SINOVÁ VĚTA
(1) Dokažte, že pro obsah S trojúhelníku ABC platí vzorce
a) S =
a2
sin β sin γ
2 sin α
, b) S =
v2
a sin α
2 sin β sin γ
, c) S = 2r2
sin α sin β sin γ.
Vyjádřete rovněž obsah S pomocí výšek va, vb a sinu úhlu γ.
(2) Jsou dány přímky a, b protínající se v bodě O a bod P (různý od O).
Libovolná přímka p procházející bodem P protíná přímky a, b po řadě
v bodech A, B. Dokažte, že hodnota poměru
|OA|
|OB|
:
|PA|
|PB|
nezávisí na volbě přímky p.
(3) Střed kružnice vepsané danému trojúhelníku ABC je označen S. Osa vnitřního
úhlu u vrcholu B protíná stranu AC v bodě D, osa vnitřního úhlu
u vrcholu C protíná stranu AB v bodě E, přitom platí |SD| = |SE|. Dokažte,
že platí |∢BAC| = 60◦
nebo je trojúhelník ABC rovnoramenný.
(4) Ve vnitřní oblasti kružnice k se středem S je dán bod Q různý od bodu S.
Určete bod P na kružnici k tak, aby byla velikost úhlu SPQ maximální.
(5) Je dán konvexní čtyřúhelník ABCD. Předpokládejme, že polopřímky BA,
CD se protínají v bodě K a polopřímky BC, AD v bodě M. Dokažte, že
pro poloměry kružnic opsaných trojúhelníkům ACM, BDK, ACK, BDM
platí při zřejmém označení rovnost
rACM · rBDK = rACK · rBDM .
(6) Dokažte, že pro libovolný vnitřní bod D základny AB rovnoramenného trojúhelníku
ABC jsou kružnice opsané trojúhelníkům ACD a BCD shodné.
(7) Je dán ostroúhlý trojúhelník ABC. Pro libovolný bod L jeho strany AB
označme K, M paty kolmic z bodu L na strany AC, BC. Zjistěte, pro
kterou polohu bodu L je úsečka KM nejkratší.
(8) Patou výšky na libovolnou stranu trojúhelníku ABC veďme kolmice na
zbývající dvě strany. Ukažte, že paty těchto dvou kolmic (tzv. druhotné
paty původní výšky) mají pro všechny tři výšky stejnou vzdálenost rovnu
S/r, kde S je obsah a r je poloměr kružnice opsané trojúhelníku ABC.
(9) Uvnitř ostroúhlého trojúhelníku ABC je dán bod P. Označme AP , BP ,
CP paty kolmic z bodu P po řadě na strany BC, AC, AB. Určete všechny
body P, pro které je trojúhelník AP BP CP podobný trojúhelníku ABC.
(10) Čtyřúhelník s navzájem kolmými úhlopříčkami je vepsán do kružnice o poloměru
r. Vyjádřete součet čtverců jeho stran pouze pomocí r.
1
(11) Je dán trojúhelník ABC, ve kterém γ ≥ α. Na tom oblouku BC kružnice
opsané, který neobsahuje bod A, je zvolen vnitřní bod P. Úsečka AP protíná
stranu BC v bodě Q, polopřímka BP protíná polopřímku AC v bodě R.
Dokažte, že hodnota výrazu
|CA| · |CR| − |CB| · |CQ|
|CQ| · |CR|
nezávisí na volbě bodu P.
(12) Středy oblouků BC, CA, AB kružnice opsané danému trojúhelníku ABC,
na nichž neleží po řadě body A, B, C, označme po řadě P, Q, R a středy
stran BC, CA, AB označme po řadě K, L, M. Nechť S je střed kružnice
vepsané tomuto trojúhelníku. Dokažte, že platí rovnost
|AS| · |BS| · |CS| = 8 · |KP| · |LQ| · |MR|.
(13) Je dán trojúhelník ABC (|AB| = |BC|). Označme D průsečík přímky BC a
tečny v bodě A ke kružnici opsané trojúhelníku ABC. Kolmice k přímce BC
vedené body B, C protínají osy stran AB, resp. AC po řadě v bodech E, F.
Dokažte rovnost
|BE|
|CF|
=
|BD|
|CD|
(která bude znamenat, že body D, E, F leží v přímce).
(14) Uvnitř strany AB daného ostroúhlého trojúhelníku ABC zvolte bod S tak,
aby trojúhelník SXY , kde X a Y jsou po řadě středy kružnic opsaných
trojúhelníkům ASC a BSC, měl nejmenší možný obsah.
