MASARYKOVA UNIVERZITA přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky Bakalářská práce Brno 2024 Martin Hanslian MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Ústav matematiky a statistiky Aplikace matematické analýzy pro učitele Bakalářská práce Martin Hanslian Vedoucí práce: prof. RNDr. Zuzana Došlá, DSc. Brno 2024 Bibliografický záznam Autor: Martin Hanslian Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky Název práce: Aplikace matematické analýzy pro učitele Studijní program: Matematika Studijní obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání Vedoucí práce: prof. RNDr. Zuzana Došlá, DSc. Akademický rok: 2023/2024 Počet stran: vii + 51 Klíčová slova: diferenciální počet, integrální počet, číselné řady, nekonečné řady, aplikace Bibliographic Entry Author: Title of Thesis: Degree Programme: Field of Study: Supervisor: Academic Year: Number of Pages: Keywords: Martin Hanslian Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics Application of calculus for teachers Mathematics Mathematics with a focus on education prof. RNDr. Zuzana Došlá, DSc. 2023/2024 vii + 51 differential calculus, integral calculus, number series, infinite series, applications Abstrakt Tato bakalářská práce se zabývá aplikacemi diferenciálního a integrálního počtu a číselných řad. Práce ukazuje jejich různorodá uplatnění v praktickém životě, například v medicíně, ekonomii či chemii. Každá ze tří kapitol obsahuje nejprve základní teorii a následně její aplikace. Tento text by měl posloužit čtenáři jako inspirace a motivace ke studiu dané oblasti matematiky. Práce je koncipována jako učební text a sbírka slovních úloh pro středoškolské učitele a studenty. Abstract This bachelor thesis deals with applications of differential and integral calculus and numerical series. The work shows their various applications in practical life, such as in medicine, economics, or chemistry. Each of the three chapters first presents the basic theory and then its application. This text should serve as an inspiration and motivation for the reader to study the given area of mathematics. The thesis is designed as a textbook and a collection of word examples for high school teachers and students. masarykova univerzita přírodovědecká fakulta KOTLÁŘSKÁ 2 , 611 37 BRNO IČ : 00216224 DIČ : CZ 0 0 2 1 6 2 2 4 ZADANÍ BAKALÁŘSKÉ PRÁCE Akademický rok: 2023/2024 Ústav: Ústav matematiky a statistiky Student: Martin Hanslian Program: Matematika se zaměřením na vzdělávání Specializace: Matematika se zaměřením na vzdělávání Hudební výchova se zaměřením na vzdělávání Ředitel ústavu PřF MU Vám ve smyslu Studijního a zkušebního řádu MU určuje bakalářskou práci s názvem: Název práce: Aplikace matematické analýzy pro učitele Název práce anglicky: Applications of mathematical analysis for teachers Jazyk závěrečné práce: čeština Oficiální zadání: Vypracujte učební text na dané téma pro učitelské studium matematiky. Vyberte vhodné aplikace se zaměřením na předmět MUC 27 Seminář z aplikací matematické analýzy. Literatura: GREENSPAN, Harvey P. a David J. BENNEY. Calculus, an introduction to applied mathematics. 2nd ed. Toronto: McGraw-Hill Ryerson Limited, 1986. xi, 836. ISBN 0075489260. MIZRAHI, Abe a Michael SULLIVAN. Mathematics: an applied approach. 6th ed. New York: John Wiley & Sons, 1996. xix, 906. ISBN 0471107018. Vedoucí práce: prof. RNDr. Zuzana Došlá, DSc. Datum zadání práce: 29. 6. 2023 V Brně dne: 3. 3. 2024 hílUlU SCI Zadání bylo schváleno prostřednictvím IS MU. Martin Hanslian, 23. 10. 2023 prof. RNDr. Zuzana Došlá, DSc, 30. 10. 2023 RNDr. Jan Vondra, Ph.D., 31.10. 2023 94 Poděkování Na tomto místě bych rád poděkoval prof. RNDr. Zuzaně Došlé, DSc. za pomoc při psaní mé bakalářské práce, za trpělivost, za cenné rady a připomínky a za čas, který mi věnovala. Dále děkuji mé rodině a nejbližším, kteří mě při tvorbě této práce po celou dobu podporovali. Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji bakalářskou práci vypracoval samostatně pod vedením vedoucího práce s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány. Brno 1. května 2024 Martin Hanslian Obsah Úvod....................................................................... 1 Kapitola 1. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné....................... 2 1.1 Význam a definice derivace................................. 2 1.2 Aplikace diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné............................................. 6 Kapitola 2. Integrální počet funkcí jedné proměnné.......................... 17 2.1 Zavedení neurčitého integrálu............................... 17 2.2 Zavedení určitého integrálu................................. 20 2.3 Aplikace integrálního počtu funkcí jedné proměnné ................ 25 Kapitola 3. Číselné řady .................................................... 34 3.1 Posloupnosti........................................... 34 3.2 Nekonečné číselné řady ................................... 36 3.3 Aplikace číselných řad.................................... 38 Závěr ...................................................................... 49 Příloha..................................................................... 50 Seznam použité literatury................................................... 