Hesla k otázkám kurzu DM 2
01. Sinová věta
Sinová věta, její důkaz přes výšky trojúhelníku.
Rozšířená sinová věta a její obrázkový důkaz.
Typické situace pro užití sinové věty při „řešeních trojúhelníků . Případná dvojznačnost
řešení a její souvislost s větou Ssu.
Různé vzorce pro obsah trojúhelníku.
Aplikace: Určení šířky řeky měřením z věže.
02. Kosinová věta
Kosinová věta, její důkaz přes výšky trojúhelníku a Pythagorovu větu, kterou zo-
becňuje.
Typické situace pro užití kosinové věty při „řešeních trojúhelníků .
Odvození Heronova vzorce pro obsah trojúhelníku metodou užití kosinové věty.
Aplikace: Určení vzdálenosti dvou bodů na druhém břehu řeky měřením ze dvou
bodů na prvním břehu.
03. Geometrie, její historie a výuka
Předmět geometrie. Milníky její historie od starověku po práci D. Hilberta.
Výuka G na ZŠ, její obsah a charakter.
Výuka G na SŠ, její odlišnosti od výuky na ZŠ. Odborný cíl výuky G na SŠ.
Neprofesní význam výuky G.
04. Základní planimetrické pojmy a poznatky
Axiomatické pojetí, pět skupin axiomů v Hilbertově systému.
I. stupeň ZŠ
Bod a přímka. Přímka AB, značení ↔AB. Úsečka AB, jak říkáme bodům A a B,
jak jejím ostatním bodům.
Shodné úsečky AB a CD, zápis AB ∼= CD. Porovnání a sčítání úseček. Měření
úseček, jednotky délky. Shodnost úseček a rovnost jejich délek.
Polopřímka AB (značení → AB), jak říkáme bodu A, jak ostatním jejím bodům.
Navzájem opačné polopřímky.
Co je střed dané úsečky a jak ho sestrojíme. Co je osa úsečky a jak ji sestrojíme.
Polorovina, zápis →pX nebo →ABX, pojmenování jejích bodů. Navzájem opačné
poloroviny.
Kterou část roviny nazýváme úhlem. Pojmenování obou polopřímek a jejich společného
počátku, jak říkáme ostatním bodům úhlu. Zápis úhlu třemi body. Dvojice
úhlů se stejnými rameny. Obecný význam termínu konvexní a nekonvexní útvar.
Shodné úhly. Porovnání a sčítání úhlů. Měření úhlů, úhlové jednotky (stupně a
menší jednotky). Shodnost úhlů a rovnost jejich velikostí. Jak třídíme úhly podle
jejich velikosti od 0◦
do 360◦
. Co je osa daného úhlu a jak ji sestrojíme.
Přímky různoběžné, rovnoběžné a navzájem kolmé (a ∦ b, a b, a ⊥ b). Jak sestrojíme
rovnoběžku procházející daným bodem. Jak sestrojíme kolmici procházející
daným bodem.
Jak určujeme vzdálenost bodu od přímky. Kdy a jak určujeme vzdálenost dvou
přímek téže roviny.
Dvojice úhlů: co jsou vrcholové a vedlejší úhly, souhlasné a střídavé úhly, a jaké
mají vlastnosti.
1
Kružnice, její střed, poloměr a průměr (dva významy). Tětiva kružnice a kružnicový
oblouk, pojmenování jeho bodů. Kruh.
Trojúhelník a jeho základní prvky, pojmenování jeho prvků, hranice a obvod. Zápis
△ABC – má v něm význam pořadí vrcholů? Třídění trojúhelníků podle velikostí
vnitřních úhlů.
Čtyřúhelník a jeho základní prvky. Konvexní a nekonvexní čtyřúhelníky. Hranice a
obvod.
II. stupeň ZŠ
Trojúhelníkové nerovnosti. Nerovnosti mezi stranami a mezi vnitřními úhly téhož
trojúhelníku.Věta o součtu vnitřních úhlů trojúhelníku. Věta o vnějším úhlu trojúhelníku.
Věta o součtu vnitřních úhlů čtyřúhelníku.
Trojúhelníky rovnoramenné, jejich základna a ramena. Trojúhelník rovnostranný.
