11. cvičení (7. a 8. 12. 2023)
Afinní klasifikace kvadrik
Pojmy:
• afinní typy kvadrik, sestavení afinního polárního repéru.
Úlohy:
1. Určete afinní typ kvadriky, normální tvar rovnic, normovaný afinní polární repér a transformační rovnice
afinních souřadnic do normovaného afinního polárního repéru.
(a) K1 : x2 − 2y2 + z2 − 4xz + 6yz − 8x + 10y = 0
(b) K2 : 9x2 − 4y2 − 91z2 + 18xz − 40yz − 36 = 0
(c) K3 : x2 + 4y2 + 5z2 + 4xy − 12x + 6y − 9 = 0
(d) K4 : x2 + 25y2 + 9z2 − 10xy + 6xz − 30yz − 2x − 2y = 0
Řešení
Afinní klasifikace kvadrik
1. (a) jednodílný (přímkový) hyperboloid
x′′2 + y′′2 − z′′2 − 1 = 0
S 14
3 , 3, 1
3 , v1 = 11
3 , 0, 0 , v2 = 4 11
18, 3 11
18, 2 11
18 , v3 = 0, 11
6 , 0


x
y
z

 =





11
3 4 11
18 0
0 3 11
18
11
6
0 2 11
18 0





·


x′′
y′′
z′′

 +


14
3
3
1
3


(b) hyperbolická válcová plocha
x′′2 − y′′2 − 1 = 0
S [0, 0, 0], v1 = (2, 0, 0), v2 = (0, 3, 0), v3 = (−1, −5, 1)


x
y
z

 =


2 0 −1
0 3 −5
0 0 1

 ·


x′′
y′′
z′′


(c) eliptický paraboloid
x′′2 + y′′2 + 2z′′ = 0
Q 0, 0, 3
√
5
5 , v1 = 1
5, 2
5, 0 , v2 = 2
5, −1
5,
√
5
5 , v3 = − 2
15, 1
15, 0


x
y
z

 =


1
5
2
5 − 2
15
2
5 −1
5
1
15
0
√
5
5 0

 ·


x′′
y′′
z′′

 +


0
0
3
√
5
5


(d) parabolická válcová plocha
x′′2 + 2z′′ = 0
Q [0, 0, 0], v1 = 0, 0, 1
3 , v2 = (1, −1, −2), v3 = −2
3, −1
3, −1
3


x
y
z

 =


0 1 −2
3
0 −1 −1
3
1
3 −2 −1
3

 ·


x′′
y′′
z′′

