B] je
X = λA + µB; λ, µ ≥ 0, λ + µ = 1 ,
tzn. po dosazení dostáváme
X = (λp1 + µq1)M1 + · · · + (λpr + µqr)Mr ,
přičemž λpi+µqi ≥ 0 a (λp1+µq1)+· · ·+(λpr+µqr) = λ(p1+. . . pr)+µ(q1+· · ·+qr) =
λ + µ = 1. Tedy X ∈ W, tzn. W je konvexní množina.
3. Nechť K je konvexní množina, M ⊆ K. Dokážeme, že pak je W ⊆ K. Uvažme
libovolný bod z W, který je tedy tvaru
t1M1 + · · · + tsMs; kde Mi ∈ M, ti ≥ 0, t1 + · · · + ts = 1 , (10.2)
a důkaz inkluze W ⊆ K provedeme indukcí vzhledem k s.
(i) Je-li s = 1, pak 1 M1 = M1 ∈ M ⊆ K.
(ii) Předpokládejme, že body z W tvaru (10.2) patří do K. Nechť X ∈ W,
X = t1M1 + · · · + tsMs + ts+1Ms+1, kde Mi ∈ M, ti ≥ 0, t1 + · · · + ts+1 = 1. Je-li
ts = 0 nebo ts+1 = 0, pak podle indukčního předpokladu je X ∈ K; nechť tedy
ts ̸= 0, ts+1 ̸= 0. Označme t = t1 + · · · + ts (> 0), respektive Y = t1
t
M1 + · · · + ts
t
Ms.
Pak ti
t
≥ 0, t1
t
+ · · · + ts
t
= 1, a tedy Y ∈ K podle indukčního předpokladu. Nyní
X = tY + ts+1Ms+1, přičemž t ≥ 0, ts+1 ≥ 0, t + ts+1 = 1, a tedy podle Věty 9.5 je
X ∈ [Y, Ms+1]. Ale K je konvexní množina, Y ∈ K, Ms+1 ∈ K, a tedy X ∈ K.
Dohromady z 1., 2. a 3. plyne, že W je nejmenší konvexní množina obsahující
M, tzn. W = K(M).
10. Konvexní množiny 66
Poznámka 10.3. Je nutné dobře porozumět významu vyjádření (10.1). Index s
zde není pevný a body M1, . . . , Ms, které v (10.1) vystupují, probíhají všechny
možné konečné podmnožiny množiny M (tj. pro s = 1 jednoprvkové, pro s = 2
dvouprvkové, atd.). Přitom množina M může mít samozřejmě i nekonečně mnoho
prvků.
Je-li speciálně množina M konečná, např. k-prvková, tj. M = {M1, . . . , Mk},
pak zřejmě
K(M) = {t1M1 + · · · + tkMk | ti ≥ 0, t1 + · · · + tk = 1} ,
neboť (10.1) můžeme formálně zapsat ve výše uvedeném tvaru případným přidáním
sčítanců tvaru 0 Mj. ♢
Definice 10.3. Konvexní obal konečné množiny bodů z A se nazývá konvexní
mnohostěn.
Pro dim A = 1 jsou konvexní mnohostěny úsečky, pro dim A = 2 jsou konvexní
mnohostěny konvexní mnohoúhelníky.
Jestliže M0, M1, . . . , Mk ∈ A jsou body v obecné poloze, pak konvexní obal
(k + 1)-prvkové množiny {M0, M1, . . . , Mk} se nazývá k-rozměrný simplex a body
M0, M1, . . . , Mk jeho vrcholy.
Poznámka 10.4. Je-li S k-rozměrným simplexem v A, pak zřejmě musí být 0 ≤
k ≤ dim A. Z předchozí definice dále plyne, že každý k-rozměrný simplex je konvexním
mnohostěnem. Například v afinní rovině (tj. pro dim A = 2) je 0-rozměrným
simplexem bod, jednorozměrným simplexem úsečka a dvourozměrným simplexem
trojúhelník. Konvexními mnohostěny v rovině jsou navíc ještě všechny vypuklé núhelníky
(n = 4, 5, 6, . . . ).
Vidíme tedy, že obecně konvexní mnohostěn není simplexem. Jediným afinním
prostorem, v němž tyto pojmy splývají, je afinní přímka. Lze totiž snadno ukázat,
že konvexní mnohostěny na přímce jsou právě body a úsečky (viz Úloha 10.2). ♢
Věta 10.5. Nechť S je k-rozměrný simplex s vrcholy M0, M1, . . . , Mk. Pak
S = {t0M0 + t1M1 + · · · + tkMk | ti ≥ 0, t0 + t1 + · · · + tk = 1} .
Důkaz. Tvrzení věty plyne ihned z definice k-rozměrného simplexu a z Poznámky
10.3.
Věta 10.6. Nechť v n-rozměrném afinním prostoru An je dán n-rozměrný simplex
S s vrcholy M0, M1, . . . , Mn. Pak S lze vyjádřit jako průnik (n + 1) poloprostorů.
Důkaz. Zvolme v A afinní repér
⟨M0;
−−−−→
M0M1, . . . ,
−−−−→
M0Mn⟩ (10.3)
10. Konvexní množiny 67
a vyjadřujme vzhledem k němu všechny souřadnice. Uvažujme (n + 1) poloprostorů
v An tvaru 


x1 ≥ 0 ,
x2 ≥ 0 ,
...
...
xn ≥ 0 ,
x1 + x2 + . . . + xn −1 ≤ 0 .
(10.4)
Nechť X = [x1; . . . ; xn]. Dokážeme, že X ∈ S ⇔ X splňuje soustavu nerovností
(10.4).
“⇒" Nechť X ∈ S, pak podle předcházející věty je
X = t0M0 + t1M1 + · · · + tnMn ,
kde ti ≥ 0, t0 +t1 +· · ·+tn = 1, což lze upravit do tvaru X = (1−t1 −. . .−tn)M0 +
t1M1 + · · · + tnMn = M0 + t1(M1 − M0) + · · · + tn(Mn − M0), tzn.
X = M0 + t1
−−−−→
M0M1 + · · · + tn
−−−−→
M0Mn ,
odkud dostáváme x1 = t1 ≥ 0, . . . , xn = tn ≥ 0; x1 + · · · + xn − 1 = −t0 ≤ 0, a tedy
X splňuje (10.4).
“⇐" Nechť X = [x1; . . . ; xn] splňuje (10.4). Ale X = M0 + x1
−−−−→
M0M1 + · · · +
xn
−−−−→
M0Mn, odkud X = M0 + x1(M1 − M0) + · · · + xn(Mn − M0) = (1 − x1 − . . . −
xn)M0 + x1M1 + · · · + xnMn. Přitom z (10.4) plyne, že všechny koeficienty jsou
nezáporné a jejich součet je zřejmě roven 1. Podle Věty 10.5 je pak X ∈ S.
Důsledek 10.1. Trojúhelník v rovině je průnikem tří polorovin takových, že jejich
hraniční přímky nepatří do jednoho svazku, jsou po dvou různoběžné a každá poloroviva
je daná hraniční přímkou a průsečíkem zbývajících dvou hraničních přímek.
Na závěr paragrafu se alespoň stručně zmíníme o dalším důležitém příkladu
konvexní množiny.
Definice 10.4. Nechť A ∈ A je bod a u1, . . . , uk ∈ Z(A) jsou lineárně nezávislé
vektory. Pak množinu bodů X ∈ A tvaru
X = A + t1u1 + · · · + tkuk, kde 0 ≤ ti ≤ 1, pro i = 1, . . . , k ,
nazýváme k-rozměrným rovnoběžnostěnem v A a označujeme
Rk(A; u1, . . . , uk) ,
nebo stručně Rk.
10. Konvexní množiny 68
Poznámka 10.5. Je-li R(A; u1, . . . , uk) k-rozměrným rovnoběžnostěnem v A, pak
z předpokladu o lineární nezávislosti vektorů u1, . . . , uk plyne, že 1 ≤ k ≤ dim A.
Tedy na přímce (tj. pro dim A = 1) existují pouze 1-rozměrné rovnoběžnostěny
(a sice úsečky), v rovině (tj. pro dim A = 2) existují 1-, respektive 2-rozměrné
rovnoběžnostěny (a sice úsečky, respektive rovnoběžníky), atd.
Je-li dán k-rozměrný rovnoběžnostěn Rk = R(A; u1, . . . , uk) v An, pak vhodnou
volbou afinního repéru, a sice ⟨A; u1, . . . , uk, wk+1, . . . , wn⟩, kde wk+1, . . . , wn
jsou libovolné vektory ze Z(An), které doplňují vektory u1, . . . , uk na bázi Z(An),
dosáhneme toho, že rovnoběžnostěn Rk lze charakterizovat jako množinu bodů
X = [x1; . . . ; xn] ∈ An, pro něž
0 ≤ xi ≤ 1, pro i = 1, . . . , k, a xj = 0, pro j = k + 1, . . . , n . ♢
Věta 10.7. Každý k-rozměrný rovnoběžnostěn v A je konvexní množinou v A.
Důkaz. Z předchozí poznámky plyne, že libovolný k-rozměrný rovnoběžnostěn Rk
lze při vhodné volbě afinního repéru vyjádřit jako průnik 2k poloprostorů (tvaru
xi ≥ 0, respektive xi − 1 ≤ 0, i = 1, . . . , k) a (n − k) nadrovin (tvaru xj = 0,
j = k + 1, . . . , n), což jsou všechno konvexní množiny. Podle Věty 10.2 je pak Rk
také konvexní množina.
Poznámka 10.6. Podrobnějším rozborem lze ukázat, že k-rozměrný rovnoběžnostěn
R(A; u1, . . . , uk) je dokonce konvexním mnohostěnem – je totiž konvexním obalem
2k
bodů tvaru A + t1u1 + · · · + tkuk, kde ti = 0 nebo 1, i = 1, . . . , k. Obr. 10.2
ilustruje tuto situaci pro k = 2 (body A, A + u1, A + u2, A + u1 + u2) a pro k = 3
(body A, A+u1, A+u2, A+u1 +u2, A+u3, A+u1 +u3, A+u2 +u3, A+u1 +u2 +u3).
♢
k = 2 k = 3
Obr. 10.2
10. Konvexní množiny 69
Úloha 10.1. Mějme konvexní mnohostěn K = K({A1, A2, A3, A4}) v afinní rovině.
Zjistěte, zda bod B, respektive C, patří do K, je-li A1 = [−1; −1], A2 = [1; 2],
A3 = [2; −2], A4 = [3; 1], B = [2; −1], C = [0; 1].
Řešení : Vzhledem k Poznámce 8.3 stačí zjistit, zda existují reálná čísla t1, t2, t3,
t4, splňující
B = t1A1 + t2A2 + t3A3 + t4A4 , (10.5)
kde t1 + t2 + t3 + t4 = 1, t1 ≥ 0, t2 ≥ 0, t3 ≥ 0, t4 ≥ 0, respektive
C = t1A1 + t2A2 + t3A3 + t4A4 , (10.6)
kde t1 + t2 + t3 + t4 = 1, t1 ≥ 0, t2 ≥ 0, t3 ≥ 0, t4 ≥ 0.
Vidíme, že po rozepsání do souřadnic dostáváme v obou případech tři lineární
rovnice a čtyři nerovnice pro t1, t2, t3, t4. Konkrétně:
(i) Pro bod B
−t1 + t2 + 2t3 + 3t4 = 2
−t1 + 2t2 − 2t3 + t4 = −1
t1 + t2 + t3 + t4 = 1



=⇒
=⇒ t4 = r, t3 =
9 − 8r
11
, t2 =
3 − 10r
11
, t1 =
7r − 1
11
.
Dále musí být (vzhledem k (10.5)) r ≥ 0, 9−8r ≥ 0, 3−10r ≥ 0, 7r−1 ≥ 0, což však
je splněno pro libovolné reálné r s vlastností 1
7
≤ r ≤ 3
10
. Vidíme tedy, že existují
t1, t2, t3, t4 (zřejmě dokonce nekonečně mnoho) splňující (10.5), a tedy B ∈ K.
(ii) Pro bod C analogickým výpočtem a dosazením dostaneme (například) r ≥ 0,
−1 − 8r ≥ 0, 7 − 10r ≥ 0, 5 + 7r ≥ 0, což však zřejmě není splněno pro žádné r,
tzn. neexistují t1, t2, t3, t4, splňující (10.6), a tedy C /∈ K. △
Úloha 10.2. Dokažte, že konvexní mnohostěny na přímce jsou právě body a úsečky.
Řešení : 1. Bod, respektive úsečka, jsou zřejmě konvexní mnohostěny na přímce.
2. Naopak uvažujme konvexní mnohostěn K = K({M1, . . . , Mk}) na přímce, kde
M1, . . . , Mk jsou navzájem různé body na této přímce. Chceme nyní ukázat, že K je
buď bod nebo úsečka.
Je-li k = 1, pak K je zřejmě bod. Nechť tedy k ≥ 2 a nechť vzhledem k pevnému
afinnímu repéru na dané přímce je M1 = [m1], M2 = [m2], . . . , Mk = [mk], přičemž
bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že m1 < m2 < · · · < mk.
Pro i = 2, . . . , k − 1 označme qi = mk−mi
mk−m1
. Zřejmě je 0 < qi < 1 a platí
mi = qim1 + (1 − qi)mk, i = 2, . . . , k − 1 . (10.7)
Bezprostředním rozepsáním pomocí souřadnic s využitím (10.7) se ukáže, že platí
{t1M1 + · · · + tkMk | ti ≥ 0, t1 + · · · + tk = 1} = {rM1 + sMk | r, s ≥ 0, r + s = 1}
neboli K({M1; . . . ; Mk}) = [M1, Mk], což znamená, že K je úsečka. △
10. Konvexní množiny 70
Úloha 10.3. Rozmyslete si, na kolik 3-rozměrných disjunktních simplexů je možno
rozdělit 3-rozměrný rovnoběžnostěn. △
Kapitola 2
EUKLIDOVSKÝ PROSTOR
V tomto textu jsme se v Kapitole 1 zabývali polohovými geometrickými problémy
(například rovnoběžností, různoběžností a mimoběžností podprostorů, vzájemnou
polohou bodů na přímce, atd.). Základní metoda, kterou jsme používali, spočívala
v tom, že jsme geometrický problém převedli nejprve do algebraické podoby, zde
jej řešili (většinou pomocí úvah o zaměřeních, kdy jsme v podstatné míře využívali
vlastností vektorových prostorů – lineární závislosti a nezávislosti vektorů,
báze, dimenze apod.) a získané výsledky pak opět geometricky interpretovali. Nyní
v Kapitole 2 přicházejí na řadu metrické geometrické problémy (například určování
vzdálenosti bodů, respektive podprostorů, kolmost, výpočet odchylek atd.). Proto
budeme muset na bodovém prostoru zavést navíc také metriku, v našem případě euklidovskou
metriku, která je dána prostřednictvím skalárního součinu definovaném
na zaměření.
11 Skalární součin
S pojmem skalárního součinu jsme se setkali již dříve v algebře (viz [Ho94]), a to
tehdy, když jsme v reálných vektorových prostorech potřebovali měřit, tzn. zjišť ovat
délky vektorů, odchylky, tj. velikosti jejich úhlů, kolmost atd.
Tento paragraf bude rozšířením odstavce o vektorových prostorech se skalárním
součinem, probíraného v algebře. Z důvodů přehlednosti a návaznosti studované
látky nejprve stručně zopakujeme základní vlastnosti těchto prostorů (a to formou
souvislého textu) a ve zbývající části paragrafu pak již obvyklým způsobem uvedeme
některé jejich speciální vlastnosti.
Je-li V vektorový prostor nad tělesem R reálných čísel a je-li každé dvojici vektorů
u, v ∈ V přiřazeno reálné číslo, označené (u, v) tak, že pro libovolná u, v, w ∈ V ,
r ∈ R platí:
71
11. Skalární součin 72
(i) (u, v) = (v, u) ;
(ii) (u + v, w) = (u, w) + (v, w) ;
(iii) (ru, v) = r(u, v) ;
(iv) (u, u) ≥ 0, přičemž (u, u) = 0 právě když u = o .
Pak říkáme, že ve V je definován skalární součin. Číslo (u, v) nazýváme skalárním
součinem vektorů u, v.
Vektorový prostor V , v němž je definován skalární součin, nazýváme vektorovým
prostorem se skalárním součinem nebo euklidovským vektorovým prostorem nebo
stručně euklidovským prostorem.
Víme, že v každém vektorovém prostoru nad tělesem R lze vždy definovat skalární
součin, a to obecně více různými způsoby.
Podíváme-li se ještě jednou, podrobněji, na právě zavedené pojmy, zjistíme, že
by bylo možné mít určité výhrady vůči některým formulacím. Zcela přesně řečeno,
skalární součin je zobrazení f : V ×V → R splňující axiomy (i) – (iv) a odpovídající
euklidovský vektorový prostor je pak uspořádaná dvojice (V, f). V zájmu stručného
vyjadřování se vědomě dopouštíme určité nepřesnosti tím, že hovoříme o euklidovském
vektorovém prostoru V , místo o uspořádané dvojici (V, f). Připomeňme, že
podobně jsme postupovali například při zavádění pojmu afinního prostoru.
Máme-li tedy dán nějaký euklidovský vektorový prostor V , pak zřejmě axiomy
(i) – (iv) skalárního součinu jsou splněny i v libovolném (vektorovém) podprostoru
prostoru V . To znamená, že každý (vektorový) podprostor euklidovského prostoru
V je sám euklidovským prostorem. Budeme jej stručně nazývat podprostorem euklidovského
prostoru V .
Přímo z definice skalárního součinu plyne, že:
(u, v + w) = (u, v) + (u, w) ;
(u, rv) = r(u, v) ;
(o, u) = (u, o) = 0 ;
s
i=1 piui, t
j=1 qjvj = s
i=1
t
j=1 piqj(ui, vj) .
Skalární součin nám umožňuje definovat délku vektoru a odchylku dvou nenulových
vektorů.
Definice 11.1. Pro libovolný vektor u ∈ V definujeme jeho délku (nebo též velikost)
∥u∥ vztahem
∥u∥ = + (u, u) .
Pro délku vektoru jsme v algebře odvodili základní početní pravidla:
∥u∥ ≥ 0, přičemž ∥u∥ = 0 právě když u = o ;
∥ru∥ = |r| · ∥u∥ ;
∥u + v∥ ≤ ∥u∥ + ∥v∥ (trojúhelníková nerovnost) ;
|(u, v)| ≤ ∥u∥ · ∥v∥ (Cauchyova nerovnost).
11. Skalární součin 73
Poznamenejme, že poslední nerovnost se též někdy nazývá Schwartzova nerov-
nost.
Z Cauchyovy nerovnosti bezprostředně plyne, že pro libovolné nenulové vektory
u, v platí
−1 ≤
(u, v)
∥u∥ · ∥v∥
≤ 1 ,
a tedy existuje právě jedno reálné číslo φ splňující vztahy
cos φ =
(u, v)
∥u∥ · ∥v∥
a 0 ≤ φ ≤ π , (11.1)
jak plyne z našich znalostí funkce kosinus. Můžeme tedy vyslovit následující definici.
Definice 11.2. Nechť u, v jsou nenulové vektory z euklidovského vektorového
prostoru V . Pak reálné číslo φ, splňující vztahy (11.1), nazýváme odchylkou vektorů
u, v.
Dva vektory u, v ∈ V nazýváme ortogonální nebo kolmé, je-li (u, v) = 0. Píšeme
pak u ⊥ v nebo v ⊥ u. Tento způsob zápisu je korektní, jak plyne z komutativnosti
skalárního součinu. Přímo z definice ortogonálních vektorů plyne, že:
u ⊥ u právě když u = o ;
u ⊥ x pro každý vektor x ∈ V právě když u = o ;
u ⊥ wi pro i = 1, . . . , k právě když u ⊥ (r1w1 + · · · + rkwk) pro ∀ri ∈ R .
Konečnou posloupnost vektorů u1, . . . , uk ∈ V nazýváme ortogonální posloupností,
je-li
ui ⊥ uj; pro i ̸= j; i, j = 1, . . . , k ,
někdy říkáme též stručně, že vektory u1, . . . , uk jsou ortogonální. Jednoduše lze ukázat,
že každá ortogonální posloupnost nenulových vektorů je lineárně nezávislá.
Je-li ortogonální posloupnost vektorů navíc bází prostoru V , pak ji nazýváme
ortogonální bází prostoru V . Ortogonální bázi, jejíž každý vektor je normovaný (tzn.
má velikost rovnu 1), nazýváme ortonormální bází prostoru V .
Při práci s euklidovskými vektorovými prostory budeme používat výlučně ortonormální
báze, což má zásadní výhody pro počítání skalárního součinu (a tedy i
všech pojmů z něj odvozených). Je-li totiž
B = ⟨e1, . . . , en⟩ (11.2)
ortonormální bází prostoru V a x, y ∈ V vektory, jejichž souřadnice v (11.2) jsou
x = (x1; . . . ; xn), respektive y = (y1; . . . ; yn), tzn. je
x = x1e1 + · · · + xnen, resp. y = y1e1 + · · · + ynen ,
pak skalární součin (ať je ve V definován jakkoliv) vektorů x, y je tvaru
(x, y) = x1y1 + · · · + xnyn .
11. Skalární součin 74
Je jasné, že při použití jiné báze než ortonormální, je vyjádření skalárního součinu
(x, y) podstatně složitější.
Konečně – lze dokázat, že k libovolné konečné posloupnosti vektorů u, . . . , uk ∈ V
existuje ortogonální posloupnost e1, . . . , ek ∈ V tak, že platí
L(u1, . . . , uk) = L(e1, . . . , ek) .
Speciálně tedy v každém nenulovém euklidovském vektorovém prostoru V existují
ortogonální i ortonormální báze.
Připomeňme, že důkaz právě uvedeného tvrzení je konstruktivní a jeho algoritmus
(který je nutno znát!) se nazývá Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces.
Ve zbývající části tohoto paragrafu nyní uvedeme některé další vlastnosti ortogonálních
vektorů.
Definice 11.3. Nechť W je podprostor euklidovského vektorového prostoru V .
Množinu
W⊥
= {x ∈ V | x ⊥ w, pro každý vektor w ∈ W}
nazýváme ortogonálním doplňkem podprostoru W ve V .
Je-li x ∈ W⊥
, pak říkáme též, že vektor x je kolmý k podprostoru W a píšeme
x ⊥ W.
Věta 11.1. Nechť W je podprostor euklidovského prostoru V . Pak platí:
1. Ortogonální doplněk W⊥
je podprostorem ve V .
2. Prostor V je přímým součtem podprostorů W a W⊥
,
tzn. V = W ⊕ W⊥
.
Důkaz. 1. Zřejmě o ∈ W⊥
, a tedy W⊥
̸= ∅. Dále, jsou-li x, y ∈ W⊥
, r ∈ R
libovolné, pak je ihned vidět, že x + y ∈ W⊥
a rx ∈ W⊥
, tzn. W⊥
je podprostorem
ve V .
2. Je-li W = {o}, respektive W = V , pak je W⊥
= V , respektive W⊥
= {o},
a tvrzení zřejmě platí. Nechť tedy {o} ̸= W ̸= V , nechť e1, . . . , en je ortonormální
báze prostoru V a nechť u1, . . . , uk (0 < k < n) je báze podprostoru W. Při tomto
označení je x ∈ W⊥
právě když (ui, x) = 0, pro i = 1, . . . , k. Nechť je
ui = ai1e1 + · · · + ainen, i = 1, . . . , k ,
x = x1e1 + · · · + xnen .
Potom je x ∈ W⊥
právě když platí
a11x1 + · · · + a1nxn = 0 ,
...
ak1x1 + · · · + aknxn = 0 ,
11. Skalární součin 75
což je homogenní soustava k lineárních rovnic o n neznámých x1, . . . , xn, jejiž matice
má hodnost k. Podprostorem řešení této soustavy je zřejmě právě W⊥
.
Platí (viz [Ho94]) dim W⊥
= n − k.
Dále, součet podprostorů W a W⊥
je přímý, neboť je-li u ∈ W ∩W⊥
, pak u ⊥ u,
tzn. u = o, odkud dostáváme, že W ∩ W⊥
= {o}. Konečně,
dim(W ˙+W⊥
) = dim W + dim W⊥
= k + (n − k) = n = dim V ,
a tedy (viz [Ho94]) V = W ⊕ W⊥
.
Důsledek 11.1. Nechť W je podprostor euklidovského prostoru V , nechť x ∈ V
libovolné. Pak existuje jediné vyjádření vektoru x ve tvaru
x = y + z, kde y ∈ W, z ∈ W⊥
. (11.3)
Důkaz. Tvrzení je přímým důsledkem 2. části předchozí věty a definice přímého
součtu podprostorů (viz [Ho94]).
Definice 11.4. Nechť W je podprostor euklidovského prostoru V , nechť vektor
x ∈ V je vyjádřen ve tvaru (11.3). Pak y se nazývá ortogonální projekce vektoru
x na podprostor W a z se nazývá ortogonální komponenta vektoru x vzhledem k
podprostoru W.
Věta 11.2. Nechť W, S jsou podprostory euklidovského prostoru V . Pak platí:
1. (W⊥
)⊥
= W ;
2. (W + S)⊥
= W⊥
∩ S⊥
;
3. (W ∩ S)⊥
= W⊥
+ S⊥
;
4. W ⊆ S ⇔ W⊥
⊇ S⊥
.
Důkaz. 1. Inkluze W ⊆ (W⊥
)⊥
je zřejmá. Podle Věty 11.1 (část 2.) platí W ⊕W⊥
=
W⊥
⊕ (W⊥
)⊥
= V , odkud dim W = dim V − dim W⊥
. Tedy dim W = dim(W⊥
)⊥
a
podle [Ho94] je W = (W⊥
)⊥
.
2. Inkluze (W + S)⊥
⊆ W⊥
∩ S⊥
je zřejmá. Naopak nechť x ∈ W⊥
∩ S⊥
a nechť
u ∈ W + S libovolné. Potom je u = w + s, kde w ∈ W, s ∈ S, a platí
(x, u) = (x, w + s) = (x, w) + (x, s) = 0 ,
a tedy x ∈ (W + S)⊥
.
3. Užitím 1. a 2. dostáváme (W ∩ S)⊥
= [(W⊥
)⊥
∩ (S⊥
)⊥
]⊥
= [(W⊥
+ S⊥
)⊥
]⊥
=
W⊥
+ S⊥
.
4. “⇒" W ⊆ S ⇔ S = W +S =⇒ S⊥
= (W +S)⊥
= W⊥
∩S⊥
=⇒ S⊥
⊆ W⊥
,
užitím 2. části věty a definice součtu podprostorů.
“⇐" Plyne z právě dokázané implikace užitím 1. části věty.
11. Skalární součin 76
Definice 11.5. Nechť W, S jsou netriviální podprostory euklidovského vektorového
prostoru V . Je-li
W ⊆ S⊥
nebo W ⊇ S⊥
,
pak podprostory W, S nazýváme kolmé (ve V ) a označujeme W ⊥ S.
Je-li speciálně W = S⊥
, pak podprostory W, S nazýváme totálně kolmé (ve V ).
Poznámka 11.1. Z Věty 11.2 (část 4.) bezprostředně plyne, že
W ⊆ S⊥
⇔ S ⊆ W⊥
, resp. W ⊇ S⊥
⇔ S ⊇ W⊥
, resp. W = S⊥
⇔ S = W⊥
.
Vidíme tedy, že kolmost i totální kolmost jsou symetrické relace na množině všech
netriviálních podprostorů V , a tedy předchozí definice, tak jak byla vyslovena, je
korektní.
Dále poznamenejme, že užitím Věty 11.2 (část 4.) a vlastností dimenze dostaneme
následující implikace
W ⊆ S⊥
=⇒ dim W + dim S ≤ dim V ,
W ⊇ S⊥
=⇒ dim W + dim S ≥ dim V ,
(11.4)
přičemž ostrá inkluze implikuje vždy ostrou nerovnost. Je zřejmé, že obecně neplatí
obrácené implikace! ♢
Věta 11.3. Nechť W, S jsou netriviální podprostory euklidovského prostoru V . Pak
platí:
W, S jsou totálně kolmé ⇔ W, S jsou kolmé a dim W + dim S = dim V.
Důkaz. “⇒" Nechť W, S jsou totálně kolmé; pak zřejmě W, S jsou kolmé a W =
S⊥
, odkud dim V = dim(S⊥ ˙+S) = dim S⊥
+ dim S = dim W + dim S.
“⇐" Nechť W, S jsou kolmé a platí dim W +dim S = dim V ; pak W ⊆ S⊥
nebo
W ⊇ S⊥
a z předchozí poznámky plyne, že ani jedna z inkluzí nemůže být ostrá. Je
tedy W = S⊥
, tzn. W, S jsou totálně kolmé.
Věta 11.4. Nechť W, S jsou netriviální podprostory euklidovského prostoru V takové,
že W, S jsou kolmé. Pak platí:
1. dim W + dim S ≤ dim V =⇒ W ∩ S = {o} ;
2. dim W + dim S ≥ dim V =⇒ W + S = V .
Důkaz. 1. Nechť W ⊥ S a dim W + dim S ≤ dim V . Pak W ⊆ S⊥
nebo W ⊇ S⊥
,
ovšem vzhledem k (11.4) musí být W ⊆ S⊥
, odkud pak W ∩ S ⊆ S⊥
∩ S = {o}, a
tedy W ∩ S = {o}.
2. Nechť W ⊥ S a dim W + dim S ≥ dim V . Pak opět užitím (11.4) dostáváme
W ⊇ S⊥
, odkud V ⊇ W + S ⊇ S⊥
⊕ S = V . Obě poslední inkluze musí tedy být
rovnostmi, což však znamená, že V = W + S.
11. Skalární součin 77
Věta 11.5. Nechť W, S jsou netriviální podprostory euklidovského prostoru V . Potom
platí:
W ⊥ S ve V a dim W + dim S ≤ dim V ⇔
⇔ W, S jsou totálně kolmé ve (W + S).
Důkaz. Nechť index u symbolu ⊥
značí vždy podprostor, v němž konstruujeme
ortogonální doplněk. Je zřejmé, že platí
S⊥W +S
= S⊥V
∩ (W + S) . (11.5)
“⇒" Z předpokladů a z Věty 11.4 dostáváme, že W ∩ S = {o}, odkud dim W +
dim S = dim(W +S), respektive W, S jsou netriviální podprostory ve (W +S). Dále
z předpokladů (užitím (11.4)) plyne, že W ⊆ S⊥V
. Triviálně je W ⊆ W +S, a tedy z
(11.5) pak dostáváme W ⊆ S⊥W +S
, neboli W, S jsou kolmé ve (W + S). Dohromady
pak podle Věty 11.3 jsou W, S totálně kolmé ve (W + S).
“⇐" Nechť W, S jsou totálně kolmé ve (W +S). Pak podle Věty 11.3 je dim W +
dim S = dim(W + S) ≤ dim V . Dále, z předpokladu totální kolmosti a z (11.5)
dostáváme W = S⊥W +S
⊆ S⊥V
neboli W ⊥ S ve V .
Úloha 11.1. Nalezněte ortogonální projekci vektoru x = (4; −1; −3; 4) na podpostor
W = L(u, v, w), kde u = (1; 1; 1; 1), v = (1; 2; 2; −1), w = (1; 0; 0; 3).
Řešení : Bude výhodné nejprve nalézt bázi podprostoru W (vektory u, v, w jsou
podle zadání pouze generátory W). Ale


1 1 1 1
1 2 2 −1
1 0 0 3

 ∼


1 1 1 1
0 1 1 −2
0 −1 −1 2

 ,
odkud již vidíme, že bázi W tvoří například vektory u, v.
Nyní budeme hledat vyjádření
x = y + z, kde y ∈ W, z ∈ W⊥
,
a tedy y = ru + sv, respektive z = x − y, odkud vidíme, že úloha bude vyřešena
nalezením koeficentů r, s. Ale platí
0 = (z, u) = (x − y, u), resp. 0 = (z, v) = (x − y, v) ,
odkud po dosazení za y a rozepsání dostáváme
r(u, u) + s(v, u) = (x, u) ,
r(u, v) + s(v, v) = (x, v) .
Po vyčíslení všech skalárních součinů a dosazení řešíme soustavu lineárních rovnic
4r + 4s = 4
4r + 10s = −8
=⇒ r = 3, s = −2 =⇒ y = 3u − 2v = (1; −1; −1; 5).
11. Skalární součin 78
Poznamenejme, že jako vedlejší produkt předchozích výpočtů dostáváme i ortogonální
komponentu z = x − y = (3; 0; −2; −1).
Výsledek: ortogonální projekcí vektoru x na W je vektor y = (1; −1; −1; 5)
a ortogonální komponenta vektoru x vzhledem k podprostoru W je vektor z =
(3; 0; −2; −1). △
Úloha 11.2. V euklidovském 4-rozměrném prostoru V jsou dány podprostory W =
L(u1, u2, u3) a S = L(v), kde u1 = (1; 1; 1; 1), u2 = (−2; 6; 0; 8), u3 = (−3; 1; −2; 2),
v = (1; a; 3; b):
1. Nalezněte ortogonální bázi W a tuto bázi doplňte na ortogonální bázi
prostoru V .
2. Určete hodnoty a, b tak, aby podprostory W, S byly kolmé.
Řešení : 1. Na vektory u1, u2, u3 aplikujeme Gramm-Schmidtův ortogonalizační
proces:
e1 = u1 = (1; 1; 1; 1) ;
e2 = te1 + u2, kde t = −
(u2,e1)
(e1,e1)
= −3; tedy e2 = (−5; 3; −3; 5) ;
e3 = t1e1 + t2e2 + u3, kde t1 = −
(u3,e1)
(e1,e1)
= 1
2
, t2 = −
(u3,e2)
(e2,e2)
= −1
2
; tedy
e3 = (0; 0; 0; 0).
Vidíme, že e3 = o (což je důsledkem toho, že vektory u1, u2, u3 jsou lineárně
závislé), a tedy hledanou ortogonální bází W jsou (např.) vektory e1, e2.
Pro doplnění vektorů e1, e2 na ortogonální bázi celého prostoru V bude zřejmě
stačit nalézt libovolnou ortogonální bázi f1, f2 podprostoru W⊥
(zdůvodněte!). Ale
W⊥
je množina řešení homogenní soustavy lineárních rovnic, jejiž koeficienty jsou
právě souřadnice vektorů e1, e2 (zdůvodněte!). Vektory f1, f2 pak dostaneme ortogonalizací
libovolné báze řešení této homogenní soustavy:
1 1 1 1 0
−5 3 −3 5 0
∼ · · · ∼
1 1 1 1 0
0 4 1 5 0
=⇒
=⇒
x2 = r ,
x4 = s ,
=⇒
x3 = 4r − 5s ,
x1 = 3r + 4s ,
a tedy bázi řešení tvoří například vektory w1 = (3; 1; −4; 0), w2 = (4; 0; −5; 1). Pak:
f1 = w1 = (3; 1; −4; 0) ;
f2 = tf1 + w2, kde t = −
(w2,f1)
(f1,f1)
= −16
13
; tedy f2 = 4
13
; −16
13
; −1
13
; 1 .
Výsledek: vektory e1, e2 jsou ortogonáloní bází W, respektive vektory e1, e2, f1, f2
jsou ortogonální bází prostoru V .
2. Vzhledem k tomu, že dim S = 1, dim W = 2 (a tedy dim S⊥
= 3, dim W⊥
= 2),
mohou být podprostory W, S kolmé jedině v případě, že W ⊆ S⊥
neboli S ⊆ W⊥
.
Musíme tedy určit čísla a, b tak, aby v ∈ L(w1, w2), kde w1, w2 jsou vektory báze
12. Euklidovský prostor, kartézské souřadnice 79
W⊥
, získané v 1. Ale