51 - vii - Úvod V této bakalářské práci jsou ukázány různorodé aplikace diferenciálního a integrálního počtu funkcí jedné proměnné a číselných řad v oblasti medicíny, chemie, biologie, stavitelství, ekonomie a finanční matematiky, pravděpodobnosti a další. Aplikační úlohy jsou koncipovány pro středoškolské učitele matematiky, kteří pomocí nich mohou studentům ukázat konkrétní využití dané oblasti matematiky v praxi. Z tohoto důvodu jsou zde vynechány úlohy, ke kterým je nezbytná znalost z oblasti diferenciálních rovnic či fyziky. Tento text má zároveň sloužit jako doplňující sbírka aplikačních úloh pro předmět MUC 27 Seminář z aplikací matematické analýzy. Práce je rozdělena do tří kapitol - Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, Integrální počet funkcí jedné proměnné a Číselné řady. Každá z těchto kapitol obsahuje nejprve přehled základních teoretických poznatků a posléze deset aplikačních úloh na každé téma. Všechny příklady v tomto textu jsou řešené. Práce obsahuje i názorné či doplňující obrázky, z nichž některé byly převzaty od jiných autorů a na konci práce jsou řádně ozdrojovány. Většina zadání uvedených úloh byla převzata a upravena z neřešených úloh z knihy [2], některé úlohy jsou původní. Tato práce byla vysázena systémem MT^X v prostředí Overleaf. Grafy a obrázky byly vypracovány v programu FX Graph a FX Draw. -1- Kapitola 1 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem funkcí jedné proměnné. Nejdříve zavedeme nejdůležitější pojmy a následně uvedeme některé aplikace na příkladech ze skutečného života. 1.1 Význam a definice derivace Definice 1.1.1. Nechť je dána funkce / a bod xq e D(f). Existuje-li limita *-fc*o x — Xq nazýváme tuto limitu derivací funkce f v bodě xq a značíme f'(xo). Je-li tato limita vlastní, nazývá se číslo f'(xo) vlastní derivace funkce f v bodě xq. Je-li tato limita nevlastní, nazývá se f'(xo) nevlastní derivace funkce f v bodě xq. Poznámka. Někdy se můžeme setkat i se zavedením substituce h — x—xq. V tomto případě by byla výše uvedená limita ve tvaru: lim /(•*Q + /*)-/(*o) h-*0 h Definice 1.1.2. Nechť je dána funkce / a bod xq e D(f). Existuje-li limita ,// N+ y f(x)-f(X0) fl( s_ f(x)-f(X0) f (x0y = hm -,resp./ (xq) = lim -, x^-Xq x — Xq x^-xq x — Xq nazýváme tuto limitu derivací zprava, resp. zleva funkce f v bodě xq. -2- Kapitola 1. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 3 Poznámka. Z geometrického hlediska je derivace funkce / v bodě xq směrnicí tečny procházející bodem f(xo). Tedy rovnice tečny funkce / v libovolném bodě x$ G D(f) je: y = f'(xo)(x-x0) + f(xo). Věta 1.1.1. Nechť je dána funkce /. Má-li funkce / v bodě xq derivaci a zároveň: • f'(xo) > 0, potom je funkce / v bodě xq rostoucí. • f'(xo) < 0, potom je funkce / v bodě x$ klesající. Věta 1.1.2. Nehchť má funkce / vlastní derivaci na otevřeném intervalu / = (a,b). Pak je funkce / na intervalu /: • rostoucí (klesající) právě tehdy, když f'(x) > 0 (f'(x) < 0) pro všechna x G /, • nerostoucí (neklesající) právě tehdy, když f'(x) < 0 (f'(x) > 0) pro všechna x G /. Věta 1.1.3. Nechť mají funkce / a g vlastní derivaci v bodě x$. Potom platí: • (c/(x0))' = c(/'(xo)),cGM • (/(x0)±g(x0))' = /'(*o)±g'(x0) ' (/(*o) .g(x0))' = f'(x0)-g(x0)+f(x0)-g'(x0) • jestliže g(x0) ^ 0, potom (gg)' = IM^^hlM ' (/(g(xo)))' = /'(g(xo))-g'(x0) Věta 1.1.4. Pro derivace elementárních funkcí platí: • (c)' = 0,ceR • (xn)' = n-xn-\neR . (cř)' — ax ■ ln(a), « e R, a > 0 • = • [lOgb(x)]' = ^,beR,b>0,b^l • [sin(x)]' = cos(x) • [cos(x)]' = — sin(jc) • [tg(x)]' = ^rx všude tam, kde jsou definovány. Kapitola 1. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 4 Definice 1.1.3. Nechť n G No- Potom n -tou derivaci funkce f, kterou značíme pn\ definujeme pomocí indukce: f(n) = [f(n- ■i)], /(0)=/ všude tam, kde je definována. Definice 1.1.4. Řekneme, že má funkce / v bodě x$: • lokální maximum (minimum), jestliže existuje okolí &(xq) tak, že pro každé x G ď(xo) platí f(x) < 0 (f(x) > 0), • ostré lokální maximum (minimum), jestliže existuje okolí @(xo) tak, že pro každé x G ď(x0) \ {x0} platí f(x) < 0 (f(x) > 0). Tyto body souhrnně nazýváme lokální extrémy funkce f. Věta 1.1.5 (Fermatova veta). Nechť je bod x$ lokálním extrémem funkce / a nechť existuje/(xo). Pak/(xo) = 0. Bod xo s vlastností f\xo) — 0 se nazývá stacionární bod funkce /. Věta 1.1.6. Nechť / je funkce a x$ bod takový, že f'(xo) — 0. Potom má funkce / v bodě x$ : • ostré lokální maximum, jestliže /'"(xo) <0, • ostré lokální minimum, jestliže f\xo) > 0. Věta 1.1.7. Nechť / je funkce, která je spojitá v bodě xq a má vlastní derivaci v nějakém ryzím okolí xo, je f'(x) > 0, pak má / v bodě xo ostré lokální minimum. (Obdobné tvrzení platí i pro ostré lokální minimum). Jestliže je xo v předchozí větě stacionárním bodem funkce f(x), věta jednoduše říká: Měnili derivace při přechodu přes stacionární bod znaménko, je zde lokální extrém. Pokud derivace změní znaménko z kladného na záporné, nachází se v bodě xo lokální maximum funkce f(x) a naopak. Definice 1.1.5. Nechť je dána funkce / definovaná na intervalu M a bod xo G M. Řekneme, že má funkce / na intervalu M v bodě xo: • absolutní maximum, jestliže pro všechna x EM platí f(xo) > f(x), • absolutní minimum, jestliže pro všechna x EM platí /(xq) < f(x). Kapitola 1. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 5 Mnoho aplikačních úloh vede k nalezení absolutních extrémů funkce. Z tohoto důvodu si zde představíme postup pro jejich nalezení: 1. Najdeme v daném intervalu stacionární body a body, ve kterých neexistuje první derivace. 2. Vypočteme funkční hodnoty v těchto bodech. 3. Vypočteme funkční hodnotu v krajních bodech intervalu, jestliže do daného intervalu patří. 4. Z takto získaných funkčních hodnot vybereme tu nejmenší a největší. To je naše hledané absolutní minimum a maximum funkce. Kapitola 1. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 6 1.2 Aplikace diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné Příklad 1.2.1. 