Sinová a kosinová věta
1. V daném trojúhelníku ABC při obvyklém označení stran a vnitřních
úhlů platí a : b = 2 : 3 a α : β = 1 : 2. Zjistěte, zda rovněž
poměr a : c je poměrem dvou celých čísel (v kladném případě
tato čísla najděte).
2. Užitím sinové věty dokažte tzv. tangentovou větu pro obecný
trojúhelník ABC, která je při obvyklém označení jeho prvků
vyjádřena úměrou (a − b) : (a + b) = tg α−β
2 : tg α+β
2 .
3. Do kružnice o poloměru R = 3
√
6 cm je vepsán trojúhelník ABC,
ve kterém platí a = 2
√
30 cm, vb = 2
√
5 cm a α > 90◦
. Vypočtěte
délky zbylých stran b a c.
4. V trojúhelníku ABC o obsahu 12 cm2
při obvyklém označení
stran a úhlů platí a = 5 cm a tg α = 0,75. Ukažte, že rovněž
délky b, c zbylých dvou stran trojúhelníku jsou (v cm) vyjádřeny
racionálními čísly a tato čísla určete.
5. Kružnice vepsaná trojúhelníku ABC se dotýká jeho strany AB
v bodě T, přičemž úsečky AT a BT mají po řadě délky 5 a 9.
Vypočtěte délky všech stran trojúhelníku ABC, víte-li navíc,
že jeho vnitřní úhel při vrcholu C má velikost 120◦
. (Návod:
Uvažujte o dalších dvou bodech dotyku vepsané kružnice.)
6. V trojúhelníku ABC platí a = 3 cm, b = 2
√
5 cm a sin γ = 2/3.
Vypočtěte c, sin α a cos β (přesně, tj. bez užití přibližných hodnot
goniometrických a cyklometrických funkcí z kalkulaček).
7. Odvoďte vzorce pro délky těžnic trojúhelníku ABC pomocí délek
a, b, c jeho stran. (Návod: Pro určení délky těžnice CS uplatněte
nejprve kosinovou větu v trojúhelnících ASC a ABC se
společným úhlem u vrcholu A. Pak tento úhel z obou rovností
eliminujte.)