3 1 −4 0
4 0 −5 1
1 a 3 b

 ∼ · · · ∼


3 1 −4 0
0 −4 1 3
0 0 −51 − 3a 3 − 9a − 12b

 .
Vidíme tedy, že v ∈ L(w1, w2) právě když −51−3a = 0∧3−9a−12b = 0, tj. právě
když a = −17, b = 13.
Výsledek: podprostory W, S jsou kolmé právě když a = −17, b = 13. △
Připomeňme znovu, že v obou úlohách jsme při výpočtech podstatně využívali
úmluvy o tom, že souřadnice vektorů jsou vyjadřovány vzhledem k pevné ortonormální
bázi prostoru V .
12 Euklidovský prostor, kartézské souřadnice
Definice 12.1. Afinní prostor, jehož zaměřením je euklidovský vektorový prostor
(tj. vektorový prostor se skalárním součinem), nazýváme euklidovským bodovým
prostorem nebo stručně euklidovským prostorem a označujeme E.
Poznámka 12.1. Vidíme, že euklidovský (bodový) prostor je speciálním případem
afinního prostoru. Proto můžeme na euklidovský prostor přenést všechny pojmy a
vlastnosti afinního prostoru. Je tedy zřejmý význam pojmů: bod euklidovského prostoru
E, zaměření Z(E) euklidovského prostoru E, podprostor euklidovského prostoru
E (připomeňme z Paragrafu 1, že podprostory v Z(E) jsou právě jeho vektorové
podprostory), dimenze euklidovského prostoru E, dimenze podprostoru euklidovského
prostoru E, afinní repér a afinní souřadnice v E atd. Všechny tyto pojmy nebudeme
v euklidovském prostoru znovu zavádět, ale budeme je automaticky přenášet
z afinního prostoru. ♢
Připomeňme ještě, že stručné vyjádření euklidovský prostor může sice jednou
znamenat euklidovský bodový prostor a podruhé euklidovský vektorový prostor, ovšem
ze souvislosti bude vždy jednoznačně jasné, o který z obou pojmů se jedná.
Definice 12.2. Nechť A, B jsou body euklidovského prostoru E. Pak reálné číslo
∥
−→
AB∥ nazýváme vzdáleností bodů A, B a označujeme AB. Je tedy
AB = ∥
−→
AB∥ .
Věta 12.1. Nechť A, B, C ∈ E. Pak platí:
1. AB ≥ 0 ;
2. AB = 0 právě když A = B ;
3. AB = BA ;
4. AC ≤ AB + BC .
12. Euklidovský prostor, kartézské souřadnice 80
Důkaz. Tvrzení plynou ihned z definice velikosti vektorů a axiomů skalárního součinu,
respektive z trojúhelníkové nerovnosti, uvedených v Paragrafu 11.
Poznámka 12.2. Množiny, v nichž ke každým dvěma bodům X, Y je přiřazeno
reálné číslo XY tak, že jsou splněny vlastnosti 1. – 4. z předchozí věty, se nazývají
metrické prostory a studují se blíže v matematické analýze. Předchozí věta nám tedy
mimo jiné říká, že euklidovský prostor je příkladem metrického prostoru. ♢
Poslední část předchozí věty můžeme ještě jednoduše rozšířit o charakterizaci
toho, kdy v uvedené nerovnosti nastane rovnost.
Věta 12.2. Nechť A, B, C ∈ E. Potom platí:
AC = AB + BC právě když B ∈ [A, C] .
Důkaz. Z definice vzdálenosti dvou bodů, z Věty 12.1 a z trojúhelníkové nerovnosti
plyne, že AC = AB + BC právě když B = C nebo
−→
AB = t
−−→
BC, kde t ≥ 0.
Poslední podmínka je však ekvivalentní podmínce, že body A, C leží na opačných
polopřímkách s hraničním bodem B neboli bod B je bodem úsečky [A, C], což dává
tvrzení věty.
Definice 12.3. Nechť E je euklidovský prostor, dim E = n ≥ 1, a nechť
R = ⟨P; e1, . . . , en⟩ (12.1)
je afinní repér v En takový, že ⟨e1, . . . , en⟩ je ortonormální báze zaměření Z(En).
Pak (12.1) se nazývá kartézský repér nebo ortonormální repér nebo kartézský souřadný
systém v En.
Souřadnice bodů v En vzhledem k repéru (12.1) se nazývají kartézské souřadnice.
Úmluva 12.1. Všude dále v této kapitole, nebude-li výslovně řečeno jinak, budeme
souřadnicemi bodů a vektorů vždy rozumět jejich souřadnice vzhledem k pevnému
kartézskému repéru (12.1). ♢
Poznámka 12.3. Vidíme, že kartézský repér je speciálním případem afinního repéru
a platí pro něj tedy všechny vztahy odvozené v Paragrafu 3, tj. vztahy pro
souřadnice bodů, souřadnice vektorů, transformační rovnice atd. Z toho, co bylo řečeno
v předchozím paragrafu o ortonormálních bázích, je zřejmé, že hlavní výhodou
zavedení kartézskřch souřadnic bude jednoduché vyjadřování skalárního součinu a
pojmů z něj odvozených. Připomeňme, že jsou-li u = (u1; . . . ; un), v = (v1; . . . ; vn)
vektory ze zaměření Z(En), pak pro jejich skalární součin (u, v) platí
(u, v) = u1v1 + · · · + unvn . (12.2)
12. Euklidovský prostor, kartézské souřadnice 81
Máme-li dva body A = [a1; . . . ; an], B = [b1; . . . ; bn] ∈ En, pak jejich vzdálenost
AB vyjádříme pomocí souřadnic užitím (12.2) takto:
AB = (b1 − a1)2 + · · · + (bn − an)2 . (12.3)
Podobně pro odchylku φ dvou nenulových vektorů u, v dostaneme vzorec
cosφ =
u1v1 + · · · + unvn
u2
1 + · · · + u2
n v2
1 + · · · + v2
n
. ♢ (12.4)
Následující věta ukáže, že i střed dvojice bodů můžeme charakterizovat pomocí
vzdáleností.
Věta 12.3. Bod S ∈ E je středem dvojice bodů A, B ∈ E právě když je
SA = SB =
1
2
AB . (12.5)
Důkaz. Je-li A = B, pak tvrzení zřejmě platí. Nechť tedy A ̸= B.
1. Nechť S je středem dvojice bodů A, B. Potom podle Důsledku 8.1, platí
symbolická rovnice S = 1
2
A + 1
2
B, z níž po rozepsání a užitím (12.3) dostáváme
SA = 1
2
AB = SB, tzn. platí (12.5).
2. Naopak, nechť platí (12.5). Pak AS + SB = AB a podle Věty 12.2 je S ∈
[A, B], tzn.
−→
AS = t
−→
AB, kde 0 ≤ t ≤ 1. Potom však ∥
−→
AS∥ = |t| · ∥
−→
AB∥ neboli
SA = t AB, odkud plyne (podle (12.5)) vzhledem k tomu, že AB ̸= 0, t = 1
2
. Podle
Věty 8.5 je pak bod S středem dvojice bodů A, B.
Transformační rovnice pro souřadnice bodů, respektive vektorů, při přechodu
od jednoho afinního repéru k druhému, jak jsme odvodili v Paragrafu 3, budou
opět beze změny platit i pro dva kartézské repéry. Ukážeme si však, že v případě
kartézskřch souřadnic bude mít matice přechodu A speciální tvar, který umožní
jednodušší manipulaci s transformačními rovnicemi.
Věta 12.4. Nechť jsou dány dvě ortonormální báze zaměření Z(En)
B = ⟨e1, . . . , en⟩ , (12.6)
B ′
= ⟨e′
1, . . . , e′
n⟩ , (12.7)
a nechť A = (aij) je matice přechodu od (12.6) k (12.7) a A′
je transponovaná
matice k matici A. Pak platí:
1. A′
A = En, kde En značí jednotkovou matici řádu n ;
2. A−1
= A′
;
3. |A| = ±1 .
Důkaz. 1. Z definice matice přechodu plyne, že
e′
i = a1ie1 + · · · + anien, pro i = 1, . . . , n .
12. Euklidovský prostor, kartézské souřadnice 82
Potom prvek stojící v i-tém řádku a j-tém sloupci matice A′
A je tvaru:
a1ia1j + a2ia2j + · · · + anianj = (e′
i, e′
j) =
1 , pro i = j ,
0 , pro i ̸= j ,
a tedy je A′
A = En.
2. Z 1. a z Cauchyovy věty plyne, že matice A je regulární, tzn. existuje pak
inverzní matice A−1
. Vynásobíme-li rovnost A′
A = En zprava maticí A−1
, dostáváme
A′
= A−1
.
3. Z algebry víme, že |A′
| = |A|; pak z 1. užitím Cauchyovy věty dostáváme
1 = |En| = |A′
A| = |A′
| · |A| = |A|2
, odkud |A| = ±1.
Poznámka 12.4. Předchozí věta má bezprostřední využití při studiu transformačních
rovnic pro souřadnice bodů, respektive vektorů, v euklidovském prostoru.
Známe-li totiž vyjádření nečárkovaných souřadnic pomocí čárkovaných (tj. vztahy
(3.9), (3.12)), pak u kartézských souřadnic můžeme opačné transformační rovnice
(tj. vyjádření čárkovaných souřadnic pomocí nečárkovaných) psát na základě 2. části
předchozí věty prakticky okamžitě pomocí transponované matice A′
. ♢
Poznámka 12.5. Z lineární algebry víme, že matice přechodu od jednoho kartézského
repéru k druhému je ortogonální matice. V dimenzi 2 (v rovině) jsou všechny
ortogonální matice tvaru
cos α − sin α
sin α cos α
,
cos α + sin α
sin α − cos α
, (12.8)
kde α je odchylka základních vektorů e1, e′
1 z kartézských repérů R = ⟨P; e1, e2⟩
a R′
= ⟨P; e′
1, e′
2⟩, viz Obr. 12.1 pro první matici, která odpovídá stejné orientaci
repérů. ♢
Obr. 12.1
13. Kolmost podprostorů 83
13 Kolmost podprostorů
Definice 13.1. Nechť B1, B2 jsou netriviální podprostory euklidovského (bodového)
prostoru E. Řekneme, že podprostory B1, B2 jsou kolmé, jsou-li kolmá jejich
zaměření Z(B1), Z(B2). Píšeme pak B1 ⊥ B2.
Podobně, podprostory B1, B2 nazýváme totálně kolmé, jsou-li totálně kolmá jejich
zaměření Z(B1), Z(B2).
Poznámka 13.1. Z definice je vidět, že kolmost i totální kolmost podprostorů euklidovského
prostoru závisí pouze na zaměřeních těchto podprostorů. Vyšetřování kolmosti
a totální kolmosti bude tedy probíhat ve vektorových prostorech se skalárním
součinem, přičemž zřejmě podstatně využijeme výsledků odvozených v Paragrafu
11. ♢
Věta 13.1. Nechť B1, B2, B′
1, B′
2 jsou podprostory euklidovského prostoru E a nechť
Bi∥B′
i, dim Bi = dim B′
i, pro i = 1, 2. Potom:
B1 ⊥ B2 právě když B′
1 ⊥ B′
2 .
Důkaz. Je-li Bi∥B′
i a dim Bi = dim B′
i, potom musí být Z(Bi) = Z(B′
i), pro i = 1, 2.
Tedy Z(B1) = Z(B′
1) a Z(B2) = Z(B′
2), odkud ihned plyne tvrzení.
Věta 13.2. Nechť B, C jsou podprostory euklidovského prostoru E. Potom:
1. Libovolným bodem A ∈ E prochází právě jeden podprostor, který je totálně
kolmý k B.
2. Jsou-li podprostory B, C totálně kolmé, pak jejich průnikem je bod.
Důkaz. 1. Podprostor {A; Z(B)⊥
} je totálně kolmý k B, prochází bodem A a zřejmě
je jediný s těmito vlastnostmi.
2. Nechť podprostory B, C jsou totálně kolmé; potom Z(B) = Z(C)⊥
, odkud
plyne, že dim Z(B) + dim Z(C) = dim Z(E), a tedy podle Věty 11.4 (část 1.) je
Z(B) ∩ Z(C) = {o}. Ale Z(B) + Z(C) = Z(E), tzn. podle Věty 2.3 se podprostory
B, C protínají. Dohromady dostáváme, že průnikem B, C je 0-rozměrný podprostor,
tzn. bod.
Věta 13.3. Nechť B je k-rozměrný podprostor v E (0 < k < n = dim E) vyjádřený
neparametricky
a11x1 + · · · + a1nxn = b1 ,
...
an−k,1x1 + · · · + an−k,nxn = bn−k .
(13.1)
Označme ai = (ai1; . . . ; ain), i = 1, . . . , n−k, vektory ze Z(En), jejichž souřadnicemi
jsou koeficienty v jednotlivých rovnicích systému (13.1). Potom vektory a1, . . . , an−k
tvoří bázi ortogonálního doplňku zaměření Z(B), a tedy
Z(B)⊥
= L(a1, . . . , an−k) . (13.2)
13. Kolmost podprostorů 84
Důkaz. Podle Věty 5.3 je zaměření Z(B) rovno podprostoru řešení zhomogenizovaného
systému k systému (13.1). Pro každý vektor x = (x1; . . . ; xn) ∈ Z(B) tedy
platí ai1x1 + · · · + ainxn = 0, tj. (ai, x) = 0 neboli ai ⊥ x, pro i = 1, . . . , n − k.
Tedy a1, . . . , an−k ∈ Z(B)⊥
, přičemž podle předpokladu jsou vektory a1, . . . , an−k
lineárně nezávislé. Poněvadž dim Z(B)⊥
= n − k, jsou vektory a1, . . . , an−k bází
podprostoru Z(B)⊥
. Zbytek tvrzení je pak triviální.
Věta 13.4. Nechť platí označení předchozí Věty 13.3 a nechť C je podprostor v En.
Potom:
B ⊥ C právě když Z(C) ⊆ L(a1, . . . , an−k) nebo Z(C) ⊇ L(a1, . . . , an−k) .
Důkaz. Tvrzení věty plyne bezprostředně z definice kolmosti a z Věty 13.3.
Poznámka 13.2. Pokud by rovnice (13.1) zadávající podprostor B byly lineárně
závislé (což se někdy v praxi stává), pak jistě neplatí 1. část tvrzení Věty 13.3, ovšem
zřejmě zůstávají v platnosti (13.2) a Věta 13.4 (neboť pak vektory a1, . . . , an−k jsou
generátory Z(B)⊥
). ♢
Dále, je-li dána nadrovina N ≡ a1x1 + · · · + anxn + a = 0, pak zřejmě vektor
n = (a1; . . . ; an) je kolmý k Z(N). Zavedeme pro něj následující označení.
Definice 13.2. Nechť N ≡ a1x1 + · · · + anxn + a = 0 je nadrovina v En. Pak
vektor n = (a1; . . . ; an) budeme nazývat normálovým vektorem nadroviny N a
každou přímku, jejímž směrovým vektorem je vektor n, budeme nazývat normálou
nadroviny N.
Následující věty se zabývají speciálními případy kolmosti podprostorů v E, a sice
kolmostí přímky a nadroviny, respektive kolmostí dvou nadrovin.
Věta 13.5. Nechť p ≡ X = A + tu je přímka a N ≡ a1x1 + · · · + anxn + a = 0 je
nadrovina v En. Potom p a N jsou totálně kolmé právě když existuje reálné číslo k
takové, že u = k(a1; . . . ; an).
Důkaz. Uvědomme si, že dim p + dim N = dim E, a tedy podle Věty 11.3 se v
případě kolmosti přímky p a nadroviny N musí jednat o totální kolmost. Zbytek
tvrzení pak plyne přímo z Věty 13.4.
Věta 13.6. Nechť N1 ≡ a1x1 + · · · + anxn + a = 0, N2 ≡ b1x1 + · · · + bnxn + b = 0
jsou nadroviny v E. Potom:
N1 ⊥ N2 ⇔ a1b1 + · · · + anbn = 0 ⇔ n1 ⊥ n2 .
Důkaz. Podle Věty 13.4 a podle Věty 5.3 je N1 ⊥ N2 ⇔ (a1; . . . ; an) ∈ Z(N2)
⇔ a1b1 + · · · + anbn = 0.
13. Kolmost podprostorů 85
Poznámka 13.3. Aplikujeme-li předchozí dvě věty na 2-rozměrný (respektive 3rozměrný)
euklidovský prostor, dostaneme věty o kolmosti přímek a rovin známé ze
střední školy. Například, máme-li dány v rovině dvě přímky zadané ve směrnicovém
tvaru rovnic, tj.
p1 ≡ y = k1x + q1, p2 ≡ y = k2x + q2 ,
k1 ̸= 0 ̸= k2, můžeme tyto rovnice psát v tvaru
p1 ≡ k1x − y + q1 = 0, p2 ≡ k2x − y + q2 = 0
a podle Věty 13.6 jsou p1 a p2 kolmé právě když k1k2 + 1 = 0, tj. k2 = −
1
k1
, což je
výsledek dokazovaný na střední škole. ♢
Poznámka 13.4. Jednou z nejčastějších praktickřch úloh o kolmosti je úloha nalézt
k danému k-rozměrnému podprostoru B totálně kolmý podprostor C procházející
pevným bodem Q. K vyřešení této úlohy stačí zřejmě nalézt Z(C), přičemž Z(C) =
Z(B)⊥
. V podstatě mohou nastat dvě situace:
a) Podprostor B je zadán parametricky, tzn. B ≡ X = A + t1u1 + · · · + tkuk,
kde ui = (ui1; . . . ; uin), i = 1, . . . , k. Potom Z(B)⊥
je množinou řešení homogenního
systému lineárních rovnic
u11x1 + · · · + u1nxn = 0 ,
...
uk1x1 + · · · + uknxn = 0
a hledaný podprostor C bude výhodné vyjadřovat neparametricky. Jeho neparametrické
rovnice dostaneme "znehomogenizováním" předchozí homogenní soustavy
rovnic souřadnicemi bodu Q.
b) Podprostor B je zadán neparametricky, tzn.
B =



a11x1 + · · · + a1nxn = b1 ,
...
an−k,1x1 + · · · + an−k,nxn = bn−k .
Potom vektory řádkových koeficientů tvoří bázi Z(B)⊥
a hledaný podprostor C bude
výhodné vyjadřovat parametricky. ♢
Věta 13.7. Nechť B je netriviální podprostor euklidovského prostoru E a R ∈ E je
bod neležící v B. Pak existuje právě jedna přímka p procházející bodem R, která je
kolmá k B a protíná B.
Důkaz. Podle Věty 13.2 bodem R prochází jediný podprostor C totálně kolmý na B.
Přitom B∩C je právě jeden bod P. Potom přímka p ≡ p(R, P) je hledaná přímka.
13. Kolmost podprostorů 86
Definice 13.3. Přímka p, která prochází daným bodem R, protíná daný podprostor
B a je k němu kolmá, se nazývá kolmice vedená bodem (kolmice spuštěná
z bodu) R na podprostor B. Průsečík přímky p s podprostorem B se pak nazývá
pata kolmice vedené bodem R na podprostor B (nebo též kolmý průmět bodu R na
podprostor B).
Poznámka 13.5. Uvědomme si, že předchozí definice nic nepředpokládá o poloze
bodu R. Jestliže bod R neleží v podprostoru B, pak podle Věty 13.7 kolmice vedená
bodem R na B, respektive kolmý průmět bodu R na B, jsou určeny jednoznačně.
Jestliže však R ∈ B, pak splývá bod R s kolmým průmětem R na B, ovšem kolmice
vedená bodem R na podprostor B může, ale nemusí být určena jednoznačně. Například
je-li B rovina (respektive přímka) ve 3-rozměrném prostoru a R ∈ B, pak
existuje jedna kolmice (respektive nekonečně mnoho kolmic) vedená bodem R na B.
♢
Úloha 13.1. Nalezněte podprostor C v E5, který prochází bodem Q a je totálně
kolmý k rovině ϱ ≡ {A; L(u, v)}. Přitom Q = [−1; 2; 5; 1; 4], A = [3; 2; 1; 1; 2],
u = (7; 2; 1; 1; 3), v = (0; 4; −2; 1; −1).
Řešení : Rovina ϱ je zadána parametricky, a proto bude výhodné hledat neparametrické
vyjádření podprostoru C. Ale Z(C) je dán homogenní soustavou lineárních
rovnic, kterou získáme pomocí souřadnic vektorů u, v, tj.
7x1 + 2x2 + x3 + x4 + 3x5 = 0 ,
4x2 − 2x3 + x4 − x5 = 0 .
Pravé strany neparametrického vyjádření C dostaneme dosazením souřadnic bodu
Q. Pak b1 = −7 + 4 + 5 + 1 + 12 = 15; b2 = 8 − 10 + 1 − 4 = −5.
Výsledek: hledaný podprostor C má neparametrické vyjádření
C ≡
7x1 + 2x2 + x3 + x4 + 3x5 = 15 ,
4x2 − 2x3 + x4 − x5 = −5 . △
Úloha 13.2. Nalezněte podprostor C v E5, který prochází bodem Q a je totálně
kolmý k podprostoru B. Přitom Q = [1; 0; 1; 0; 1], respektive
B =
19x1 + 11x2 − 4x3 + 5x4 + x5 = 3 ,
7x1 + 2x2 + x4 = 1 .
Řešení : Zřejmě je dim B = 3, a tedy hledaným podprostorem C bude rovina (tj.
dim C = 2). Podle Věty 13.3 však bázi Z(B)⊥
= Z(C) tvoří vektory, jejichž souřadnicemi
jsou koeficienty u neznámých v neparametrickém vyjádření podprostoru B.
Dostáváme tedy okamžitě hledané řešení (v parametrickém tvaru).
Výsledek: podprostor C je určen parametricky C ≡ X = Q + ru + sv, kde
Q = [1; 0; 1; 0; 1], u = (19; 11; −4; 5; 1), v = (7; 2; 0; 1; 0). △
14. Vnější a vektorový součin 87
Úloha 13.3. Bodem Q ∈ E3 veď te v rovině ϱ přímku q, která je kolmá k přímce
p ≡ X = A + tu. Přitom Q = [2; 1; −3], ϱ ≡ 3x − 2y + z = 1, A = [4; 5; 3],
u = (−6; 6; 1).
Řešení : Především je vidět, že Q ∈ ϱ, a úloha má tedy smysl. Hledejme přímku
q v parametrickém tvaru za použití daného bodu Q, tzn. že
q ≡ X = Q + yw, kde musíme nalézt vektor w = (w1; w2; w3) .
Ale podle zadání je w ∈ Z(ϱ), respektive w ⊥ u, tzn. po rozepsání
3w1 − 2w2 + w3 = 0 ,
−6w1 + 6w2 + w3 = 0 ,
odkud po vyřešení (například Gaussovou metodou) dostáváme w3 = 2k, w2 = −3k,
w1 = −8
3
k, tzn. je například w = (−8; −9; 6).
Výsledek: přímka q má parametrické vyjádření
q ≡



x = 2 − 8t ,
y = 1 − 9t ,
z = −3 + 6t . △
14 Vnější a vektorový součin
V tomto paragrafu uvedeme nejprve další vlastnosti euklidovských vektorových prostorů,
respektive orientovaných euklidovských vektorových prostorů, a potom některé
jejich aplikace.
Úmluva 14.1. Nebude-li výslovně řečeno jinak, pak všude v tomto paragrafu předpokládáme,
že ve studovaném n-rozměrném euklidovském vektorovém prostoru Vn
je pevně zadána ortonormální báze
B = ⟨e1, . . . , en⟩ , (14.1)
v níž vyjadřujeme všechny souřadnice. Je-li prostor Vn navíc orientovaný, pak orientace
je zvolena tak, že báze (14.1) je kladná. ♢
Definice 14.1. Nechť Vn je orientovaný n-rozměrný euklidovský vektorový prostor
a nechť u1, . . . , un je konečná posloupnost n vektorů z Vn, přičemž je
ui = (u1i; u2i; . . . ; uni), pro i = 1, . . . , n. Pak reálné číslo
u11 u12 . . . u1n
...
...
...
un1 un2 . . . unn
nazýváme vnějším součinem vektorů u1, . . . , un a označujeme [u1, . . . , un].
14. Vnější a vektorový součin 88
Poznámka 14.1. Rozmyslíme-li si důkladněji předchozí definici, vidíme ihned, že
vnější součin [u1, . . . , un] je definován pomocí souřadnic vektorů u1, . . . , un v pevné
kladné ortonormální bázi (14.1) a tudíž je na první pohled závislý na volbě této báze
(což by se tedy mělo nějak projevit v slovním vyjádření a v symbolice). Následující
věta však ukáže, že tomu tak není, a tedy definice vnějšího součinu je zformulována
korektně. ♢
Věta 14.1. Vnější součin vektorů u1, . . . , un ∈ Vn nezávisí na volbě kladné ortonormální
báze prostoru Vn.
Důkaz. Nechť (14.1), respektive
B ′
= ⟨e′
1, . . . , e′
n⟩ (14.2)
jsou dvě kladné ortonormální báze prostoru Vn. Označme [u1, . . . , un]B, respektive
[u1, . . . , un]B′ , vnější součin vektorů u1, . . . , un vyjádřený pomocí souřadnic těchto
vektorů v bázi (14.1), respektive (14.2). Nechť A značí matici přechodu od báze
(14.1) k bázi (14.2). Podle Věty 12.3 (3. část) je |A| = ±1 a protože (14.1) a (14.2)
jsou souhlasné báze, je tedy |A| = 1.
Nechť nyní ui = (u1i; u2i; . . . ; uni) vyjádřeno v bázi (14.1), respektive ui =
(u′
1i; u′
2i; . . . ; u′
ni) vyjádřeno v bázi (14.2), pro i = 1, . . . , n. Užitím transformačních
rovnic pro souřadnice vektorů (viz (3.12)) dostáváme pro i = 1, . . . , n



u1i
...
uni


 = A



u′
1i
...
u′
ni


 , tzn.



