Základní informace o vektorech

vektor – „přenašeč“, je složená veličina má směr a velikost

Formy zápisu vektorů:

• vektorový tvar – a = {a1, a2, a3}
• maticový tvar – zapisujeme do sloupce, na řádek transpozicí: a = [a] = [a1, a2, a3]T
• algebraický tvar – vhodný pro odvozování: a = a1.e1 +  a2.e2 + a3.e3, kde e1, e2, e3 jsou bázové vektory
• eulerovský tvar – nebo také goniometrický tvar:
  • a = a.(cos α1.e1 + cos α2.e2 + cos α3.e3)
  • a = a.(cos φ.(cos α.e1 + sin α.e2) + sin φ.e3)

absolutní hodnota vektoru je jeho délka a = |a| = (a₁² + a22 + a32)1/2

Souřadnicové soustavy

pro numerická řešení používáme téměř výhradně pravotočivé ortogonální ekvidistantní souřadné soustavy

• ekvidistantní – osy mají stejné a rovnoměrné dělení
• ortogonální – souřadné osy svírají pravé úhly
• pravotočivé – kladný směr rotace je pravotočivý, používá se pravidlo pravé ruky

Směr souřadných os se označuje pomocí jednotkových vektorů e1, e2, e3 (ortonormální báze)

Geografické souřadnice:

• osa x – vodorovná, kladný směr je k severu
• osa y – vodorovná, kladný směr je k východu
• osa z – vertikální, kladný směr je dolů

Vektor nulové délky neurčuje směr (neutrální prvek).

Směr kladného poloprostoru je konvencí určen jako nenulový, ve 3D ve směru dolů, v ploše pak k východu, pokud je osa y a z = 0 tak x musí být k severu, jinak jsme v záporném poloprostoru.

Sčítání vektorů

c = a + b = (a1 + b1).e1 +  (a2 + b2).e2 + (a3 + b3).e3

Základní vlastnosti vektorového sčítání:

• Existence operace – platí jen pro stejné typy vektorů ve stejných souřadnicích.
• Komutativnost – platí a + b = b + a
• Asociativnost – (a + b) + c = a + (b + c)
• Existence neutrálního prvku – existuje nulový vektor  0
• Existence inverzního prvku – ke každému a existuje inverzní prvek (-a), platí a + (-a) = 0
• Existence inverzní operace – můžeme řešit rovnici a + x = b a x + a = b inverzní operace se nazývá odčítání: x = b – a

Odčítání vektorů

c = a – b = (a1 – b1).e1 +  (a2 – b2).e2 + (a3 – b3).e3

Základní vlastnosti vektorového odčítání:

• Existence operace – platí jen pro stejné typy vektorů ve stejných souřadnicích.
• Antikomutativnost – operace závisí na pořadí prvků, platí a – b = – (b – a)
• Existence neutrálního prvku – existuje nulový vektor 0

Skalární násobek vektoru

c = k.a = a + a + a + a...

Základní vlastnosti vektorového sčítání:

• Existence operace – neomezená, může vstupovat jakýkoli skalár a vektor
• Komutativnost – platí k.a = a.k
• Asociativnost – (k.a).l = k.(a.l)
• Distributivnost vzhledem ke sčítání skalárů – (k + l).a = k.a + l.a
• Distributivnost vzhledem ke sčítání vektorů – k.(a + b) = k.a + k.b
• Existence neutrálního skalárního prvku – existuje jednotkový skalár 1.a = a
• Existence inverzního skalárního prvku – ke každému prvku k existuje inverzní prvek (k-1), platí k.k-1.a = a
• Existence inverzní operace pro vektor – hledáme vektor x, můžeme řešit rovnici k.x = b inverzní operace se nazývá dělení skalárem: x = b/k
• Inverzní operace pro skalár – obecně neexistuje, určení neznámého skaláru x z rovnice x.a = b je možné pouze u rovnoběžných vektorů a a b

násobení nulou 0.a = k.0 = 0

Dělení skalárem

Dělení číslem k ≠ 0 jako násobení vektoru převrácenou hodnotou 1/k.

a/k = a1/k.e1 +  a2/k.e2 + a3/k.e3

Jednotkový vektor:

Vektor jednotkové délky |a0| = 1 a0= a/a.

Lineární závislost vektorů:

platí-li lineární závislost mezi vektory a1, a2, a3... an vyjádřená vztahem:

k1.a1 + k2.a2 + k3.a3 + ... + kn.an = 0

kde k1, k2, k3... kn. jsou libovolná nenulová čísla

lineárně závislé vektory:

• kolineární – dva vektory
• koplanární – tři vektory

Vektorová rovnice přímky:

Přímka daná polohovým vektorem jednoho bodu r1 a směrovým vektorem s:

r = r1 + k.s

Pro dva polohové vektory:

s = (r1-r2)

Skalární součin

a.b = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = ab cos δ

Vektorový součin

Složené a vícenásobné součiny vektorů

• Smíšený součin
• Násobné součiny vektorů

 

Vztahy mezi směrovými vektory

Obecné vztahy mezi vektory jednoho souřadného systému

Reciproké vektory a rozklad vektoru do libovolné báze