21. června 2001 nastalo v Africe úplné zatmění Slunce. Mezi 12:00 a 13:00 UTC opisoval stín Měsíce na povrchu Země dráhu, kterou lze aproximovat pomocí funkce: f(x) = v/138,1 -5,025*+ 0,2902;t2, kde * (0 < x < 22) je východní zeměpisná délka a f(x) jižní zeměpisná šířka, přičemž oba údaje jsou měřeny ve stupních (viz Obrázek 1.1). Najděte zeměpisnou délku a šířku bodu, který je na dráze stínu Měsíce nejsever-něji. Řešení: Nejdříve najdeme stacionární body funkce f{x) a poté nalezneme její globální maximum na intervalu [0,22]. Platí Total Solar Eclipse 2001 June 21 odtud -0,025 + 2-0,2902* 2-^138,1-5,025* + 0,2902*2 0, 5,025 = 2-0,2902* a stacionární bod je * = Obrázek 1.1 5,025 8,657c 2-0,2902 Hodnota funkce /(*) v tomto bodě je /(8,657) = v/138,1 -5,025-8,657+ 0,2902-8,6572 = ^116,347 = 10,786°, a v krajních bodech/(0) = 11,75°, f (22) = 12,96°. Zeměpisné souřadnice bodu, který je na dráze stínu Měsíce nejseverněji, jsou 8,657° východní délky a 10,786° jižní šířky. Příklad 1.2.2. Pokud se cizí předmět dostane člověku do průdušnice, začne kašlat. Rychlost kašle závisí na velikosti cizího předmětu. Předpokládejme, že člověk má průdušnici o poloměru 20 mm. Jestliže cizí předmět má poloměr r, pak je rychlost V, která je potřeba k vykašlání cizího tělesa z průdušnice, dána rovnicí: V(r) = ^20^-^), 00. Následným dosazením do druhé rovnice dostaneme 2 2 1280 5 = xr + xr H-- x Potom vytvoříme nákladovou funkci: Obrázek 1.4 M(x) = 0,5;t2 + 0,3;t2 + 0,l 1280 a nalezneme její absolutní minimum pomocí derivace. Dostaneme M'(x) =x + 0,6x- 128 = 0, z toho plyne, že a tedy hledaný bod je Lóx3- 128 = 0 780 = 4,31 Zbývá jen dopočítat y. Dostaneme Aby náklady na výrobu dané krabice byly minimální, musí mít krabice rozměry 4,31 dm x 4,31 dm x 17,23 dm. Příklad 1.2.5. Stavitelé chtějí vybudovat cestu mezi městy C\ a c2, která jsou na opačné straně řeky. Řeka má po celé délce šířku r. Kvůli řece musí postavit most. Město C\ je od řeky ve vzdálenosti a a město c2 ve vzdálenosti b, a < b. Kam by měli most postavit, aby Kapitola 1. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 10 celková vzdálenost mezi městy byla minimální? Najděte obecné řešení pomocí konstant a, b, p, r (viz Obrázek 1.5). Řešení: Naším úkolem bude nalézt vzdálenost x, která určuje pozici mostu. Za pomoci Pythagorovy věty si vyjádříme celkovou vzdálenost d z města C\ do města Ci. Tato vzdálenost závisí na x, proto d = d(x) = Vb2+x2 + r+^J(p-x)2 + a2. Nyní nalezneme derivaci funkce d(x) a následně i její stacionární body. Platí ď(x) = - X~P + - = =0. y/{p-x)2 + a2 Vx^Tb2 a z toho následně dostaneme dva stacionární body bp bp x\ = ——, a x2 a + b a —b Protože x představuje vzdálenost, musí být kladné. Zároveň platí a 0 platí ((p-x)2 + a2)Hx2 + b2)ž Kapitola 1. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. 11 Nalezené x\ je tedy minimem funkce d(x). Pozice mostu je b p x — a + b Speciálně, je-li a — b, pak x = ^ (viz Obrázek 1.6). Obrázek 1.6 Příklad 1.2.6. Cena jízdenky na vyhlídkový okruh autobusem je 600 Kč, pokud se jej zúčastní 50 až 100 osob. Za každého dalšího pasažéra (nad 100) se snižuje cena jízdenky o 3 Kč každému z nich. Autobus má celkem 200 míst. Při jakém počtu účastníků bude mít autobusová společnost provozující vyhlídkové okruhy maximální zisk? Obrázek 1.7 Řešení: Označme si počet účastníků vyhlídkové jízdy jako x. Pak můžeme funkci celkového zisku společnosti / vyjádřit pomocí proměnné x takto: 600;t x e [50,100] [600-3 -{x- 100)] x x e (100,200] Kapitola 1. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 12 Naším úkolem je nyní najít globální maximum funkce f(x). Je zřejmé, že pro x G [50,100] nastává maximum v bodě x — 100, tedy /(100) = 60000. Extrémy funkce f(x) pro x e (100,200] nalezneme pomocí derivace a stacionárních bodů. Pro x e (100,200] dostaneme f{x) = [(900 - 3x) x]r = 900 - 6x = 0, z čehož vyplývá, že x= 150. Našli jsme jeden stacionární bod funkce f(x). Nyní již zbývá ověřit, že se jedná o maximum. To ověříme pomocí druhé derivace funkce f(x). Platí /"to = -6. Druhá derivace je tedy záporná pro všechna x z intervalu [50,200]. Z toho plyne, že v bodě x — 150 se nachází maximum funkce f(x). Nyní již zbývá spočítat hodnotu funkce f(x) v tomto bodě, a tím získat maximální zisk letecké společnosti. Dostaneme /(150) = 67500 [Kč]. Maximální zisk 67500 Kč bude mít autobusová společnost právě tehdy, když počet účastníků bude 150. Příklad 1.2.7. Na obrázku 1.8 je řeka o šířce a. Kolmo k řece je přiveden kanál o šířce b. Jaká je maximální délka klády, kterou lze splavit z řeky do tohoto kanálu? -7 1- a \ \ Ě-5 A y b j Y Kanál Řeka Obrázek 1.8 Řešení: Označme si délku klády, kterou lze splavit zatáčkou, jako /. Z obrázku (Obrázek 1.8) je patrné, že platí Z = /1+/2= ^x2 + a2 + y/y2 + b2. Z podobnosti trojúhelníků navíc plyne, že Kapitola 1. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 13 x a b y' odtud ab ^ x Protože délka klády / závisí na proměnné x, platí / = l(x) = \Jx2 + a2 + \Jy2 + b2 = + Vx2 + b2. Nej větší délka klády nesmí přesáhnout minimum funkce l(x). Nalezneme tedy extrémy funkce l(x) pomocí první derivace. Dostaneme z čehož plyne, že a následně /'() *3 ~ a^2 0 x2Vx2 + b2 x3 = ab2 \/ ab2. Nyní musíme ověřit, že se jedná o minimum. Druhá derivace funkce l(x) by byla na výpočet poměrně nepříjemná. Z toho důvodu využijeme Větu 1.1.7. Pro každé x < v ab2 platí, že l'(x) < 0. Naopak pro každé x > v ab2 platí, že l'(x) > 0. Jedná se tedy o minimum funkce l(x). Zbývá dopočítat délku klády. Dostaneme / (Vat?) = {l + l) \l^ + b2 = (J +b^f 3 Délka nejdelší klády, kterou lze splavit z řeky do kanálu, je I «3 + bi I . Příklad 1.2.8. Pokud je jistý medikament podán pacientovi v množství x cm3, jeho krevní tlak B bude přibližně: B(x) =0,05x2-0,3x3, 0 F .