u11 . . . u1n
...
...
un1 . . . unn


 = A



u′
11 . . . u′
1n
...
...
u′
n1 . . . u′
nn


 ,
odkud přechodem k determinantům užitím Cauchyovy věty a toho, že |A| = 1,
dostáváme
u11 . . . u1n
...
...
un1 . . . unn
=
u′
11 . . . u′
1n
...
...
u′
n1 . . . u′
nn
neboli [u1, . . . , un]B = [u1, . . . , un]B′ .
Věta 14.2. Nechť u1, . . . , un je konečná posloupnost vektorů z Vn, v ∈ Vn a r ∈ R.
Pak:
1. [u1, . . . , ui + v, . . . , un] = [u1, . . . , un] + [u1, . . . , v, . . . , un]
pro všechna i = 1, . . . , n .
2. [u1, . . . , rui, . . . , un] = r[u1, . . . , un] pro všechna i = 1, . . . , n .
3. Je-li (k1; . . . ; kn) libovolné pořadí indexů 1, 2, . . . , n a značí-li t
celkový počet dvojic tvořících inverzi v tomto pořadí, pak
[uk1
, . . . , ukn
] = (−1)t
[u1, . . . , un] .
4. Vnější součin [u1, . . . , un] = 0 ⇔ vektory u1, . . . , un jsou
lineárně závislé.
5. Vnější součin [u1, . . . , un] je kladný (respektive záporný) ⇔ vektory
u1, . . . , un tvoří kladnou (respektive zápornou) bázi prostoru Vn.
14. Vnější a vektorový součin 89
Důkaz. Vlastnosti 1. až 4. plynou ihned z vět o základních vlastnostech determinantů,
uváděných v algebře. Část 5. pak plyne z 4. a z definice orientace prostoru
Vn, uvědomíme-li si, že jsou-li vektory u1, . . . , un lineárně nezávislé, pak (neboť
dim Vn = n) musí tvořit bázi Vn a vnější součin je vlastně determinantem matice
přechodu od báze (14.1) k bázi ⟨u1, . . . , un⟩. Přitom stále v rámci Úmluvy 14.1
předpokládáme, že báze (14.1) je kladná.
Poznámka 14.2. Vlastnosti 1. až 5. v předchozí větě jednoznačně určují vnější
součin vektorů. Mohli bychom tedy definovat vnější součin jako zobrazení
[·, . . . , ·] : Vn × · · · × Vn
n−krát
→ R ,
které je
1. lineární v každé složce (vlastnosti 1. a 2.),
2. antisymetrické (vlastnost 3.),
3. splňuje vlastnosti 4. a 5.
Tato definice by byla evidentně nezávislá na zvolené bázi, ale odvodit z ní souřadnicové
vyjádření vnějšího součinu vektorů by bylo obtížné. Proto jsme z "technických"
důvodů zvolili opačný postup a definovali vnější součin přímo v souřadnicích
a teprve odtud snadno odvodili vlastnosti 1. až 5. ♢
Definice 14.2. Nechť u1, . . . , uk je konečná posloupnost k vektorů z Vn. Pak
determinant
(u1, u1) (u1, u2) . . . (u1, uk)
(u2, u1) (u2, u2) . . . (u2, uk)
...
...
...
(uk, u1) (uk, u2) . . . (uk, uk)
se nazývá Grammův determinant vektorů u1, . . . , uk a označuje se symbolem
G(u1, . . . , uk).
Věta 14.3. Nechť u1, . . . , un je konečná posloupnost n vektorů z Vn. Pak platí
G(u1, . . . , un) = [u1, . . . , un]2
.
Důkaz. Tvrzení věty plyne bezprostředně rozepsáním z definice vnějšího součinu,
užitím věty o determinantu transponované matice a vztahu (12.2) pro skalární součin
dvou vektorů.
Poznámka 14.3. Uvědomme si především, že pojem Grammova determinantu je
definován pro libovolný konečný počet vektorů. Je-li tento počet speciálně roven
dimenzi prostoru Vn, pak (podle předchozí věty a Věty 14.2 (2. část)) je Grammův
determinant G(u1, . . . , un) nezáporné reálné číslo, které je rovno nule právě když
vektory u1, . . . , un jsou lineárně závislé. V dalším ukážeme, že Grammův determinant
má stejnou vlastnost pro každou konečnou posloupnost vektorů. ♢
14. Vnější a vektorový součin 90
Věta 14.4. Nechť u1, . . . , uk je libovolná posloupnost vektorů z V ; respektive z1, . . . , zk
je ortogonální posloupnost vektorů z V taková, že
z1 = u1; zi = ti1u1 + · · · + ti,i−1ui−1 + ui; tij ∈ R, i = 2, . . . , k.
Potom je
G(u1, . . . , uk) = (z1, z1) · · · · · (zk, zk) = G(z1, . . . , zk) .
Důkaz. Nechť 2 ≤ i ≤ k; pak dosazením z předpokladů věty dostáváme pro libovolné
j = 1, . . . , k
(zi, uj) = ti1(u1, uj) + · · · + ti,i−1(ui−1, uj) + (ui, uj) ,
odkud plyne, že záměna vektoru ui vektorem zi v celém i-tém řádku (2 ≤ i ≤ k)
Grammova determinantu G(u1, . . . , uk) je ekvivalentní přičtení k tomuto řádku jisté
lineární kombinace předchozích řádků, což je úprava, která nezmění hodnotu determinantu.
Dále podle předpokladu je z1 = u1, tzn. (u1, uj) = (z1, uj) pro libovolné
j = 1, . . . , n. Dohromady tedy
(u1, u1) . . . (u1, uk)
...
...
(uk, u1) . . . (uk, uk)
=
(z1, u1) . . . (z1, uk)
...
...
(zk, u1) . . . (zk, uk)
.
Podobně, nechť 2 ≤ j ≤ k; pak pro libovolné i = 1, . . . , k je
(zi, zj) = tj1(zi, u1) + · · · + tj,j−1(zi, uj−1) + (zi, uj) ,
respektive z1 = u1, tzn. stejnou úvahou jako výše můžeme v posledně napsaném
determinantu ve všech sloupcích místo uj psát zj. Dostáváme
(z1, u1) . . . (z1, uk)
...
...
(zk, u1) . . . (zk, uk)
=
(z1, z1) . . . (z1, zk
...
...
(zk, z1) . . . (zk, zk)
=
=
(z1, z1) 0 · · · 0
0 (z2, z2) · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · (zk, zk)
,
kde jsme využili toho, že posloupnost z1, . . . , zk je ortogonální, tzn. (zi, zj) = 0, pro
i ̸= j. Dohromady pak G(u1, . . . , uk) = (z1, z1) · · · · · (zk, zk).
Důsledek 14.1. Nechť u1, . . . , uk je libovolná posloupnost vektorů z Vn. Pak platí:
1. G(u1, . . . , uk) ≥ 0 .
2. G(u1, . . . , uk) = 0 ⇔ vektory u1, . . . , uk jsou lineárně závislé.
14. Vnější a vektorový součin 91
Důkaz. Nechť z1, . . . , zk je ortogonální posloupnost vektorů z Vn, která vznikne z
posloupnosti u1, . . . , uk provedením Gramm-Schmidtova ortogonalizačního procesu.
Jak bylo ukázáno v algebře, taková posloupnost existuje a má právě vlastnosti požadované
v předpokladech Věty 14.4. Podle ní je tedy
G(u1, . . . , uk) = (z1, z1) · · · · · (zk, zk) ,
odkud již plyne 1., neboť (zi, zi) ≥ 0, respektive 2., neboť (jak víme z algebry)
vektory u1, . . . , uk jsou lineárně závislé právě když alespoň jeden z vektorů z1, . . . , zk
je nulový.
Poznámka 14.4. Ukážeme si, jaké jsou další vlastnosti Grammova determinantu.
a) Jestliže vyměníme dva vektory ui, uj , i ̸= j, hodnota Grammova determinantu
se nezmění. Opravdu, v determinantu vyměníme dva řádky a stejné dva
sloupce. Každá výměna změní znaménko, takže výsledné hodnota se nezmění, Grammův
determinant je tedy symetrický. Jeho hodnota je stejná pro libovolné pořadí
vektorů u1, . . . , uk.
b) Vynásobíme-li jeden z vektorů ui, i = 1, . . . , k, reálným číslem r, dostaneme
G(u1, . . . , rui, . . . , uk) = r2
G(u1, . . . , ui, . . . , uk). Opravdu, v Gramovvě determinantu
jsme vynásobili i-tý řádek a i-tý sloupec číslem r. Vytknutím r z řádku i
sloupce dostaneme tvrzení.
Shrnuto dohromady, je tedy Grammův determinant zobrazení
G(·, . . . , ·) : Vn × · · · × Vn
k−krát
→ R+
∪ {0R} ,
které je symetrické, není lineární v jednotlivých složkách a jeho hodnoty jsou kladné
pro lineárně nezávislé vektory a nulové pro lineárně závislé vektory. ♢
V Kapitole 1 jsme v afinním prostoru zavedli pojem k-rozměrného rovnoběžnostěnu
Rk = R(A; u1, . . . , uk) daného bodem A a posloupností lineárně nezávislých
vektorů u1, . . . , uk a dokázali jsme, že Rk je konvexní množinou. Nyní v euklidovském
prostoru budeme definovat objem rovnoběžnostěnu Rk a odvodíme poměrně
jednoduchý algoritmus pro jeho výpočet. Připomeňme, že na střední škole se počítala
plocha rovnoběžníka, respektive objem rovnoběžnostěnu (což jsou v našem pojetí 2-,
respektive 3-rozměrné rovnoběžnostěny) podle vzorce, který by se nepřesně, ale názorně
dal vyjádřit obratem velikost základny krát výška. Uvidíme, že oba tyto vztahy
vyjdou jako speciální případy našich obecných úvah.
14. Vnější a vektorový součin 92
Definice 14.3. Nechť Rk = R(A; u1, . . . , uk) je k-rozměrný rovnoběžnostěn v E.
Pak objem rovnoběžnostěnu Rk označujeme symbolem |Rk| a definujeme induktivně
takto:
Pro k = 1 je |R1| = ∥u1∥.
Je-li definován |Ri−1| pro 2 ≤ i ≤ k, pak
|Ri| = |Ri−1| · ∥zi∥ ,
kde zi =
−−−−→
Yi−1Xi, přičemž Xi = A + ui a Yi−1 je kolmý průmět bodu Xi na
podprostor Bi−1 = {A; L(u1, . . . , ui−1)}.
Poznámka 14.5. Uvědomme si, že Věta 13.2 zaručuje existenci a jednoznačnost
bodu Yi−1. Explicitně zapsáno je
Yi−1 = Bi−1 ∩ Ci−1 ,
kde Ci−1 = {Xi; L(u1, . . . , ui−1)⊥
}. ♢
Poznámka 14.6. Předchozí definice zavádí objem k-rozměrného rovnoběžnostěnu
pro libovolné k ≥ 1. Je nutno si uvědomit, že pro k = 1 je R1 úsečka a její objem
je totožný s délkou úsečky. Pro k = 2 budeme místo 2-rozměrného rovnoběžnostěnu
používá obvyklejší název rovnoběžník a místo pojmu objem rovnoběžníka budeme
používat název obsah rovnoběžníka. ♢
Z předchozí definice tedy plyne, že objem rovnoběžnostěnu Rk můžeme (pro
k ≥ 2) vyjádřit ve tvaru
|Rk| = ∥u1∥ · ∥z2∥ · . . . · ∥zk∥ , (14.3)
kde vetory z2, . . . , zk jsou konstruovány postupně, způsobem popsaným v definici.
Je ihned vidět, že vztah (14.3) je nevhodný k praktickým výpočtům, pro které bude
výhodnější používat následující větu.
Věta 14.5. Nechť Rk = R(A; u1, . . . , uk) je k-rozměrný rovnoběžnostěn v E. Pak
pro jeho objem platí
|Rk| = + G(u1, . . . , uk) .
Důkaz. Je-li k = 1, pak |R1| = ∥u1∥ = (u1, u1) = G(u1) a tvrzení platí. Nechť
tedy je k ≥ 2. Pak umocněním vztahu (14.3) dostáváme
|Rk|2
= (u1, u1) · (z2, z2) · · · · · (zk, zk) , (14.4)
kde pro i = 2, . . . , k je zi =
−−−−→
Yi−1Xi, přičemž Xi = A + ui, respektive Yi−1 ∈ Bi−1 =
{A; L(u1, . . . , ui−1)} a platí
zi ⊥ u1, . . . , ui−1 . (14.5)
14. Vnější a vektorový součin 93
Nyní nejprve dokážeme, že posloupnost vektorů
u1, z2, . . . , zk (14.6)
splňuje předpoklady Věty 14.4. Ale zřejmě (pro i = 2, . . . , k) platí
zi =
−−−−→
Yi−1Xi =
−−−→
Yi−1A +
−−→
AXi = ti1u1 + · · · + ti,i−1ui−1 + ui , (14.7)
odkud vzhledem k (14.5) plyne, že zi ⊥ u1 a zi ⊥ zs pro s = 2, . . . , i − 1, a tedy
posloupnost (14.6) je ortogonální.
Dostali jsme tedy posloupnost vektorů (14.6), která splňuje předpoklady Věty
14.4 a podle této věty platí
G(u1, . . . , uk) = (u1, u1) · (z2, z2) · · · · · (zk, zk) ,
což spolu s (14.4) dává |Rk|2
= G(u1, . . . , uk), odkud odmocněním dostáváme dokazované
tvrzení.
Důsledek 14.2. Nechť Rn = R(A; u1, . . . , un) je n-rozměrný rovnoběžnostěn v
n-rozměrném euklidovském prostoru En. Pak objem rovnoběžnostěnu Rn je roven
absolutní hodnotě vnějšího součinu vektorů u1, . . . , un, tzn.
|Rn| = |[u1, . . . , un]| .
Proto se někdy vnější součin n vektorů (v dimenzi n) nazývá "forma objemu".
Důkaz. Tvrzení plyne přímo z předchozí věty a z Věty 14.3.
Definice 14.4. Nechť Vn, n ≥ 2, je orientovaný euklidovský vektorový prostor.
Nechť u1, . . . , un−1 ∈ Vn a w ∈ Vn je vektor takový, že pro každý vektor x ∈ Vn je
(w, x) = [u1, . . . , un−1, x] . (14.8)
Pak vektor w nazýváme vektorovým součinem vektorů u1, . . . , un−1 a označujeme
w = u1 × · · · × un−1.
Poznámka 14.7. Připomeňme, že podle Úmluvy 14.1 jsou všechny souřadnice vyjadřovány
v pevné kladné ortonormální bázi (14.1) prostoru Vn. Vyjádříme-li nyní
vztah (14.8) v souřadnicích, dostaneme
w1x1 + · · · + wnxn =
u11 . . . u1,n−1 x1
u21 . . . u2,n−1 x2
...
...
...
un1 . . . un,n−1 xn
, (14.9)
kde ui = (u1i; u2i; . . . ; uni) pro i = 1, . . . , n − 1, x = (x1; . . . ; xn), w = (w1; . . . ; wn).
14. Vnější a vektorový součin 94
Vidíme, že souřadnice vektoru w v (14.9) získáme rozvojem výše uvedeného
determinantu podle posledního sloupce Laplaceovou větou (wi je tedy algebraickým
doplňkem prvku xi). Z toho je zřejmé, že vektorový součin vektorů w vždy existuje,
je určen jednoznačně a závisí na pořadí vektorů u1, . . . , un−1.
Vektor w je definován pomocí svých souřadnic v bázi (14.1). Při přechodu k jiné
kladné ortonormální bázi budou jeho souřadnice samozřejmě jiné. Zůstává tedy otázkou,
zda se pak jedná opět o tentýž vektor, tzn. zda je předchozí definice korektní.
Ale pro každý vektor x ∈ Vn jsou skalární součin (w, x) i vnější součin vektorů
[u1, . . . , un−1, x] nezávislé na volbě kladné ortonormální báze prostoru Vn, a tedy i
vektorový součin vektorů je na volbě kladné báze nezávislý. ♢
Věta 14.6. Nechť u1, . . . , un−1 ∈ Vn a nechť w značí vektorový součin vektorů
u1, . . . , un−1. Potom
w = o ⇐⇒ vektory u1, . . . , un−1 jsou lineárně závislé.
Důkaz. Tvrzení ihned plyne z toho, že (viz algebra) hodnost matice je rovna maximálnímu
řádu nenulového minoru, respektive maximálnímu počtu lineárně nezávislých
sloupců.
Věta 14.7. Nechť u1, . . . , un−1 jsou lineárně nezávislé vektory ve Vn, n ≥ 2, a nechť
w je jejich vektorový součin. Označme W = L(u1, . . . , un−1). Pak platí:
1. L(w) = W⊥
(to znamená, že podprostor generovaný vektorovým součinem
vektorů u1, . . . , un−1 je roven ortogonálnímu doplňku podprostoru generovaného
vektory u1, . . . , un−1).
2. ∥w∥ = |[u1, . . . , un−1]W | (to znamená, že velikost vektorového součinu w
vektorů u1, . . . , un−1 je rovna absolutní hodnotě vnějšího součinu těchto vektorů
ve W).
3. u1, . . . , un−1, w (v tomto pořadí) tvoří kladnou bázi prostoru Vn.
Důkaz. 1. Užitím Věty 14.2 (4. část) a rovnice (14.8) dostáváme okamžitě rovnost
(w, ui) = [u1, . . . , un−1, ui] = 0, tzn. w ⊥ ui pro každé i = 1, . . . , n − 1. Potom
je w ∈ W⊥
, a tedy L(w) ⊆ W⊥
. Podle předpokladu věty je dim W = n − 1, tzn.
dim W⊥
= 1 = dim L(w), odkud již dohromady dostáváme, že L(w) = W⊥
.
2. Nechť
v1, . . . , vn−1 (14.10)
je libovolná kladná ortonormální báze W. Z 1. části plyne, že pro vhodné k ∈ R
(k ̸= 0) je
v1, . . . , vn−1, kw (14.11)
kladnou ortonormální bází celého prostoru V . Nechť ui = (u1i; . . . ; un−1,i), i =
1, . . . , n − 1, v bázi (14.10) podprostoru W. Pak v bázi (14.11) celého prostoru Vn
je zřejmě
ui = (u1i; . . . ; un−1,i; 0), pro i = 1, . . . , n − 1, respektive w = (0; . . . ; 0;
1
k
).
14. Vnější a vektorový součin 95
Označíme-li [u1, . . . , un−1]W vnější součin vektorů u1, . . . , un−1 ve W, respektive
[u1, . . . , un−1, w]Vn vnější součin vektorů u1, . . . , w ve Vn, pak je
[u1, . . . , un−1]W =
u11 . . . u1,n−1
...
...
un−1,1 . . . un−1,n−1
= k ·
u11 . . . u1,n−1 0
...
...
...
un−1,1 . . . un−1,n−1 0
0 . . . 0 1
k
= k · [u1, . . . , un−1, w]Vn
= k · (w, w) = k ·
1
k2
=
1
k
.
Ale zřejmě ∥w∥ = 1
k
, a tedy ∥w∥ = 1
k
= |[u1, . . . , un−1]W |.
3. Z předpokladu věty, užitím (14.8) a Věty 14.6 dostáváme, že
[u1, . . . , un−1, w] = (w, w) > 0 ,
a tedy podle Věty 14.2 (5. část) vektory u1, . . . , un−1, w tvoří kladnou bázi prostoru
Vn.
Důsledek 14.3. Nechť Rn−1 = R(A; u1, . . . , un−1) je (n − 1)-rozměrný rovnoběžnostěn
v euklidovském prostoru En, n ≥ 2. Pak objem rovnoběžnostěnu Rn−1 je roven
velikosti vektorového součinu vektorů u1, . . . , un−1, tzn.
|Rn−1| = ∥u1 × · · · × un−1∥ .
Důkaz. Tvrzení plyne přímo z 2. části předchozí věty a z Důsledku 14.2.
Poznámka 14.8. Podrobnějším rozborem bychom mohli ukázat, že vektorový součin
w vektorů u1, . . . , un−1 je jednoznačně charakterizován čtyřmi vlastnostmi vyslovenými
v předchozích dvou větách. Je to tedy zobrazení
· × · · · × · : Vn × · · · × Vn
(n−1)−krát
→ Vn ,
n ≥ 2, které má následující vlastnosti:
1) Pro lineárně závislé vektory je obraz nulový vektor.
2) Pro lineárně nezávislé vektory je obrazem nenulový vektor w a platí:
a) w ⊥ ui , ∀i = 1, . . . , n − 1;
b) ∥w∥ = |Rn−1|, kde Rn−1 je rovnoběžnostěn určený vektory u1, . . . , un−1;
c) u1, . . . , un−1, w (v tomto pořadí) tvoří kladnou bázi prostoru Vn.
Navíc, z výše uvedených vlastností vyplývá, že je toto zobrazení:
14. Vnější a vektorový součin 96
I] Antisymetrické, tj., pro n ≥ 3, platí
u1 × . . . × uj × · · · × ui × · · · × un−1−
= −u1 × · · · × ui × · · · × uj × · · · × un−1 ,
i ̸= j.
II) Lineární v každé složce, tj.
u1 × . . . × (r ui + s vi) × · · · × un−1 =
= r u1 × · · · × ui × · · · × un−1 + s u1 × · · · × vi × · · · × un−1 ,
∀i = 1, . . . , n − 1. ♢
Poznámka 14.9. Pro n = 3 se vlastnostmi uvedenými v předchozí poznámce vektorový
součin většinou dokonce definuje. V dalším se budeme blíže zabývat právě
tímto, tj. 3-rozměrným případem. Je tedy pro dva vektory u, v ∈ V3 vektorový součin
u × v ∈ V3 jednoznačně určen následujícími vlastnostmi (podle Vět 14.6 a 14.7
a Důsledku 14.3):
(1) u × v = o právě když vektory u, v jsou lineárně závislé.
Jsou-li vektory u, v lineárně nezávislé, je
(2) u × v ⊥ u , u × v ⊥ v ,
(3) vektory u, v, u × v (v tomto pořadí) tvoří kladnou bázi V3,
(4) ∥u × v∥ je roven obsahu rovnoběžníka určeného vektory u, v (viz Věta 14.7 (2.
část) a Důsledek 14.2). ♢
Věta 14.8. Nechť u = (u1; u2; u3), v = (v1; v2; v3) jsou vektory z V3. Pak platí
u × v =
u2 u3
v2 v3
;
u3 u1
v3 v1
;
u1 u2
v1 v2
.
Důkaz. Přepišme vztah (14.9) pro n = 3 a vektory u, v. Dostáváme
u1 v1 x1
u2 v2 x2
u3 v3 x3
=
u2 v2
u3 v3
x1 −
u1 v1
u3 v3
x2 +
u1 v1
u2 v2
x3 =
=
u2 u3
v2 v3
x1 +
u3 u1
v3 v1
x2 +
u1 u2
v1 v2
x3 ,
a odtud přímo plyne tvrzení věty.
Další vlastnosti vektorového součinu ve V3 popisují následující věty.
Věta 14.9. Nechť u, v, w ∈ V3, r ∈ R libovolné. Pak platí:
1. v × u = −(u × v) .
2. (ru) × v = u × (rv) = r(u × v) .
3. u × (v + w) = (u × v) + (u × w);
(v + w) × u = (v × u) + (w × u) .
4. (u × v, w) = [u, v, w] .
14. Vnější a vektorový součin 97
Důkaz. Části 1., 2. a 3. věty vyplývají okamžitě z Věty 14.2 a Definice 14.4. Můžeme
je dokázat snadno také tak, že vektory u, v, w vyjádříme pomocí souřadnic a
použijeme Větu 14.8, respektive běžná pravidla pro počítání se souřadnicemi vek-
torů.
Část 4. je speciálním případem (14.8), pro n = 3.
Věta 14.10. Nechť u, u′
, v, v′
, w ∈ V3. Pak platí:
1. (u × v) × w = (u, w)v − (v, w)u .
2. (u × v, u′
× v′
) =
(u, u′
) (u, v′
)
(v, u′
) (v, v′
)
.
Důkaz. Tvrzení můžeme dokázat tak, že všechny vektory vyjádříme pomocí souřadnic
a použijeme Větu 14.8, respektive běžná pravidla pro počítání se souřadnicemi
vektorů.
Bez použití souřadnic dokážeme větu následujícím způsobem.
1. a) Předpokládejme nejdříve, že jsou vektory u a v lineárně závislé, tj. např.
v = α u. Potom u × v = o. Na druhé straně
(u, w) v − (v, w) u = (u, w) α u − (α u, w) u = o
a tvrzení platí.
b) Nechť jsou vektory u a v lineárně nezávislé. Potom je vektor (u × v) × w
kolmý na vektor u × v, ale tento vektor je také kolmý na vektory u a v. Odtud
dostaneme, že vektor (u × v) × w musí být lineární kombinací vektorů u a v, tj.
(u × v) × w = α u + β v .
(u×v)×w je kolmý i na vektor w, takže pokud skalárně vynásobíme výše uvedenou
rovnici vektorem w, dostaneme rovnici
0 = α (u, w) + β (v, w)
a odtud α = −(v, w) , β = (u, w).
2. Z definice vektorového součinu a symetrie skalárního součinu dostaneme
(u × v, u′
× v′
) = [u, v, u′
× v′
] ,
(u′
× v′
, u × v) = [u′
, v′
, u × v] .
Odtud
(u × v, u′
× v′
)2
= [u, v, u′
× v′
] · [u′
, v′
, u × v].
Vnější součin je determinan matice, v jejich sloupcích jsou souřadnice uvedených
vektorů. Protože determinant transponované matice je stejný, jako determinant původní
matice, můžeme výše uvedený součin vnějších součinů reprezentovat jako determinant
součinu matic, kde v první matici jsou v řádcích vektory u, v, u′
× v′
a v
14. Vnější a vektorový součin 98
druhé matici jsou ve sloupcích vektory u′
, v′
, u × v. Odtud dostaneme
(u × v, u′
× v′
)2
=
(u, u′
) (u, v′
) 0
(v, u′
) (v, v′
) 0
0 0 (u × v, u′
× v′
)
(14.12)
= (u × v, u′
× v′
)
(u, u′
) (u, v′
)
(v, u′
) (v, v′
)
.
Nyní musíme uvažovat následující možnosti:
a) Je-li některá z dvojic vektorů u, v nebo u′
, v′
lineárně závislá, např. u = αv,
dostaneme
(u × v, u′
× v′
) = (o, u′
× v′
) = 0
a současně
(u, u′
) (u, v′
)
(v, u′
) (v, v′
)
= α
(u, u′
) (u, v′
)
(u, u′
) (u, v′
)
= 0 ,
tj. tvrzení platí.
b) Nechť jsou dvojice vektorů u, v a u′
, v′
lineárně nezávislé. Potom jsou vektory
u × v a u′
× v′
nenulové. Mohou nastat dvě možnosti:
i) (u × v, u′
× v′
) = 0, tj. vektory u × v a u′
× v′
jsou kolmé. Odtud dostaneme
u × v = α u′
+ β v′
,
u′
× v′
= γ u + δ v ,
což vyplývá z toho, že na vektorový součin u × v (respektive u′
× v′
) jsou kolmé
i vektory u, v (respektive u′
, v′
). Vynásobíme-li první (respektive druhou) rovnici
skalárně vektory u, v (respektive u′
, v′
) dostaneme pro neznámé α, β (respektive
γ, δ) soustavu dvou homogenních lineárních rovnic s maticí
(u, u′
) (u, v′
)
(v, u′
) (v, v′
)
(re-
spektive
(u, u′
) (v, u′
)
(u, v′
) (v, v′
)
). Tato soustava má nenulové řešení právě tehdy, když je
lineárně závislá, a tedy determinant matice soustavy je nulový, což dokazuje tvrzení.
ii) Je-li (u×v, u′
×v′
) ̸= 0, dostaneme tvrzení pokrácením rovnice (14.12) číslem
(u × v, u′
× v′
).
Důsledek 14.4. Pro nenulové vektory u, v ∈ V3 platí
∥u × v∥ = ∥u∥ · ∥v∥ · sin φ , (14.13)
kde φ je odchylka vektorů u, v.
Důkaz. Pro nenulové lineárně závislé vektory je tvrzení zřejmé.
Pro lineárně nezávislé vektory u, v dostaneme z druhé části předchozí věty a
(11.1) při u′
= u, v′
= v
14. Vnější a vektorový součin 99
∥u × v∥2
= ∥u∥2
· ∥v∥2
− (u, v)2
= ∥u∥2
· ∥v∥2
− ∥u∥2
· ∥v∥2
· cos2
φ
= ∥u∥2
· ∥v∥2
(1 − cos2
φ) = ∥u∥2
· ∥v∥2
· sin2
φ .
Odmocněním dostaneme požadované tvrzení.
Obr. 14.1
Poznámka 14.10. Objasněme si tvrzení předchozí věty v názorné rovině, kde je
obsah rovnoběžníka R(A; u, v) dán jednak jako velikost vektorového součinu ∥u×v∥
(viz Poznámka 14.9), jednak jako součin délky podstavy ∥u∥ krát výška v (důsledek
Poznámky 14.7). Ale z vlastností pravoúhlých trojúhelníků je v = ∥v∥ · sin φ, kde φ
je odchylka vektorů u, v. Odtud dostaneme okamžitě (14.13). ♢
Poznámka 14.11. Jak již bylo řečeno, pro u, v ∈ V3 je u×v ∈ V3. Vidíme tedy, že
vektorový součin je možno chápat jako binární operaci na množině V3. Přitom tato
operace není komutativní (plyne z Věty 14.9) a není ani asociativní, neboť například
pro vektory e1, e2 dané kladné ortonormální báze e1, e2, e3 je
(e1 × e1) × e2 = o × e2 = o ,
e1 × (e1 × e2) = e1 × e3 = −e2 ̸= o .
Na druhé straně je ale operace vektorového součinu oboustranně distributivní
vzhledem k operaci sčítání vektorů (plyne z Věty 14.9).
Připomeňme, že vektorového součinu můžeme s výhodou použít v různých situacích
při řešení úloh v 3-rozměrném euklidovském prostoru. Máme-li například
zadánu přímku p neparametricky
p ≡
a1x + a2y + a3z + a = 0 ,
b1x + b2y + b3z + b = 0 ,
pak směrový vektor u, určující přímku p, vypočteme nejsnáze jako vektorový součin
obou normálových vektorů (a1, a2, a3) a (b1, b2, b3), tzn.
u =
a2 a3
b2 b3
;
a3 a1
b3 b1
;
a1 a2
b1 b2
. ♢
Úloha 14.1. Nalezněte všechny hodnoty parametru a, pro které jsou přímky p, q
kolmé. Přitom:
p ≡
4x − y + az − 2 = 0 ,
ay − z + 7 = 0 ,
q ≡
x + y − z − 3 = 0 ,
3x − ay − 4z + 1 = 0 .
15. Vzdálenost podprostorů 100
Řešení : K okamžitému vyřešení úlohy stačí znát vektory určující dané přímky.
Je-li totiž Z(p) = L(u), Z(q) = L(v), pak z definice kolmosti bezprostředně plyne,
že p ⊥ q právě když (u, v) = 0. Vektory u, v však nejrychleji zjistíme jako vektorové
součiny normálových vektorů rovin určujících obě zadané přímky. Tedy je
u =
−1 a
a −1
;
a 4
−1 0
;
4 −1
0 a
= (1 − a2
; 4; 4a) ,
v =
1 −1
−a −4
;
−1 1
−4 3
;
1 1
3 −a
= (−4 − a; 1; −a − 3) .
Potom (u, v) = (1 − a2
)(−4 − a) + 4 + 4a(−a − 3) = a3
− 13a. Je tedy (u, v) = 0
právě když a3
− 13a = a(a2
− 13) = 0, tzn. a = 0 nebo a =
√
13 nebo a = −
√
13.
Výsledek: přímky p, q jsou kolmé pro tři hodnoty parametru a: a = 0, a =
√
13,
a = −
√
13. △
15 Vzdálenost podprostorů
S pojmem vzdálenosti jsme se setkali již v Paragrafu 12, kdy jsme definovali vzdálenost
dvou bodů. Na střední škole se kromě toho vyšetřuje vzdálenost bodu od
přímky (v rovině), respektive vzdálenost bodu od roviny, a vzdálenost dvou rovnoběžných
rovin (v 3-rozměrném prostoru). My se v tomto paragrafu budeme zabývat
obecně pojmem vzdálenosti dvou podprostorů a některými jeho speciálními případy.
Definice 15.1. Nechť B, C jsou podprostory euklidovského (bodového) prostoru
E. Pak vzdáleností podprostorů B, C nazýváme nezáporné reálné číslo v(B, C), defi-
nované
v(B, C) = min{XY |X ∈ B, Y ∈ C}.
Poznámka 15.1. Ve speciálních případech z definice plyne:
1. Jsou-li B = {B}, C = {C} body, tzn. 0-rozměrné podprostory v E, pak zřejmě
v({B}, {C}) = BC. V tomto případě budeme místo v({B}, {C}) psát stručněji
v(B, C). Podobně, je-li jeden z podprostorů 0-rozměrný, například B = {B}, pak
budeme psát v(B, C) a hovořit o vzdálenosti bodu B od podprostoru C.
2. Jestliže se podprostory B, C protínají, pak (volbou X = Y ∈ B ∩ C) je zřejmě
v(B, C) = 0.
Obecně však definice vzdálenosti podprostorů nezaručuje, že vyšetřované minimum
vůbec existuje. Kladnou odpověď na tuto otázku dá následující věta. ♢
Věta 15.1. Nechť B = {B; W}, C = {C; S} jsou libovolné podprostory v E. Pak
jejich vzdálenost je rovna velikosti komponenty vektoru
−−→
BC vzhledem k součtu zaměření
(W + S).
15. Vzdálenost podprostorů 101
Důkaz. Nechť
−−→
BC = y + z, kde y ∈ W + S, z ∈ (W + S)⊥
. (15.1)
Podle důsledku Věty 11.3 toto vyjádření existuje a je jednoznačné. Chceme nyní
dokázat, že v(B, C) = ∥z∥.
a) Pro libovolné body X ∈ B, Y ∈ C ukážeme, že XY ≥ ∥z∥. Ale
−−→
XY =
−−→
XB +
−−→
BC +
−−→
CY = (
−−→
XB +
−−→
CY +y)+z, přičemž je zřejmě (
−−→
XB +
−−→
CY +y) ∈ W +S,
a tudíž z ⊥ (
−−→
XB +
−−→
CY + y). Potom XY
2
= (
−−→
XY ,
−−→
XY ) = ((
−−→
XB +
−−→
CY + y) + z,
(
−−→
XB +
−−→
CY + y) + z) = ∥
−−→
XB +
−−→
CY + y∥2
+ ∥z∥2
≥ ∥z∥2
. Tedy je XY ≥ ∥z∥.
b) Nalezneme dva body X0 ∈ B, Y0 ∈ C, pro něž uvažované minimum nastane,
tzn. pro něž X0Y0 = ∥z∥. Podle (15.1) je y ∈ W + S, tzn. existují vektory w ∈ W,
s ∈ S tak, že y = w + s. Potom
−−→
BC = w + s + z, neboli C = B + w + s + z, odkud
C − s = (B + w) + z .
Označíme-li B + w = X0, C − s = Y0, pak X0 ∈ B, Y0 ∈ C a z =
−−−→
X0Y0. Je tedy
∥z∥ = ∥
−−−→
X0Y0∥ = X0Y0.
Poznámka 15.2. Předchozí věta nám umožňuje výpočet vzdálenosti jakýchkoliv
dvou podprostorů v E (včetně protínajících se podprostorů B, C, pro něž vzhledem
k Větě 2.3 musí vyjít z = o, a tedy v(B, C) = 0). Poněvadž však popsaný výpočet
může být někdy dosti pracný, budeme se nyní zabývat speciálními typy podprostorů
(body, přímkami, nadrovinami), pro něž odvodíme jednodušší vztahy k nalezení
vzdálenosti. Některé z nich pak pro dim E = 2 (respektive dim E = 3) dají vzorce
pro vzdálenost, známé ze střední školy. ♢
Věta 15.2. Nechť R je bod a B je podprostor euklidovského prostoru E. Nechť Q
je pata kolmice vedené bodem R na podprostor B. Pak pro vzdálenost bodu R od
podprostoru B platí
v(R, B) = RQ .
Důkaz. Je-li R ∈ B, pak tvrzení zřejmě platí; nechť tedy R /∈ B. Nechť podprostor
B je zadán bodem B a zaměřením W, tzn. B = {B; W}. Nechť
−→
RB = y + z, kde
y ∈ W, z ∈ W⊥
. Označme Q = R + z, tzn. z =
−→
RQ.
Podle Věty 15.1 (kde R uvažujeme jako 0-rozměrný podprostor se zaměřením
{o}) je v(R, B) = ∥z∥ = ∥
−→
RQ∥ = RQ.
Zbývá dokázat, že zvolený bod Q je právě pata kolmice vedené bodem R na
podprostor B. K tomu ale stačí si uvědomit, že ze vztahu
−→
RB = y+z plyne B −y =
R + z = Q ∈ B a dále, že přímka q = {R; L(z)} je kolmá k B (neboť z ∈ W⊥
),
přičemž q ∩ B = Q.
15. Vzdálenost podprostorů 102
Věta 15.3. Nechť B, C jsou dva rovnoběžné podprostory v E takové, že dim B ≤
dim C. Pak platí
v(B, C) = v(B0, C), kde B0 je libovolný bod z B.
Důkaz. Je-li B ⊆ C, pak tvrzení zřejmě platí; nechť tedy B ⊈ C. Vzhledem k
předpokladům věty to však znamená, že B ∩C = ∅. Nechť Q je pata kolmice vedené
bodem B0 na podprostor C a nechť X ∈ B, Y ∈ C jsou libovolné body. Budeme
dokazovat, že XY ≥ B0Q. Platí
−−→
XY =
−−→
XB0 +
−−→
B0Q +
−−→
QY = (
−−→
XB0 +
−−→
QY ) +
−−→
B0Q,
přičemž
−−→
B0Q ⊥ (
−−→
XB0 +
−−→
QY ), poněvadž
−−→
XB0 ∈ Z(B) ⊆ Z(C) a
−−→
QY ∈ Z(C). Potom
∥
−−→
XY ∥2
= ((
−−→
XB0 +
−−→
QY ) +
−−→
B0Q, (
−−→
XB0 +
−−→
QY ) +
−−→
B0Q) = ∥
−−→
XB0 +
−−→
QY ∥2
+ ∥
−−→
B0Q∥2
≥
∥
−−→
B0Q∥2
. Odmocněním dostáváme XY ≥ B0Q = v(B0, C), odkud podle definice
vzdálenosti plyne tvrzení věty.
Důsledek 15.1. Nechť B, C jsou rovnoběžné podprostory v E takové, že dim B =
dim C. Pak jejich vzdálenost v(B, C) je rovna vzdálenosti libovolného bodu jednoho z
těchto podprostorů od druhého podprostoru.
Důkaz. Tvrzení je bezprostředním důsledkem předchozí věty.
Věta 15.4. Nechť R = [r1; . . . ; rn] je bod a N ≡ a1x1 + · · · + anxn + a = 0 je
nadrovina v euklidovském prostoru En. Pak pro vzdálenost bodu R od nadroviny N
platí
v(R, N) =
|a1r1 + · · · + anrn + a|
a2
1 + · · · + a2
n
. (15.2)
Důkaz. Z Věty 15.2 plyne, že v(R, N) = RQ, kde Q je pata kolmice q vedené
bodem R na nadrovinu N.
Hledejme nejprve souřadnice bodu Q. Zřejmě je q ≡ X = R + ta, kde a =
(a1; . . . ; an) je normálový vektor nadroviny N. Pak existuje t0 ∈ R takové, že Q =
R + t0a, přičemž však Q ∈ N, tzn.
a1(r1 + t0a1) + · · · + an(rn + t0an) + a = 0 ,
odkud po úpravě dostáváme t0 = −
a1r1 + · · · + anrn + a
a2
1 + · · · + a2
n
. Je tedy
Q = r1 −
a1r1 + · · · + anrn + a
a2
1 + · · · + a2
n
a1, . . . , rn −
a1r1 + · · · + anrn + a
a2
1 + · · · + a2
n
an .
15. Vzdálenost podprostorů 103
Potom
v(R, N) = RQ =
=
(a1r1 + · · · + anrn + a)2a2
1
(a2
1 + · · · + a2
n)2
+ · · · +
(a1r1 + · · · + anrn + a)2a2
n
(a2
1 + · · · + a2
n)2
=
=
(a1r1 + · · · + anrn + a)2(a2
1 + · · · + a2
n)
(a2
1 + · · · + a2
n)2
=
=
|a1r1 + · · · + anrn + a|
a2
1 + · · · + a2
n
.
Definice 15.2. Nechť p, q jsou dvě mimoběžky v euklidovském prostoru En, n ≥ 3.
Příčka p, q, která je k oběma mimoběžkám kolmá, se nazývá osa mimoběžek p, q.
Poznámka 15.3. Jsou-li p = {A; L(u)}, q = {B; L(v)} dané mimoběžky v En,
n ≥ 3, pak množina všech vektorů w ∈ L(u, v,
−→
AB), které jsou ortogonální k u i
v, je právě podprostor L(u, v)⊥
⊂ L(u, v,
−→
AB), který je zřejmě jednodimenzionální.
Jinak řečeno, existuje (až na násobek nenulovým reálným číslem) jediný nenulový
vektor w ∈ L(u, v,
−→
AB) takový, že w ⊥ u, w ⊥ v. Poněvadž však jistě w /∈ L(u, v),
pak podle výsledku Příkladu 6.1 existuje právě jedna osa mimoběžek p, q. ♢
Následující věta ukáže, jak se využije osy mimoběžek při výpočtu jejich vzdále-
nosti.
Věta 15.5. Nechť p, q jsou mimoběžky v En, n ≥ 3. Pak vzdálenost v(p, q) je rovna
vzdálenosti průsečíků mimoběžek p, q s jejich osou.
Důkaz. Nechť P (respektive Q) jsou průsečíky mimoběžek p (respektive q) s jejich
osou. Nechť X ∈ p, Y ∈ q jsou libovolné body. Dokážeme, že XY ≥ PQ.
Platí
−−→
XY =
−−→
XP +
−→
PQ +
−−→
QY = (
−−→
XP +
−−→
QY ) +
−→
PQ, přičemž zřejmě
−→
PQ ⊥
(
−−→
XP +
−−→
QY ). Potom však ∥
−−→
XY ∥2
= ((
−−→
XP +
−−→
QY ) +
−→
PQ, (
−−→
XP +
−−→
QY ) +
−→
PQ) =
∥
−−→
XP +
−−→
QY ∥2
+ ∥
−→
PQ∥2
≥ ∥
−→
PQ∥2
, odkud odmocněním dostáváme XY ≥ PQ, což
podle definice vzdálenosti dvou podprostorů dává tvrzení věty.
Metody popsané v předchozích větách jsou někdy poměrně početně pracné. Pracnost
je v podstatné míře ovlivněna způsobem zadání podprostorů. Následující věta
dává pro parametrické určení podprostorů velice jednoduchý a rychlý způsob výpočtu,
který je použitelný v libovolném případě.
Věta 15.6. Nechť B = {A; L(u1, . . . , ur)}, C = {B; L(v1, . . . , vs)} jsou dva podprostory
v En. Pak
v(B, C) =
G(w1, . . . , wm,
−→
AB)
G(w1, . . . , wm)
, (15.3)
kde posloupnost vektorů w1, . . . , wm je bází prostoru L(u1, . . . , ur, v1, . . . , vs).
15. Vzdálenost podprostorů 104
Důkaz. Uvažujme dva rovnoběžné podprostory D1 = {A; L(w1, . . . , wm)} a D2 =
{B; L(w1, . . . , wm)}. Zřejmě B ⊆ D1 a C ⊆ D2. Z Věty 15.1 plyne, že v(B, C) =
v(D1, D2) (plyne z toho, že Z(B) + Z(C) = Z(D1) + Z(D2) = L(w1, . . . , wm)). Zbytek
tvrzení vyplývá z Věty 14.5. V čitateli zlomku (15.3) je objem (m+1)-rozměrného
rovnoběžnostěnu, který je určen vektory w1, . . . , wm,
−→
AB, a ve jmenovateli je objem
m-rozměrného rovnoběžnostěnu, který je určen vektory w1, . . . , wm. Podíl těchto
objemů je tedy "výška" rovnoběžnostěnu, která udává vzdálenost rovnoběžných
podprostorů, ve kterých leží odpovídající "základny". V našem případě je to vzdálenost
podprostorů D1 a D2.
Důsledek 15.2. Nechť p = {A; L(u)} je přímka a R je bod v En, n ≥ 2. Pak
v(p, R) =
G(u,
−→
AR)
∥u∥
. (15.4)
Pro n = 2 je navíc
v(p, R) =
|[u,
−→
AR]|
∥u∥
.
Pro n = 3 je navíc
v(p, R) =
∥u ×
−→
AR∥
∥u∥
.
Důkaz. První část tvrzení je důsledkem Věty 15.6, protože G(u) = ∥u∥2
.
Druhá a třetí část tvrzení vyplývá z toho, že číslo G(u,
−→
AR) udává obsah
rovnoběžníku R2 = R(A; u,
−→
AR), ale na základě Důsledku 14.2 je tento obsah v
rovině roven absolutní hodnotě vnějšího součinu vektorů [u,
−→
AR]. Podobně, podle
Poznámky 14.9 (4) je tento obsah v prostoru roven velikosti vektorového součinu
u ×
−→
AR.
Důsledek 15.3. Nechť p = {A; L(u)}, q = {B; L(v)} jsou mimoběžky v En, n ≥ 3.
Pak
v(p, q) =
G(u, v,
−→
AB)
G(u, v)
. (15.5)
Pro n = 3 je navíc
v(p, q) =
|[u, v,
−→
AB]|
∥u × v∥
.
Důkaz. Toto tvrzení je důsledkem Věty 15.6.
Pro n = 3 potom tvrzení vyplývá z Důsledku 14.2 a Poznámky 14.9 (4). Opravdu,
číslo G(u, v,
−→
AB) udává objem rovnoběžnostěnu R3 = R(A; u, v,
−→
AB), ale na
základě Důsledku 14.2 je tento objem roven absolutní hodnotě vnějšího součinu
15. Vzdálenost podprostorů 105
vektorů [u, v,
−→
AB]. Podobně číslo G(u, v) udává obsah rovnoběžníku určeného
vektory u a v a podle Poznámky 14.9 (4) je tento obsah roven velikosti vektorového
součinu u × v.
Situace v E3 viz Obr. 15.1.
Obr. 15.1
Úloha 15.1. Jsou dány roviny ϱ = {B; L(u1, u2)}, σ = {C; L(v1, v2)}. Určete
vzdálenost rovin ϱ, σ (v závislosti na parametru a), je-li B = [2; −1; 0; −1; −2],
u1 = (1; 0; 0; 1; 0), u2 = (2; −1; 0; 0; 1); C = [0; 2; 1; 1; 3], v1 = (1; 1; 1; 1; 0), v2 =
(0; 1; −1; 4; a).
Řešení : Nejprve zjistíme, jak závisí vzájemná poloha rovin ϱ, σ na hodnotě parametru
a. Použijeme Větu 6.9, tzn. vyšetříme hodnosti matic sestavených z vektorů
u1, u2, v1, v2, resp. u1, u2, v1, v2,
−−→
BC. Dostaneme







