Domácí úkol z kombinatoriky, 2. prosince 2024
Přestože tento domácí úkol nebudete odevzdávat, měli byste si jej ve vlastním zájmu sepsat. Nezapomeňte vždy zapsat i úvahu, kterou jste k výsledku došli, způsobem, kterým byste svůj postup vysvětlili spolužákovi.
Vzorové řešení zadaných úloh bude uveřejněno v interaktivní osnově v pátek 6. prosince 2024, abyste si svůj domácí úkol mohli sami opravit.
1. Ve čtvercové síti je povoleno jít dolů, doprava a diagonálně vpravo dolů (viz náčrtek). Označme an, kde nGZ,ii>0, počet cest z daného startovního bodu do cílového bodu, který je o dvě délky strany čtverce níže a o n délek strany čtverce vpravo (náčrtek popisuje situaci pro n = 9).
Nalezněte rekurentní vztah pro výpočet členů posloupnosti {an}^l0 pomocí předchozích členů. Vypočtěte a13.
2. Rekurentní posloupnost {&n}^Li Je dána svými počátečními hodnotami bi = 1, &2 = 0, &3 = 4, a rekurentním vztahem
bn+3 = 2&n+2 + bn+i — 2bn
platným pro každé přirozené číslo n. Nalezněte explicitní vyjádření členu bn této posloupnosti, tj. vyjádření, ve kterém nebudou vystupovat jiné členy této posloupnosti (jedinou proměnnou bude n).
3. Ve hře Sportka se táhne z osudí, ve kterém je 49 míčků označených přirozenými čísly 1 až 49. Tah spočívá v tom, že se z osudí náhodně vylosuje 6 míčků (poté se losuje ještě jeden míček pro určení tzv. dodatkového čísla, které však v této úloze neuvažujeme). Určete, s jakou pravděpodobností bude v příštím tahu mezi vylosovanými šesti míčky alespoň jeden míček s číslem z množiny {10,11,..., 19}, alespoň jeden míček s číslem z množiny {20, 21,..., 29} a alespoň jeden míček s číslem z množiny {30, 31,..., 39}.