= — 10 1 3 F'-To + 1,5 4 - 2 Ĺ -X r2 - 1.5 2 ^3 Obrázek 2.1: Příklady primitivních funkcí k funkci f{x) — | -17- Kapitola 2. Integrální počet funkcí jedné proměnné 18 Věta 2.1.1. Nechť F je nějaká primitivní funkce k funkci / na intervalu / CM. Pak {F + c\ceR} je množina všech primitivních funkcí k funkci / na intervalu /. Věta 2.1.2. Je-li funkce F primitivní funkcí k funkci f na intervalu / Cl, pak F je spojitá Věta 2.1.3. Je-li funkce / spojitá na intervalu / Cl, pak k ní na tomto intervalu existuje primitivní funkce. Definice 2.1.2. Množina všech primitivních funkcí k funkci / na intervalu / Clse nazývá neurčitý integrál funkce / na / a značí se Poznámka. Funkce f(x) z předchozí definice se nazývá integrand. Pro výpočet neurčitého integrálu existuje mnoho metod výpočtů. My si zde představíme pouze ty základní. Nejprve si však ukážeme tabulku se vzorci pro integraci elementárních funkcí. Věta 2.1.4. Pro integraci elementárních funkcí platí: na /. dx 1 axdx lna + c, a > 0, a 1, Kapitola 2. Integrální počet funkcí jedné proměnné 19 • / —\- dx — tgx + c, J coszx • / —y~ dx — — cot x + c, J sin x kde cel, všude tam, kde jsou definovány. Nyní si již uvedeme první metodu pro výpočet neurčitého integrálu - per partes. Tuto metodu můžeme použít, pokud lze během integrace integrand zapsat ve formě součinu dvou funkcí. Věta 2.1.5 {Metoda per partes). Nechť funkce u(x) a v(x) mají spojité derivace na intervalu /. Pak platí j u(x)v'(x) dx — w(x)v(x) — J u'(x)v(x)dx. Další metodou, kterou budeme využívat, je tzv. substituční metoda. Věta 2.1.6 (Substituční metoda I). Nechť funkce / má na intervalu 7 primitivní funkci F, funkce t = 04tdt = 5- -OMf 0,04 30 125 = 125-^2=87 [mg]. Do krevního oběhu je tedy během prvních 30 minut od podání léku absorbováno 87 mg medikace. Kapitola 2. Integrální počet funkcí jedné proměnné 29 Příklad 2.3.6. Teplotu T [°C] v čase t hodin lze vyjádřit funkcí T(t) = -0,3ŕ2+4ŕ + 60, 0<ř<12. Nalezněte průměrnou teplotu na intervalu [0,10]. Řešení: Průměrnou hodnotu funkce f(x) na intervalu [a,b], kde a,b G M, a < b, lze spočítat pomocí určitého integrálu jako b ---/ f(x)dx. b — a J a Abychom tedy nalezli průměrnou teplotu t na intervalu [0,10], musíme spočítat průměrnou hodnotu funkce T(t) na tomto intervalu. Dostaneme 10 10 ^ • J T (t) dt = • J -0,3t2 +4t + 60 dt = ^ • [-0, lt3 + 2t2 + 60ř] J° = o o = -10 + 20 + 6 = 70[°C]. Průměrná teplota na intervalu [0,10] je 70°C. Příklad 2.3.7. Firma očekává zisk / = 60e°'02í tisíce dolarů za t měsíců. Předpokládá, že jestliže postaví novou a větší továrnu, zvýší se její zisk na £ = 80e°'04r tisíce dolarů za t měsíců. Nalezněte extra zisk během prvních dvou let, který by firma získala, kdyby postavila novou továrnu. Jestliže tato továrna bude stát milión dolarů, vrátí se firmě během prvních dvou let vložená investice zpět? Obrázek 2.12 Kapitola 2. Integrální počet funkcí jedné proměnné 30 Řešení: Zisky / a g závisí na proměnné t, a proto platí / = /(ř)=60e°'02í, g = g(t) = 80eQ>04t. Naším úkolem je zjistit rozdíl zisků f(t) a g(t) na intervalu [0,24]. To můžeme udělat pomocí určitého integrálu 24 24 24 j g[t) - fit) dt = J 80e°'04í dt-J 60e°'02r dř = 80 "e°,04ř" 24 ■g0,02ř- 24 -60 0,04 0 0,02 0 ,0,96-1 ,0,48-1 = 80- ■60- = 3223,4-1848,2=1375,2 [tisíce dolarů]. 0,04 0,02 Extra zisk během prvních dvou let, který by firma získala postavením nové továrny, je 1,3752 miliónů dolarů. Během prvních dvou let se firmě investované peníze vrátí. Příklad 2.3.8. Epidemie chřipky zasáhla vysokoškolskou komunitu. V čase t = 0 bylo zaznamenáno pět případů nákazy. Rychlost růstu epidemie (počet nových případů za den) je dána funkcí r(r) = 18e°'05í, kde ř je počet dnů od propuknutí nákazy. Kolik lidí se nakazilo za prvních 20 dnů? Řešení: Protože funce r(í) udává rychlost růstu epidemie, její integrací získáme novou funkci Rit), která bude udávat celkový počet lidí, kteří se od začátku epidemie nakazili. Platí Rit) = J 18e°'05r dt = 360e°'05í + c, c e R. Víme, že v čase t = 0 bylo nakaženo pět lidí. Musí tedy platit *(0)=5: neboli 360e°'05-° + c = 5, z čehož plyne, že c — —355. Nyní víme, že hledaná funkce je tvaru Rit) = 360e°'05í-355. Stačí již pouze dopočítat hodnotu R (20). Platí /ř(20) = 360^-355 = 624. Za prvních 20 dní se nakazilo 624 lidí. Kapitola 2. Integrální počet funkcí jedné proměnné 31 Příklad 2.3.9. 86 % řidičů v USA používá v automobilu bezpečnostní pásy, zatímco zbylých 14 % řidičů stále riskuje vážné zranění. Funkce f(x) = 43e-°>lx představuje odhad počtu úmrtí (v tisících) za rok v případě, že nebyly použity bezpečnostní pásy a funkce g(x) =31e-0'lx je předpověď počtu úmrtí (v tisících) za rok v případě, že bezpečnostní pásy použity byly. Proměnná x reprezentuje počet let od roku 2010. Kolik lidí bude podle odhadů během let 2010 až 2030 zachráněno bezpečnostními pásy? Řešení: Ze zadání vyplývá, že plocha mezi křivkami funkcí f(x) a g(x) představuje počet lidí zachráněných bezpečnostními pásy (viz Obrázek 2.13). Obrázek 2.13: Plocha mezi křivkami funkcí f(x) a g(x) na intervalu [0,20] Z toho plyne, že stačí spočítat integrál 20 20 20 j f(x) - g(x) dx = j43e-°>lx -3le-°>lxdx = 12-^e^ dx 12- o -0,Ln20 0,1 120- 120 103,76 [tisíc lidí]. o Podle odhadů bude mezi lety 2010 až 2030 zachráněno díky bezpečnostním pásům zhruba 103 760 lidí. Příklad 2.3.10. Mladá žena ve Spojených státech amerických přibírá na váze průměrnou rychlostí / = 6,5(*-10)-3 Kapitola 2. Integrální počet funkcí jedné proměnné 32 kilogramů za rok a mladý muž ve Spojených státech amerických přibírá na váze průměrnou rychlostí g = 8,5(*-10)-2, kde x je jejich věk v letech (11 < x < 20). Kolik kilogramů průměrně přibere mladá žena a mladý muž v USA ve věku od 11 do 19 let? Řešení: Protože průměrná rychlost nárůstu váhy je závislá na hodnotě x, platí / = /(*) = 6,5(*-10)-5, g = g(x) = 8,5(x-10)-5, kde 11 < x < 19. Funkce f(x) a g(x) popisují průměrnou rychlost přibírání na váze, a proto hodnota určitého integrálu této funkce na intervalu [a,b], kde a, b G M, a > 11, b < 20 představuje celkový příbytek hmotnosti na tomto intervalu (viz Obrázek 2.14 a 2.15). 