1 0 0 1 0
2 −1 0 0 1
1 1 1 1 0
0 1 −1 4 a
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
−2 3 1 2 5







∼ · · · ∼







1 0 0 1 0
0 1 1 0 0
0 0 1 −2 1
0 0 0 0 a + 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 7







,
odkud plyne:
1. a ̸= −2 =⇒ roviny ϱ, σ jsou různoběžné, a v(ϱ, σ) = 0.
2. a = −2 =⇒ roviny ϱ, σ jsou mimoběžné.
élohu tedy dále řešíme jen pro a = −2.
a) Metoda určení vzdálenosti podle Věty 15.1.
Označme W = L(u1, u2)+L(v1, v2). Vidíme, že například vektory u = (1, 0, 0, 1, 0),
v = (0; 1; 1; 0; 0), w = (0; 0; 1; −2; 1) tvoří bázi W. Hledáme vyjádření
−−→
BC = y + z,
kde y ∈ W, z ∈ W⊥
, tzn. pak
z =
−−→
BC − t1u − t2v − t3w ,
odkud po dosazení a vynásobení obou stran skalárně vektorem u, respektive v,
respektive w, dostaneme systém 3 lineárních rovnic o neznámých t1, t2, t3, který
15. Vzdálenost podprostorů 106
řešíme:
0 = 0 − 2t1 + 2t3 ,
0 = 4 − 2t2 − t3 ,
0 = 2 + 2t1 − t2 − 6t3 ,



=⇒ t1 = 0, t2 = 2, t3 = 0.
Tedy z =
−−→
BC − 2v = (−2; 1; −1; 2; 5), odkud pak v(ϱ, σ) = ∥z∥ =
√
35.
b) Metoda určení vzdálenosti podle Věty 15.6.
G(u, v, w,
−−→
BC) =
2 0 −2 0
0 2 1 4
−2 1 6 2
0 4 2 43
= 490;
G(u, v, w) =
2 0 −2
0 2 1
−2 1 6
= 14. Odtud v(ϱ, σ) =
√
490√
14
=
√
35.
Výsledek: pro a = −2 je v(ϱ, σ) =
√
35; pro a ̸= −2 je v(ϱ, σ) = 0. △
Úloha 15.2. Na přímce p v E4 nalezněte bod Q mající stejnou vzdálenost od bodů
A, B. Přitom A = [−1; 1; 1; 1], B = [3; −1; −2; 2], respektive
p ≡



x1 + x2 + x4 = 7 ,
x1 + 2x3 + x4 = 7 ,
2x1 − x2 + 3x3 + x4 = 9 .
Řešení : Nalezneme parametrické vyjádření přímky p:


1 1 0 1 7
1 0 2 1 7
2 −1 3 1 9

 ∼ · · · ∼


1 1 0 1 7
0 −1 2 0 0
0 0 3 1 5

 ,
odkud x3 = t, tj. x4 = 5 − 3t, x2 = 2t, x1 = 2 + t (zde si povšimněte toho, že volba
x3 = t je mnohem praktičtější než obvyklá volba x4 = t, která by okamžitě vedla k
počítání se zlomky). Tedy
p ≡



x1 = 2 + t ,
x2 = 2t ,
x3 = t ,
x4 = 5 − 3t ,
a tedy Q = [2 + t; 2t; t; 5 − 3t] pro pevné t ∈ R, které určíme tak, aby platilo
QA = QB, neboli (což je zde totéž) QA
2
= QB
2
. Tedy (3 + t)2
+ (2t − 1)2
+ (t −
1)2
+ (4 − 3t)2
= (−1 + t)2
+ (2t + 1)2
+ (t + 2)2
+ (3 − 3t)2
, odkud po úpravě
dostáváme: −12t = −12, tzn. t = 1.
Výsledek: Q = [3; 2; 1; 2]. △
15. Vzdálenost podprostorů 107
Poznámka 15.4. Je užitečné si rozmyslet, jak je to obecně s řešitelností předchozí
úlohy. Zřejmě tato úloha nemusí mít vždy jediné řešení tak, jak tomu bylo výše.
Stačí si totiž uvědomit, že množina bodů v E, mající od daných dvou různých bodů
stejnou vzdálenost, je jistá nadrovina N (ukáže se bezprostředním rozepsáním).
Je-li přímka p zadána tak, že p ∥ N, pak daná úloha nemá řešení, respektive má
nekonečně mnoho řešení (podle toho, zda p ⊈ N, respektive p ⊆ N). ♢
Úloha 15.3. V 3-rozměrném euklidovském prostoru je dána jednotková krychle
ABCDA′
B′
C′
D′
. Určete:
a) Vzdálenost bodu A′
od tělesové úhlopříčky AC′
.
b) Vzdálenost bodu A′
od roviny AC′
K, kde K je střed hrany BB′
.
c) Vzdálenost přímek AB′
a A′
C.
Řešení : I. Analytická metoda: Zvolíme kartézský repér ⟨A;
−→
AB,
−−→
AD,
−−→
AA′
⟩.
a) Ve zvoleném repéru je A′
= [0; 0; 1] a tělesová úhlopříčka má parametrické
vyjádření X = [0; 0; 0] + t (1; 1; 1) . Potom hledanou vzdálenost můžeme spočítat
jako v(A′
, AC′
) = ||
−−→
AA′×
−−→
AC′||
||
−−→
AC′||
=
√
2√
3
jednotek.
b) Ve zvoleném repéru je A′
= [0; 0; 1] a daná rovina má parametrické vyjádření
X = [0; 0; 0] + t (1; 1; 1) + r (1; 0; 1
2
) . Potom hledanou vzdálenost můžeme spočítat
jako v(A′
, α(AC′
K)) = |[
−−→
AA′;
−−→
AC′;
−−→
AK]|
||
−−→
AC′×
−−→
AK||
= 1√
3√
2
=
√
2√
3
jednotek.
c) Ve zvoleném repéru má přímka AB′
parametrické vyjádření X = [0; 0; 0] +
t (1; 0; 1) a přímka A′
C má parametrické vyjádření X = [0; 0; 1] + t (1; 1; −1). Potom
hledanou vzdálenost můžeme spočítat jako v(AB′
, A′
C) = |[
−−→
AA′;
−−→
AB′;
−−→
A′C]|
||
−−→
AB′×
−−→
A′C||
= 1√
6
jednotek.
II. Syntetická metoda výpočtem:
Obrázek 15.2: K Úloze 15.3
a) Promítneme kolmo krychli ve směru stěnové úhlopříčky BD. V průmětu (viz
Obrázek 15.2) vidíme rovinu AA′
C′
ve skutečných rozměrech a tedy hledaná vzdá-
15. Vzdálenost podprostorů 108
lenost je v pravoúhlém trojúhelníku AA′
C′
velikost výšky sestrojené z vrcholu A′
na
přeponu AC′
. Musí tedy platit |AC′
| · v = |AA′
| · |A′
C′
|, tj.
√
3 · v = 1 ·
√
2 a v =
√
2√
3
jednotek.
Obrázek 15.3: K Úloze 15.3
b) V průmětu krychle v Obrázku 15.2 se rovina AC′
K zobrazí do přímky a
hledaná velikost se zobrazí ve skutečné velikosti. Je to tedy opět velikost výšky
sestrojené z bodu A′
na přeponu AC′
v trojúhelníku AA′
C′
, tj. v(A′
, α(AC′
K)) =
√
2√
3
jednotek.
c) Promítneme kolmo krychli ve směru stěnové úhlopříčky AB′
. V průmětu
krychle v Obrázku 15.3 se přímka AB′
zobrazí do bodu, který má od přímky A′
C
hledanou vzdálenost. Je to tedy opět velikost výšky sestrojené z bodu A na přeponu
A′
S v trojúhelníku A′
AS (S je střed krychle). Protože je tento trojúhelník
podobný s trojúhelníkem A′
BC s koeficientem podobnosti 1/2, je hledaná velikost
výšky 1/2 velikosti výšky v △A′
BC, kterou jsme spočetli v případě a), tj.
v(AB′
, A′
C) =
√
2
2
√
3
= 1√
6
jednotek. △
Úloha 15.4. V 3-rozměrném euklidovském prostoru je dán pravidelný čtyřboký
jehlan ABCDV o délce podstavné hrany hrany 4 cm a výšce v = 5 cm. Určete:
a) Vzdálenost bodu A od přímky CV .
b) Vzdálenost bodu A od roviny BCV .
c) Vzdálenost přímek AB a CV .
Řešení : I. Analytická metoda: Zvolíme kartézský repér např. tak, že počátek je
bod A a bod B leží na ose x, tj. B = [4; 0; 0], C = [4; 4; 0] a V = [2; 2; 5].
a) Přímka CV má parametrické vyjádření X = [4; 4; 0] + t (−2; −2; 5) . Potom
hledanou vzdálenost můžeme spočítat jako v(A, CV ) = ∥
−→
AC×
−−→
CV ∥
∥
−−→
CV ∥
=
√
800√
33
= 20
√
2√
33
cm.
b) Rovina BCV má parametrické vyjádření X = [4; 0; 0]+t (0; −4; 0)+r (−2; 2; 5) .
Potom hledanou vzdálenost můžeme spočítat jako v(A, α(BCV )) = |[
−→
AB;
−−→
BC;
−−→
BV ]|
∥
−−→
BC×
−−→
BV ∥
=
|−80|
√
464
= 20√
29
cm.
16. Odchylka podprostorů 109
c) c) Ve zvoleném repéru má přímka AB parametrické vyjádření X = [0; 0; 0] +
t (4; 0; 0) a přímka CV má parametrické vyjádření X = [4; 4; 0]+t (−2; −2; 5) . Potom
hledanou vzdálenost můžeme spočítat jako v(AB, CV ) = |[
−→
AC;
−→
AB;
−−→
CV ]|
∥
−→
AB×
−−→
CV ∥
= |−80|
√
464
=
20√
29
cm.
II. Syntetická metoda výpočtem:
Obrázek 15.4: K Úloze 15.4
a) Promítneme kolmo jehlan ve směru úhlopříčky BD podstavy. V průmětu (viz
Obrázek 15.4 b)) vidíme rovinu ACV ve skutečných rozměrech a tedy hledaná vzdálenost
je v rovnoramenném trojúhelníku ACV velikost výšky sestrojené z vrcholu
A na rameno CV . Nejdříve spočteme |AC| = 4
√
2 cm (délka úhlopříčky čtverce
ABCD) a |AV | = |CV | =
√
33 cm (délka boční hrany jehlanu). Musí tedy platit
|AC| · 5 = |CV | · v, tj. 20
√
2 =
√
33 · v a v = 20
√
2√
33
cm.
b) Promítneme kolmo jehlan ve směru hrany AD podstavy. V průmětu (viz
Obrázek 15.4 a)) vidíme rovinu BCV jako přímku a hledaná vzdálenost je v rovnoramenném
trojúhelníku ABV velikost výšky sestrojené z vrcholu A na rameno BV .
Nejdříve v průmětu spočteme délku ramen |AV | = |BV | =
√
29 cm (ve stěně jehlanu
△ABV velikost výšky sestrojené z bodu V ). Musí tedy platit |AB| · 5 = |BV | · v,
tj. 20 =
√
29 · v a v = 20√
29
cm.
c) Uvědomme si, že v(AB, CV ) = v(AD, BV ). Potom v Obrázku 15.4 a) vidíme
přímku AD jako bod, jehož vzdálenost od přímky BV je hledaná vzdálenost
mimoběžek AB a CV , tj., viz situace v zadání b), v(AB, CV ) = 20√
29
cm. △
16 Odchylka podprostorů
Jednou ze základních metrických úloh středoškolské geometrie v rovině a ve 3rozměrném
prostoru bylo zjišť ování odchylky dvou přímek, odchylky dvou rovin
a odchylky přímky od roviny. V tomto paragrafu budeme provádět analogické úlohy
v n-rozměrném euklidovském bodovém prostoru E, přesněji řečeno, budeme určovat
16. Odchylka podprostorů 110
odchylky některých speciálních podprostorů (přímek a nadrovin) a popíšeme obecný
algoritmus nalezení odchylky libovolných dvou podprostorů v E. Připomeňme si naši
dřívější úmluvu o tom, že souřadnice bodů, respektive vektorů, jsou vždy vyjadřovány
v pevném kartézském repéru.
V Paragrafu 11 jsme definovali (Definice 11.2) odchylku vektorů v euklidovském
vektorovém prostoru. Někdy (zejména v algebře) se místo termínu odchylka vektorů
u, v používá též termínu úhel vektorů u, v, který však z našeho hlediska není
zcela adekvátní, neboť pojem úhlu byl zaveden v Paragrafu 9 v jiné souvislosti. Je
však možné pomocí odchylky zavést pojem míry úhlu, jak ukážeme na závěr tohoto
paragrafu.
Poznámka 16.1. Vztah (11.1) pro odchylku vektorů budeme často používat ve
tvaru
(u, v) = ∥u∥ · ∥v∥ · cos φ ,
který se na střední škole používá k definování skalárního součinu. ♢
Přímo z definice odchylky vektorů plynou její jednoduché vlastnosti. Jsou-li
u, v ∈ V nenulové vektory, φ jejich odchylka, pak zřejmě:
1. u ⊥ v ⇔ φ =
π
2
.
2. ∥u − v∥2
= ∥u∥2
+ ∥v∥2
− 2(u, v) = ∥u∥2
+ ∥v∥2
− 2 · ∥u∥ · ∥v∥ · cos φ, (což
lze interpretovat jako kosinovou větu pro trojúhelník ABC, kde u =
−→
AB, v =
−→
AC,
a tedy u − v =
−−→
CB).
3. ∥u × v∥ = ∥u∥ · ∥v∥ · sin φ (viz Důsledek 14.4).
Obr. 16.1
Uvažme dále, že je-li φ odchylka nenulových vektorů u, v, pak pro reálná čísla
r, s ̸= 0 je odchylka vektorů ru, sv rovna buď φ nebo (π − φ) (podle toho, zda
čísla r, s mají stejná nebo opačná znaménka, jak plyne z (11.1) a z vlastností funkce
kosinus, viz také Obr. 16.1). Proto je třeba odchylku jednorozměrných podprostorů
ve V definovat následovně.
16. Odchylka podprostorů 111
Definice 16.1. Nechť u, v ∈ V jsou nenulové vektory. Pak odchylkou jednodimenzionálních
podprostorů L(u), L(v) ve V rozumíme reálné číslo φ splňující vztahy
cos φ =
|(u, v)|
∥u∥ · ∥v∥
a 0 ≤ φ ≤
π
2
.
Označujeme φ = <) (L(u), L(v)).
Poznámka 16.2. Poněvadž každý jednodimenzionální podprostor ve V lze napsat
ve tvaru L(u), pro vhodné o ̸= u ∈ V , jedná se skutečně o definici odchylky jednodimenzionálních
podprostorů ve V .
Aby byla předchozí definice korektní, je třeba ukázat její nezávislost na volbě
vektorů báze podprostorů L(u), L(v). Nechť tedy L(u) = L(u′
), L(v) = L(v′
). Pak
existují reálná čísla r, s ̸= 0 tak, že u′
= ru, v′
= sv a platí
|(u′
, v′
)|
∥u′∥ · ∥v′∥
=
|(ru, sv)|
∥ru∥ · ∥sv∥
=
|rs| · |(u, v)|
|r| · ∥u∥ · |s| · ∥v∥
=
|(u, v)|
∥u∥ · ∥v∥
.
Dále budeme nyní pomocí odchylky jednodimenzionálních podprostorů ve V definovat
odchylku libovolných netriviálních podprostorů ve V . ♢
Definice 16.2. Nechť W, S jsou netriviální podprostory euklidovského vektorového
prostoru V . Pak odchylku podprostorů W, S označujeme symbolem <) (W, S)
a definujeme takto:
(i) Je-li W ∩ S = {o}, pak klademe
<) (W, S) = min{ <) (L(u), L(v))|u ∈ W, v ∈ S, u, v ̸= o} .
(ii) Je-li W ∩S ̸= {o}, označíme P = W ∩(W ∩S)⊥
, Q = S ∩(W ∩S)⊥
. Potom
platí P ∩ Q = {o} a je-li P ̸= {o} a Q ̸= {o}, klademe
<) (W, S) = <) (P, Q) .
Je-li P = {o} nebo Q = {o}, klademe <) (W, S) = 0.
Poznámka 16.3. Existence minima potřebného v předchozí definici plyne z Weierstrassovy
věty (viz [DoDo]). Důkaz tohoto tvrzení nepatří do rámce těchto skript.
♢
Poznámka 16.4. Připomeňme, že netriviálním podprostorem ve V rozumíme podprostor
různý od {o} a od V .
Ověřme si výpočtem, že je skutečně P ∩ Q = {o}, jak se tvrdí v definici. Ale
P ∩ Q = W ∩ (W ∩ S)⊥
∩ S ∩ (W ∩ S)⊥
= (W ∩ S) ∩ (W ∩ S)⊥
= {o}.
Konečně, je nutné se přesvědčit o tom, že v případě jednodimenzionálních podprostorů
W, S obě předchozí definice splývají. Ale, je-li v tomto případě W ∩S = {o},
16. Odchylka podprostorů 112
pak je to zřejmé, respektive je-li W ∩ S ̸= {o}, pak musí být zřejmě W = S, odkud
(W ∩ S)⊥
= W⊥
, a tedy P = Q = {o}. Podle obou definic je shodně <) (W, S) = 0.
Vidíme tedy, že předchozí definice je korektní a nyní ji obvyklým způsobem
použijeme k definování odchylky netriviálních podprostorů euklidovského bodového
prostoru. ♢
Definice 16.3. Nechť B, C jsou netriviální podprostory euklidovského bodového
prostoru E. Pak odchylkou podprostorů B, C rozumíme odchylku jejich zaměření
Z(B), Z(C) a označujeme ji symbolem <) (B, C).
Poznámka 16.5. Vidíme, že odchylka podprostorů B, C závisí pouze na jejich zaměřeních
a nikoliv na bodech určujících tyto podprostory. Jinak řečeno, jsou-li
B′
, C′
podprostory v E takové, že B′
∥ B a dim B′
= dim B, respektive C′
∥ C a
dim C′
= dim C, pak je <) (B′
, C′
) = <) (B, C). Je zřejmé, že předpoklad o rovnostech
dimenzí byl v obou případech podstatný a nelze jej vynechat! ♢
Poznámka 16.6. Druhá část Definice 16.2 odchylky podprostorů je poněkud nenázorná.
Jestliže se ale nad ní hlouběji zamyslíme, zjistíme, že se jedná o zobecnění
definice odchylky dvou rovin v E3. Připomeňme, že na střední škole se odchylka
dvou různoběžných rovin α = {A; W} a β = {B; S} v E3 definovala tak, že se sestrojila
rovina γ kolmá na α∩β. Ale Z(γ) = (W ∩S)⊥
, a potom <) (α, β) = <) (p, q),
kde p = α ∩ γ a q = β ∩ γ. V našem případě Z(p) = P = W ∩ (W ∩ S)⊥
a
Z(q) = Q = S ∩ (W ∩ S)⊥
, a tedy dostáváme přesně druhou část Definice 16.2. ♢
Dále se budeme nejprve zabývat otázkou nalezení odchylky pro některé speciální
podprostory v E. Uvidíme, že pro dim E = 2, respektive 3, budou získané výsledky
odpovídat výsledkům odvozeným na střední škole.
Věta 16.1. Nechť p ≡ X = A + tu, q ≡ X = B + tv jsou dvě přímky v E a nechť
φ značí jejich odchylku. Potom
cos φ =
|(u, v)|
∥u∥ · ∥v∥
.
Důkaz. Tvrzení ihned plyne z předchozích definic.
Věta 16.2. Nechť B, C jsou dva rovnoběžné (netriviální) podprostory v E. Potom
<) (B, C) = 0.
Důkaz. Nechť B = {B; W}, C = {C; S}, B ∥ C. Potom je W ⊆ S nebo S ⊆ W.
Nechť W ⊆ S; potom {o} ̸= W ∩S a (W ∩S)⊥
= W⊥
, tzn. P = W ∩(W ∩S)⊥
= {o},
odkud podle definice je <) (W, S) = 0, neboli <) (B, C) = 0.
V případě S ⊆ W analogickým způsobem dostaneme stejný výsledek.
16. Odchylka podprostorů 113
Věta 16.3. Nechť p = {A; L(u)} je přímka, B = {B; W} je (netriviální) podprostor
v E. Potom
<) (p, B) =
π
2
, je-li u ∈ W⊥
,
<) (L(u), L(v)) , je-li u /∈ W⊥
,
kde v značí ortogonální projekci vektoru u na podprostor W.
Důkaz. Podle Definice 16.3 je <) (p, B) = <) (L(u), W), tzn. budeme počítat odchylku
vektorových podprostorů L(u) a W.
1. Nechť u ∈ W⊥
; potom L(u) ∩ W = {o}, přičemž pro libovolný nenulový
vektor w ∈ W je w ⊥ u, tzn. pak <) (L(u), L(w)) = π
2
, a tedy dostáváme, že
<) (p, B) = <) (L(u), W) = π
2
.
2. Nechť u /∈ W⊥
; nechť u = y + z, kde y ∈ W, z ∈ W⊥
(tzn. y je ortogonální
projekce vektoru u na podprostor W). Zřejmě je y ̸= o a mohou nastat dva případy:
a) u ∈ W, pak ale u = y, a tedy <) (L(u), L(y)) = 0, respektive L(u) ⊆ W a tedy
<) (L(u), W) = 0, podle Věty 16.2. Dohromady pak v tomto případě dostáváme, že
<) (p, B) = <) (L(u), W) = <) (L(u), L(y)).
b) u /∈ W, pak ale je L(u) ∩ W = {o}. Nechť w je libovolný nenulový vektor z
W. Potom užitím Cauchyovy nerovnosti dostáváme
|(u, w)| = |(y + z, w)| = |(y, w) + 0| ≤ ∥y∥ · ∥w∥ .
Označme <) (L(u), L(y)) = φ, respektive <) (L(u), L(w)) = ψ. Potom je
cos ψ =
|(u, w)|
∥u∥ · ∥w∥
≤
∥y∥ · ∥w∥
∥u∥ · ∥w∥
=
∥y∥ · ∥y∥
∥u∥ · ∥y∥
=
|(u − z, y)|
∥u∥ · ∥y∥
=
|(u, y)|
∥u∥ · ∥y∥
= cos φ ,
odkud (vzhledem k tomu, že 0 ≤ φ, ψ ≤ π
2
) plyne, že φ ≤ ψ. Tedy dohromady
<) (L(u), L(y)) = min{ <) (L(u), L(w))|w ∈ W, w ̸= o} = <) (L(u), W) = <) (p, B).
Věta 16.4. Nechť p ≡ X = A + tu, kde u = (u1; . . . ; un) je přímka, N ≡ a1x1 +
· · · + anxn + a = 0 je nadrovina v E a nechť φ značí odchylku přímky p a nadroviny
N. Pak platí
sin φ =
|a1u1 + · · · + anun|
a2
1 + · · · + a2
n u2
1 + · · · + u2
n
. (16.1)
Důkaz. Označme a = (a1; . . . ; an). Pak podle Věty 13.3 je Z(N)⊥
= L(a), a
existuje tedy vyjádření vektoru u ve tvaru
u = y + ka, kde y ∈ Z(N) .
16. Odchylka podprostorů 114
Potom však (u, u) = (y + ka, y + ka) = (y, y) + (ka, ka). Nyní mohou nastat 3
případy:
1. y = o. Pak u = ka = (ka1; . . . ; kan), tzn. u ∈ Z(N)⊥
a podle Věty 16.3 je
φ = π
2
. Ale pak
|a1u1 + · · · + anun|
a2
1 + · · · + a2
n u2
1 + · · · + u2
n
=
|ka2
1 + · · · + ka2
n|
a2
1 + · · · + a2
n k2a2
1 + · · · + k2a2
n
= 1 = sin
π
2
,
tzn. platí vztah (16.1).
2. k = 0. Pak u = y ∈ Z(N), tzn. L(u) ⊆ Z(N), a tedy p ∥ N. Pak podle Věty
16.2 je φ = 0. Zároveň je u ⊥ a, tzn. a1u1 + · · · + anun = 0, odkud je již zřejmé, že
platí (16.1).
3. y ̸= o a k ̸= 0. Potom podle Věty 16.3 je φ = <) (L(u), L(y)), a tedy je
cos2
φ =
|(u, y)|2
∥u∥2.∥y∥2
=
(y + ka, y)2
(u, u)(y, y)
=
(y, y)2
(u, u)(y, y)
=
(u, u) − (ka, ka)
(u, u)
=
= 1 −
(ka, ka)2
(u, u)(ka, ka)
= 1 −
(u − y, ka)2
(u, u)(ka, ka)
= 1 −
(u, a)2
(u, u)(a, a)
,
a tedy
(u, a)2
(u, u)(a, a)
= 1 − cos2
φ = sin2
φ .
Protože však 0 ≤ φ ≤ π
2
, dostáváme odtud (po odmocnění a rozepsání skalárních
součinů do souřadnic) dokazovaný vztah (16.1).
Věta 16.5. Nechť N1, N2 jsou nadroviny v En, n ≥ 2, nechť a, respektive b, je
normálový vektor nadroviny N1, respektive N2. Pak platí
<) (N1, N2) = <) (L(a), L(b)) .
Důkaz. Je-li N1 ∥ N2, pak L(a) = L(b) a věta zřejmě platí. Nechť tedy nadroviny
N1, N2 nejsou rovnoběžné. Označme Z(N1) = W, Z(N2) = S. Pak dostaneme
dim(W ∩ S) = dim W + dim S − dim(W + S) = n − 1 + n − 1 − n = n − 2, a tedy
dim(W ∩ S)⊥
= 2.
1. Předpokládejme, že dim E > 2. Potom W ∩S ̸= {o} a označme P = W ∩(W ∩
S)⊥
, Q = S∩(W ∩S)⊥
. Platí dim P = dim W +dim(W ∩S)⊥
−dim(W +(W ∩S)⊥
) =
n − 1 + 2 − n = 1; a podobně dim Q = 1. Existují tedy vektory u, v ∈ Z(E) takové,
že P = L(u), Q = L(v) a podle definice je
<) (N1, N2) = <) (L(u), L(v)) . (16.2)
16. Odchylka podprostorů 115
Podle předpokladů věty je a ∈ W⊥
⊆ (W ∩ S)⊥
; b ∈ S⊥
⊆ (W ∩ S)⊥
. Dostáváme
tedy, že a, b, u, v ∈ (W ∩ S)⊥
, přičemž jsou nenulové a platí a ⊥ u, b ⊥ v. Tedy
například vektory
1
∥a∥
a ,
1
∥u∥
u
tvoří ortonormální bázi podprostoru (W ∩ S)⊥
. Je-li v této bázi b = (b1; b2), pak je
v = (−kb2; kb1), pro vhodné k ∈ R (poněvadž b ⊥ v) a dále zřejmě a = (∥a∥, 0),
u = (0, ∥u∥). Označme nyní <) (L(a), L(b)) = φ, <) (L(u), L(v)) = ψ. Pak platí
cos φ =
| ∥a∥ · b1|
∥a∥ · b2
1 + b2
2
=
|b1|
b2
1 + b2
2
, respektive
cos ψ =
| ∥u∥ · kb1|
∥u∥ · k2b2
1 + k2b2
2
=
|b1|
b2
1 + b2
2
,
tzn. cos φ = cos ψ, přičemž 0 ≤ φ, ψ ≤ π
2
, odkud dostáváme φ = ψ. Je tedy
<) (L(u), L(v)) = <) (L(a), L(b)), což spolu s (16.2) dává dokazované tvrzení.
2. Předpokládejme, že dim E = 2. Potom W ∩ S = {o} a navíc v tomto případě
N1, N2 jsou přímky, a tedy W = L(w), S = L(s) pro vhodné nenulové vektory
w, s ∈ Z(E). Podle definice je <) (W, S) = <) (L(w), L(s)). Nyní se analogicky
jako v 1. dokáže, že <) (L(w), L(s)) = <) (L(a), L(b)). Potom však je <) (W, S) =
<) (L(a), L(b)).
Důsledek 16.1. Nechť N1 ≡ a1x1+· · ·+anxn+a = 0, N2 ≡ b1x1+· · ·+bnxn+b = 0
jsou nadroviny v E a nechť φ značí jejich odchylku. Potom
cos φ =
|a1b1 + · · · + anbn|
a2
1 + · · · + a2
n b2
1 + · · · + b2
n
.
Důkaz. Toto tvrzení plyne bezprostředně z předchozí Věty 16.5 vzhledem k tomu,
že (a1; . . . ; an), respektive (b1; . . . ; bn), je normálový vektor nadroviny N1, respektive
N2.
V předchozích větách jsme odvodili vztahy pro výpočet odchylky dvou podprostorů
v E pro některé speciální případy (dvě přímky, dva rovnoběžné podprostory,
přímka a podprostor, dvě nadroviny). Z Definic 16.2 a 16.3 je ihned vidět, že k vyřešení
obecného případu by nám stačilo umět určit odchylku dvou podprostorů v
E, jejichž zaměření mají nulový průnik. Pro tuto situaci skutečně existuje poměrně
jednoduchý algoritmus. Rozebereme nejdříve geometricky, jak bude tato situace vypadat,
a z geometrického rozboru odvodíme algoritmus výpočtu odchylky i v tomto
obecném případě.
Předpokládejme tedy, že Wk, Sl jsou dva podprostory ve Vn takové, že Wk ∩Sl =
{o}. Podle Definice 16.2 je
<) (Wk, Sl) = min{ <) (L(u), L(v))|u ∈ Wk, v ∈ Sl} .
16. Odchylka podprostorů 116
Předpokládejme, že nenulové vektory u ∈ Wk, v ∈ Sl jsou právě ty vektory, které
určují odchylku φ = <) (Wk, Sl). Potom
<) (Wk, Sl) = <) (L(u), Sl) = <) (Wk, L(v)) = <) (L(u), L(v)) .
Podle Věty 16.3 je
φ = <) (L(u), Sl) =
π
2
, u ∈ S⊥
l ,
<) (u, u′
), u /∈ S⊥
l ,
kde u′
je ortogonální projekce vektoru u na podprostor Sl. Podobně
φ = <) (Wk, L(v)) =
π
2
, v ∈ W⊥
k ,
<) (v, v′
), v /∈ W⊥
k ,
kde v′
je ortogonální projekce vektoru v na podprostor Wk. Dostáváme tedy, že
vektory u ∈ Wk a v ∈ Sl určují odchylku podprostorů Wk, Sl jen tehdy, když
v′
∈ L(u) a u′
∈ L(v). V případě, že Wk ⊥ Sl, tj. W⊥
k ⊆ Sl nebo S⊥
l ⊆ Wk,
jsou vektory u′
a v′
nulové a odchylka podprostorů je rovna π
2
. Uvažujme tedy dále
situaci, kdy Wk, Sl nejsou kolmé, tj. u′
̸= o ̸= v′
.
Vzhledem k definici odchylky jednodimenzionálních podprostorů tak dostáváme,
že vektory určující odchylku Wk, Sl musíme hledat mezi takovými vektory, že ortogonální
projekce u′′
vektoru u′
na podprostor Wk leží v L(u) a podobně ortogonální
projekce v′′
vektoru v′
na podprostor Sl leží v L(v), tj.
u′′
= su , v′′
= rv . (16.3)
Obr. 16.2
Rozeberme situaci pro vektor u. Z Obr. 16.2 je zřejmé, že 0 ≤ s ≤ 1 a z vlastností
pravoúhlých trojúhelníků je cos φ =
√
s, kde φ = <) (L(u), L(v)). Opravdu máme
cos φ = ∥u′∥
∥u∥
a současně cos φ = ∥s u∥
∥u′∥
= |s| ∥u∥
∥u′∥
. Odtud |s| = s = ∥u′∥2
∥u∥2 = cos2
φ .
Pro vektory splňující (16.3) je odchylka minimální pro maximální s.
Problém určení odchylky podprostorů Wk, Sl se tedy redukuje na problém nalezení
vektorů u ∈ Wk nebo ekvivalentně v ∈ Sl, takových, že platí (16.3). Z těchto
vektorů potom vybereme ten vektor, který odpovídá maximální hodnotě s, respektive
r.
16. Odchylka podprostorů 117
Věta 16.6. Nechť u1, . . . , uk je ortonormální báze Wk a v1, . . . , vl je ortonormální
báze Sl. Potom ortogonální projekce vektoru
(16.4) u = u1u1 + · · · + ukuk ∈ Wk , resp. v = v1v1 + · · · + vlvl ∈ Sl ,
na podprostor Sl, respektive Wk, je vektor
(16.5) u′
= u′
1v1 + · · · + u′
lvl ∈ Sl , resp. v′
= v′
1u1 + · · · + v′
kuk ∈ Wk ,
takový, že 


u′
1
...
u′
l


 =



(u1, v1) · · · (uk, v1)
...
...
(u1, vl) · · · (uk, vl)






u1
...
uk


 ,
respektive 


v′
1
...
v′
k


 =



(u1, v1) · · · (u1, vl)
...
...
(uk, v1) · · · (uk, vl)






v1
...
vl


 .
Důkaz. Rozložme vektor u ∈ Wk na ortogonální projekci a komponentu vzhledem
k podprostoru Sl, tj.
u = u′
+ y , u′
∈ Sl , y ∈ S⊥
l .
Dosazením z (16.4) a (16.5) dostaneme
u1u1 + · · · + ukuk = u′
1v1 + · · · + u′
lvl + y
a skalárním násobením vektory vi, i = 1, . . . , l, dostaneme ihned dokazované tvrzení
ve tvaru
u′
i =
k
j=1
(uj, vi)uj .
Pro vektor v ∈ Sl postupujeme obdobně.
Matice A =