Intuitivní přístup ke shodnosti dvou útvarů na ZŠ. Shodné trojúhelníky, zápis
△ABC ∼= △KLM a pořadí vrcholů v něm. Co platí pro dva shodné trojúhelníky.
Věty sss, sus, usu a Ssu o shodnosti trojúhelníků.
Střední příčky trojúhelníků a jejich vlastnosti.
Těžnice trojúhelníku a jejich vlastnosti. Těžiště trojúhelníku.
Kružnice opsaná a kružnice vepsaná danému trojúhelníku. Existence a konstrukce
těchto kružnic.
Výšky trojúhelníku (dvojí význam) a jejich vlastnosti. Průsečík výšek (ortocentrum)
daného trojúhelníku.
Vzájemná poloha přímky a kružnice, pojmenování dotyčné přímky ve třech případech.
Vzdálenosti středu kružnice od dotyčné přímky ve třech případech v porovnání
s poloměrem kružnice.
Vzájemná poloha dvou (nesoustředných) kružnic, rozlišení možných případů.
05. Množiny všech bodů dané vlastnosti
Dva aspekty tvrzení „Množina M v rovině ̺ je množina všech těch jejích bodů,
které mají vlastnost V .
S důkazy uveďte vlastnost V charakterizující danou množinu bodů, nebo naopak
tuto množinu nazvanou podle její charakteristické vlastnosti V explicitně popište:
(1) Osa úsečky AB,
(2) kružnice k(S, r),
(3) osa úhlu AV B (při jakém omezení na jeho velikost?),
(4) osa dvou různých rovnoběžek,
(5) osa dvou různoběžek,
(6) ekvidistanta dané přímky,
(7) ekvidistanta dané kružnice,
(8) Thaletova kružnice (obecněji ekvigonála úsečky v otázce 8).
Významné aplikace: Existence a konstrukce kružnic opsaných a vepsaných danému
trojúhelníku. Důkaz věty o výškách trojúhelníku. Konstrukce tečen z daného
bodu k dané kružnici.
06. Konstrukční úlohy a etapy jejich řešení
Polohové a nepolohové úlohy – jejich rozdíly v zadání a při rozlišování stejných,
resp. různých výsledných řešení.
Vyjmenujte jednotlivé etapy úplného řešení konstrukční úlohy, popište náplň a zásady
realizace každé z nich.
2
07. Úhly příslušné oblouku kružnice
Dva oblouky AB téže kružnice, jakými zápisy je rozlišujeme.
Středový úhel, jeho slovní vymezení. Shodnost dvou oblouků téže kružnice a shodnost
jejich středových úhlů.
Obvodový úhel, jeho slovní vymezení. Věta o obvodovém a středovém úhlu, její
důkaz.
Shodnost dvou oblouků téže kružnice a shodnost jejich obvodových úhlů. Co platí
pro obvodové úhly příslušné oběma obloukům AB téže kružnice.
Úsekový úhel, jeho slovní vymezení. Věta o úsekovém a obvodovém úhlu, její důkaz.
08. Ekvigonála úsečky a mocnost bodu ke kružnici
Porovnání obvodového úhlu AVB a úhlu AXB s vrcholem X v různých částech
poloroviny ABV , důkazy.
Pro které body X poloroviny KLM platí |∢KXL| = |∢KML|?
Věta o ekvigonále úsečky. Její konstrukce užitím úsekového úhlu.
Věta o tětivovém čtyřúhelníku, důkaz.
Invariant všech sečen kružnice k procházejících daným bodem X, který leží a) ve
vnější, b) ve vnitřní oblasti kružnice k, důkazy.
Mocnost bodu ke kružnici. Typ této skalární veličiny a její možné hodnoty. Věta
o mocnosti bodu ke kružnici.
Konstrukce kružnice, která prochází danými dvěma body a dotýká se dané přímky.
09. Podobné trojúhelníky a jejich užití
Intuitivní přístup k zavedení shodných a podobných útvarů.
K čemu slouží zavedení podobných trojúhelníků na základní škole.
Středoškolská deﬁnice podobných trojúhelníků, koeﬁcient (poměr) podobnosti. Zápis
deﬁnice bez užití koeﬁcientu.