1 1./ 5,5 (x -10) 2 I k v 1 0 11) 2 ) 3] Obrázek 2.14: Obsah plochy pod křivkou funkce f(x) na intervalu [11,19] y -M>- a gl*) = 8,5(x- 10) ' 0 1 0 2 ) 3] Obrázek 2.15: Obsah plochy pod křivkou funkce g(x) na intervalu [11,19] Protože funkce f(x) a g(x) jsou svými násobky, bude pro nás výhodné nejprve spočítat 19 J c-(x-10)~*áx, ii Kapitola 2. Integrální počet funkcí jedné proměnné 33 kde c e M je konstanta, a následně za tuto konstantu pouze dosadit požadované hodnoty. Tento integrál vyřešíme metodou substituce: u2 =x- 10 2udu — dx. Po přepočítání dolní a horní meze dostaneme 3 3 c j - - ludu — c J Idu — c [2u]\ — A-c [kilogramů]. l l Pro c— 6,5 dostaneme 26 kilogramů. Pro c = 8,5 dostaneme 34 kilogramů. Mladá žena v USA přibere mezi 11. a 19. rokem života průměrně 26 kilogramů a mladý muž v USA přibere mezi 11. a 19. rokem života průměrně 34 kilogramů. Kapitola 3 Číselné řady V této kapitole se zaměříme na zavedení pojmu nekonečné řady a následně na její praktické aplikace. Abychom nekonečné řady mohli zavést, potřebujeme nejprve znát pojem posloupnost. 3.1 Posloupnosti Definice 3.1.1. Posloupnost je funkce definovaná na množině MCE Posloupnost označujeme {an} nebo {an}™=1, n-tý prvek označujeme nejčastěji an. Posloupnost je tedy funkce, která má za svůj definiční obor podmnožinu přirozených čísel. Oborem hodnot pak může být libovolná množina. Nyní si představíme dva druhy posloupností, se kterými se můžeme běžně setkat na střední škole. Jedná se o posloupnost aritmetickou a geometrickou. Definice 3.1.2. Posloupnost {an}™=l se nazývá aritmetická posloupnost právě tehdy, když existuje d G M takové, že pro každé n G N platí an+i=an + d. (1) Číslo d se potom nazývá diference této posloupnosti. Aritmetická posloupnost je tedy taková posloupnost, ve které mají libovolné dva po sobě jdoucí členy mezi sebou stálý rozdíl. Uvedený rekurentní vzorec (1) může být pro velká n dosti zdlouhavý. Proto v následující větě zavedeme vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti. Věta 3.1.1. Nechť {an}™=l je aritmetická posloupnost s diferencí d. Potom pro každé n G N platí an = a\ + (n — 1) - d. -34- Kapitola 3. Číselné řady 35 Definice 3.1.3. Posloupnost {an}™=l se nazývá geometrická posloupnost právě tehdy, když existuje q EM takové, že pro každé n E N platí an+\=an-q. (2) Číslo q se potom nazývá kvocient této posloupnosti. Geometrická posloupnost je tedy taková posloupnost, ve které mají libovolné dva po sobě jdoucí členy mezi sebou stálý poměr. Protože rekurentní vzorec (2) by byl pro velká n velmi zdlouhavý, zavedeme v následující větě vzorec pro n-tý člen geometrické posloupnosti. Věta 3.1.2. Nechť {an}™=l je geometrická posloupnost s kvocientem q. Potom pro každé n EN platí _ _ „n—l rl an — q • a i. Definice 3.1.4. Řekneme, že posloupnost {an} má limitu L, jestliže ke každému e > 0 existuje no E N takové, že pro každé n> no platí \an — L\ < e. Limita posloupnosti tedy představuje číslo, ke kterému se daná posloupnost pro zvětšující se n neustále přibližuje. Definice 3.1.5. Řekneme, že posloupnost {an} má limitu °°, jestliže ke každému m e M existuje no G N takové, že pro každé n > no platí an > m. Poznámka. V tomto případě se daná posloupnost nazývá divergentní. V opačném případě (limita posloupnosti je reálné číslo, nikoliv °°) se posloupnost nazývá konvergentní. Kapitola 3. Číselné řady_ 3.2 Nekonečné číselné řady 36 Definice 3.2.1. Nechť {an}™=l je posloupnost reálnych čísel. Symbol oo ^ an nebo ai+ci2 + ci3-\-----\-an-\---- n=\ nazýváme nekonečnou číselnou radou. Posloupnost {sn}™=l, kde s\=a\, S2 = ai+a2, ■■■ sn^a\-\-a2-\-----\-an, nazýváme posloupnost částečných součtů této řady. Existuje-li vlastní limita lim sn. n—>oo oa řekneme, že řada Y\ an konverguje a má součet s. Neexistuje-li vlastní limita lim s, n=l ca řekneme, že řada ^ an diverguje. n=\ Poznámka. V případě, kdy řada diverguje, rozlišujeme tři případy: • Je-li lim sn — oo, říkáme, že řada určitě diverguje k oo; • Je-li lim sn — —oo, říkáme, že řada určitě diverguje k —oo; • Jestliže lim sn neexistuje, říkáme, že řada osciluje. Nekonečná číselná řada je tedy součet všech členů nekonečné posloupnosti. Definice 3.2.2. Nechť {an}™=l je geometrická posloupnost s kvocientem q e R. Pak oo se ^ an nazývá nekonečná geometrická řada s kvocientem q. n=\ Nyní si odvodíme vzorec pro její součet. Mějme nekonečnou geometrickou řadu oo a + aq-\-----\-aqn~l-\----=^aqn~l, kdea^0,a^0, n=\ s kvocientem q G R. Nyní musíme rozlišit tři případy. 1. Nechť q—\. Pak sn — na a platí, že lim sn — lim na — ±oo. Řada v tomto případě diverguje. 2. Nechť q = — 1. Pak má řada tvar a + (—a) H-----h (—l)w_1a H----.Z toho vyplývá, že částečný součet řady je 0 pro sudé n, a pro liché n. Kapitola 3. Číselné řady_37 Z toho důvodu ovšem lim sn neexistuje, z čehož plyne, že naše původní řada osci-luje. 3. Nechť \q\^\. Potom sn — a + aqH-----Yaqn~x, z čehož plyne, že 2 n qsn = aq + aq H-----Yaq . Nyní odečteme druhou rovnici od první a získáme _ n Syi qSyi — a ciq . z čehož dostaneme X-cj1 1-9 Nyní uvažujme tři případy • pro \q\ < 1 je lim q" — 0, proto je lim sM = ; • pro g > 1 je lim qn — °°, proto je lim sn — ±°°; • pro q < — 1 platí, že lim g" neexistuje, a proto ani lim sn neexistuje. Tímto postupem jsme odvodili a dokázali následující větu. Věta 3.2.1. Nechť co je nekonečná geometrická řada s kvocientem §eR. Potom platí: • pro \q\ > 1 je řada divergentní; • pro \q\ < 1 je řada konvergentní a její součet je a s — l-q co co co co Věta 3.2.2. Nechť ^ an a ^ bn jsou konvergentní řady a nechť ^ an — u a ^ bn — v, M=l M=l M=l W=l oo oo kde H,v6l. Pak je konvergentní i řada E (a» + ^») a zároveň platí ^ (an + bn) — u + v. n=l n=\ ca Věta 3.2.3. Jestliže řada ^ an konverguje, pak pro libovolné ^eR konverguje též řada n=\ co co co co ^k-ana platí ^k-an — k^an. Naopak konverguje-li řada ^k-an, kde k G M, k ^ 0 M=l W=l oa konverguje i řada ^ an. n=l