(u1, v1) · · · (u1, vl)
...
...
(uk, v1) · · · (uk, vl)


 je tedy maticí lineárního zobrazení z Sl na
Wk daného zúžením (na podprostor Sl) ortogonální projekce na Wk a vyjádřeného v
ortonormálních bázích u1, . . . , uk a v1, . . . , vl. Matice A′
je potom podobně matice
lineárního zobrazení Wk na Sl daného zúžením (na podprostor Wk) ortogonální
projekce na Sl.
Jako důsledek dostáváme, že složením ortogonální projekce Wk na Sl a ortogonální
projekce Sl na Wk je lineární zobrazení na Wk s maticí AA′
. Potom ale vektor
u′′
, který je obrazem vektoru u ∈ Wk v tomto zobrazení, je dán souřadnicově



u′′
1
...
u′′
k


 = AA′



u1
...
uk


 .
16. Odchylka podprostorů 118
Podmínka u′′
= su pak dává, že hledaný vektor u je vlastním vektorem matice
AA′
, tj. jeho souřadnice (u1; . . . ; uk) v bázi u1, . . . , uk musí splňovat homogenní
soustavu rovnic
(AA′
− λEk)(u) = (o) ,
kde λ ∈ R a Ek je jednotková matice řádu k. Ale tato soustava má nenulové řešení
právě tehdy, je-li
|AA′
− λEk| = 0 . (16.6)
Z vlastností matic (důkazy těchto tvrzení přesahují rámec těchto skript) jsou všechny
kořeny λ1; . . . ; λk předchozí rovnice reálné (nemusí být navzájem různé) a splňují
0 ≤ λi ≤ 1. Z výše uvedeného rozboru vyplývá, že
cos φ = +
√
s ,
kde s je největší z kořenů rovnice (16.6).
I když se uvedený postup nalezení odchylky φ zdá být celkem jednoduchý, už při
povrchním rozboru se ukáže, že má svoje úskalí (například nalezení kořenů rovnice
(16.6)). To jsou však úvahy, které již přesahují rámec tohoto textu.
Na závěr tohoto paragrafu se ještě alespoň stručně zmíníme o tom, jak je možno
měřit úhly, tzn. o zavedení míry úhlu, o níž ukážeme, že je aditivní. Všechny naše
úvahy budeme provádět v euklidovské rovině, tzn. ve dvourozměrném euklidovském
prostoru.
Připomeňme, že úhel jsme definovali v Paragrafu 9 jakožto průnik dvou polorovin
v afinní rovině, jejichž hraniční přímky byly různoběžné. takový úhel byl pak jednoznačně
určen svým vrcholem V a dvěma polopřímkami (V ; A), (V ; B), nazývanými
ramena úhlu. Dodejme k tomu, že přímým úhlem s vrcholem V budeme rozumět
polorovinu P takovou, že V je bodem její hraniční přímky. Obě polopřímky s počátkem
V , obsažené v hraniční přímce, budeme pak nazývat rameny tohoto přímého
úhlu.
Pod pojmem úhel budeme nyní rozumět buď úhel definovaný v Paragrafu 9 nebo
přímý úhel.
Jak jsme již řekli, budeme chtít ukázat, že míra úhlu je aditivní. Pro tento účel
bude třeba nejprve říci, co to znamená, že úhel α se dělí na dva jiné úhly.
Definice 16.4. Nechť je dán úhel α s rameny (V ; A), (V ; B). Řekneme, že úhel
α se dělí na úhly α′
a α′′
, jestliže existuje bod C ∈ α, C /∈ (V ; A), C /∈ (V ; B) tak,
že α′
je úhel s rameny (V ; A), (V ; C) a α′′
je úhel s rameny (V ; C), (V ; B) (viz
Obr. 16.3).
Poznámka 16.7. Nechť
e1, e2 (16.7)
je kladná ortonormální báze zaměření V euklidovské roviny. Nechť x ∈ V je normovaný
vektor (tzn. ∥x∥ = 1), přičemž x = (x1; x2) v bázi (16.7). Platí tedy
x = x1e1 + x2e2 . (16.8)
16. Odchylka podprostorů 119
Jestliže φ značí odchylku vektorů x, e1, pak po skalárním vynásobení (16.8) vektorem
e1, respektive e2, dostáváme
x1 = (x; e1) = cos φ, respektive x2 = (x, e2) =
sin φ , pro x2 ≥ 0 ,
− sin φ , pro x2 < 0 .
V závislosti na znaménku souřadnice x2 tedy dostáváme
x = (cos φ, ± sin φ) . ♢ (16.9)
Nyní už je vše připraveno k tomu, abychom mohli definovat míru úhlu a ukázat
o ní, že je aditivní.
Definice 16.5. Nechť α je úhel s rameny (V ; A), (V ; B). Pak odchylku vektorů
−→
V A,
−−→
V B nazýváme mírou úhlu α a označujeme symbolem m(α).
Věta 16.7. Nechť α je úhel, který se dělí na úhly α′
a α′′
. Potom platí
m(α) = m(α′
) + m(α′′
) .
Důkaz. Nechť α je úhel s rameny (V ; A), (V ; B); nechť α′
je úhel s rameny (V ; A),
(V ; C), respektive α′′
je úhel s rameny (V ; C), (V ; B), kde C ∈ α je bod, C /∈ (V ; A),
C /∈ (V ; B).
Obr. 16.3
Zvolme normálové vektory u, respektive v, resp. w, tak, aby tyto vektory byly
kladnými násobky vektorů
−−→
V C, respektive
−→
V A, respektive
−−→
V B (viz Obr. 16.3), a
označme φ, respektive φ′
, respektive φ′′
, odchylku vektorů v, w, respektive u, v,
respektive u, w. Potom je tedy m(α) = φ, respektive m(α′
) = φ′
, respektive
m(α′′
) = φ′′
.
Dále zvolme kladnou ortonormální bázi (16.7) tak, aby e1 = u (víme, že to
lze jistě provést). Potom však druhé souřadnice vektorů v a w musí mít opačná
znaménka a ze (16.9) plyne, že
v = (cos φ′
, ± sin φ′
), w = (cos φ′′
, ∓ sin φ′′
) .
V obou případech však dostáváme
cos φ = (v, w) = cos φ′
cos φ′′
− sin φ′
sin φ′′
= cos(φ′
+ φ′′
)
užitím součtových vzorců. Odtud pak vyplývá, že φ = φ′
+ φ′′
, neboli m(α) =
m(α′
) + m(α′′
), což jsme měli dokázat.
16. Odchylka podprostorů 120
Úloha 16.1. Nalezněte odchylku φ přímky p = {A; L(u)} a podprostoru B ≡
X = B + t1v1 + t2v2 + t3v3, je-li A = [2; 1; 2; 3], u = (1; 0; 3; 0); B = [1; 1; 1; 1],
v1 = (1; 1; 4; 5), v2 = (5; 3; 4; −3), v3 = (2; −1; 1; 2).
Řešení : Především si uvědomme, že zadávání bodů A, B je pro řešení úlohy
naprosto nepodstatné, neboť odchylka φ závisí pouze na zaměřeních obou podpro-
storů.
Vektory v1, v2, v3 jsou lineárně nezávislé, tzn. dim B = 3 a B je nadrovina v E4.
K výpočtu φ bude zřejmě mnohem výhodnější použít Větu 16.4 než obecnější Větu
16.3. Nalezneme tedy nejprve normálový vektor n nadroviny B:


1 1 4 5
5 3 4 −3
2 −1 1 2

 ∼ · · · ∼


1 1 4 5
0 1 8 14
0 0 1 2

 odkud:
x3 = −2x4 ,
x2 = 2x4 ,
x1 = x4 ,
a tedy n = (1; 2; −2; 1).
Podle Věty 16.4 pak je sin φ = |−5|
√
10·
√
10
= 1
2
, a tedy φ =
π
6
. △
Úloha 16.2. Nalezněte odchylku φ podprostorů B, C, kde B = {B; W}, C = {C; S},
B = [2; 1; 0; 1], W = L(u1, u2), u1 = (1; 1; 1; 1), u2 = (1; −1; 1; −1), C = [1; 0; 1; 1],
S = L(v1, v2), v1 = (2; 2; 1; 0), v2 = (1; −2; 2; 0).
Řešení : Vidíme, že B, C jsou dvě roviny (nikoliv rovnoběžné) ve 4-rozměrném
euklidovském prostoru; nejedná se tedy o žádný ze speciálních případů popsaných
ve Větách 16.1 – 16.5. Při výpočtu φ budeme pracovat opět pouze se zaměřeními
W, S a budeme postupovat podle definice odchylky.
(i) Nalezení průniku W ∩ S.
k1u1 + k2u2 = k3v1 + k4v2 =⇒ k1u1 + k2u2 − k3v1 − k4v2 = o, tzn.:




1 1 −2 −1 0
1 −1 −2 2 0
1 1 −1 −2 0
1 −1 0 0 0



 ∼ · · · ∼




1 1 −2 −1 0
0 −2 0 3 0
0 0 1 −1 0
0 0 0 0 0



 ,
tzn. k3 = k4 (např. k3 = k4 = 1
3
), a tedy W ∩ S ̸= {o}, přičemž například w =
1
3
v1 + 1
3
v2 = (1; 0; 1; 0) je bází W ∩ S.
(ii) Nalezení podprostorů P = W ∩ (W ∩ S)⊥
, Q = S ∩ (W ∩ S)⊥
.
Bezprostředně z (i) plyne, že (W ∩ S)⊥
má například bázi z1 = (1; 0; −1; 0),
z2 = (0; 1; 0; 0), z3 = (0; 0; 0; 1). Potom k1z1 + k2z2 + k3z3 = k4u1 + k5u2 =⇒
k1z1 + k2z2 + k3z3 − k4u1 − k5u2 = o, tzn.




1 0 0 −1 −1 0
0 1 0 −1 1 0
−1 0 0 −1 −1 0
0 0 1 −1 1 0



 ∼ · · · ∼




1 0 0 −1 −1 0
0 1 0 −1 1 0
0 0 1 −1 1 0
0 0 0 1 1 0



 ,
16. Odchylka podprostorů 121
tzn. k4 = −k5 (např. k4 = 1
2
, k5 = −1
2
), a tedy dim P = 1, přičemž například
a = 1
2
u1 − 1
2
u2 = (0; 1; 0; 1) je bází P, tzn. P = L(a).
Dále k1z1 +k2z2 +k3z3 = k4v1 +k5v2 =⇒ k1z1 +k2z2 +k3z3 −k4v1 −k5v2 = o,
tzn. 



1 0 0 −2 −1 0
0 1 0 −2 2 0
−1 0 0 −1 −2 0
0 0 1 0 0 0



 ∼ · · · ∼




1 0 0 −2 −1 0
0 1 0 −2 2 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0



 ,
tzn. k4 = −k5 (např. k4 = 1, k5 = −1), a tedy dim Q = 1, přičemž například
b = v1 − v2 = (1; 4; −1; 0) je bází Q, tzn. Q = L(b).
(iii) výpočet odchylky φ.
Podle definice odchylky podprostorů, respektive definice odchylky jednodimenzionálních
podprostorů, dostáváme:
cos φ =
|(a, b)|
∥a∥ · ∥b∥
=
4
√
2
√
18
=
2
3
.
Výsledek: pro odchylku φ podprostorů B a C platí cos φ =
2
3
, neboli φ = arccos
2
3
.
△
Úloha 16.3. Nalezněte odchylku φ podprostorů B, C takových, že Z(B) = W =
L(u1, u2), respektive Z(C) = S = L(v1, v2). Přitom u1 = (1; 0; 0; 0); u2 = (0; 1; 0; 0),
v1 = (2; 3; 1; 6), v2 = (3; 2; −6; −1).
Řešení : Zřejmě je dim W = 2, dim S = 2, tzn. B, C jdou dvě roviny (nikoliv
rovnoběžné) ve 4-rozměrném euklidovském prostoru.
(i) Nalezení průniku W ∩ S.
k1u1 + k2u2 = k3v1 + k4v2 =⇒ k1u1 + k2u2 − k3v1 − k4v2 = o, tzn.




1 0 −2 −3 0
0 1 −3 −2 0
0 0 −1 6 0
0 0 −6 1 0



 ∼




1 0 −2 −3 0
0 1 −3 −2 0
0 0 −1 6 0
0 0 0 1 0



 , a tedy W ∩ S = {o} .
(ii) výpočet odchylky φ.
Vidíme, že se jedná o obecný případ odchylky dvou podprostorů, k jejímuž výpočtu
užijeme obecný algoritmus. Nejdříve ověříme, zda W ⊥ S. Máme W⊥
=
L((0; 0; 1; 0), (0; 0; 0; 1)), odkud ihned vidíme, že S ⊈ W⊥
a W⊥
⊈ S a W, S nejsou
kolmé. Dále u1, u2 je přímo ortonormální báze W, respektive vektory v1, v2 jsou
ortogonální, tzn. stačí je pouze normovat a pak
w1 =
2
5
√
2
;
3
5
√
2
;
1
5
√
2
;
6
5
√
2
; w2 =
3
5
√
2
;
2
5
√
2
;
−6
5
√
2
;
−1
5
√
2
16. Odchylka podprostorů 122
je ortonormální báze S. (Zde poznamenejme, že v obecném případě je nutné nejprve
najít ortogonální bázi W, respektive S, pomocí Gramm-Schmidtova ortogonalizačního
procesu.) Potom
A =
(u1, w1) (u1, w2)
(u2, w1) (u2, w2)
=




