Následující náplň cvičení je na celou dvouhodinovku, neboť se jedná o příliš obsáhlé učivo.

Rámcová náplň cvičení

Relace ekvivalence

• Ekvivalence je reflexivní, symetrická a tranzitivní relace. Příklady relací ekvivalence a jejich přirozený vztah ke "shlukování" - rozkladům nosné množiny.
• Důraz je na správné intuitivní pochopení, co to znamená relace ekvivalence (tj. že prvky v třídách jsou vždy něčím "stejné" a zároveň "různé" od ostatních tříd). 
• Je dobré trénovat i formální stránku rozkladů množin, přesně podle definice z přednášky.

• Použití rozkladu podle ekvivalence v matematice:
  • Zbytkové třídy modulo m, modulární aritmetika.
  • Konstrukce číselných oborů - z přirozených na celá čísla coby dvojice (a,b) s "významem" a-b, stejně tak z celých na racionální čísla coby dvojice (c,d) s "významem" c/d. 

Relace uspořádání

• Relace uspořádání je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní, vysvětlení role reflexivity jako neostré versus "ostré uspořádání". Ne všechny dvojice na uspořádané množině jsou porovnatelné - proto se někdy říká "částečné uspořádání".
• Popisy relací uspořádání - výčtem dvojic, slovním popisem, Hasseovým diagramem. Kromě slovního popisu na obecné konečné množině (jako "mezi studenty sedící v posluchárně...") se příklady soustřeďují na malé uspořádané množiny a důraz se opět klade na pochopení, jak uspořádání vypadají a jak je použít.
  • Konstrukce uspořádání po složkách a lexikografického.
  • Jiným vhodným příkladem uspořádání je dělitelnost na přirozených číslech.

• Pojmy uspořádaných množin: nejmenší/největší prvek, minimální a maximální (čím se tyto liší od nejmenších/největších!), infimum a supremum podmnožiny, atd. Tyto pojmy je nejlepší trénovat na malých Hasseovských diagramech.
• Předuspořádání - pochopit význam asociované ekvivalence a z ní získaného jádra předuspořádání.
  V mnoha praktických situacích si říkáme, že nějaké věci "uspořádáme" a přitom to je pouze předuspořádání! Vezměme si třeba "uspořádání zboží podle ceny" - co děláme s těmi, co stojí stejně?

• Lehce lze poukázat (pokud zbývá čas) na nekonečné uspořádané množiny a jejich "divné" chování, jako třeba možná neexistence minimálního či maximálního prvku atd.

Opět skládání relací - volitelně na závěr

• Pokročilé příklady skládání slovně popsaných relací, kde je třeba ad hoc kombinovat slovní popisy k získání "uchopitelné" definice té složené relace - demonstrováno na konkrétním příkladě z odpovědníku.
  Například určíme vlastnosti složené relace "S po R" kde jsou relace R a S dány následujícími výčty dvojic:
  • (A,B) je v R právě když A sedí ve stejné řadě jako B.
    (A,B) je v S právě když A nesedí ve stejné řadě jako B.
  • (A,B) je v R právě když A sedí ve stejné řadě jako B nebo v některé řadě před ním.
    (A,B) je v S právě když oba sedí ve stejné řadě a B není nalevo od A.
  • (A,B) je v R právě když A sedí ve stejné řadě jako B nalevo od B.
    (A,B) je v S právě když A sedí v některé řadě za B.

Možné příklady k procvičení ekvivalencí

• Určete v každém z následujících dvou případů, zda popsaná relace mezi studenty v posluchárně je ekvivalencí:
  • Student A je v relaci s B, pokud sedí ve stejné řadě a zároveň mají stejnou barvu vlasů.
  • Student A je v relaci s B, pokud sedí ve stejné řadě nebo mají stejnou barvu vlasů.
• Binární relace R na množině {a,b,c,d,e,f,g,h,i} je dána níže uvedeným výčtem dvojic. Kolik a jakých tříd ekvivalence určuje reflexivní, symetrický a tranzitivní uzávěr relace R? (Nakreslete si tuto relaci i její uzávěr.)
  • R = {(a,b),(c,c),(c,i),(d,b),(d,g),(f,b),(f,i),(i,e)}
  • R = {(a,e),(a,h),(e,a),(f,i),(g,i),(h,a),(i,f),(i,g)}

• Na množině všech celých kladných čísel definujeme relaci ekvivalence takto: dvě čísla x,y jsou v relaci, pokud mají obě ve svém prvočíselném rozkladu stejný počet prvočísel (bez ohledu na jejich mocninu). Nejprve dokažte, že se skutečně jedná o ekvivalenci. Poté určete, jak vypadají třídy této ekvivalence v restrikci na "malá" celá kladná čísla. Například, v jaké třídě ekvivalence se nachází číslo 1 a v jaké číslo 2?

Možné příklady k procvičení uspořádaných množin

..................

• Vezmeme-li si množinu všech přirozených čísel N uspořádaných relací dělitelnosti, co  je pak infimem a supremem libovolné podmnožiny A⊂N ? Proč toto supremum a infimum vždy existuje (což je poměrně nezvyklý úkaz)?
  Pokud toto uspořádání dělitelností omezíme na nosnou množinu N\{1}, co jsou pak všechny minimální prvky?

...................

Tvrzení o uspořádaných množinách k procvičení důkazů - volitelné

(Pokud bude čas...)

• Na konečné uspořádané množině je vždy alespoň jeden minimální prvek (proč na nekonečné ne?).
• Pokud je prvek nejmenší, musí to být právě jediný minimální prvek, ale naopak to platí jen na konečných množinách.
• Lexikografické uspořádání podle lineárně uspořádaných složek poskytuje opět lineární uspořádání.