n=\ n=\ n=\ n=l Kapitola 3. Číselné řady_ 3.3 Aplikace číselných řad 38 Příklad 3.3.1. Míč se nachází ve výšce 6 m. Pokud jej pustíme, dostane se při každém odrazu do výšky, která činí dvě třetiny výšky, ze které padal (viz Obrázek 3.1). Kolik měří celková dráha, kterou míč od upuštění do zastavení urazil? A~ 6 m íl A V A v Obrázek 3.1 Řešení: Při upuštění míče nejprve míč urazí 6 m. Po jeho odražení zpět nahoru urazí míč 6 • | m. Stejnou dráhu míč urazí, když bude opět padat dolů. Odtud' se míč znovu odrazí nahoru a urazí 6 • (J)2 m- Tímto způsobem bychom mohli pokračovat do nekonečna. Při sečtení všech těchto drah získáme 2 (2 6 + 2-6--+2-Ó- - 3 V 3 + ••• = 6+12- £ n=\ 2\n Jedná se o nekonečnou geometrickou řadu s kvocientem q — |. Můžeme tedy řadu sečíst. Dostaneme Í2 mn-\ s = lim sn = 6+ 12 lim • - ■ — I = 6+12-2 = 30[m]. Celková dráha, kterou míč od upuštění do zastavení urazí, je 30 m. Příklad 3.3.2. Délka prvního kyvu kyvadla je 50 cm. Každý následující kyv dosahuje tři čtvrtě délky toho předchozího. Pokud opomeneme všechny ostatní síly, které by na kyvadlo mohly působit, jaká by byla výsledná celková dráha, kterou by kyvadlo za čas svého pohybu urazilo? Kapitola 3. Číselné řady 39 50 cm Obrázek 3.2 Řešení: Délka prvního kyvu je 50 cm. Délka druhého tedy bude | • 50 cm. Následující kyv bude mít délku (|)2 • 50 cm. Stejným způsobem bychom mohli pokračovat dále. Pokud všechny tyto délky sečteme, dostaneme 50+í'50+(i)'50+"' = |150'(í)""- Jedná se o nekonečnou geometrickou řadu s kvocientem q — \. Řadu tedy můžeme sečíst. Dostaneme \-a\n s = lim sn = lim 50--Mf- = 50-4 = 200[cm]. n—>oo n—>oo 1 — £ 4 Celková výsledná dráha, kterou by kyvadlo za čas svého pohybu urazilo, by byla 200 cm. Příklad 3.3.3. Montgolfiéra, neboli horkovzdušný balón, se během své první minuty letu vznese do výšky 25 m. Každou další minutu balón stoupne o 80 % předchozího zvýšení. Jaká je maximální výška, které balón dosáhne? Obrázek 3.3 Kapitola 3. Číselné řady 40 Řešení: Během první minuty se balón vznese do výšky 25 m. Během druhé minuty balón vystoupá o 0,8 • 25 m, následující minutu o (0,8)2 • 25 m. Tímto způsobem bychom mohli pokračovat do nekonečna. Pokud všechny tyto dráhy sečteme, dostaneme nekonečnou číselnou řadu oa 25 + 0,8-25 + (0,8)2-25 + ••• = £ 25• (0,8)""1. n=\ Protože se jedná o nekonečnou geometrickou řadu s kvocientem q — 0,8, můžeme tuto řadu sečíst. Dostaneme 1-0,8" s — lim sn — lim 25--——- = 125 m . M^oo n-»oo 1 — 0, 8 Maximální výška, které balón dosáhne, je 125 metrů. Příklad 3.3.4. Na obrázku (Obrázek 3.4) je vyobrazen útvar, který je složen z několika rovnostranných trojúhelníků. Strana největšího trojúhelníka na obrázku je 1 cm. Vrcholy menšího trojúhelníka, který je vepsán do původního, leží ve středech jeho stran. Vrcholy nejmenšího trojúhelníka jsou ve středech stran prostředního. Pokud bychom tento proces opakovali do nekonečna, jaký by byl součet obvodů všech vzniklých trojúhelníků? 1 cm Obrázek 3.4 Řešení: Protože se jedná o rovnostranný trojúhelník, budou všechny vzniklé trojúhelníky také rovnostranné. Navíc jsou strany všech vnitřních trojúhelníků tvořeny středními příčkami předchozího většího trojúhelníka. Bude tedy vždy platit, že délka strany trojúhelníka bude poloviční oproti předchozímu většímu trojúhelníku. Obvod největšího trojúhelníka bude 3 • 1 cm. Obvod trojúhelníka, který je do něj vepsán, bude 3 • \ cm. Tímto způsobem bychom mohli pokračovat do nekonečna. Pokud všechny tyto obvody sečteme, dostaneme nekonečnou řadu ,I+,i+,(i)v..-f,(ir- Kapitola 3. Číselné řady 41 Jedná se tedy o nekonečnou geometrickou řadu s kvocientem q — j. Tuto řadu můžeme sečíst. Dostaneme l-(i)w 1 s — lim sn — lim 3--= 3 • T = 6 [cm]. M^oo n—»00 1 — i - 1 2 2 Pokud bychom daný proces opakovali do nekonečna, součet obvodů všech vzniklých trojúhelníků by byl 6 cm. Příklad 3.3.5. Představme si obrazec, který je tvořen z nekonečně mnoha obdélníků. Délky jejich vodorovných stran se postupně zmenšují v poměru 4:1. Naopak délky jejich svislých stran se postupně zvětšují v poměru 1:2. Obsah původního obdélníka je 48 cm2. Jaký bude obsah výsledného obrazce? Řešení: Označme si délku vodorovné strany původního obdélníka a a délku jeho svislé strany b. a Obrázek 3.5 Ze zadání víme, že platí a ■ b = 48 [cm2]. Pro následující obdélník obdržíme rozměry | a 2b. Pro další obdélník získáme rozměry a 4 • Z?. Tímto způsobem bychom mohli pokračovat do nekonečna. Pokud bychom chtěli sečíst obsahy všech takto vzniklých obdélníků, dostali bychom co co 1 Cl Cl A1 x~\ Cl «j7_ i . t i Cl' u a-b + --2b+ — -4b---=Y-—T-2n lb=Y-—r. Protože ze zadání víme, že a ■ b — 48 [cm2], můžeme dosadit a dostaneme y a-b = y, 48 =/] " 1 n= 1 «+1 «+1 Kapitola 3. Číselné řady 42 Jedná se tedy o nekonečnou geometrickou řadu s kvocientem q — j, a proto ji můžeme sečíst. Dostaneme l-(l)n s = lim sn = lim 48--= 96 [cm2]. 1 2 Obsah výsledného obrazce bude 96 cm2. Příklad 3.3.6. Mějme čtverec o straně délky 2 cm. Do tohoto čtverce vepíšeme menší čtverec tak, že jeho strany jsou tvořeny spojnicemi středů stran původního čtverce. Tímto způsobem budeme pokračovat (viz Obrázek 3.6). Vypočtěte součet obvodů a součet obsahů všech takto vzniklých čtverců, pokud jich bude nekonečně mnoho. 7K 2 cm K-=N 2 cm Obrázek 3.6 Řešení: Označme stranu původního čtverce jako a. Spočítejme nejdříve součet obvodů o všech těchto čtverců. Pro první (největší) čtverec získáme obvod lehce: o\ —4-a — S cm. Pro druhý čtverec nejdříve musíme spočítat délku jeho strany. Tu označme jako b. Snadno ji získáme z Pythagorovy věty. Dostaneme z čehož po dosazení plyne, že b = V2. Obvod druhého čtverce tedy bude 02 = 4 • b = 4 • y/l [cm]. Pro obvod dalšího čtverce získáme obdobným způsobem 03=4 [cm]. Pokud tento proces budeme opakovat donekonečna a výsledné obvody sečteme, získáme nekonečnou řadu 00 0 = 0l+02 + 03 + ... = 4.2 + 4 .