2
5
√
2
3
5
√
2
3
5
√
2
2
5
√
2



 ,
odkud vypočteme
AA′
=



13
50
12
50
12
50
13
50



a řešíme rovnici |AA′
− λE2| = 0, tj.
13
50
− λ
12
50
12
50
13
50
− λ
= 0.
Po rozepsání a úpravě dostáváme 100λ2
− 52λ + 1 = 0, odkud pak
λ1,2 =
52 ±
√
2704 − 400
200
=
52 ± 48
200
,
tzn. λ1 = 1
2
, λ2 = 1
50
. Největším z čísel λ1, λ2 je tedy 1
2
, tzn. pak cos φ = 1√
2
=
√
2
2
a
dostáváme φ = π
4
.
Výsledek: odchylka podprostorů B, C je rovna
π
4
. △
V následujících dvou úlohách vyřešíme typické úlohy stereometrie, pro srovnání je
vyřešíme jak analytickou metodou výpočtu v souřadnicích, tak syntetickou metodou.
Úloha 16.4. V 3-rozměrném euklidovském prostoru je dána jednotková krychle
ABCDA′
B′
C′
D′
. Určete:
a) Odchylku stěnových a tělesových úhlopříček.
b) Odchylku hran krychle a tělesových úhlopříček.
c) Odchylku přímky AA′
od roviny AB′
D′
.
d) Odchylku rovin ABC a AB′
D′
.
Řešení : I. Analytická metoda: Zvolíme kartézský repér ⟨A;
−→
AB,
−−→
AD,
−−→
AA′
⟩.
a) Uvažujme stěnovou úhlopříčku AB′
a tělesovou úhlopříčku AC′
. Potom směrové
vektory těchto přímek jsou
−−→
AB′
= (1; 0; 1) a
−−→
AC′
= (1; 1; 1). Označíme-li hledanou
odchylku φ, dostaneme cos(φ) = |
−−→
AB′·
−−→
AC′|
||
−−→
AB′||·||
−−−→
AC′||
= 2√
2
√
3
=
√
2√
3
.
16. Odchylka podprostorů 123
b) Uvažujme hranu
−−→
AA′
= (0; 0; 1) a tělesovou úhlopříčku AC′
= (1; 1; 1). Potom
cos(φ) = |
−−→
AA′·
−−→
AC′|
||
−−→
AA′||·||
−−→
AC′||
= 1√
1
√
3
= 1√
3
.
c) Normálový vektor roviny AB′
D′
určíme jako vektorový součin vektorů
−−→
AB′
=
(1; 0; 1) a
−−→
AD′
= (0; 1; 1), tj. n = (−1; −1; 1). Potom pro odchylku φ platí sin(φ) =
|
−−→
AA′·n|
||
−−→
AA′||·||n||
= 1√
1
√
3
= 1√
3
.
d) Normálový vektor roviny ABC je nABC = (0; 0; 1) a normálový vektor roviny
AB′
D′
je nAB′D′ = (−1; −1; 1). Potom pro odchylku φ platí
cos(φ) =
|nABC ·nAB′D′ |
||−→n ABC ||·||nAB′D′ ||
= 1√
1
√
3
= 1√
3
.
II. Syntetická metoda výpočtem.
a) Uvažujme stěnovou úhlopříčku AB′
a tělesovou úhlopříčku AC′
. Trojúhelník
AB′
C′
je pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu B′
. Délky odvěsen jsou |B′
C′
| = 1 a
|AB′
| =
√
2 (délka stěnové úhlopříčky). Potom přepona (délka tělesové úhlopříčky)
se snadno spočítá pomocí Pytágorovy věty, výjde |AC′
| =
√
3. Odtud pro velikost
úhlu φ při vrcholu A platí cos(φ) =
√
2√
3
.
b) Uvažujme hranu
−−→
AA′
a tělesovou úhlopříčku AC′
, které určují rovinu, která
protíná krychli v obdélníku ACC′
A′
o délkách stran |AC| =
√
2 a |AA′
| = 1. Délka
úhlopříčky |AC′
| je tedy
√
3 a odtud dostaneme pro hledanou odchylku cos(φ) = 1√
3
.
Obrázek 16.5: K Úloze 16.4
c) Promítněme krychli kolmou projekcí ve směru stěnové úhlopříčky B′
D′
, viz
Obrázek 16.5. Krychle se zobrazí jako obdélník ACC′
A′
o délkách stran |AC| =√
2 a |AA′
| = 1. Obrazy bodů B′
a D′
splynou a zobrazí se do středu úsečky
A′
C′
. Hledaná odchylka se při tomto zobrazení zobrazí ve skutečné velikosti a z
pravoúhlého trojúhelníka AA′
B′
určíme nejdříve délku přepony |AB′
| =
√
3√
2
a odtud
cos(φ) = 1√
3√
2
=
√
2√
3
.
d) V zobrazení použitém v případě c) (viz Obrázek 16.5) se roviny ABC a AB′
D′
zobrazí do přímek AB a AB′
. Jejich odchylka je stejná, jako odchylka daných rovin
16. Odchylka podprostorů 124
a z pravoúhlého trojúhelníka ABB′
snadno zjistíme, že cos(φ) =
√
2
2√
3√
2
= 1√
3
.
△
Úloha 16.5. V 3-rozměrném euklidovském prostoru je dán pravidelný čtyřboký
jehlan ABCDV o délce podstavné hrany hrany a a výšce v. Určete:
a) Odchylku přímek AV a CV .
b) Odchylku přímek AV a BV .
c) Odchylku přímek AV a AB.
d) Odchylku přímky AV od roviny ABC.
e) Odchylku přímky AV od roviny BCV .
f) Odchylku rovin ABC a ABV .
g) Odchylku rovin ABV a BCV .
h) Odchylku rovin ABV a CDV .
Řešení : I. Analytická metoda: Zvolíme kartézský repér ⟨A; 1
4
−→
AB, 1
4
−−→
AD, 1
5
−→
SV ⟩,
kde S je střed čtverce ABCD. Ve zvoleném repéru je A = [0; 0; 0], B = [4; 0; 0],
C = [4; 4; 0], D = [0; 4; 0] a V = [2; 2; 5],
a) Směrový vektor přímky AV je
−→
AV = (2; 2; 5) a s měrový vektor přímky CV
je
−−→
CV = (−2; −2; 5). Odtud cos(φ) = |
−→
AV ·
−−→
CV |
||
−→
AV ||·||
−−−→
CV ||
= 17√
33
√
33
= 17
33
.
b) Směrový vektor přímky BV je
−−→
BV = (−2; 2; 5). Odtud cos(φ) = |
−→
AV ·
−−→
BV |
||
−→
AV ||·||
−−−→
BV ||
=
25√
33
√
33
=
√
25
33
.
c) Směrový vektor přímky AB je
−→
AB = (4; 0; 0). Odtud cos(φ) = |
−→
AV ·
−→
AB|
||
−→
AV ||·||
−−→
AB||
=
8
4
√
33
=
√
2√
33
.
d) Kolmý průmět přímky AV do roviny ABCD je přímky AS, jejíž směrový
vektor je
−→
AS = (2; 2; 0). Protože odchylka přímky AV a roviny ABC je rovna
odchylce přímek AV a AS dostaneme Odtud cos(φ) = |
−→
AV ·
−→
AS|
||
−→
AV ||·||
−−→
AS||
= 8√
8
√
33
= 2
√
2√
33
.
e) Normálová vektor roviny BCV je vektorový součin nBCV =
−−→
BV ×
−−→
CV =
(20; 0; 8). Potom pro odchylku přímky AV a roviny BCV platí sin(φ) =
|
−→
AV ·nBCV |
||
−→
AV ||·||nBCV ||
=
80√
464
√
33
= 20√
33
√
29
.
f) Normálová vektor roviny ABC je vektor nABC = (0; 0; 1) a normálová vektor
roviny BCV je vektorový součin nBCV =
−−→
BV ×
−−→
CV = (20; 0; 8). Potom cos(φ) =
|nABC ·nBCV |
||nABC ||·||nBCV ||
= 8√
464
= 2√
29
.
g) Normálová vektor roviny ABV vektorový součin nABV =
−→
AV ×
−−→
BV = (0; −20; 8)
a normálová vektor roviny BCV je vektorový součin nBCV =
−−→
BV ×
−−→
CV = (20; 0; 8).
Potom cos(φ) =
|nABV ·nBCV |
||nABV ||·||nBCV ||
= 64√
464
√
464
= 4
29
.
h) Normálová vektor roviny ABV vektorový součin nABV =
−→
AV ×
−−→
BV =
(0; −20; 8) a normálová vektor roviny CDV je vektorový součin nCDV =
−−→
CV ×
−−→
DV =
(0; 20; 8). Potom cos(φ) =
|nABV ·nCDV |
||nABV ||·||nCDV ||
= 336√
464
√
464
= 21
29
.
16. Odchylka podprostorů 125
II. Syntetická metoda výpočtem.
a) Trojúhelník ACV je rovnoramenný (viz Obrázek 16.6 b)), jehož základna AC
má délku 4
√
2cm (délka úhlopříčky čtverce ABCD) a výška je 5cm. Pytágorovou
větou spočteme délku hrany AV =
√
33cm. Potom cos(φ
2
) = 5√
33
a odtud ze vzorce
cos(φ
2
) = 1+cos(φ)
2
spočteme cos(φ) = 17
33
.
Obrázek 16.6: K Úloze 16.5
b) Trojúhelník ABV je rovnoramenný (viz Obrázek 16.7 a)), jehož základna AB
má délku 4cm a délka strany AV je
√
33cm. Pytágorovou větou spočteme velikost
výšky |V V1| =
√
29cm (V1 je střed strany AB). Potom cos(φ
2
) =
√
29√
33
a odtud ze
vzorce cos(φ
2
) = 1+cos(φ)
2
spočteme cos(φ) = 25
33
.
Obrázek 16.7: K Úloze 16.5
c) Použijeme opět trojúhelník ABV (viz Obrázek 16.7 a)). Trojúhelník AV1V je
pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu V1 a pro velikost úhlu při vrcholu A dostaneme
cos(φ) = 2
33
.
16. Odchylka podprostorů 126
d) Uvažujme trojúhelník ACV , viz a). Hledaná odchylka je velikost úhlu při
vrcholu A. Z pravoúhlého trojúhelníka ASV (S je střed strany AC) potom snadno
určíme cos(φ) = 2
√
2√
33
.
e) Odchylka přímky AV od roviny BCV je rovna odchylce přímky AV od jejího
kolmého průmětu do roviny BCV . Označíme-li A1 kolmý průmět bodu A do roviny
BCV , je tedy hledaná odchylka rovna velikosti úhlu při vrcholu V v pravoúhlém
trojúhelníku AA1V . Přepona AV má délku
√
33cm. Délku odvěsny AA1 vidíme ve
skutečné velikosti v kolmém průmětu jehlanu ve směru hrany BC (viz Obrázek 16.6
a)), tedy, označíme-li |AA1| = x, platí 4 · 5 =
√
29 · x a odtud |AA1| = 20√
29
. Snadno
dopočítáme délku druhé odvěsny |A1V | =
√
557√
29
. Potom cos(φ) =
√
557√
29√
33
=
√
557√
29
√
33
.
f) Promítněme jehlan kolmo ve směru hrany AB. Obrazem bude rovnoramenná
trojúhelník o velikosti základny 4cm a výšce 5cm (viz Obrázek 16.6 a)). Rovinu ABC
uvidíme jako přímku, na které leží základna tohoto trojúhelníka a rovinu ABV jako
přímku, na které leží rameno trojúhelníka. Hledaná odchylka je potom velikost úhlu
při základně. Délka ramene je
√
29cm a odtud cos(φ) = 2√
29
.
g) Pokud kolmo promítneme jehlan ve směru hrany BV , zobrazí se rovinyABV a
BCV do přímek, jejichž odchylka je stejná, jako odchylka daných rovin. Trojúhelník
ACV se zobrazí do rovnoramenného trojúhelníka (viz Obrázek 16.7 b)) se základnou
AC o velikosti 4
√
2cm a rameny, jejichž délka bude velikost výšky spuštěné z
bodu A na stranu BV v trojúhelníku ABV (viz Obrázek 16.7 a)). Protože v tomto
trojúhelníku je |AB| = 4cm a |AV | =
√
33cm, je velikost výšky spuštěná na zá-
kladnu
√
29cm a odtud pro velikost x výšky spuštěné z bodu A na stranu BV platí
4
√
29 =
√
33x, tj. x = 4
√
29√
33
cm. Tedy délka ramene rovnoramenného trojúhelníka, do
kterého se zobrazí trojúhelník ACV je 4
√
29√
33
cm. Odtud určíme pomocí Pytágorovy
věty jeho výšku 2
√
50√
33
cm a pro hledanou odchylku platí cos(φ
2
) =
2
√
50√
33
4
√
29√
33
=
√
50
2
√
29
. Odtud,
ze vzorce cos(φ
2
) = 1+cos(φ)
2
, spočteme cos(φ) = − 4
29
. Protože odchylka rovin je
menší než π
2
, je cos(φ) = 4
29
.
h) Promítněme jehlan kolmo ve směru hrany AB. Obrazem bude rovnoramenná
trojúhelník o velikosti základny 4cm a výšce 5cm (viz Obrázek 16.6 a)). Roviny
ABV a CDV uvidíme jako přímky, na kterých leží leží ramena tohoto trojúhelníka.
Hledaná odchylka je potom velikost úhlu při hlavním vrcholu trojúhelníka. Délka
ramene je
√
29cm a odtud cos(φ
2
) = 5√
29
. Odtud, ze vzorce cos(φ
2
) = 1+cos(φ)
2
,
spočteme cos(φ) = 21
29
. △
Poznámka 16.8. Srovnáním obou metod použitých v předchozích případech vidíme
výhodu analytické metody oproti metodě syntetické. Zatímco v analytické
metodě můžeme úlohu naprosto stejným způsobem řešit pro jakákoliv tělesa (např.
pro kolmý kvádr o rozměrech a, b, c, pravidelný n-boký jehlan o délce podstavné
hrany a a výšce v), v syntetické metodě u složitějších těles vyžaduje řešení dobrou
prostorovou představivost. ♢
Kapitola 3
CVIČENÍ
Tato část skript obsahuje soubor více než 400 cvičení, sdružených do 179 celků, a
jejich výsledky. Cvičení nebyla záměrně přiřazována k jednotlivým paragrafům, ale
tvoří samostatný celek, přičemž však jejich řazení v podstatě odpovídá sledu probírané
látky. Přitom jsou zastoupeny příklady algoritmického i testovacího charakteru
i cvičení důkazová. U každého algoritmického cvičení je uveden výsledek (pozor na
to, že často je možno výsledek vyjádřit nekonečně mnoha formálně různými způsoby,
a je tedy uvedeno jenom jedno z těchto vyjádření). U testových cvičení je uváděna
odpověď pouze v případě, když je negativní, tzn. požadovaný příklad neexistuje.
U cvičení, v nichž pracujeme se souřadnicemi, jsou souřadnice vždy vyjádřeny
v patřičných repérech tak, jak to vyžaduje typ úlohy a v souladu s úmluvami provedenými
v textu. Dále, u cvičení, z jejichž zadání je patrný typ prostoru i jeho
dimenze, nebudou často tyto údaje výslovně specifikovány. Z důvodů úspory místa
budou jednotlivé rovnice v soustavách lineárních rovnic obvykle zapisovány vedle
sebe a nikoliv pod sebou, jako tomu bylo v předchozím textu.
1. Je zadána množina A (vždy jako podmnožina množiny Rm
), vektorový prostor
V (vždy bude tvaru Rn
, přičemž R1
= R ) a zobrazení →
: A × A → V , které
libovolným dvěma bodům A = (a1; . . . ; am), B = (b1; . . . ; bm) ∈ A přiřazuje vektor
−→
AB ∈ V .
Rozhodněte, zda A je afinním prostorem, a pokud tomu tak není, uveď te, který
z axiomů afinního prostoru není splněn:
a) A = R3
, V = R4
,
−→
AB = (b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3, b2 − a2);
b) A = R2
, V = R2
,
−→
AB = (b1 − a1, bk
2 − ak
2), k přirozené číslo;
c) A = R2
, V = R2
,
−→
AB = (b1 − a1, (b2 − a2)k
), k přirozené číslo;
d) A = R2
, V = R2
,
−→
AB = (a1 · b1, a2 · b2);
127
CVIČENÍ 128
e) A = {(a1, a2) ∈ R2
| |a1| < 1, |a2| < 1}, V = R2
,
−→
AB = (b1 − a1, b2 − a2);
f) A = {(a1, a2) ∈ R2
| a2 = a2
1}, V = R ,
−→
AB = a1 − b1;
g) A = {(a1, a2) ∈ R2
| a2 = a2
1}, V = R ,
−→
AB = a2 − b2;
h) A = {(a1, a2) ∈ R2
| a2
1 + a2
2 = 1}, V = R ,
−→
AB = a1 − b1;
i) A = {(a1, a2) ∈ R2
| a2
1 − a2
2 = 1, a1 < 0}, V = R ,
−→
AB = a2 − b2;
j) A = {(a1, a2) ∈ R2
| a2
1 − a2
2 = 1, a2 < 0}, V = R ,
−→
AB = a1 − b1;
k) A = {(a1, a2) ∈ R2
| 4a2
1 − 9a2
2 = 1}, V = R ,
−→
AB = a2 − b2;
l) A = {(a1, a2) ∈ R2
| a2 > 0}, V = R2
,
−→
AB = (log a2
b2
, a1 − b1 − 1
a2
+ 1
b2
).
Řešení : a) ne, neplatí (1); b) pro k liché – ano, pro k sudé – ne,
neplatí (1); c) pro k = 1 – ano, pro k > 1 ne, a sice pro k
liché neplatí (2), respektive pro k sudé neplatí ani (1) ani
(2); d) ne, neplatí (1) ani (2); e) ne, neplatí (1); f) ano; g)
ne, neplatí (1); h) ne, neplatí (1); i) ano; j) ne, neplatí (1);
k) ne, neplatí (1); l) ano.
2. Nechť A je afinní prostor; A, B, C, D ∈ A. Dokažte, že platí:
a)
−→
AB =
−−→
CD ⇔
−→
AC =
−−→
BD ;
b)
−→
AB =
−−→
CD ⇔
−−→
DB =
−→
CA .
3. Nechť A je afinní prostor; A, B ∈ A; u, v ∈ Z(A). Dokažte, že platí:
(A + u) − (B + v) = (A − B) + (u − v) .
4. Nechť A značí 2-rozměrný kanonický afinní prostor (viz Příklad 1.2, pro n = 2) a
nechť A′
, respektive A′′
, značí afinní prostor ze Cvičení 1 (b) (kde k je liché přirozené
číslo), respektive Cvičení 1 (l). Určete ty podmnožiny R2
, které jsou podprostory
alespoň dvou z uvedených prostorů A, A′
, A′′
.
Řešení : Triviální řešení : všechny jednobodové podmnožiny v R2
a celá množina R2
, respektive je-li k = 1, pak každý podprostor
v A. Netriviální řešení : {(a1; a2) ∈ R2
| a2 = t,
pro pevné t}; pak pro t > 0 jsou tyto množiny podprostory
A, A′
, A′′
, respektive pro t ≤ 0 podprostory A, A′
.
Konečně, {(a1; a2) ∈ R2
| a1 = t, pro pevné t} jsou podprostory
A, A′
.
5. V afinním názorném prostoru udejte příklad
a) dvou podprostorů B, C takových, že B ∩ C není podprostorem,
b) bodů A0, A1, A2, A3, které jsou v obecné poloze,
c) bodů B0, B1, B2 tak, aby dim⟨B0, B1, B2⟩ = 3.
CVIČENÍ 129
Řešení : c) neexistuje.
6. V afinním názorném prostoru je dána přímka p a rovina ϱ. Charakterizujte možnou
vzájemnou polohu přímky p a roviny ϱ v případě, že dim(p + ϱ) = 3, respektive
dim(p + ϱ) = 2.
Řešení : dim(p + ϱ) = 3 právě když p, ϱ jsou různoběžné nebo
rovnoběžné různé; respektive dim(p + ϱ) = 2 právě když
p ⊂ ϱ.
7. Nechť B1 = {B1; W1}, B2 = {B2; W2} jsou podprostory v A. Potom B1 a B2 jsou
totožné právě když W1 = W2 a
−−−→
B1B2 ∈ W1. Dokažte.
8. Nechť ϱ = {B1; W1}, σ = {B2; W2} jsou dvě neprotínající se roviny ve 4rozměrném
afinním prostoru A. Potom je dim(W1 + W2) < 4. Dokažte.
9. Nechť v An, n ≥ 2, je dána přímka p = {A; L(u)} a nadrovina N = {B; W}.
Jestliže se p a N neprotínají, pak u ∈ W. Dokažte.
10. Nechť v An, n ≥ 2, jsou dány nadroviny N1 = {B1; W1}, N2 = {B2; W2}.
Jestliže se nadroviny N1, N2 neprotínají, pak W1 = W2. Dokažte.
11. Nechť B, C, D jsou podprostory afinního prostoru A takové, že každé dva z nich
se protínají. Dokažte, že platí:
a) B ∩ (C + D) ⊇ (B ∩ C) + (B ∩ D),
b) B + (C ∩ D) ⊆ (B + C) ∩ (B + D)
a dále ukažte, že obecně neplatí opačné inkluze.
12. Nechť B je k-rozměrný podprostor v A a nechť A0, A1, . . . , Ak+1 ∈ B. Pak
těchto k + 2 bodů není v obecné poloze. Dokažte.
13. V afinním prostoru A4 jsou dány tři afinní repéry:
R1 = ⟨P; e1, e2, e3, e4⟩, R2 = ⟨A; u1, u2, u3, u4⟩, R3 = ⟨B; v1, v2, v3, v4⟩,
přičemž je dáno u1 = (2; −1; −2; 1), u2 = (−1; 2; 2; −1), u3 = (3; −2; −3; 1), u4 =
(1; 1; 1; −1), v1 = (−7; 11; 13; −6), v2 = (13; −15; −18; 7),
v3 = (0; −7; −8; 5), v4 = (7; −10; −12; 5) vzhledem k afinnímu repéru R1, respektive
B = [0; 0; 0; 1] a X = [1; 2; −2; 1] vzhledem k afinnímu repéru R2, respektive Y =
[−2; −1; 1; 2] vzhledem k afinnímu repéru R3. Nalezněte:
a) souřadnice bodu X vzhledem k afinnímu repéru R3;
b) souřadnice bodu Y vzhledem k afinnímu repéru R2.
Řešení : a) X = [−8; −8; −5; 6]; b) Y = [−5; −3; 11; −10].
14. V afinním prostoru A3 jsou dány afinní repéry R = ⟨P; e1, e2, e3⟩, R ′
= ⟨P′
; e′
1, e′
2, e′
3⟩,
přičemž je (v pevném afinním repéru v A3) P = [2; 1; 2], P′
= [3; 5; 1], e1 = (1; 2; 0),
e2 = (0; 1; 1), e3 = (1; 0; 1), e′
1 = (3; 7; 4), e′
2 = (1; 3; 1), e′
3 = (0; −4; −1). Napište
transformační rovnice pro souřadnice bodů
a) při přechodu od repéru R k repéru R ′
,
b) při přechodu od repéru R ′
k repéru R.
CVIČENÍ 130
Řešení : a) x = 2x′
+ y′
− z′
+ 2, y = 3x′
+ y′
− 2z′
, z = x′
− z′
− 1;
b) x = 1
2
(−x′
+ y′
+ z′
+ 1), y = 1
2
(5x′
− 3y′
− z′
− 9),
z = 1
2
(x′
− y′
+ z′
− 3).
15. Nechť e1, e2, e3 je kladná báze orientovaného vektorového prostoru V3. Rozhodněte,
zda vektory u1, u2, u3 tvoří kladnou nebo zápornou bázi prostoru V3, je-li:
a) u1 = (1; 2; 3), u2 = (2; 3; 1), u3 = (3; 1; 2) v bázi e1, e2, e3;
b) u1 = (−1; 1; 0), u2 = (1; −2; 1), u3 = (2; 1; 1) v bázi e1, e2, e3;
c) u1 = e1 + e2 + e3, u2 = 2e1 + e2 + 3e3, u3 = 4e1 + 3e2 + 5e3;
d) u1 = 2e1 + e2, u2 = −e1 + e2 + 2e3, u3 = 2e1 + e2 − 3e3.
Řešení : a) záporná; b) kladná; c) není báze; d) záporná.
16. Nechť u1, u2, u3, u4 je kladná báze orientovaného vektorového prostoru V4. Rozhodněte,
zda vektory:
a) u4, u3, u2, u1,
b) u2, u1, u4, u3,
c) u1, u4, u3, u2
tvoří kladnou nebo zápornou bázi prostoru V4.
Řešení : a) kladná; b) kladná; c) záporná.
17. vektorový prostor R4
je orientován prohlášením báze u1, u2, u3, u4 za kladnou,
kde u1 = (1; 2; 3; 4), u2 = (0; 1; −1; 1), u3 = (0; 0; 2; 1), u4 = (1; 2; 1; 0). Rozhodněte,
zda vektory w1, w2, w3, w4 tvoří kladnou nebo zápornou bázi R4
:
a) w1 = (1; 2; −2; 3), w2 = (−2; −5; 1; 0), w3 = (3; −3; 2; −1),
w4 = (−2; 0; −4; 1);
b) w1 = (1; 1; 1; 1), w2 = (1; −1; 1; 1), w3 = (1; 1; −1; 1),
w4 = (1; 1; 1; −1);
c) w1 = (1; 0; 0; 0), w2 = (0; 1; 0; 0), w3 = (0; 0; 1; 0), w4 = (0; 0; 0; 1);
d) w1 = (1; 2; 3; 6), w2 = (3; 7; 1; 11), w3 = (2; 1; 4; 7), w4 = (4; 2; 2; 8).
Řešení : a) záporná; b) kladná; c) záporná; d) není báze.
18. V orientovaném vektorovém prostoru R3
jsou dány dvě posloupnosti vektorů
u1, u2, u3, respektive v1, v2, v3. Zjistěte, zda se jedná o báze prostoru R3
a pokud
ano, zda jsou tyto báze souhlasné či nesouhlasné.
a) u1 = (0; 0; 1), u2 = (1; 0; 0), u3 = (0; 1; 0);
v1 = (1; −2; 1), v2 = (−1; 1; 0), v3 = (2; 1; 1).
b) u1 = (1; 0; 0), u2 = (0; 1; 0), u3 = (0; 0; 1);
v1 = u2, v2 = u3, v3 = u1.
c) u1 = (1; 1; −2), u2 = (2; 1; 3), u3 = (−2; 1; −20);
v1 = (2; 1; 0), v2 = (−1; 1; 2), v3 = (2; 1; −3).
d) u1 = (1; 2; 1), u2 = (2; 3; 0), u3 = (−1; 0; 1);
v1 = (2; 1; −2), v2 = (3; 1; −1), v3 = (1; 0; 1).
CVIČENÍ 131
Řešení : a) nesouhlasné; b) souhlasné; c) nesouhlasné;
d) v1, v2, v3 není báze.
19. V A3 napište parametrické i neparametrické vyjádření
a) roviny ϱ = {A; L(u, v)}, kde A = [0; 0; 1], u = (1; 0; 1), v = (1; −1; 0),
b) roviny ϱ, která prochází body A = [1; 2; 3], B = [2; 3; 4], C = [2; 2; 3],
c) přímky p = {A; L(u)}, kde A = [1; 1; 1], u = (1; 1; 1),
d) přímky p, která prochází body A = [3; 2; 1], B = [1; 1; 3],
e) průsečnice rovin ϱ ≡ 2x − 3y − 3z = 9, σ ≡ x − 2y + z = −3.
Řešení : a) X = A + tu + rv, respektive x + y − z + 1 = 0;
b) X = A + t(1; 1; 1) + r(1; 0; 0), respektive y − z + 1 = 0;
c) X = A + tu, respektive x − y = 0, x − z = 0;
d) X = A+t(2; 1; −2), respektive x+z−4 = 0, 2y+z−5 =
0;
e) X = [0; 0; −3] + t(9; 5; 1), respektive 2x − 3y − 3z = 9,
x − 2y + z = −3.
20. Napište neparametrické vyjádření podprostoru B v A4, je-li:
a) B = {A; L(u, v, w)}, kde A = [1; −1; 3; 4], u = (1; 0; −3; 0),
v = (0; −1; 1; 3), w = (0; 1; 1; −1);
b) B ≡ X = [1; −1; 0; 2] + t(3; 2; 0; 0) + r(1; 0; 1; −1);
c) B ≡ X = [1; 1; 1; 1] + t(1; 1; 1; 1).
Řešení : a) 3x1 − 2x2 + x3 − x4 = 4;
b) 2x1 − 3x2 − 2x3 = 5, x3 + x4 = 2;
c) x1 − x2 = 0, x1 − x3 = 0, x1 − x4 = 0.
21. Napište parametrické vyjádření podprostoru B v A4, je-li:
a) B ≡ x1 + x3 + x4 = 2; x1 + x3 − x4 = 0;
b) B ≡ x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 3; x1 + x2 − 2x3 + 3x4 = 1;
c) B ≡ x2 = 1.
Řešení : a) X = [1; 0; 0; 1] + t1(0; 1; 0; 0) + t2(−1; 0; 1; 0);
b) X = [−1; 2; 0; 0] + t1(3; −1; 1; 0) + t2(−4; 1; 0; 1);
c) X = [0; 1; 0; 0]+t1(1; 0; 0; 0)+t2(0; 0; 1; 0)+t3(0; 0; 0; 1).
22. V A5 je dán podprostor B. Je-li dán parametricky (respektive neparametricky),
pak nalezněte jeho neparametrické (respektive parametrické) vyjádření:
a) B ≡ X = [2; 1; −3; 3; 1] + r(1; 1; 2; 1; 3) + s(1; 2; 1; 3; 1);
b) B ≡ X = [1; −2; −1; 3; 0] + r(1; −3; 2; −3; 2) + s(−2; 1; 1; 2; −1);
c) B ≡ x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3; x5 = 5;
d) B ≡ 2x1 + 4x2 + 3x3 − x4 + 2x5 = 2;
3x1 + 3x2 + 3x3 − x4 + 2x5 = 1.
CVIČENÍ 132
Řešení : a) 3x1 −x2 −x3 = 8, x1 −2x2 +x4 = 3, 5x1 −2x2 −x5 = 7;
b) x1+x2+x3 = −2, 3x1−4x2+5x4 = 26, x1+x2−x5 = −1;
c) X = [1; 2; 3; 0; 5] + t(0; 0; 0; 1; 0);
d) X = [−1; 0; 0; −4; 0] + t1(1; 1; 0; 6; 0) + t2(0; 0; 1; 3; 0)+
t3(0; 0; 0; 2; 1).
23. V A3 určete neparametrické vyjádření roviny ϱ, která
a) prochází bodem M = [4; 0; −1] a obsahuje přímku p = {A; L(bbu)},
kde A = [2; 1; 2], u = (−2; 1; 3),
b) obsahuje přímky p = {A; L(u)}, q = {B; L(v)}, kde A = [3; −1; 2],
u = (5; 2; 4), B = [8; 1; 6], v = (3; 1; −2),
c) obsahuje přímky p ≡ x − y + 5 = 0; x + y − z − 1 = 0
a q = {A; L(u)}, kde A = [1; −2; 0], u = (2; 3; 1).
Řešení : a) nekonečně mnoho rovin tvaru x+(3t+2)y−tz−4−t = 0,
pro libovolné t ∈ R ; b) 8x − 22y + z = 48; c) neexistuje.
24. V afinním repéru ⟨P; e1, e2⟩ v A2 je dána rovnice přímky p ≡ 2x + 3y − 1 = 0
a dále bod P′
= [1; 3], respektive vektory e′
1 = (1; 1), e′
2 = (−1; 2).
Určete rovnici přímky p v afinním repéru ⟨P′
; e′
1, e′
2⟩.
Řešení : p ≡ 5x′
+ 4y′
+ 10 = 0.
25. V afinní rovině jsou dány afinní repéry R = ⟨P; e1, e2⟩, respektive R ′
= ⟨P′
; e′
1, e′
2⟩,
přičemž P′
= P +2e1 −e2, e′
1 = e1 −3e2, e′
2 = −e1 +e2. Nechť dále je A = [−1; 3],
p ≡ 3x+5 = 0 vzhledem k repéru R, respektive B = [0; 3], q ≡ 2x′
+y′
= 0 vzhledem
k repéru R ′
. Potom:
a) určete souřadnice bodu A a rovnici přímky p vzhledem k repéru R ′
;
b) určete souřadnice bodu B a rovnici přímky q vzhledem k repéru R.
Řešení : a) A = [−0, 5; 2, 5], p ≡ 3x′
− 3y′
+ 11 = 0;
b) B = [−1; 2], q ≡ 5x + 3y − 7 = 0.
26. V A4 zadejte neparametricky roviny ϱ, σ tak, že
a) ϱ, σ se neprotínají,
b) průnikem ϱ a σ je bod,
c) průnikem ϱ a σ je přímka.
27. Udejte příklad bodů ve 3-rozměrném afinním prostoru A, které generují rovinu
ϱ ≡ x1 + x3 = 0 a přitom nejsou v obecné poloze.
28. V 5-rozměrném afinním prostoru A udejte příklad
a) dvou rovin ϱ, σ, jejichž součtem je A ,
b) bodů A1, A2, A3, A4, A5, A6, které jsou v obecné poloze,
c) bodů A1, A2, A3, A4, A5, A6, které nejsou v obecné poloze,
d) dvou nadrovin N1, N2, které se neprotínají,
e) přímky p a roviny ϱ tak, aby dim(p + ϱ) = 4,
f) přímky p a roviny ϱ tak, aby dim(p + ϱ) = 3.
CVIČENÍ 133
29. Dokažte, že přímky p = {A; L(u)}, q = {B; L(v)} se neprotínají, a sestrojte
3-rozměrný podprostor obsahující obě tyto přímky. Přitom A = [8; 2; 5; 15; −3], u =
(7; −4; 11; 13; −5); B = [−7; 2; −6; −5; 3], v = (2; 9; −10; −6; 4).
Řešení : B = p + q, tj. B = {A; L(u, v,
−→
AB)}.
30. Určete průnik a součet podprostorů B1, B2, je-li:
a) B1 = {B1; L(u1, u2)}, B2 = {B2; L(v1, v2)}, kde
B1 = [4; 0; 1; −2], u1 = (0; 1; −1; 2), u2 = (1; −2; −3; 0);
B2 = [1; 2; 1; 1], v1 = (1; 0; −1; 0), v2 = (2; 1; 0; −1);
b) B1 ≡ x1 + x3 + x4 = 2; x1 + x3 − x4 = 0; B2 = {A; L(u)}, kde
A = [1; 0; 1; 0], u = (1; 2; −1; 0);
c) B1 ≡ x1 + x2 + x3 + x4 = 0; x1 − x4 = 0;
B2 ≡ x2 + x3 = 4; x2 + x3 + x4 = 2;
d) B1 ≡ x1 − x2 + x3 + 2x4 + 1 = 0; B2 ≡ X = A + tu + sv, kde
A = [1; −1; 1; −2], u = (7; 1; 4; −5), v = (2; 3; −7; 4).
Řešení : a) B1 ∩ B2 = ∅, B1 + B2 = A;
b) B1 ∩ B2 = ∅, B1 + B2 = {A; W}, kde
W = L((0; 1; 0; 0), (−1; 0; 1; 0), (0; 0; −1; 1));
c) B1 ∩ B2 = {[−2; 4; 0; −2]; L((0; −1; 1; 0))};
B1 + B2 = {[−2; 4; 0; −2]; L((1; −2; 0; 1), (0; −1; 1; 0),
(1; 0; 0; 0))};
d) B1 ∩ B2 = B2, B1 + B2 = B1.
31. Nalezněte parametrické i neparametrické vyjádření průniku a součtu podprostorů
B1 = {B1; L(u1, u2)}, B2 = {B2; L(v1, v2, v3)}, kde
B1 = [2; 1; 4; 0; 0], u1 = (1; 0; 1; 1; 0), u2 = (0; −1; −1; 2; 1);
B2 = [3; 0; 1; 3; 2], v1 = (1; 1; 0; 0; 1), v2 = (1; −1; 0; 3; 1), v3 = (1; 0; −2; 1; 1).
Řešení : B1 ∩ B2 ≡ X = [2; 0; 3; 2; 1] + t(1; −1; 0; 3; 1)};
B1 + B2 ≡ 3x1 − 6x2 + x3 − 4x4 + 3x5 = 4, odkud již lehce
obdržíme zbývající vyjádření.
32. Ve 4-rozměrném afinním prostoru udejte příklad přímek p, q, které jsou
a) rovnoběžné různé, b) různoběžné, c) mimoběžné.
33. V 5-rozměrném afinním prostoru udejte příklad přímky p a 3-rozměrného podprostoru
B tak, že
a) p ⊆ B, b) p ∥ B a B neobsahuje p,
c) p, B jsou různoběžné, d) p, B jsou mimoběžné.
34. V 5-rozměrném afinním prostoru udejte příklad rovin ϱ, σ, které jsou
CVIČENÍ 134
a) rovnoběžné různé,
b) různoběžné a protínají se v přímce,
c) různoběžné a protínají se v bodě,
d) mimoběžné a mají společný směr,
e) mimoběžné a nemají společný žádný směr.
35. V afinním prostoru A udejte příklad mimoběžných přímek p, q a bodu M, respektive
vektoru w, tak, že
a) dim A = 3 a M /∈ p + q, b) dim A = 4 a M /∈ p + q,
c) dim A = 3 a w /∈ Z(p + q), d) dim A = 4 a w /∈ Z(p + q).
Řešení : a) neexistuje; c) neexistuje.
36. Ve 3-rozměrném afinním prostoru zadejte mimoběžky p, q tak, že
a) neexistuje jejich příčka rovnoběžná s vektorem w = (0; 0; 1),
b) neexistuje jejich příčka procházející bodem M = [0; 0; 0].
37. Udejte příklad nadrovin N1, N2 v A (dim A = 5) tak, že
a) N1, N2 jsou mimoběžné,
b) průnikem N1, N2 je rovina,
c) průnikem N1, N2 je 3-rozměrný podprostor v A.
Řešení : a) neexistuje – viz Věta 6.5; b) neexistuje – viz Věta 6.5.
38. Existují-li v A dvě nadroviny, jejichž průnikem je rovina, co pak platí o dimenzi
prostoru A?
Řešení : dim A = 3 nebo dim A = 4 – viz Věta 6.5.
39. Nechť B1, B2 jsou podprostory v A. Udejte libovolnou
a) nutnou, ale nikoliv dostatečnou podmínku pro to, aby B1 ∥ B2,
b) dostatečnou, ale nikoliv nutnou podmínku pro to, aby B1 ∥ B2.
40. Nechť p, q jsou mimoběžky v A; M ∈ A bod. Udejte libovolnou
a) nutnou, ale nikoliv dostatečnou podmínku,
b) dostatečnou, ale nikoliv nutnou podmínku
pro to, aby neexistovala příčka mimoběžek p, q procházející bodem M.
41. Dokažte, že v libovolném 3-rozměrném afinním prostoru A jsou přímka a rovina
buď rovnoběžné nebo různoběžné.
42. Nechť p = {A; L(u)}, q = {B; L(v)} jsou mimoběžky ve 3-rozměrném afinním
prostoru A a nechť M ∈ A je bod neležící na žádné z nich. Dokažte:
a) existuje jediná příčka p, q procházející M ⇔
−−→
AM,
−−→
BM /∈ L(u, v);
b) vynecháme-li předpoklad, že dim A = 3, pak tvrzení a) neplatí.
CVIČENÍ 135
43. Nechť B, C jsou podprostory v A takové, že B ∥ C a Z(B) ⊆ Z(C). Dokažte, že
pak jsou následující výroky ekvivalentní:
(i) B, C se neprotínají;
(ii) pro libovolné B ∈ B a libovolné C ∈ C je
−−→
BC /∈ Z(C);
(iii) existují body B ∈ B a C ∈ C tak, že
−−→
BC /∈ Z(C).
44. Nechť B, C jsou podprostory v A, které nejsou rovnoběžné. Dokažte, že pak