(15) V konvexním čtyřúhelníku ABCD je dáno |∢CAB| = 50◦
, |∢DBC| = 20◦
,
|∢ACD| = 40◦
, |∢BDA| = 70◦
. Určete velikost úhlu ASB, kde S je průsečík
úhlopříček AC a BD. (Těžké! Možné velikosti jsou dvě.)
KOSINOVÁ VĚTA
(1) Určete, jakou podmínku splňují vnitřní úhly právě těch trojúhelníků ABC,
pro jejichž strany platí
3
a + b + c
=
1
a + b
+
1
a + c
.
(2) Základny lichoběžníku mají délky 3 a 12, jedno rameno má délku 2 a jedna
úhlopříčka 12. Vypočítejte délku druhé úhlopříčky.
(3) Uvnitř rovnostranného trojúhelníku ABC je bod P takový, že |PA| = 3,
|PB| = 4, |PB| = 5. Určete délku strany trojúhelníku ABC.
(4) Kružnice vepsaná trojúhelníku ABC se dotýká strany AB v bodě D takovém,
že |AD| = 5 a |DB| = 3. Určete délku strany BC, je-li α = 60◦
.
2
(5) V rovnoběžníku ABCD je dáno: |AB| = a, |AD| = b (b > a), ∢BAD = α,
(α < 90◦
). Na stranách AD, BC leží po řadě body K, M tak, že BMDK je
kosočtverec. Kolik měří jeho strana?
(6) Pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem u vrcholu C je vepsán do rovnostranného
trojúhelníku PQR (A ∈ QR, B ∈ PR, C ∈ PQ). Určete délku
úsečky AQ, je-li dáno |PC| = 3, |BP| = |CQ| = 2.
(7) Šestiúhelník vepsaný do kružnice má tři sousedící strany délky a a zbylé tři
sousedící strany délky b. Vyjádřete pomocí a, b poloměr r opsané kružnice.
(8) V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu A je přepona
BC rozdělena body M, N na tři shodné úsečky (|BM| = |MN| = |NC|).
Vyjádřete délku úsečky MN pomocí délek x = |AM| a y = |AN|.
(9) Délky těžnic libovolného trojúhelníku vyjádřete pomocí délek jeho stran.
(10) Pro délky stran trojúhelníku ABC platí a2
+ b2
= 5c2
, právě když jsou
těžnice z vrcholů A, B navzájem kolmé. Dokažte.
(11) Uvnitř jedné poloroviny s hraniční přímkou AB jsou dány dva různé body
P a Q, ve druhé polorovině je nad průměrem AB sestrojena polokružnice.
Určete ten její bod M, pro který součet |PM|2
+ |QM|2
nabývá největší
hodnoty.
(12) Označme O střed opsané kružnice a T těžiště libovolného trojúhelníku
ABC, který není rovnostranný. Dokažte, že úsečky OT a CT jsou navzájem
kolmé, právě když pro délky stran platí a2
+ b2
= 2c2
.
(13) Dokažte, že v lichoběžníku ABCD se základnami AB, CD platí
|AB|2
− |BC|2
+ |AC|2
|CD|2 − |AD|2 + |AC|2
=
|AB|2
− |AD|2
+ |BD|2
|CD|2 − |BC|2 + |BD|2
=
|AB|
|CD|
.
s výjimkou případů, kdy první nebo druhý zlomek nemá smysl – ukažte, že
tehdy se jedná o zlomek 0/0.
(14) Dokažte, že v nerovnoramenném lichoběžníku ABCD (AB CD) platí
|AC|2
− |BD|2
|AD|2 − |BC|2
=
|AB| + |CD|
|AB| − |CD|
.
(15) Je dán trojúhelník ABC. Nalezněte bod D na straně AC a bod E na
straně AB tak, aby byl obsah trojúhelníku ADE roven obsahu čtyřúhelníku
DEBC a délka úsečky DE byla minimální.
(16) Je dána kružnice k(S; r) a na ní body M, N takové, že úhel MSN je ostrý.
Libovolným bodem X menšího z oblouků MN veďme rovnoběžku s přímkou
MS a označme Y její průsečík s úsečkou SN. Sestrojte takový bod X, pro
který je obsah trojúhelníku SXY maximální.
(17) Uvnitř trojúhelníku ABC, ve kterém |∢ABC| = 30◦
a |∢BAC| = 60◦
, je
dán bod P tak, že |BP| = 4, |CP| = 1 a |∢APB| = 120◦
. Vypočtěte délku
úsečky AP.
Všechny příklady jsou převzaty z paragrafů 2.7 a 2.8 dizertační práce
„Metody neanalytických výpočtů... autorky Barbory Havířové. Jsou
tam uvedena rovněž jejich podrobná řešení.
3