>/2 + 4-H----=J24" w=l Kapitola 3. Číselné řady 43 F) Jedná se o nekonečnou geometrickou řadu s kvocientem q = proto ji můžeme sečíst. Dostaneme 1 ŕirľ 8 s = lim sn = lim 8--^ 2J =-■= = 8 • (l + y/l) [ n—>oo n—>oo i \/2 i \/2 V / cm . 1 _ Vi I _ 1 2 1 2 Součet obvodů všech takto vzniklých čtverců je 8 • (2 + \/2) cm. Nyní již zbývá dopočítat součet všech obsahů S takto vzniklých čtverců. Pro první čtverec dostaneme obsah S\ — a2 — 4 cm2. Pro druhý čtverec získáme obsah S2 — b2 — 2 cm2. Tímto způsobem bychom mohli pokračovat do nekonečna. Po sečtení všech obsahů dostaneme 00 j S = Si+S2 + S3 + ---=4 + 2+l + ---= £—3. n=\ 1 Jde o nekonečnou geometrickou řadu s kvocientem q — \ a můžeme ji tedy sečíst. Dostaneme S = lim sn = lim 4--= T = 8 [cm2]. M^oo W^oo 1 — - - 1 2 2 Součet obsahů všech takto vzniklých čtverců je 8 cm2. Příklad 3.3.7. 26. dubna 1986 došlo v Černobylské jaderné elektrárně k závažné havárii nejvyššího stupně. Nyní je přilehlá oblast kvůli vysoké radiaci neobyvatelná. Jedním z hlavních radioaktivních prvků, nacházejících se v jaderné elektrárně, je cesium-137. Tento radioizotop má poločas rozpadu 30 let. Pozorováním bylo zjištěno, že hmotnostní úbytek radioaktivní látky za určitý čas je úměrný hmotnosti, která byla dána na začátku. Najděte vzorec pro jeho hmotnost jako funkci času. Obrázek 3.7 Řešení: Označme m(t) hmotnost cesia po t letech. Potom pro úbytek hmotnosti platí: m{t + 1) —m(t) — —k-m(t), Kapitola 3. Číselné řady 44 kde k je kladná konstanta a ŕ G No- Odtud po úprave dostaneme m(t+l) = m(t)-(\-k). Pro t — 0,1,2...n — 1 dostaneme m(l) = m(0)-(l-&), m(2) = m(l)-(l-&), m(3) = m(2) •(!-£), m(n) = m(n — 1) • (1 — k). Po úpravě dostaneme m(l) =w(0)-(l-it)1, m(2) =m(0)-(l-fc)2, m(3) =m(0)-(l-fc)3, m{n) = m(0)-(l-£)n. Z toho plyne, že pro libovolné ŕ G No platí m(t) = m(0)-(l-k)'. (1) Ze zadání víme, že platí m(30) = m(0) • (1 - £)30 = ^m(O), odtud j_ 1 \30 í-k ' Po dosazení do (1) dostaneme m(í) = m(0) • | [\Y) =m(0)-QV° což je vyjadrení, které jsme hledali. Občas se během výuky stane, že některý ze žáků má problém pochopit tvrzení, že 0,99 = = 1. Z tohoto důvodu vyřešíme následující příklad. Kapitola 3. Číselné řady 45 Příklad 3.3.8. Dokažte, že 0,99 = 1. Řešení: Je zřejmé, že platí 0,99 = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ---, což můžeme upravit následujícím způsobem: 999 999 °°q 0,9 + 0,09 + 0,009 + -.. = - + — + m... = w + w + w + ...=£-. Jedná se o nekonečnou geometrickou řadu s kvocientem q — jq, proto ji můžeme sečíst. Dostaneme ^ n s = lim sn = lim ^- ■ -—= ^--]- = \. n-^oo n^oo 10 1 - (J^) 10 ^ Tím je dané tvrzení dokázáno. ■ Příklad 3.3.9. Pan Novák si na začátku každého úrokovacího období ukládá na svůj účet částku a Kč při úrokové sazbě i, i > 0. Kolik Kč si pan Novák uspoří na konci n-tého úrokovacího období? Kolik Kč si pan Novák uspoří za 10 let, pokud si na začátku každého roku ukládá na svůj účet 30 000 Kč při roční úrokové sazbě 3 %? Řešení: Pan Novák si na začátku prvního úrokovacího období uloží na svůj účet a Kč. Na konci prvního úrokovacího období bude mít částku a - (l + i). Na začátku druhého úrokovacího období si na svůj účet opět vloží částku a Kč. Protože první uložená částka se panu Novákovi úročí i během druhého období, bude mít na konci druhého úrokovacího období na účtu celkem a-(l + i)2+a-(l + i) Kč. Touto úvahou dále dostaneme následující tabulku. Pořadí uložené částky Počet úrokovacích období, po které se bude daná částka úročit Celková hodnota dané částky na konci posledního úrokovacího období 1 n a ■ (1+0" 2 n-] a ■ (1 + /)" 1 3 n-2 a ■ (í + if-2 ■ n 1 a ■ (1 + 0' Tabulka 3.1 Kapitola 3. Číselné řady_46 Pokud sečteme hodnoty všech uložených částek na konci posledního úrokovacího období, dostaneme fl-(l + /)n + a-(l + /)n-1 + ---+a-(l + /) = £a-(l+/)fc. k=l Jedná se o geometrickou řadu s kvocientem q — (1 +1). Zbývá vypočítat její součet sn. Dostaneme \-an l-(l + i)n (l+i)n-l J, = fl.(l + ,>i-^ = fl.(l + ,-).i-^±^ =a.(i+f).ii±^-'-[Kč]. Pan Novák si na konci n-tého úrokovacího období naspoří a • Pokud si pan Novák každý rok ukládá na svůj účet 30000 Kč po dobu 10 let při roční úrokové sazbě 3 %, naspoří si celkem (l + i)n_i n+oOS)10-! a- (1 +i) • ^—j-= 30000(1 +0,03) • 1 0 03-= 354233'87 ^ ' Příklad 3.3.10. Banka nabízí spoření s roční úrokovou sazbou 5 %, která se po deseti letech sníží pouze na 3 %. Úrok se připisuje na účet ke konci každého roku. Pan Veselý si na začátku prvního roku uložil na svůj spořící účet částku 500000 Kč. Jaká je nej vyšší možná částka, kterou si pan Veselý může na začátku každého dalšího roku z účtu vybrat tak, aby měl jistotu, že mu peníze nikdy nedojdou? Řešení: Označme PV = 500 000 [Kč], ix =5% = 0,05, i2 = 3% = 0,03, x — maximální výše výběru. Pan Veselý si na začátku druhého roku vybere z účtu částku x[£c]. Protože se ale daná částka během prvního roku zúročila úrokem i\, byla její hodnota na začátku prvního roku pouze Na začátku třetího roku si pan Veselý z účtu vybere opět tu samou částku x [Kč]. Tato částka se ale během předchozích dvou let úročila úrokem i\. Její hodnota byla na začátku prvního roku pouze Označení PV (present valué) se ve finanční matematice obvykle používá pro současnou/původní hodnotu kapitálu. Kapitola 3. Číselné řady 47 Tímto způsobem bychom mohli pokračovat pro prvních 10 let, během nichž se dané částky budou úročit. Po sečtení všech těchto částek dostaneme x x x w ^ x YTh + {i + W + '''+ (i+''i)10= iiä+Tô"' (D Získali jsme geometrickou řadu s kvocientem q\ — — y^. Poslední částku z předchozí řady vybere pan Veselý na začátku jedenáctého roku. Tento rok se změní úroková sazba z i\ na i2. Na začátku dvanáctého roku si pan Veselý vybere z účtu opět částku x [Kč]. Tato částka se ovšem během prvních 10 let úročila úrokem i\. Během jedenáctého roku se úročila úrokem i2. Na začátku prvního roku byla její hodnota tedy (l + /1)io.