následující výroky jsou ekvivalentní:
(i) B, C jsou různoběžné;
(ii) pro libovolné B ∈ B a C ∈ C je
−−→
BC ∈ Z(B) + Z(C);
(iii) existují body B ∈ B, C ∈ C tak, že
−−→
BC ∈ Z(B) + Z(C).
45. Nechť B, B1, B2 jsou podprostory afinního prostoru A takové, že B1 ∥ B2, B ∩
B1 ̸= ∅, B ∩ B2 ̸= ∅. Dokažte:
a) B ∩ B1, B ∩ B2 jsou rovnoběžné podprostory v A;
b) vynecháme-li předpoklad, že B ∩ B2 ̸= ∅, pak tvrzení a) neplatí.
46. V A3 určete vzájemnou polohu zadaných přímek, respektive rovin:
a) p ≡ X = [1; −3; 4] + t(2; 2; −1); q ≡ X = [3; 0; −1] + r(0; 1; 3);
b) p ≡ X = [1; 2; 3] + t(1; −1; 2); q ≡ x − y − z + 4 = 0, x + y − 3 = 0;
c) p ≡ x + 2y − z = 1, x − y = 0;
q ≡ 3x − y − z = −1, 3x − 4y + 2z = 8;
d) p ≡ X = [4; 7; −11] + t(1; −8; 3);
ϱ ≡ X = [0; 1; −1] + r(2; 1; 2) + s(1; 2; 5);
e) p ≡ X = [1; 4; −3] + t(1; −3; 4); ϱ ≡ x − y − z = 0;
f) p ≡ x + y + z = 3, 4x + 3z = 3; ϱ ≡ 2x + 2y + 2z = 1;
g) ϱ ≡ X = [6; 1; 0] + t1(4; 3; 1) + t2(−1; 3; 5);
σ ≡ X = [3; 0; 1] + r1(1; 2; 2) + r2(3; 1; −1);
h) ϱ ≡ X = [3; 5; 8] + r(2; 0; 1) + s(3; −1; 0); σ ≡ x + 3y − 2z + 1 = 0;
i) ϱ ≡ 2x + 3y + 4z + 5 = 0; σ ≡ x − y − z + 1 = 0.
Řešení : a) mimoběžné; b) totožné; c) různoběžné; d) různoběžné;
e) p ⊆ ϱ; f) rovnoběžné různé; g) totožné; h) rovnoběžné
různé; i) různoběžné.
47. V A3 vyšetřete vzájemnou polohu zadaných přímek, respektive rovin. Pokud se
protínají, pak určete jejich průnik:
CVIČENÍ 136
a) p ≡ X = [1; −2; 3] + t(1; −3; 1); q ≡ X = [1; 2; −1] + r(0; 1; 3);
b) p ≡ X = [2; 3; 2] + t(1; 2; 2); q ≡ 2x + 2y − 3z = 1, y − z = 2;
c) p ≡ 2x − y = 1; 2x − z = 2; q ≡ 2x − y − 2z = 1, y = 1;
d) p ≡ X = [−2; 1; 0] + t(2; −1; 2);
ϱ ≡ X = [1; 2; 2] + r(1; 0; 0) + s(1; 3; −2);
e) p ≡ X = [1; 1; −2] + t(−1; 3; 0), ϱ ≡ 3x + y + 5z + 7 = 0;
f) p ≡ x − y − z = −2, 4y − z = 11; ϱ ≡ 3x − y + 2z = 5;
g) ϱ ≡ X = [1; 0; −2] + t1(1; 2; −2) + t2(2; 3; 1);
σ ≡ X = [0; −3; 1] + r1(1; 0; 4) + r2(0; 1; −1);
h) ϱ ≡ X = [1; 2; 0] + r(2; −1; 2) + s(3; 1; −1);
σ ≡ 3x + 3y − z + 3 = 0;
i) ϱ ≡ x + y − z − 3 = 0; σ ≡ x − 2y − z + 3 = 0.
Řešení : a) mimoběžné; b) rovnoběžné různé; c) různoběžné, průsečík
[1; 1; 0]; d) různoběžné, průsečík [2; −1; 4]; e) rovnoběžné
různé; f) různoběžné, průsečík [2; 3; 1]; g) různoběžné,
průsečnice X = [1; −1; 3]+t(1; 1; 3); h) různoběžné,
průsečnice X = [0; 0; 3]+t(23; −14; 27); i) různoběžné, průsečnice
X = [1; 2; 0] + t(1; 0; 1).
48. V A3 napište parametrické vyjádření podprostorů B, C zadaných jako afinní obal
bodů, je-li B = ⟨B1, B2, B3⟩, C = ⟨C1, C2, C3⟩, a zjistěte jejich vzájemnou polohu.
Přitom B1 = [1; 3; −1], B2 = [−1; 5; −4], B3 = [3; 1; 2]; C1 = [0; 1; 2], C2 = [1; 1; 1],
C3 = [0; 1; 1].
Řešení : B ≡ X = B1 + t(2; −2; 3); C ≡ X = C1 + r(1; 0; −1) +
s(0; 0; 1), různoběžné, průsečík X = [3; 1; 2].
49. Nechť ϱ ≡ x − y + z = 0, σ ≡ 3x − y − z + 2 = 0, τ ≡ 4x − y − 2z + k = 0 jsou
roviny v afinním prostoru A3. Zjistěte, pro které k se tyto roviny protínají v jediné
přímce a tuto přímku určete.
Řešení : k = 3; p ≡ X = [−1; −1; 0] + t(1; 2; 1).
50. Nalezněte přímku p v A3, která je rovnoběžná s rovinou ϱ, různoběžná s přímkou
q = {A; L(u)} a prochází bodem M. Přitom:
a) ϱ ≡ x + y − z + 7 = 0; A = [0; 0; 0], u = (1; 1; 3), M = [1; 1; 4];
b) ϱ ≡ 18x − 8y − 19z = 0; A = [2; 3; 5], u = (1; −12; 6), M = [1; 1; 1].
Řešení : a) p ≡ X = [0; 0; 2] + t(1; 1; 2); b) neexistuje.
51. Je dána rovina ϱ ≡ X = [1; 0; 0; 1]+r(5; 2; −3; 1)+s(4; 1; −1; 0) v A4. Vyšetřete
vzájemnou polohu roviny ϱ a přímky p v A4, je-li:
a) p ≡ X = [3; 1; −4; 1] + t(−1; 1; 2; 1) ;
b) p ≡ {A; L(u)}, kde A = [3; 0; −4; 1], u = (−1; 1; 2; 1) ;
c) p ≡ x1 − x2 + 2 = 0, 2x2 + x3 + 1 = 0, x3 + 2x4 − 3 = 0 .
CVIČENÍ 137
Řešení : a) mimoběžné; b) různoběžné, průsečík [2; 1; −2; 2]; c) p ⊆
ϱ.
52. V afinním prostoru A4 vyšetřete vzájemnou polohu:
a) přímek p ≡ X = [5; 7; 4; −5] + t(2; 3; 1; −2),
q ≡ x1 − x2 = 0, x1 + 2x3 = 5, 3x1 − 2x4 = 5 ;
b) přímky p ≡ X = [0; 0; 6; 5] + t(1; 2; −3; 0)
a roviny ϱ ≡ X = [1; 0; 0; 2] + r(1; −1; 0; 0) + s(1; 2; 0; −1) ;
c) rovin ϱ ≡ X = [0; 3; 1; 3] + t1(1; 1; −2; −2) + t2(1; 5; −4; 0);
σ ≡ X = [−9; 2; 1; −5] + r1(5; −1; 0; 2) + r2(3; 1; 2; 0) ;
d) rovin ϱ ≡ x1 − x2 + x4 = 2, 2x1 − x2 = 0;
σ ≡ 2x3 + 9x4 = 35, x1 − x4 = −2 ;
e) přímky p ≡ X = [3; 2; 0; −2] + k(1; 1; −1; 1)
a nadroviny N ≡ X = [2; 1; 1; 1] + r(1; 1; 1; 1) + s(1; 1; 1; −1)+
t(1; 1; −1; −1) ;
f) přímky p ≡ X = [0; 0; 0; 3] + t(1; 1; 1; 0) a nadroviny N ≡ x4 = 0 ;
g) nadrovin N1 ≡ 2x1 + x2 − x3 = 1; N2 ≡ 3x1 − x2 + x3 − x4 = 2 .
Řešení : a) protínají se v bodě [1; 1; 2; −1]; b) mimoběžné; c)
protínají se v bodě [1; 0; 1; −1]; d) protínají se v přímce
X = [1; 2; 4; 3]+t(2; 4; −9; 2); e) p ⊆ N; f) p ∥ N; g) protínají
se v rovině X = [0; 0; −1; −3]+r(1; 0; 2; 5)+s(0; 1; 1; 0).
53. Nalezněte přímku r, která protíná přímku p, rovinu ϱ a prochází bodem M.
Přitom
p ≡ X = [0; 0; −6; −7] + t(1; 1; 2; 1);
ϱ ≡ X = [2; 1; 1; 1] + r(1; 2; −1; 1) + s(−1; 2; 1; 2); M = [7; −2; −1; 0].
Řešení : r ≡ X = [1; 1; −4; −6] + t(7; −6; 5; 7).
54. Je dána přímka p ≡ X = [0; 1; 0; 1] + t(1; 0; −1; 1) a rovina ϱ ≡ x1 + x3 = 0;
x1 + x2 + x3 + x4 = 1. Nalezněte:
a) rovinu σ, která obsahuje p a je rovnoběžná s ϱ ;
b) nadrovinu N, která obsahuje p a je rovnoběžná s ϱ .
Řešení : a) neexistuje; b) N ≡ X = [0; 1; 0; 1] + r(−1; 0; 1; 0)
+s(0; −1; 0; 1) + t(1; 0; −1; 1).
55. Ve 4-rozměrném afinním prostoru A4
CVIČENÍ 138
a) určete parametry a, b tak, aby přímka p ležela v rovině ϱ, kde
p ≡ X = [1; 2; 1; 2] + t(1; a; 0; 2);
ϱ ≡ X = [1; 1; 2; b] + r(1; 2; 1; 2) + s(1; 1; 2; 2);
b) určete hodnotu parametru a tak, aby roviny ϱ, σ byly mimoběžné, kde
ϱ ≡ X = [3; −1; 1; −3] + t1(2; 1; 1; −3) + t2(0; 0; 1; a);
σ ≡ X = [1; −1; −1; 4] + r1(1; 2; 2; −3) + r2(1; 1; 0; 2);
c) určete hodnoty parametrů a, b tak, aby roviny ϱ, σ byly rovnoběžné, kde
ϱ ≡ x1 + x2 + x3 + x4 = 1; x1 + 2x2 + x3 − x4 = 2;
σ ≡ x1 + x3 + ax4 = 0; 2x1 + 5x2 + bx3 − 4x4 = 5;
d) určete parametry a, b tak, aby přímky p, q byly různoběžné a nalezněte
pak jejich průsečík, je-li p ≡ X = [3; 2; 1; 0] + t(0; a; 1; b),
q ≡ X = [−2; 4; 4; −1] + r(5; −5; −6; 4).
Řešení : a) a = 3, b = 2; b) a = −4; c) a = 3, b = 2;
d) a = 1, b = −1, průsečík [3; −1; −2; 3].
56. Vyšetřete vzájemnou polohu přímky p ≡ X = [4; 1; 3; a]+t(2; 2; −1; −1) a roviny
ϱ ≡ X = [3; −1; −1; 6] + r(−2; 1; −2; 1) + s(4; −1; −1; 0) v závislosti na parametru
a.
Řešení : pro a ̸= 11
4
mimoběžné, pro a = 11
4
různoběžné, průsečík
[34
24
; −38
24
; 103
24
; 97
24
].
57. Vyšetřete vzájemnou polohu podprostorů B, C v A, a určete jejich průnik, je-li:
a) B ≡ X = [−2; 10; −1; 2; −1] + t(2; −8; 3; −5; 1) ,
C ≡ X = [1; 1; 2; −1; 3] + r(1; −1; 0; 2; 3) + s(0; 2; −1; 3; 5) ;
b) B ≡ X = [1; 1; 1; 1; 1] + t(2; −8; 3; −5; −9) ,
C ≡ X = [1; 1; 2; −1; 3] + r(1; −1; 0; 2; 3) + s(0; 2; −1; 3; 5) ;
c) B ≡ X = [2; −3; 1; 5; 0] + r(3; −2; 1; 0; 1) + s(−1; 5; −2; 0; 3) ,
C ≡ X = [0; −1; 0; 4; 1] + t(1; 2; 4; 0; −2) + q(6; 3; 4; 0; 3) ;
d) B ≡ X = [−2; −3; 2; 0; 5] + r(1; −1; 1; 1; 3) + s(−1; 2; 1; 2; −2) ,
C ≡ X = [−1; 0; 3; 3; 8] + t(1; 1; −3; −3; 1) + q(0; 1; 2; 3; 1) ;
e) B ≡ X = [2; 0; 2; 0; 1] + r(2; 1; 0; 0; 0) + s(0; 0; 1; 2; 3) ,
C ≡ X = [1; 0; 0; 1; 0] + t(1; 0; 0; 0; 0) + q(1; 1; 0; 0; 0)+
k(1; 1; 0; 0; 1);
f) B ≡ X = [1; 2; 1; 0; 1] + r(1; 1; 0; 0; −1) + s(0; 1; 1; 1; 0) ,
C ≡ x1 + x2 + x4 − 3 = 0, x1 + x2 + x3 − x5 − 2 = 0 ;
g) B ≡ x1 + x2 − 1 = 0, C ≡ x4 + x5 − 2 = 0 .
CVIČENÍ 139
Řešení : a) různoběžné, průnikem je bod [0; 2; 2; −3; 0]; b)
rovnoběžné různé; c) mimoběžné, mají společný směr
(5; 1; 0; 0; 5); d) různoběžné, průnikem je přímka X =
[−2; −1; 6; 6; 7] + t(0; 1; 2; 3; 1); e) mimoběžné, mají společný
směr (0; 0; −2; 1; 0); f) různoběžné, průnikem je
bod [0; 2; 2; 1; 2]; g) různoběžné, průnikem je podprostor
X = [1; 0; 0; 2; 0] + r(−1; 1; 0; 0; 0) + s(0; 0; 1; 0; 0) +
t(0; 0; 0; −1; 1).
58. V A jsou dány mimoběžky p = {A; L(u)}, q = {B; L(v)} a bod M. Určete
průsečíky P, Q obou mimoběžek s jejich příčkou procházející bodem M, je-li:
a) A = [3; −1; 4], u = (1; −1; 2);
B = [−1; 2; −2], v = (2; 0; 1); M = [1; 3; −2];
b) A = [3; 3; 3], u = (2; 2; 1); B = [1; 6; 0], v = (1; 1; 1); M = [4; 5; 3];
c) A = [3; 1; 8], u = (2; 4; 3);
B = [0; 2; −5], v = (5; −1; 2); M = [4; 0; −1];
d) A = [1; 1; 1; 1], u = (1; 2; 1; 0);
B = [2; 2; 3; 1], v = (1; 0; 1; 3); M = [4; 5; 2; 7];
e) A = [1; 3; 0; 1], u = (0; 2; 1; 2);
B = [2; 4; 0; 2], v = (1; 1; 1; 2); M = [0; 2; 1; 1];
f) A = [0; 2; −5; −10], u = (1; 1; −1; −1);
B = [0; 0; −1; 0], v = (1; 1; −1; −2); M = [8; 9; −11; −15].
Řešení : a) P = [1; 1; 0], Q = [1; 2; −1]; b) P = [5; 5; 4],
Q = [0; 5; −1]; c) P = [1; −3; 5], Q = [5; 1; −3]; d)
P = [2; 3; 2; 1], Q = [1; 2; 2; −2]; e) neexistují; f) P =
[12; 14; −17; −22], Q = [4; 4; −5; −8].
59. V A jsou dány mimoběžky p = {A; L(u)}, q = {B; L(v)} a vektor w. Určete
průsečíky P, Q obou mimoběžek s jejich příčkou rovnoběžnou s vektorem w, je-li:
a) A = [1; −2; 5], u = (1; 3; −1);
B = [−1; 1; −5], v = (1; 1; 2); w = (1; −2; 3);
b) A = [2; 1; 1], u = (1; −1; 2); B = [1; 3; 2], v = (0; 1; 1); w = (1; 1; 4);
c) A = [0; 9; −2], u = (1; 0; 0); B = [1; 2; −1], v = (1; −1; 1);
w = (1; 2; 0);
d) A = [1; 2; 3; 1], u = (0; 1; 0; 2); B = [2; 2; 2; 1], v = (1; 0; 2; −1);
w = (1; 1; 2; 1);
e) A = [2; 1; 0; 2], u = (−1; 0; 1; 2); B = [2; 0; 1; 1], v = (1; 1; 1; 1);
w = (0; 2; 1; 4);
f) A = [7; 1; 2; 5], u = (0; 1; 1; −1); B = [5; 2; 2; 4], v = (2; 3; 0; 1);
w = (1; 1; 1; 1).
CVIČENÍ 140
Řešení : a) P = [2; 1; 2], Q = [1; 3; −1]; b) neexistují;
c) P = [3; 9; −2], Q = [0; 3; −2]; d) neexistují;
e) P = [1; 1; 1; 4], Q = [1; −1; 0; 0]; f) neexistují.
60. V A3 nalezněte parametrické vyjádření příčky mimoběžek p, q, která je rovnoběžná
s rovinami ϱ, σ. Přitom p ≡ X = [−5; 2; 2] + t(2; 0; 1); q ≡ z − 2 = 0,
5x−8y+9z+100 = 0; ϱ ≡ X = [3; 0; 0]+r(3; 2; 0)+s(1; 0; 2); σ ≡ x−4y−3z+12 = 0
61. V A3 je dán rovnoběžnostěn R3(A; u1, u2, u3). Vzhledem k repéru ⟨A; u1, u2, u3⟩
určete parametrické rovnice příčky mimoběžek p ≡ X = A + t u1 a q ≡ X =
(A + u2) + r u3
a) procházející středem rovnoběžnostěnu,
b) se směrovým vektorem u1 + 2 u2.
Řešení : a) X = [1
2
; 1
2
; 1
2
] + t (−1
2
; 1
2
; 1
2
);
b) X = [0; 1; 0] + t (1; 2; 0).
62. Stanovte číslo m tak, aby roviny α1 ≡ x − y + z = 0, α2 ≡ 3x − y − z + 2 = 0 a
α3 ≡ 4x − y − 2z + m = 0 patřily do téhož svazku rovin.
Řešení : m = 3.
63. Jaká podmínka musí být splněna, aby tři roviny α1 ≡ x − ay + bz = 0, α2 ≡
−bx + y − az = 0 a α3 ≡ bx − ay + z = 0 v A3 patřily do téhož svazku rovin? Jaká
je podmínka, aby byly navíc tyto roviny různé?
Řešení : b = 1, a libovolné, nebo a+b = −1 nebo a = 1, b libovolné;
roviny různé ⇔ a + b = −1, a ̸= ±1, a ̸= 0, a ̸= −2.
64. Dokažte, že tři roviny α1 ≡ 2x + y − 7z − 7 = 0, α2 ≡ x − 2z − 4 = 0 a
α3 ≡ x + y + 9z + 8 = 0 patří do téhož trsu rovin 2. druhu. Určete společný směr
těchto rovin.
65. Ve svazku nadrovin v A5 určeném nadrovinami N1 ≡ x1 + 2x2 − 4x4 + 2 = 0 a
N2 ≡ x2 + 3x3 − x5 − 4 = 0 nalezněte nadrovinu, která prochází společným bodem
nadrovin x1 + x2 − 4 = 0, x2 + x3 − 1 = 0, x3 + x4 + 2 = 0, x4 − x5 + 3 = 0 a
x1 + x3 + x5 + 4 = 0.
Řešení : N ≡ 28x1 − 43x2 − 73x3 − 112x4 + 43x5 + 228 = 0.
66. V A3 určete rovnici roviny, která obsahuje přímku p ≡ 2x−z = 0, x+y−z+5 = 0
a
a) prochází bodem A = [1; 2; 1],
b) je rovnoběžná s přímkou q ≡ X = [0; 2; −1] + t(7; −1; 4).
Řešení : a) α ≡ −13x + y + 6z + 5 = 0;
b) α ≡ −3x − 5y + 4z − 25 = 0.
CVIČENÍ 141
67. V A3 určete rovnici roviny, která obsahuje přímku p ≡ 3x − 4y + z − 12 =
0, 4x − 7y − 3z + 4 = 0 a je rovnoběžná s přímkou q ≡ X = [1; 7; 5] + t(82; 0; 79).
Řešení : α ≡ −79x + 147y + 82z − 184 = 0.
68. V A3 určete rovnici roviny, která je určena body A = [1; 2; 3], B = [1; 5; 2]
společným bodem rovin α ≡ 2x−y+z−1 = 0, β ≡ 2x−3y+z+5 = 0, γ ≡ x−z = 0.
Řešení : ρ ≡ 6x − y − 3z + 5 = 0.
69. V A3 jsou dány čtyři roviny α ≡ 2x + y − z − 2 = 0, β ≡ x − 3y + z + 1 =
0, γ ≡ x + y + z − 3 = 0, δ ≡ x + y + 2z = 0. Dokažte:
a) že žádné tři z těchto rovin nepatří do téhož svazku rovin;
b) že všechny roviny nepatří do téhož trsu rovin.
70. Pro roviny ze Cvičení 69 určete roviny, které jsou rovnoběžné s jednou rovinou
a patří do trsu rovin, který je určen zbývajícími třemi rovinami.
Řešení : α′
≡ 2x + y − z − 56 = 0, β′
≡ x − 3y + z + 36 = 0,
γ′
≡ x + y + z − 9
19
= 0, δ′
≡ x + y + 2z − 4 = 0.
71. V A3 určete rovnici roviny, která patří do svazku rovin určeného rovinami α1 ≡
2x − 3y + z − 3 = 0, α2 ≡ x + 3y + 2z + 1 = 0 a prochází průsečíkem rovin
β1 ≡ 2x + y − z + 3 = 0, β2 ≡ 3x − z = 0 a β3 ≡ 2y + 2z = 0.
Řešení : ρ ≡ 2x + 15y + 7z + 7 = 0.
72. Nakreslete přímku a na ní body A, B, C tak, aby:
a) (C; A, B) =
1
2
; b) (A; B, C) =
1
2
; c) (B; A, C) =
1
2
;
d) (A; C, B) = −1; e) (A; B, C) = −1; f) (B; C, A) = 3.
73. Nechť A, B, S jsou tři navzájem různé body na přímce. Pak bod S je středem
dvojice bodů A, B právě když (A; S, B) = 1
2
. Dokažte.
74. V afinním prostoru A3 jsou dány dvě mimoběžky p, q a pevné reálné číslo λ,
0 ̸= λ ̸= 1. Zjistěte, co vyplní všechny body X ∈ A3, pro něž platí: existují body
P ∈ p, Q ∈ q tak, že body P, Q, X leží na přímce a je (X; P, Q) = λ.
Řešení : body vyplní rovinu.
75. V afinním prostoru A3 jsou dány tři navzájem mimoběžné přímky p, q, r. Dále
je dáno pevné reálné číslo λ, 0 ̸= λ ̸= 1. Určete, kolik existuje trojic bodů P, Q, R
takových, že P ∈ p, Q ∈ q, R ∈ r, body P, Q, R leží na jedné přímce a platí
(R; P, Q) = λ.
Řešení : právě jedna.
CVIČENÍ 142
76. V afinním prostoru A (dim A = n ≥ 2) je dán bod A a nadrovina N tak, že
A /∈ N. Dále je dáno pevné reálné číslo λ, 0 ̸= λ ̸= 1. Zjistěte, co vyplní všechny
body X ∈ A, pro něž platí: existuje bod N ∈ N tak, že body A, N, X leží na přímce
a je (X; A, N) = λ.
Řešení : body vyplní nadrovinu rovnoběžnou s N.
77. Nechť A, B, C, X jsou čtyři navzájem různé body ležící na přímce. Dokažte, že
pak platí: (X; A, B) · (X; B, C) · (X; C, A) = 1.
78. Určete parametry x, y tak, aby A, B, C ∈ An byly tři navzájem různé body
ležící na jedné přímce a pak vypočtěte dělicí poměr λ = (C; A, B). Přitom:
ba) A = [2; 1; −2], B = [x; 11; y], C = [1; 0; −3];
b) A = [x; 2; 1], B = [1; y; 1], C = [−2; 1; 2];
c) A = [1; x; 2], B = [−1; 3; 2], C = [4; 0; y];
d) A = [2; 1; x], B = [−1; −5; y], C = [3; 3; 3];
e) A = [1; 1; 1; 2], B = [x; 2; 3; −1], C = [1; y; 5; −4];
f) A = [3; 2; −1; 0], B = [x, 1, −2, 1], C = [1; 2y; 1; 2];
g) A = [2; 1; 2; 1], B = [0; y; 2; 2], C = [4; 3; 2; 2x];
h) A = [1; −1; 6y; 0], B = [1; 1; x; 2], C = [1; 2; 3; 3].
Řešení : a) x = 12, y = 8, λ = 1
11
; b) nelze; c) x = 9
5
, y = 2, λ = 3
5
;
d) nekonečně mnoho hodnot tvaru x = t, y = 4t−9; λ = 1
4
;
e) x = 1, y = 3, λ = 2; f) nelze;
g) nekonečně mnoho hodnot tvaru x = t, y = −1; potom
λ = 1
2
;
h) nekonečně mnoho hodnot tvaru x = 2t+2, y = t; potom
λ = 3.
79. Je dána přímka p = {A; L(u)} a rovina ϱ = {B; L(v, w)}. Na přímce p nalezněte
bod C tak, aby (C; A, P) = λ, kde P je průsečík přímky p a roviny ϱ. Přitom:
a) A = [2; 2; −1; 11], u = (2; 1; 0; 1);
B = [7; 0; 0; 0], v = (1; 0; 0; −1), w = (0; 0; 1; 0); λ = 2
3
;
b) A = [2; −1; 3; 0], u = (−1; 1; 2; 1);
B = [1; 0; 1; 0], v = (1; 1; −1; 1), w = (2; 0; 1; 1), λ = 3;
c) A = [3; 2; 1; 0], u = (−1; 1; 3; 2);
B = [4; 0; 2; 1], v = (2; 0; 1; 1), w = (0; 1; 0; −1); λ = −1.
Řešení : a) C = [10; 6; −1; 15]; b) nelze, neboť A = P;
c) nelze, neboť p, ϱ jsou mimoběžné.
80. Nalezněte střed S dvojice bodů A, B, je-li:
a) A = [1; 2; 3; 4; 5], B = [5; 0; 9; 4; 7];
b) A = [2; 1; 0; 1; 1], B = [2; 1; 0; 1; 1].
CVIČENÍ 143
Řešení : a) S = [3; 1; 6; 4; 6]; b) S = A = B = [2; 1; 0; 1; 1].
81. V afinní rovině udejte příklad dvou různých polorovin P, R tak, že
a) P ∩ R je opět polorovina,
b) P ∩ R je podprostor,
c) P ∩ R je úhel,
d) P ∩ R = ∅,
e) P ∩ R ̸= ∅ a není polorovina ani podprostor ani úhel.
82. V 5-rozměrném afinním prostoru A udejte příklad dvou různých poloprostorů
P, R takových, že
a) P ∩ R je poloprostor, b) P ∩ R je nadrovina,
c) P ∩ R je přímka, d) P ∩ R = ∅.
Řešení : c) neexistuje.
83. Dokažte, že dva body R = [r1; . . . ; rn], S = [s1; . . . ; sn] patří do téhož poloprostoru
v A, vyť atého nadrovinou N ≡ a1x1 + · · · + anxn + a = 0, právě když:
(a1r1 + · · · + anrn + a) · (a1s1 + · · · + ansn + a) ≥ 0 .
84. V afinním prostoru A je dána přímka p = {A; L(u)} a nadrovina N tak, že se
protínají v bodě C. Dokažte, že neexistuje bod B ∈ p tak, aby body A, B ležely v
opačných poloprostorech v A, vyť atřch nadrovinou N a platilo (C; A, B) = 1
2
.
85. Nalezněte průnik úsečky [A, B] a roviny ϱ, je-li
a) A = [−1; 1; 1]; B = [3; 1; −2];
ϱ ≡ X = [1; 0; 0] + r(1; 1; 0) + s(0; 1; −1);
b) A = [1; 1; 3]; B = [4; 0; 1]; ϱ ≡ X = [3; 1; 4] + r(1; 2; 2) + s(2; 3; 1);
c) A = [5; 1; 3]; B = [1; −3; 4]; ϱ ≡ 2x − 3y − 4z + 5 = 0;
d) A = [−1; 1; 2]; B = [0; 3; 2]; ϱ ≡ x − 2y − z + 6 = 0.
Řešení : a) bod [9
7
; 1; −5
7
]; b) ∅; c) úsečka [A, B]; d) bod [−2
3
; 5
3
; 2].
86. Rozhodněte, zda body A, B jsou, respektive nejsou, oddělovány nadrovinou N,
je-li:
a) A = [7; 5; 8; 3]; B = [3; 2; 7; 8];
N ≡ X = [1; 2; 2; 1] + r(2; −1; 1; 0) + s(1; 0; 1; 0) + t(0; 1; 1; 1);
b) A = [3; −2; −3; 1]; B = [9; −2; 3; −8];
N ≡ 3x1 − 7x2 + 11x3 + 13x4 − 17 = 0;
c) A = [2; 1; 6; 7]; B = [1; −3; 2; 9];
N ≡ X = [3; 1; 2; 7] + r(1; 2; 2; 1) + s(0; 7; 1; 1) + t(−1; 5; 3; 4).
Řešení : a) jsou; b) nejsou; c) nelze rozhodnout, neboť B ∈ N.
CVIČENÍ 144
87. Rozhodněte o vzájemné poloze bodů A, B, C v poloprostorech v A vyť atých
nadrovinou N, je-li
a) A = [1; 2; 1; 1; −1]; B = [−1; 6; 3; 0; 1]; C = [0; 1; 0; 1; 0];
N ≡ x1 − x2 + x4 + x5 + 3 = 0;
b) A = [1; 2; 2; 1; 1]; B = [8; 7; 6; 5; 4]; C = [4; 3; 2; 2; 3];
N ≡ X = [5; 5; 5; 5; 5] + t1(1; 1; 1; 0; 1] + t2(1; 1; 1; 0; 0)+
t3(1; 1; 0; 0; 0) + t4(1; 0; 0; 0; 0).
Řešení : a) A, C patří do stejného poloprostoru, B do opačného
jako A, C;
b) B ∈ N; A, C patří do stejného poloprostoru.
88. Jsou dány čtyři body A = [2; 3; 0; 1], B = [−2; 1; 2; 3], C = [1; 2; 1; −3], D =
[4; 2; 1; −18]. Určete vzájemnou polohu:
a) úsečky [A, B] a polopřímky (C; D);
b) úsečky [A, B] a polopřímky (D; C).
Řešení : a) disjunktní; b) protínají se v bodě [0; 2; 1; 2].
89. V afinní rovině udejte příklad tří polorovin tak, že:
a) jejich množinovým sjednocením je konvexní množina;
b) jejich množinovým sjednocením není konvexní množina;
c) jejich průnikem není konvexní množina;
d) jejich průnikem je konvexní mnohostěn;
e) jejich průnikem není konvexní mnohostěn.
Řešení : c) neexistuje.
90. Ve 3-rozměrném afinním prostoru A udejte příklad množin M1, M2 tak, že:
a) M1 ⊈ M2 a K(M1) ⊇ K(M2);
b) M1 ⊈ M2 a K(M1) ⊉ K(M2).
Řešení : b) neexistuje.
91. Ve 4-rozměrném afinním prostoru A udejte příklad k-rozměrného rovnoběžnostěnu,
přičemž:
a) k = 1; b) k = 3; c) k = 5.
Řešení : c) neexistuje.
92. V afinní rovině nalezněte konvexní množinu K, pro niž platí:
a) existují přímky p, q, r, s tak, že p ⊆ K, q ∩ K je polopřímka,
r ∩ K je otevřená polopřímka, s ∩ K je úsečka;
b) platí podmínky a) a navíc existuje přímka t ̸= s tak, že t ∩ K je úsečka.
CVIČENÍ 145
Řešení : a) K je otevřená polorovina sjednocená s úsečkou, která
je částí hraniční přímky uvažované otevřené poloroviny; b)
neexistuje.
93. Nechť I je neprázdná indexová množina a nechť Ki (i ∈ I) jsou konvexní
množiny, které jsou vzhledem k inkluzi lineárně uspořádány (tzn. pro libovolná i, j ∈
I je Ki ⊆ Kj nebo Kj ⊆ Ki). Potom množinové sjednocení ∪Ki (i ∈ I) je také
konvexní množina. Dokažte.
94. Nechť K je podmnožina v A. Pak K je konvexní množinou právě když je konvexní
množinou průnik K ∩ p, pro každou přímku p z A. Dokažte.
95. Nechť A ∈ A je bod, M ⊆ A libovolná podmnožina v A. Dokažte, že platí
K({A} ∪ M) = {X ∈ A | X ∈ [A, B], kde B ∈ K(M) libovolné}
a dále ukažte, že požadavek B ∈ K(M) nelze zeslabit na B ∈ M.
96. Nechť v afinním prostoru An je dáno (n + 2) konvexních množin K1, . . . , Kn+2
takových, že každých (n + 1) z těchto množin má neprázdný průnik. Potom všechny
množiny K1, . . . , Kn+2 mají neprázdný průnik. Dokažte.
97. Zformulujte předchozí cvičení pro afinní rovinu (tj. pro n = 2) a pomocí obrázku
ukažte, že není možno vynechat předpoklad konvexnosti zadaných množin
K1, . . . , K4.
98. Nechť v afinním prostoru A (dim A = n) je dáno s konvexních množin K1,
. . . , Ks, kde s ≥ n + 2. Nechť každých n + 1 množin z množin K1, . . . , Ks má
neprázdný průnik. Potom všechny množiny K1, . . . , Ks mají neprázdný průnik. Do-
kažte.
99. V afinní rovině je dána množina M. Rozhodněte, zda M je konvexní množinou,
je-li:
a) M = {[x; y] | x2
+ 2y2
− 3 ≥ 0};
b) M = {[x; y] | 3x2
− y ≤ 0};
c) M = {[x; y] | x2
− y2
− 3 ≥ 0}.
Řešení : a) není konvexní; b) je konvexní; c) není konvexní.
100. V afinní rovině je dán bod A = [2; 0] a přímka p ≡ X = [0; 0] + t(1; 1).
Rozhodněte, zda body X = [2; 1], Y = [1; 2], Z = [4; 1] leží v množině K({A} ∪ p).
Řešení : X leží, Y neleží, Z neleží.
101. V afinní rovině jsou dány body A = [−2; 3], B = [−1; 0] a přímky p ≡ X =
[4; 1]+ t(7; 2), q ≡ x + 7y − 10 = 0. Popište množinu M = K({A} ∪ p) ∩ K({B} ∪ q)
a rozhodněte, zda M je konvexní mnohostěn, respektive simplex, respektive rovno-
běžnostěn.
CVIČENÍ 146
Řešení : M = K({[0; −1
7
], [11
3
; 19
21
], [−5; 15
7
], [−26
3
; 23
21
]}); M je konvexní
mnohostěn, není simplex, je 2-rozměrný rovnoběžnostěn
M = R([0; −1
7
]; (7; 2), (7; −1)).
102. Nalezněte systém lineárních nerovností určujících konvexní mnohostěn
K({A1, . . . , A6}), jestliže A1 = [0; 0; 0; 0], A2 = [1; 0; 0; 0], A3 = [0; 1; 0; 0], A4 =
[1; 1; 0; 0], A5 = [0; 0; 1; 0], A6 = [0; 0; 0; 1].
Řešení : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x1 + x3 + x4 − 1 ≥ 0,
x2 + x3 + x4 − 1 ≤ 0.
103. V A3 je dána konvexní množina K systémem lineárních nerovností: x ≥ 0;
y ≥ 0; z ≥ 0; y − 2 ≤ 0; z − 3 ≤ 0; x + z − 6 ≤ 0; 2x + 3y + 3z − 18 ≤ 0. Ukažte, že
K je konvexní mnohostěn a nalezněte konečnou množinu M bodů z A3 takovou, že
K = K(M).
Řešení : M = {[0; 0; 0], [0; 2; 0], [6; 2; 0], [6; 0; 0], [0; 2; 3], [3
2
; 2; 3],
[3; 1; 3], [3; 0; 3], [0; 0; 3]}.
104. Ve 4-rozměrném euklidovském vektorovém prostoru V udejte příklad
a) podprostoru W takového, že W⊥
= L((1; 1; 1; 1));
b) vektoru x a podprostoru W tak, že ortogonální projekcí x na W je o;
c) podprostorů W, S, které nejsou kolmé;
d) podprostorů W, S, které jsou kolmé, ale nejsou totálně kolmé;
e) podprostorů W, S, které jsou totálně kolmé.
105. Dokažte, že v euklidovském vektorovém prostoru V platí:
a) (u, x) = (v, x) pro libovolné x ∈ V ⇔ u = v;
b) u ⊥ v ⇔ ∥u − v∥2
= ∥u∥2
+ ∥v∥2
;
c) ∥u∥ = ∥v∥ ⇔ (u + v)⊥(u − v).
106. Nechť u1, . . . , uk, w jsou vektory z euklidovského vektorového prostoru V takové,
že w ⊥ ui pro i = 1, . . . , k. Pak je w ⊥ L(u1, . . . , uk). Dokažte.
107. Jestliže Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces aplikujeme na posloupnost
u1, . . . , uk lineárně nezávislých vektorů, pak výsledná ortogonální posloupnost e1, . . . , ek
neobsahuje žádný nulový vektor. Dokažte.
108. O vektorech u, v ověřte, že jsou ortogonální a doplňte je na ortogonální bázi
celého prostoru, je-li
a) u = (1; −2; 2; −3), v = (2; −3; 2; 4);
b) u = (1; 1; 1; 2), v = (1; 2; 3; −3).
Řešení : a) (2; 2; 1; 0), (−5; 2; 6; 1); b) (1; −2; 1; 0), (25; 4; −17; −6).
CVIČENÍ 147
109. Pomocí Gramm-Schmidtova ortogonalizačního procesu nalezněte ortogonální
bázi podprostoru W, generovaného vektory:
a) u = (1; 2; 2; −1), v = (1; 1; −5; 3), w = (3; 2; 8; −7);
b) u = (1; 1; −1; −2), v = (5; 8; −2; −3), w = (3; 9; 3; 8).
Řešení : a) (1; 2; 2; −1), (2; 3; −3; 2), (2; −1; −1; −2);
b) (1; 1; −1; −2), (2; 5; 1; 3).
110. Nalezněte ortonormální bázi podprostoru W = L(u, v, w) obsahující násobek
vektoru x, je-li:
a) u = (1; −1; 2; 4), v = (1; −2; 2; 3), w = (2; −2; 5; 7),
x = (4; −5; 9; 0);
b) u = (1; −2; 2; 3), v = (1; −2; 2; 0), w = (−1; 1; 0; 0),
x = (−1; 2; −2; 0).
Řešení : a) nelze, neboť x /∈ W;
b) 1
3
(−1; 2; −2; 0), (0; 0; 0; 1), 1
3
(−2; 1; 2; 0).
111. Nalezněte bázi ortogonálního doplňku W⊥
podprostoru W, je-li:
a) W = L(u), kde u = (1; 2; 3; 0);
b) W = L(u, v), kde u = (1; 0; 1; 0), v = (0; 1; 0; 1);
c) W = L(u, v, w), kde u = (1; 1; 1; 1), v = (1; 1; 1; 0), w = (1; 1; 0; 0);
d) W = L(u, v, w), kde u = (1; 2; −1; 1), v = (1; 1; 2; 3),
w = (1; 3; −4; −1).
Řešení : a) (0; 0; 0; 1), (−3; 0; 1; 0), (−2; 1; 0; 0);
b) (1; 0; −1; 0), (0; 1; 0; −1); c) (1; −1; 0; 0);
d) (−5; 2; 0; 1), (−5; 3; 1; 0).
112. Nalezněte ortogonální projekci y a ortogonální komponentu z vektoru x na
podprostor W = L(u, v, w), je-li:
a) x = (5; 2; −2; 2); u = (2; 1; 1; −1), v = (1; 1; 3; 0), w = (1; 2; 8; 1);
b) x = (14; −3; −6; −7), u = (−3; 0; 7; 6), v = (1; 4; 3; 2),
w = (2; 2; −2; −2);
c) x = (2; −5; 3; 4), u = (1; 3; 3; 5), v = (1; 3; −5; −3),
w = (1; −5; 3; −3).
Řešení : a) y = (3; 1; −1; −2), z = (2; 1; −1; 4);
b) y = (5; 2; −9; −8), z = (9; −5; 3; 1);
c) y = (0; −3; 5; 2), z = (2; −2; −2; 2).
113. Nalezněte ortogonální projekci vektoru x na podprostor W zadaný systémem
homogenních lineárních rovnic, je-li:
CVIČENÍ 148
a) x = (7; −4; −1; 2); W ≡ 2x1 + x2 + x3 + 3x4 = 0,
3x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 0, x1 + 2x2 + 2x3 + 9x4 = 0;
b) x = (−3; 0; −5; 9); W ≡ 3x1 + 2x2 + x3 − 2x4 = 0,
5x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 0, x1 + 2x2 + 3x3 + 10x4 = 0.
Řešení : a) (0; −3
2
; −3
2
; 0); b) (1; 2; −5; 1).
114. Zjistěte, zda podprostory W, S jsou kolmé, respektive totálně kolmé, je-li:
a) W = L((2; 1; 0; 1; 0), (1; 3; −1; 1; 0));
S = L((1; 1; 1; −3; 8), (−1; 1; 1; 1; 1));
b) W = L((1; 2; 0; 0; 0), (0; 1; 2; 0; 1));
S = L((4; −2; 1; 0; 0), (2; −1; 0; 0; 1), (−2; 1; −1; 0; 1));
c) W = L((1; −1; 1; −1; 1), (−1; 2; 0; 1; 1), (0; −1; 2; 2; 1));
S = L((1; 2; 3; 4; 5), (−1; 0; 1; 2; 3), (1; 1; 1; 1; 1)).
Řešení : a) nejsou kolmé; b) kolmé, ale nikoliv totálně kolmé;
c) totálně kolmé.
115. Dokažte, že matice A je maticí přechodu mezi dvěmi ortonormálními bázemi
2-rozměrného euklidovského prostoru právě když A je tvaru
A =
cos α sin α
− sin α cos α
nebo A =
cos α sin α
sin α − cos α
, kde α ∈ R
Návod : použijte obrázku na obálce skript a Poznámky 16.7.
116. V E3 udejte příklad podprostorů B, C, které
a) jsou kolmé, nejsou totálně kolmé a protínají se;
b) jsou kolmé, nejsou totálně kolmé a neprotínají se;