Vlastnosti podobných trojúhelníků. Věty o podobnosti trojúhelníků.
Které veličiny dvou podobných trojúhelníků jsou ve stejném poměru jako jejich
strany. Poměr obsahů dvou podobných trojúhelníků.
Dva způsoby zápisu poměrů stran podobných trojúhelníků.
Praktický význam podobnosti útvarů. Užití podobných trojúhelníků v geometrii.
Věty o pravoúhlém trojúhelníku a jejich odvození pomocí podobnosti. Význam
těchto vět pro konstrukce délek určených vzorci z jiných délek.
Geometricky úměrné veličiny, konstrukce čtvrté geometrické úměrné. Konstrukční
rozdělení dané úsečky v daném poměru.
10. Shodná zobrazení, vlastnosti a klasiﬁkace
Intuitivní přístup k shodným zobrazením. Dvojí význam termínu shodnost.
Středoškolská deﬁnice shodného zobrazení. Symbolika a termíny spojené se zobrazením
v rovině.
Obecné vlastnosti shodných zobrazení. Shodnosti přímé a nepřímé.
Kolik existuje shodností, které zobrazí dané body A, B (A = B) po řadě na dané
body A′
, B′
?
Klasiﬁkace shodných zobrazení na pět druhů, deﬁnice nejméně známého z nich.
Shodná zobrazení jako výsledky složení několika osových souměrností.
Konstrukce shodného zobrazení k zadané shodnosti △ABC ∼= △A′
B′
C′
.
3
11. Osové souměrnosti, vlastnosti a užití
Deﬁnice osové souměrnosti.
Vlastnosti osové souměrnosti. Souměrně sdružené body a útvary v dané osové souměrnosti.
Osově souměrné útvary.
Úlohy o nejkratších lomených čarách. Úlohy o odrazech. Konstrukce osově souměrných
útvarů. Konstrukce trojúhelníků v případech vymezených typem jednoho ze
tří zadaných prvků (o jaké typy se jedná?).
12. Středové souměrnosti, vlastnosti a užití
Deﬁnice středové souměrnosti.
Vlastnosti středové souměrnosti. Souměrně sdružené body a útvary v dané středové
souměrnosti. Středově souměrné útvary.
Konstrukce úsečky s daným středem. Konstrukce středově souměrných útvarů. Konstrukce
trojúhelníků se zadanou těžnicí.
13. Posunutí, vlastnosti a užití
Orientovaná úsečka, její délka. Orientované úsečky nulové a nenulové. Směr přímek,
polopřímek a orientovaných úseček.
Deﬁnice posunutí. Vlastnosti posunutí.
Konstrukce úsečky dané délky a směru. Posunutí kopie útvaru. Konstrukce lichoběžníků.
Čtyřúhelníky se zadanými úhlopříčkami a úhlem mezi nimi.
14. Otočení, vlastnosti a užití
Orientovaný úhel, jeho základní a obecná velikost.
Deﬁnice otočení. Vlastnosti otočení.
Konstrukce rovnoramenných trojúhelníků. Otočení kopie útvaru. Využití úhlu mezi
přímkou a jejím obrazem.
15. Podobná zobrazení, stejnolehlosti
Postavení podobných zobrazení v gymnaziální výuce geometrie.
Deﬁnice podobného zobrazení.
Vlastnosti podobných zobrazení.
Původ termínu „stejnolehlé trojúhelníky .
Středoškolská deﬁnice stejnolehlosti, její vektorová alternativa.
Vlastnosti stejnolehlosti. Která z nich odlišuje stejnolehlosti od všech ostatních
podobných zobrazení?
Praktická konstrukce obrazů ve stejnolehlosti.
16. Užití stejnolehlostí
Stejnolehlost dvou úseček. Stejnolehlost dvou kružnic.
Společné tečny dvou kružnic. Konstrukce úsečky podle dělení na dva úseky v daném
poměru. Zvětšení či zmenšení podobné kopie. Využití dotyku dvou kružnic. Složení
stejnolehlosti s otočením. Vpisování útvarů užitím stejnolehlé kopie.
Konec dokumentu
4