(i + /2)- Na začátku třináctého roku si pan Veselý vybral znovu částku x [Kč]. Během předchozích dvanácti let se ovšem tato částka úročila, a proto byla její hodnota na začátku spoření pouze (l+/1)10.(l + /2)2- Protože se úrok již dále nezmění, mohli bychom tímto způsobem pokračovat donekonečna. Po sečtení všech částek od začátku jedenáctého roku dostaneme co v x ^ x ' ' ": ' ■ ''r,('+''0,í: ' ' ' (l + /1)10.(l+/2) (l+i1)10.(l + í2)2 j^i(1 + /i)10.(1 + í2)» Získali jsme nekonečnou geometrickou řadu s kvocientem qi — — j^. Platí \q2\ < 1, proto můžeme tuto řadu sečíst. Sečtením řad (1) a (2) musíme dostat původní částku, která byla na začátku vložena na účet. Proto 10 x 00 x Součet řady (1) si označme u. Součet řady (2) si označme v. Po úpravě dostaneme u=----—— = ——--v ' 7 =7,7217-x, 1 + \-qi 1,05 1-^ v = lim s„ — lim x 1 — q\ \ x 1 n «^V(l+A)10-(l+í2) 1-92/ (l + /l)10-(l+/2) 1-92 x 1 1,0510-1,03 1-^ = 20,4638-x. Kapitola 3. Číselné řady 48 Dosazením do (3) dostaneme 7,7217 -x+ 20,4638 -x = 500 000 odtud x = 17 739,62 [#č]. Nejvyšší možná částka, kterou si pan Veselý může vybrat na začátku každého dalšího roku z účtu tak, aby měl jistotu, že mu peníze nikdy nedojdou, je 17 739,62Kč. Závěr Cílem mojí bakalářské práce bylo ukázat aplikace matematické analýzy v praktickém životě. Jednotlivé úlohy jsou vhodné pro středoškolské studenty, popřípadě studenty prvního ročníku vysoké školy. Text může být využit jako sbírka příkladů pro předmět MUC 27 Seminář z aplikací matematické analýzy i středoškolskými učiteli pro rozšíření učiva a demonstraci jeho konkrétního využití. Během práce jsem si rozšířil znalosti o využití matematiky v reálném životě a o práci s odbornými anglickými matematickými texty. Dále jsem se naučil lépe pracovat se systémem MTgX, se kterým jsem předtím neměl žádné zkušenosti. -49- Příloha 1: Seznam převzatých obrázků a jejich zdrojů • Obrázek 1.1 -2001 Total Solar Eclipse Global Map, 2004. In: NASA Eclipse Web Site [online], [cit. 2024-03-12]. Dostupné z: https://eclipse.gsfc.nasa.gov/SEmono/ TSE2001/TSE2001.html • Obrázek 1.7 - City Sightseeing Roma, c2024. In: Průvodce městem Řím [online], [cit. 2024-03-23]. Dostupné z: https://www.cestadorima.com/vyhlidkove-autobusy-v-rime/vyhlidkovy-autobus-city-sightseeing-roma/ • Obrázek 1.9 - Aplikace léků do podkoží, 2021. In: MojeMedicina.cz [online], [cit. 2024-03-23]. Dostupné z: https://www.mojemedicina.cz/pruvodce-pacienta/ diagnózy/Hemofilie/aplikace-leku-do-podkozi.html • Obrázek 1.12 - What would happen if you shot a gun in space?, c2024. In: BBC Science Focus [online], [cit. 2024-04-02]. Dostupné z: https://www.sciencefocus.com/space/what-would-happen-if-you-shot-a-gun-in-space • Obrázek 2.10 - Kdo je pravým otcem telefonu, když ne Bell? Ilustrační snímek, 2020. In: Idnes.cz [online], [cit. 2024-03-23]. Dostupné z: https://www.idnes.cz/ technet/veda/sto-objevu-sveta-souboj-o-patent-telefon-technet-bell-meucci-americky-kongres. A200610_130201_veda_taj • Obrázek 2.11 - Drugs-2-cover, 2018. In: WAidid [online], [cit. 2024-03-23]. Dostupné z: https://www.waidid.org/publications/bedaquiline-containing-regimens-in-the-treatment-of-extensively-drug-resistant-tuberculosis • Obrázek 2.12 - Large and Old Brick Industrial Building, 2023. In: The spruce [online], [cit. 2024-03-23]. Dostupné z: https://www.thespruce.com/what-is-industrial-architecture-4796580 • Obrázek 3.3 - Balóny nad Rozkoší 2023, 2023. In: Kudy z nudy [online], [cit. 2024-03-27]. Dostupné z: https://www.kudyznudy.cz/akce/25-balonu-letni-fiesta-horkovzdusnych-balonu-oko • Obrázek 3.7 - A reactor at the Chernobyl power plant, 2022. In: CNN World [online], [cit. 2024-03-28]. Dostupné z: https://edition.cnn.com/2022/03/ll/europe/ gallery /chernobyl-disaster/index.html -50- Seznam použité literatury [1] BERRESFORD, Geoffrey C. a Andrew M. ROCKETT, 2015. Applied Calculus. 7th ed. Cengage Learning. ISBN 978-1-305-08531-2. [2] BITTINGER, Marvin L., 2004. Calculus and It's Applications. 8th ed. Addison-Wesley. ISBN 0-321-16639-6. [3] DOŠLÁ, Zuzana a KUBĚN, Jaromír. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Brno: Masarykova univerzita, 2003. ISBN 80-210-3121-2. [4] DOŠLÁ, Zuzana a Vítězslav NOVÁK, 1998. Nekonečné řady. Brno: Masarykova univerzita. ISBN 80-210-1949-2. [5] DOŠLÝ, Ondřej a Petr ZEMÁNEK, 2011. Integrální počet v R. Brno: Masarykova univerzita. ISBN 978-80-210-5635-0. [6] GREENSPAN, Harvey P. a BENNEY, David J. Calculus, an introduction to applied mathematics. 2nd ed. Toronto: McGraw-Hill Ryerson Limited, cl986. ISBN 0-07-548926-0. [7] MIZRAHI, Abe a SULLIVAN, Michael. Mathematics: an applied approach. 6th ed. New York: John Wiley, 1996. ISBN 0-471-10701-8. [8] NOVÁK, Vítězslav. Integrální počet v R. Vyd. 3. přeprac. Brno: Masarykova univerzita, 2001. ISBN 80-210-2720-7. [9] PELAJOVÁ, Vlasta. Interaktivní materiály k středoškolské matematické analýze Online. Diplomová práce. Brno: Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta. 2019. Dostupné z: https://is.muni.cz/th/shyh6/. [cit. 2024-03-20]. [10] VOLDÁNOVÁ, Anna. Lineární diferenční rovnice prvního řádu a jejich aplikace Online. Diplomová práce. Brno: Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta. 2009. Dostupné z: https://is.muni.cz/th/a57t7/. [cit. 2024-03-28]. [11] WASSERBAUEROVÁ, Lenka. Aplikace diferenciálního a integrálního počtu. Online. Bakalářská práce. Brno: Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta. 2015. Dostupné z: https://is.muni.cz/th/mc51m/. [cit. 2024-03-20]. [12] ZEMEK, Václav, Kristýna ZEMKOVA, Magda KRÁLOVÁ, Milan NAVRÁTIL a Petr KOZÁK, [2017-2020]. Matematika pro střední školy 9. díl. Brno: Didaktis. ISBN 978-80-7358-267-8. -51-