c) jsou totálně kolmé a protínají se;
d) jsou totálně kolmé a neprotínají se.
Řešení : d) neexistuje.
117. V E4 je dána rovina ϱ ≡ x1 = 0, x4 − 1 = 0. Udejte příklad:
a) dvou různých podprostorů, které jsou totálně kolmé k ϱ;
b) podprostoru, který je kolmý, ale není totálně kolmý k ϱ;
c) roviny σ, která je kolmá k ϱ, a průnikem ϱ ∩ σ je přímka.
Řešení : c) neexistuje.
118. V 5-rozměrném euklidovském prostoru E udejte příklad bodu A a podprostoru
B tak, že bodem A prochází nekonečně mnoho podprostorů
a) kolmých k B; b) totálně kolmých k B.
CVIČENÍ 149
Řešení : b) neexistuje.
119. Nalezněte přímku p, která prochází bodem Q, leží v rovině ϱ a je kolmá k
přímce q. Přitom Q = [−1; 1; −1]; ϱ ≡ x1 + x2 + x3 + 1 = 0, q ≡ x1 + 2x2 = 0,
x2 − x3 + 1 = 0.
Řešení : p ≡ X = [−1; 1; −1] + t(0; 1; −1).
120. V A3 určete rovnici roviny, která obsahuje společný bod tří rovin α ≡ 2x +
y − z − 2 = 0, β ≡ x − 3y + z + 1 = 0, γ ≡ x + y + z − 3 = 0 a
a) je rovnoběžná s rovinou ρ ≡ x + y + 2z = 0,
b) je kolmá na vektor (2; −1; 3).
Řešení : a) ρ′
≡ x + y + 2z − 4 = 0; b) σ ≡ 2x − y + 3z − 4 = 0.
121. Nalezněte hodnoty parametru k, pro něž jsou přímka p a rovina ϱ kolmé
a) p ≡ X = [0; 1; 0] + t(1; 2; 3); ϱ ≡ (k + 4)x1 + (2 − k)x2 − 3kx3 = 5;
b) p ≡ X = [2; 1; 0] + t(−1; 1; 2); ϱ ≡ (k + 1)x1 + (k + 2)x2 − kx3 = 1.
Řešení : a) k = −2; b) neexistuje.
122. Nalezněte příčku mimoběžek p, q, která je kolmá k p i q. Přitom
a) p ≡ X = [8; 5; 8] + t(1; 2; −1); q ≡ X = [−4; 3; 4] + r(−7; 2; 3);
b) p ≡ X = [1; −2; 0] + t(2; 3; 1); q ≡ x + y − z = 1; −3x + y + z = 9.
Řešení : a) X = [3; 1; 1] + t(2; 1; 4); b) X = [−1; 4; 2] + t(−5; 3; 1).
123. Nalezněte příčku mimoběžek p, q, která je kolmá k nadrovině N. Přitom
p ≡ X = [1; 0; 1; 1] + t(−1; 1; 2; 1); q ≡ X = [3; 1; 3; 4] + r(2; −1; 1; 0);
N ≡ x1 + x2 − x3 + 2x4 − 7 = 0.
Řešení : X = [0; 1; 3; 2] + t(1; 1; −1; 2).
124. Určete hodnotu parametru k tak, aby přímky p = {A; L(u)}, q = {B; L(v)}
byly kolmé, případně najděte jejich průsečík. Přitom A = [3; 6; 5; 10],
u = (1; 2; 3 + k; 3), B = [2; 1; 1; 5], v = (1; −1; k; 1).
Řešení : přímky jsou kolmé pro k = −1, −2; přitom pro k = −1
jsou mimoběžné a pro k = −2 různoběžné s průsečíkem
[1; 2; 3; 4].
125. Nalezněte rovinu, která je kolmá k přímkám p, q. Přitom
p ≡ X = [3; 0; 0; −1] + t(2; 0; −1; −1); q ≡ X = [2; −2; 1; 7] + r(0; 4; −2; −3).
Řešení : nekonečně mnoho rovin, majících zaměření
L((2; 3; 0; 4), (1; 1; 2; 0)).
CVIČENÍ 150
126. Nalezněte parametrické vyjádření přímky p procházející bodem A, která leží v
rovině ϱ a je kolmá k rovině σ. Přitom:
a) A = [1; 0; 0; 1]; ϱ ≡ X = [1; 1; 1; 0] + r(0; 1; 1; 1) + s(1; 0; 1; 1);
σ ≡ x1 + x2 − x3 + 2x4 − 1 = 0; x1 + 3x3 + x4 = 0;
b) A = [1; 0; 0; −1]; zadání ϱ, σ je stejné jako v a).
Řešení : a) neexistuje, neboť A /∈ ϱ;
b) p ≡ X = [1; 0; 0; −1] + t(5; 2; 7; 7).
127. Nalezněte parametrické i neparametrické vyjádření roviny σ, která prochází
bodem Q a je totálně kolmá k rovině ϱ. Přitom:
a) Q = [0; 1; 0; 1]; ϱ ≡ X = [1; 2; 3; 4] + r(1; −1; −1; 1) + s(2; 2; 3; −1);
b) Q = [8; 6; 4; 2]; ϱ ≡ x1 + x2 = 1, x1 + x2 + x4 = 2.
Řešení : a) σ ≡ X = [0; 1; 0; 1] + r(1; 1; −2; −2) + s(1; 5; −4; 0),
respektive σ ≡ x1 − x2 − x3 + x4 = 0, 2x1 + 2x2 + 3x3 −
x4 − 1 = 0;
b) σ ≡ X = [8; 6; 4; 2]+r(1; 1; 0; 0)+s(1; 1; 0; 1), respektive
σ ≡ x1 − x2 − 2 = 0, x3 − 4 = 0.
128. Udejte příklad přímek p, q a nadrovin N, N′
v E4 takových, že:
a) v(p, q) = 3; b) v(p, N) = 2;
c) v(N, N′
) = 1; d) v(N, N′
) = 0.
129. Nechť R je bod, B = {B; W} je podprostor v E takový, že u1, . . . , uk je báze
zaměření W. Dokažte, že pro vzdálenost bodu R od podprostoru B platí
v(R, B) =
G(u1, . . . , uk,
−→
BR)
G(u1, . . . , uk)
130. Nechť p = {A; L(u)}, q = {B; L(v)} jsou dvě přímky v E. Dokažte, že
pro jejich vzdálenost platí v(p, q) =
G(u,
−→
AB)
(u, u)
, je-li p ∥ q, respektive v(p, q) =
G(u, v,
−→
AB)
G(u, v)
, není-li p ∥ q.
131. Na přímce p ≡ x + y + 2z − 1 = 0, 3x + 4y − z − 29 = 0 nalezněte bod mající
stejnou vzdálenost od bodů A = [3; 4; 11], B = [−5; −2; −13].
Řešení : [2; 5; −3].
132. Určete vzdálenost přímky p ≡ X = [1; 6; −6; 4] + t(1; −5; 8; 5) a roviny ϱ ≡
X = [6; 3; −5; 5] + r(1; −2; 2; 2) + s(2; −1; −2; 1).
Řešení : 3.
CVIČENÍ 151
133. Určete vzdálenost rovin ϱ, σ v E, je-li:
a) ϱ ≡ X = [4; 5; 3; 2] + t1(1; 2; 2; 2) + t2(2; 0; 2; 1);
σ ≡ X = [1; −2; 1; −3] + r1(2; −2; 1; 2) + r2(1; −2; 0; −1);
b) ϱ ≡ x1 + x2 + 2x3 − 4 = 0, 2x1 + 3x2 + 4x4 − 9 = 0;
σ ≡ x1 − 2x2 − 2x4 + 25 = 0, x1 − x3 + x4 − 15 = 0;
c) ϱ ≡ X = [5; 0; −1; 9; 3] + t1(1; 1; 0; −1; −1) + t2(1; −1; 0; −1; 1);
σ ≡ X = [3; 2; −4; 7; 5] + r1(1; 1; 0; 1; 1) + r2(0; 3; 0; 1; −2);
d) ϱ ≡ X = [4; 2; 2; 2; 0] + t1(1; 2; 2; −1; 1) + t2(2; 1; −2; 1; −1);
σ ≡ x1 − x2 = 0, x1 − x3 + x4 + x5 + 1 = 0, x3 + x4 − x5 − 4 = 0.
Řešení : a) 3; b) 10; c) 5; d) 0.
134. Určete vzdálenost přímek p, q v E, je-li
a) p ≡ X = [9; −2; 0] + t(4; −3; 1); q ≡ X = [0; −7; 2] + r(−2; 9; 2);
b) p ≡ X = [6; 3; −3] + t(−3; 2; 4); q ≡ X = [−1; −7; 4] + r(−3; 3; 8);
c) p ≡ X = [2; −2; 1; 7] + t(0; 4; −2; −3);
q ≡ X = [3; 0; 0; −1] + r(−2; 0; 1; 1);
d) p ≡ X = [7; 5; 8; 1] + t(2; 0; 3; 1);
q ≡ x1 − 4x3 = −7, x2 + 2x3 = 5, x4 = 3.
Řešení : a) 7; b) 13; c) 5; d) 6.
135. Nalezněte hodnotu parametru k tak, aby přímky p, q byly rovnoběžné a určete
pak jejich vzdálenost. Přitom:
p ≡ X = [0; 3k − 7; 2; −k − 1] + t(2; 8 − 3k; 1; k);
q ≡ X = [2k + 3; 5; 2k + 3; 1] + r(k; 2; k − 1; 2).
Řešení : k = 2; v(p, q) = 3.
136. Určete vzdálenost bodu R od podprostoru B, je-li
a) R = [2; 1; 4; −5]; B ≡ X = [1; −1; 1; 0] + t(0; 1; 2; −2);
b) R = [−9; 2; 1; −5]; B ≡ X = [1; 2; 0; 0] + r(−1; 1; 1; 3)+
s(0; −2; 1; −1);
c) R = [4; 2; −5; 1]; B ≡ 2x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = 9;
2x1 − 4x2 + 2x3 + 3x4 = 12;
d) R = [2; 1; −1; 0]; B ≡ 3x1 + x3 − x4 + 6 = 0.
Řešení : a)
√
3; b) 2
√
30; c) 5; d)
√
11.
137. V 3-rozměrném euklidovském prostoru je dána krychle ABCDA′
B′
C′
D′
o délce
hrany a. Určete:
a) Vzdálenost bodu A′
od tělesové úhlopříčky AC′
.
b) Vzdálenost bodu A′
od roviny AB′
D′
.
c) Vzdálenost bodu A′
od roviny AC′
K, kde K je střed hrany BB′
.
d) Vzdálenost přímek AB′
a A′
C.
e) Vzdálenost přímek AA′
a B′
D.
CVIČENÍ 152
Řešení : a) v(A′
, AC′
) =
√
2√
3
a; b) v(A′
, ρ(AB′
D′
)) = 1√
3
a;
c) v(A′
, σ(AC′
K)) =
√
2√
3
a; d) v(AB′
, A′
C) = 1√
6
a;
e) v(AA′
, B′
D) =
√
2
2
a.
Návod : Úlohu řešte analyticky ve vhodně zvoleném kartézském
repéru nebo výpočtem metodami stereometrie.
138. V 3-rozměrném euklidovském prostoru je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV
o délce podstavné hrany hrany a a výšce v. Určete:
a) Vzdálenost bodu A od hrany CV .
b) Vzdálenost bodu A od roviny BCV .
c) Vzdálenost přímek AB a CV .
Řešení : a) v(A, CV ) = 2 a, v√
a2+2 v2 ; b) v(A, ρ(BCV )) = 2 a, v√
a2+4 v2 ;
c) v(AB, CV ) = 2 a, v√
a2+4 v2 .
Návod : Úlohu řešte analyticky ve vhodně zvoleném kartézském
repéru nebo výpočtem metodami stereometrie.
139. V 3-rozměrném euklidovském prostoru je dán pravidelný 6-boký jehlan ABCDEFV
o délce podstavné hrany hrany 1 cm a výšce v = 2 cm. Určete:
a) Vzdálenost bodu A od hrany DV .
b) Vzdálenost bodu A od hrany CV .
c) Vzdálenost bodu A od roviny CDV .
d) Vzdálenost přímek AF a CV .
e) Vzdálenost přímek AF a BV .
Řešení : a) v(A, DV ) = 4√
5
cm; b) v(A, CV ) =
√
3·
√
17
2
√
5
cm;
c) v(AF, ρ(CDV )) =
√
3·
√
17
2
√
5
cm;
d) v(AF, CV ) =
√
3·
√
17
2
√
5
cm; e) v(AF, BV ) =
√
3
2
cm.
Návod : Úlohu řešte analyticky ve vhodně zvoleném kartézském
repéru nebo výpočtem metodami stereometrie.
140. Na přímce p ≡ {A; L(u)} nalezněte bod B tak, aby v(A, B) =
√
6 a body
A, B byly oddělovány nadrovinou N. Přitom A = [0; 1; −1; 10], u = (2; 1; 0; 1),
N ≡ x1 + 4x2 − 3x3 − x4 + 4 = 0.
Řešení : B = [−2; 0; −1; 9].
141. V orientovaném 4-rozměrném euklidovském prostoru udejte příklad vektorů
a) u1, u2, u3, u4 takových, že [u1, u2, u3, u4] = −1;
b) u1, u2, u3 takových, že G(u1, u2, u3) = −1;
c) u1, u2, u3 nenulových tak, že jejich ortogonálním doplňkem je o.
Řešení : b) neexistují.
CVIČENÍ 153
142. Jak se změní hodnota Grammova determinantu G(u1, . . . , uk), jestliže
a) zaměníme vektory ui a uj;
b) vektor ui vynásobíme reálným číslem r;
c) k vektoru ui přičteme r-násobek vektoru uj (j ̸= i).
Řešení : a) nezmění se; b) vynásobí se r2
; c) nezmění se.
143. Spočtěte vnější součin [u1, u2, u3, u4], je-li:
a) u1 = (3; −1; 5; 2); u2 = (2; 0; 7; 0), u3 = (−3; 1; 2; 0),
u4 = (5; −4; 1; 2);
b) u1 = (1; 0; 0; −1), u2 = (2; 3; 4; 7), u3 = (−3; 4; 5; 9),
u4 = (−4; −5; 6; 1);
c) u1 = (1; 2; 1; 0), u2 = (3; 5; 2; 1), u3 = (2; 1; 2; 3), u4 = (0; −2; 1; 2).
Řešení : a) −106; b) 216; c) 0.
144. V orientovaném vektorovém prostoru R3
jsou dány báze u1 = (1, −2; 1), u2 =
(0; 1; 1), u3 = (1; 0; 1), respektive v1 = (1; 1; 1), v2 = (0; 1; 0), v3 = (1; 1; k), k ̸= 1.
Určete parametr k tak, aby obě báze byly nesouhlasné.
Řešení : k > 1.
145. Ve V3 spočtěte vektorový součin u × v vektorů u, v, je-li:
a) u = (1; 3; 4), v = (−1; 2; 0);
b) u = (1; 2; −1), v = (3; 4; 5);
c) u = (−1; 2; −2), v = (2; −4; 4).
Řešení : a) (−8; −4; 5); b) (14; −8; −2); c) (0; 0; 0).
146. Ve V4 vypočtěte vektorový součin vektorů u1, u2, u3, je-li:
a) u1 = (1; 1; 1; 1), u2 = (1; 1; 1; 0), u3 = (1; 1; 0; 0);
b) u1 = (2; 1; 1; −2), u2 = (1; 2; −3; 1), u3 = (1; −1; 4; −3);
c) u1 = (1; 2; 1; 0), u2 = (0; 1; 1; −1), u3 = (2; 0; 1; 0).
Řešení : a) (1; −1; 0; 0); b) (0; 0; 0; 0); c) (−2; −1; 4; 3).
147. V euklidovské rovině spočtěte obsah rovnoběžníka, který je určen vektory u =
(2; 3), v = (1; −4).
Řešení : 11.
148. Ve 3-rozměrném euklidovském prostoru spočtěte objem rovnoběžnostěnu určeného
vektory u = (1; −3; 1), v = (2; 1; −3), w = (1; 2; 1).
Řešení : 25.
CVIČENÍ 154
149. Ve 4-rozměrném euklidovském prostoru spočtěte objem k-rozměrného rovnoběžnostěnu
Rk = R(A; u1, . . . , uk), je-li:
a) k = 2; u1 = (1; 1; 2; 2), u2 = (2; 1; −1; 1);
b) k = 3; u1 = (2; 0; 1; 0), u2 = (1; 2; 1; 0), u3 = (0; 1; 1; −1);
c) k = 4; u1 = (7; 6; 7; 6), u2 = (7; 6; −7; −6), u3 = (9; 8; 9; 8),
u4 = (9; 8; −9; −8).
Řešení : a)
√
61; b)
√
30 c) 16.
150. Nechť u, v, w ∈ V3. Dokažte, že potom platí:
a) (u × v, w) = (u, v × w);
b) u × (v × w) + v × (w × u) + w × (u × v) = o;
c) [u × v, v × w, w × u] = [u, v, w]2
;
d) u + v + w = o =⇒ u × v = v × w = w × u.
151. V 5-rozměrném euklidovském prostoru udejte příklad
a) přímek p, q, které se protínají, a je <) (p, q) = 60◦
;
b) přímek p, q, které se neprotínají, a je <) (p, q) = 60◦
;
c) přímky p a nadroviny N tak, že <) (p, N) = 90◦
;
d) nadrovin N1, N2 tak, že <) (N1, N2) = 30◦
.
152. Nechť φ, respektive φ′
, značí odchylku vektorů u, v, respektive u′
, v′
. Je-li
u′
= ru, v′
= sv a r · s > 0, pak je φ = φ′
. Dokažte.
153. Nechť p je přímka, B je netriviální podprostor v E a nechť C je podprostor v
E, který je totálně kolmý k B. Dokažte, že pak je <) (p, B)+ <) (p, C) = π
2
.
154. Nechť φ značí odchylku vektorů u, v, je-li:
a) φ = 60◦
, ∥u∥ = 5, ∥v∥ = 8, pak nalezněte ∥u + v∥ a ∥u − v∥;
b) φ = 30◦
, ∥u∥ =
√
3, ∥v∥ = 1, pak
nalezněte odchylku ψ vektorů u + v, u − v;
c) φ = 2
3
π, ∥u∥ = 2, ∥v∥ = 5, pak určete parametr k tak,
aby vektory a = 3u − v; b = ku + 17v byly ortogonální.
Řešení : a) ∥u + v∥ =
√
129, ∥u − v∥ = 7; b) cos ψ = 4
7
; c)
k = 40.
155. Určete koncový bod B úsečky [A, B], je-li A = [3; 2; 7], AB = 15 a pro odchylky
přímky AB a souřadných os platí: sin α : sin β : sin γ = 3 : 4 : 5.
Řešení : 4 řešení: [15; 11; 7]; [−9; −7; 7]; [15; −7; 7]; [−9; 11; 7].
CVIČENÍ 155
156. Nalezněte odchylku φ přímky p = {A; L(u)} a podprostoru B, je-li:
a) u = (1; 2; −2; 1); B ≡ X = [1; 1; 1; 1] + t(2; −2; 1; −1);
b) u = (−3; 15; 1; −5); B ≡ X = [0; 0; 0; 0] + r(1; −5; −2; 10)+
s(1; 8; −2; −16);
c) u = (1; 3; −1; 3); B ≡ 3x1 + x3 − 4x4 = 0, 2x1 − x2 − 3x4 + 1 = 0;
d) u = (2; 2; 1; 1); B = ⟨A, B, C⟩, kde A = [0; 0; 0; 0],
B = [3; 4; −4; −1], C = [0; 1; −1; 2];
e) u = (3; 1;
√
2; −2); B ≡ X = [1; 2; 1; 1] + r(−1; 1; −1; 0)+
s(−1; 2; −2; 1) + t(2; −1; 2; 1);
f) u = (2; 0; 2; −1); B ≡ 3x1 − 2x2 + 2x3 + x4 − 7 = 0.
Řešení : a)
π
3
; b)
π
4
; c)
π
4
; d) cos φ =
3
14
; e)
π
3
; f)
π
4
.
157. Nalezněte odchylku φ přímky p = {A; L(u)} a nadroviny N, je-li:
a) u = (2; 0; 0; 2; 1); N ≡ x1 + x2 + x3 + x5 − 7 = 0;
b) u = (0; 1; −1; 0; 0); N ≡ X = [2; 1; 1; 2; 2] + t1(2; 1; 0; 1; −1)+
t2(3; 2; 0; 0; 1) + t3(0; 1; 0; 1; 0) + t4(1; 0; 0; 1; 3).
Řešení : a)
π
6
; b)
π
4
.
158. Nalezněte odchylku φ rovin ϱ = {A; L(u1, u2)}, σ = {B; L(v1, v2)}, kde
a) u1 = (1; 1; 1; 1), u2 = (1; −1; 1; −1),
v1 = (1; 0; 0; 0), v2 = (1; 1; 0; 0);
b) u1 = (1; 2; 0; 0), u2 = (0; 1; 0; 0), v1 = (1; 1; 1; 1), v2 = (2; −2; 5; 2).
Řešení : a)
π
4
; b) cos φ =
8
9
.
159. V E3 jsou dány roviny ϱ ≡ 5x − 2y + 5z = 3, σ ≡ 2x + y − 7z = −2. Nalezněte
rovinu τ tak, aby <) (τ, ϱ) = <) (τ, σ) a rovina τ procházela průsečnicí rovin ϱ, σ.
Řešení : 2 řešení: τ ≡ 7x−y −2z = 1, resp. τ ≡ 3x−3y +12z = 5.
160. Určete odchylku přímky p ≡ x + y + 3z = 0, x − y − z = 0 a roviny ϱ ≡
2x + y + z + 1 = 0.
Řešení :
π
6
.
161. Je dána přímka p ≡ 2x − 2y + z = 0, x − 3y − 2z = 0 a rovina σ ≡ X =
[1; −1; 5] + r(1; −2; 1) + s(−2; 4; 3). Přímkou p proložte rovinu ϱ tak, že odchylka
<) (ϱ, σ) = 60◦
.
Řešení : neexistuje.
CVIČENÍ 156
162. V E3 určete odchylku
a) rovin ϱ ≡ 2x − y + z − 1 = 0, σ ≡ x + y + 2z + 3 = 0;
b) průsečnic roviny ϱ ≡ x + y + z + 2 = 0 s rovinami
σ ≡ x − y − 7 = 0 a τ ≡ x − y + z − 1 = 0;
c) roviny ϱ ≡ 2x + y − 2z + 1 = 0 a průsečnice rovin
σ ≡ 3x − y + z = 0, τ ≡ x − 2y + 3z + 4 = 0.
Řešení : a)
π
3
; b)
π
6
; c) 0.
163. V 3-rozměrném euklidovském prostoru je dána krychle ABCDA′
B′
C′
D′
o délce
hrany a. Určete:
a) Odchylku přímek AB′
a A′
C.
b) Odchylku přímek AA′
a B′
D.
c) Odchylku přímky AA′
od roviny AB′
D′
.
d) Odchylku přímky AA′
od roviny AC′
K, kde K je střed hrany BB′
.
e) Odchylku rovin ABC a AB′
D′
.
f) Odchylku rovin ABC a AC′
K, kde K je střed hrany BB′
.
Řešení : a) ∡(AB′
, A′
C) = π
2
; b) ∡(AA′
, B′
D) = arccos(
√
3
3
);
c) ∡(AA′
, ρ(AB′
D′
)) = arcsin(
√
3
3
);
d) ∡(AA′
, ρ(AC′
K)) = arcsin(
√
2√
3
);
e) ∡(α(ABC), β(AB′
D′
)) = arccos(
√
3
3
);
f) ∡(α(ABC), β(AC′
K)) = arccos(
√
5
5
).
Návod : Úlohu řešte analyticky ve vhodně zvoleném kartézském
repéru nebo výpočtem metodami stereometrie.
164. V 3-rozměrném euklidovském prostoru je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV
o délce podstavné hrany hrany a a výšce v. Určete:
a) Odchylku přímek AV a CV .
b) Odchylku přímek AV a BV .
c) Odchylku přímek AV a AB.
d) Odchylku přímky AV od roviny ABC.
e) Odchylku přímky AV od roviny BCV .
f) Odchylku rovin ABC a ABV .
g) Odchylku rovin ABV a BCV .
h) Odchylku rovin ABV a CDV .
CVIČENÍ 157
Řešení : a ) ∡(AV, CV ) = arccos(|2 v2−a2|
2 v2+a2 );
b) ∡(AV, BV ) = arccos( 2 v2
2 v2+a2 );
c) ∡(AV, AB) = arccos(
√
2 a
2
√
2 v2+a2 );
d) ∡(AV, AB) = arcsin(
√
2 v√
2 v2+a2 );
e) ∡(AV, α(BCV )) = arcsin( 2
√
2 a v√
2 v2+a2
√
4 v2+a2 );
f) ∡(α(ABC), β(ABV )) = arccos( a√
4 v2+a2 );
g) ∡(α(ABV ), β(BCV )) = arccos( a2
4 v2+a2 );
h) ∡(α(ABV ), β(CDV )) = arccos(|−4 v2+a2|
4 v2+a2 ).
Návod : Úlohu řešte analyticky ve vhodně zvoleném kartézském
repéru nebo výpočtem metodami stereometrie.
165. V 3-rozměrném euklidovském prostoru je dán pravidelný 6-boký jehlan ABCDEFV
o délce podstavné hrany hrany 1 cm a výšce v = 2 cm. Určete:
a) Odchylku přímek AF a CV .
a) Odchylku přímek AF a DV .
c) Odchylku přímky AF od roviny BCV
d) Odchylku rovin BCV a CDV .
e) Odchylku rovin ABV a CDV .
Řešení : a) cos(φ) = 1√
5
; b) cos(φ) = 1
2
√
5
; c) sin(φ) = 3
√
3√
19
;
d) cos(φ) = 11
19
; e) cos(φ) = 5
19
.
Návod : Úlohu řešte analyticky ve vhodně zvoleném kartézském
repéru nebo výpočtem metodami stereometrie.
166. V E3 nalezněte bod M
a) ležící na přímce p ≡ x + y + z = 2, x + 2y − z = 1 stejně vzdálenř
od rovin ϱ ≡ x + 2y + z = −1 a σ ≡ x + 2y + z = 3;
b) ležící na průsečnici rovin ϱ ≡ x + y + 2z = 1, σ ≡ 3x + 4y − z = 29
a stejně vzdálený od bodů A = [3; 4; 11], B = [−5; −2; −13];
c) souměrně sdružený s bodem A = [−6; 7; 10] podle roviny
ϱ ≡ x + 2y + 3z = −4;
d) souměrně sdružený s bodem A = [10; 3; 4] podle přímky
p ≡ X = [3; 2; 1] + t(5; 4; 2);
e) ležící na průsečnici rovin ϱ ≡ 2x + y + z = −8, σ ≡ x − 4y − 2z = 5
a mající od roviny τ ≡ 3x − 6y + 2z − 10 = 0 vzdálenost 5.
Řešení : a) [3; −1; 0]; b) [2; 5; −3]; c) [−12; −5; −8]; d) [6; 9; 2];
e) 2 řešení: [−5; −7; 9], respektive [−5
3
; 4
3
; −6].
167. V E3 nalezněte přímku p
CVIČENÍ 158
a) procházející bodem A = [4; −1; 3] kolmou k rovině
ϱ ≡ 3x + 2y − z = 21 ,
b) procházející průsečíkem přímky q ≡ X = [12; 9; 1] + t(4; 3; 1)
a roviny ρ ≡ 3x + 5y − z = 2 kolmou k rovině σ ≡ x − y + 6z = 4 ,
c) procházející počátkem P kartézského repéru protínající přímku
q ≡ X = [4; 3; 1] + t(1; 4; −3) tak, že odchylka p, q je 30◦
,
d) procházející bodem A = [1; 7; 9] kolmou k přímce
q ≡ 2x + y − z = −3, x − y + 4z = 0 tak, že <) (p, ϱ) = 30◦
,
kde ϱ ≡ X = [2; 1; 2] + r(1; 1; −2) + s(2; 2; −5) .
Řešení : a) X = A + t(3; 2; −1); b) X = [0; 0; −2] + t(1; −1; 6);
c) 2 řešení: X = P + t(5; 7; −2), resp. X = P + t(2; −5; 7);
d) 2 řešení: X = A + t(4; 1; 1), resp. X = A + t(1; 0; 1).
168. Ve svazku přímek určeném přímkami p1 ≡ x+y +4 = 0 a p2 ≡ 3x−2y −2 = 0
nalezněte přímky, které svírají odchylku π
4
s přímkou p1.
Řešení : p ≡ 5x + 6 = 0, p′
≡ 5y + 14 = 0.
169. V E3 nalezněte rovinu ϱ
a) procházející počátkem P kartézského repéru a kolmou k rovinám
σ ≡ 2x − y + 5z = −3, τ ≡ x + 3y − z = 7,
b) obsahující přímku p ≡ X = [2; 3; −1] + t(5; 1; 2) a kolmou k rovině
σ ≡ x + 4y − 3z + 7 = 0,
c) procházející kolmicemi vedenými bodem R = [−3; 2; 5] na roviny
σ ≡ 4x + y − 3z = 0, respektive
τ ≡ X = [0; 2; 1] + r(1; 1; −3) + s(1; 2; −1),
d) rovnoběžnou s rovinou σ ≡ 3x − 6y − 2z + 14 = 0 a mající od ní
vzdálenost 3,
e) obsahující přímku p ≡ 5x + y + z = 0, y − z + 4 = 0, přičemž
<) (ϱ, σ) = 45◦
, kde σ ≡ 4x − y + 8z − 12 = 0,
f) procházející bodem A = [3; 0; 0] a mající od počátku P vzdálenost 2
a dále <) (ϱ, σ) = 45◦
, kde σ ≡ x − z + 1 = 0,
g) procházející počátkem P a kolmou k rovině
σ ≡ 5x − 2y + 5z − 10 = 0, přičemž <) (ϱ, τ) = 45◦
,
kde τ ≡ X = [0; 1; 1] + r(4; −1; 1) + s(4; 3; −1).
Řešení : a) 2x − y − z = 0; b) 11x − 17y − 19z = −10;
c) 5x + 19y + 13z = 88; d) 2 řešení: 3x − 6y − 2z = 7,
respektive 3x−6y−2z = −35; e) 2 řešení: 20x+y+7z = 12,
respektive y − z = −4; f) 2 řešení: 2x ± 2y − z = 6;
g) 2 řešení: x − z = 0, respektive x + 20y + 7z = 0.
CVIČENÍ 159
170. Jsou dány body A = [−4; 1; 2], B = [3; 5; −1]. Určete bod C, víte-li, že střed
dvojice bodů AC leží na přímce p ≡ X = [1; 0; 1] + t(1; 1; 0) a střed dvojice bodů
BC leží v rovině ϱ ≡ x1 − x2 + 7x3 + 1 = 0 .
Řešení : nekonečně mnoho bodů ležících na přímce p′
≡ X =
[6; −1; 0] + t(2; 2; 0).
171. Jsou dány body A = [2; −1; 7], B = [4; 5; −2]. Určete dělicí poměr bodů
(C; B, A), kde C je průsečík přímky AB s přímkou p ≡ X = [4; 1; 4]+ +t(1; 2; −3).
Řešení : (C; B, A) = 2, přičemž C = [0; −7; 16].
172. Zjistěte, zda M je konvexní množina v A (dim A = 3), je-li:
a) M = {[x1; x2; x3] | x2
1 + 2x2
2 + x2
3 ≤ 2} ,
b) M = {[x1; x2; x3] | x2
1 + 2x2
2 − x2
3 ≤ 2} .
Řešení : a) je konvexní; b) není konvexní.
173. Zjistěte, zda body B, resp. C, resp. D patří do konvexního mnohostěnu K =
K({A1, A2, A3, A4}), kde A1 = [3; 1; −1], A2 = [−2; 2; 0], A3 = [2; 2; 1], A4 = [1; 0; 4],
B = [−1; 2; 1], C = [0; 2; 1
2
], D = [1; 1; 1]
Řešení : B nepatří do K; C, D patří do K.
174. V E (dim E = 3) zadejte přímku p a body A, B tak, aby úloha nalézt na přímce
p bod R mající stejnou vzdálenost od bodů A, B měla jediné (respektive nekonečně
mnoho, respektive žádné) řešení.
175. Určete, která z rovin ϱ ≡ x − y − 3 = 0, σ ≡ 2x + y − z + 1 = 0 má větší
vzdálenost od počátku P kartézského repéru.
Řešení : rovina ϱ.
176. Vypočtěte vzdálenost daných rovnoběžných rovin ϱ ≡ x + y + z − 1 = 0,
σ ≡ x + y + z = 0
Řešení : v(ϱ, σ) =
√
3
3
.
177. Nalezněte kolmici p vedenou bodem R = [4; −1; 3] na rovinu ϱ ≡ 3x+2y −z =
21 a určete kolmý průmět bodu R na ϱ.
Řešení : p ≡ X = [4; −1; 3] + t(3; 2; −1); kolmý průmět [7; 1; 2].
178. Je-li normálový vektor roviny ϱ ≡ a1x+a2y +a3z +a = 0 normovaný, pak pro
vzdálenost bodu R = [r1; r2; r3] od roviny ϱ platí
v(R, ϱ) = |a1r1 + a2r2 + a3r3 + a| .
Dokažte.
179. Najděte příčku r mimoběžek p ≡ X = [4; 1; 4] + t(1; −1; 0); q ≡ x + z = 3,
5x − y = 0, která je kolmá k rovině ϱ ≡ 2x + 2y + z = 0.
Řešení : r ≡ X = [ 1
10
; 1
2
; 29
10
] + t(2; 2; 1).
Použitá literatura 160
Použitá literatura
Baz V. T. Bazylev, Sbornik zadaq po geometrii, Moskva 1980.
Ber M. Berger, Géométrie 1–5, Paris 1977.
Bic L. Bican, Lineární algebra, SNTL, Praha 1979.
Bud B. Budinský, Analytická a diferenciální geometrie, SNTL, Praha 1983.
Byd B. Bydžovský, Úvod do analytické geometrie, Praha 1956.
Cub O. N. Cuberbiller, Zadaqi i upra neni po analitiqesko geometrii,
Moskva 1957.
Čech E. Čech, Základy analytické geometrie, Praha 1951.
DoDo Z. Došlá, O. Došlý, Metrické prostory (Teorie a příklady), skripta MU, Brno
1996.
Jef N. V. Efimov, Kratki kurs po analitiqesko geometrii, Moskva 1975.
Ho88 P. Horák, Geometrie I, skripta MU, Brno 1988.
Ho94 P. Horák, Algebra a teoretická aritmetika I, skripta MU, Brno 1994.
HoJa P. Horák, J. Janyška, Analytická geometrie, skripta MU, 2. vydání, Brno
2002.
JaSe J. Janyška, A. Sekaninová, Analytická teorie kuželoseček a kvadrik,
skripta MU, Brno 1996.
Kle A. V. Kletenik, Sbornik zadaq po analitiqesko geometrii, Moskva 1986.
Kra E. Kraemer, Analytická geometrie lineárních útvarů, Praha 1956.
Mo79 P. S. Modenov, Zadaqi po geometrii, Moskva 1979.
MoSw M. Moszyńska, J. Świecicka, Geometria z algebra liniova, Warszawa 1987.
Pog A. V. Pogorelov, Analitiqeska geometri , Moskva 1978.
Sek M. Sekanina a kol., Geometrie I, Praha 1986.
Rejstřík
afinní kombinace bodů, 21
afinní obal množiny, 8
afinní přímka, 1
afinní podprostor, 5
afinní podprostor generovaný body, 8
afinní podprostor generovaný množinou,
8
afinní prostor, 1
afinní repér, 12
afinní rovina, 1
afinní souřadnice bodu vzhledem k repéru,
12
afinní souřadnicový systém, 12
barycentrické souřadnice, 21
Bersteinovy polynomy, 22
Bézierova křivka, 22
Bézierova plocha, 23
bod X je před bodem Y , 56
bod X je roven nebo je před bodem Y ,
56
bodový repér, 21
body jsou oddělovány nadrovinou, 58
body nejsou oddělovány nadrovinou, 58
body v obecné poloze, 8
Cauchyova nerovnost, 72
částečně mimoběžné a částečně rovnoběžné
podprostory, 39
délka vektoru, 72
dělicí poměr bodů, 50
dimenze afinního podprostoru, 5
dimenze afinního prostoru, 1
euklidovský bodový prostor, 79
euklidovský vektorový prostor, 72
Fergusonova kubika, 23
forma objemu, 93
Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces,
74
Grammův determinant, 89
hraniční bod poloprostoru, 59
hranice poloprostoru, 59
hyperbolický paraboloid, 42
kanonický afinní prostor, 2
kartézské souřadnice, 80
kartézský repér, 80
kartézský souřadný systém, 80
kladná báze, 18
kolmé bodové podprostory, 83
kolmé vektorové podprostory, 76
kolmé vektory, 73
kolmý průmět bodu na podprostor, 86
kolmice spuštěná z bodu na podprostor,
86
kolmice vedená bodem na podprostor, 86
konvexní množina, 63
konvexní mnohoúhelníky, 66
konvexní mnohostěn, 66
konvexní obal množiny, 64
krajní body úsečky, 57
ležet mezi body, 57
matice přechodu, 15
matice přechodu od báze B k bázi B ′
, 11
metrická úloha, 71
metrický prostor, 80
161
REJSTŘÍK 162
mimoběžné podprostory, 35
míra úhlu, 119
nadrovina, 6
názorná rovina, 2
názorný prostor, 2
neparametrické rovnice podprostoru, 26
neparametrické vyjádření poloprostoru, 61
neprotínající se podprostory, 7
nesouhlasná báze, 17
normála nadroviny, 84
normálový vektor nadroviny, 84
normovaný vektor, 73
obecné rovnice podprostoru, 26
objem rovnoběžnostěnu, 92
obsah rovnoběžníka, 92
odchylka bodových podprostorů, 112
odchylka jednodimenzionálních podprostorů,
111
odchylka vektorů, 73
odchylka vektorových podprostorů, 111
opačné uspořádání, 55
orientace afinního prostoru, 18
orientace vektorového prostoru, 18
orientovaný afinní prostor, 18
ortogonální báze, 73
ortogonální doplňek podprostoru, 74
ortogonální komponenta vektoru, 75
ortogonální posloupnost, 73
ortogonální projekce vektoru, 75
ortogonální vektory, 73
ortonormální báze, 73
ortonormální repér, 80
osa afinních souřadnic, 12
osa mimoběžek, 103
osa svazku rovin, 45
otevřená úsečka, 57
otevřený poloprostor vyť atý nadrovinou,
59
parametrické vyjádření podprostoru, 20
parametrické vyjádření poloprostoru, 61
parametry bodu, 20
parametry nadroviny ve svazku, 47
pata kolmice, 86
plocha Štramberské trůby, 42
počátek afinního repéru, 12
podprostor procházející bodem, 7
polopřímka, 59
poloprostor vyť atý nadrovinou, 59
polorovina, 59
pravidlo pravé ruky, 18
protínající se podprostory, 7
příčka mimoběžek, 39
příčka podprostorů, 40
přímka, 6
přirozené uspořádání, 55
rameno úhlu, 61
rovina, 6
rovnice svazku nadrovin, 47
rovnoběžné podprostory, 34
rovnoběžník, 92
rovnoběžnostěn (k-rozměrný), 67
různoběžné podprostory, 35
sedlo, 42
simplex (k-rozměrný), 66
skalární součin vektorů, 72
směrnicová rovnice přímky, 27, 85
součet podprostorů, 9
souřadná osa afinního repéru, 12
souřadnice bodu v afinním repéru, 12
souřadnice vektoru, 12
souhlasná báze, 17
spojení podprostorů, 9
střed dvojice bodů, 52
střed svazku přímek, 45
střed trsu rovin, 48
svazek nadrovin 1. druhu, 45
svazek nadrovin 2. druhu, 45
svazek přímek 1. a 2. druhu, 45
Štramberská trůba, 42
totálně kolmé bodové podprostory, 83
totálně kolmé vektorové podprostory, 76
REJSTŘÍK 163
transformační rovnice přechodu, 15
triviální podprostor, 6
trojúhelníková nerovnost, 72
trs rovin 1. druhu, 48
trs rovin 2. druhu, 48
úhel, 61
úhel se dělí na úhly, 118
úplně (totálně) mimoběžné podprostory,
39
úsečka, 57
úsečka s krajními body, 57
uspořádání podle velikosti, 55
uspořádání určené afinním repérem, 56
vektor kolmý k podprostoru, 74
vektorový prostor se skalárním součinem,
72
vektorový součin vektorů, 93
velikost vektoru, 72
vnější součin vektorů, 87
vnitřek úsečky, 57
vnitřní bod poloprostoru, 59
vrchol úhlu, 61
vrchol simplexu, 66
vrchol svazku přímek, 45
vrchol trsu rovin, 48
vzdálenost bodů, 79
vzdálenost podprostorů, 100
základní vektory afinního repéru, 12
zaměření afinního prostoru, 1
záporná báze, 18