F2712 Mathematics 2

Faculty of Science
Spring 2004
Extent and Intensity
3/2/0. 4 credit(s) (fasci plus compl plus > 4). Type of Completion: zk (examination).
Teacher(s)
prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (lecturer)
Mgr. Ing. Jitka Janová, Ph.D. (seminar tutor)
Mgr. Pavla Musilová, Ph.D. (seminar tutor)
doc. Mgr. Josef Klusoň, Ph.D., DSc. (seminar tutor)
Guaranteed by
prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Department of Theoretical Physics and Astrophysics – Physics Section – Faculty of Science
Contact Person: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Timetable of Seminar Groups
F2712/01: No timetable has been entered into IS. P. Musilová
F2712/02: No timetable has been entered into IS. J. Klusoň
F2712/03: No timetable has been entered into IS. J. Janová
Prerequisites (in Czech)
Středoškolská matematika, problematika předmětu Matematika I
Course Enrolment Limitations
The course is also offered to the students of the fields other than those the course is directly associated with.
fields of study / plans the course is directly associated with
Course objectives (in Czech)
Předmět je pokračováním Matematiky I, spolu s níž tvoří úvod do základů matematické analýzy, lineární algebry a teorie pravděpodobnosti. Je určen studentům bakalářských nefyzikálních a profesních fyzikálních programů. Jeho cílem je naučit studenty používat matematické postupy běžné v přírodních vědách, nikoli však jako pouhé rutinní procedury, ale s pochopením jejich podstaty. Výklad problematiky je založen spíše na názorném zavádění pojmů motivovaném potřebou konkrétního výpočetního aparátu přírodních věd (fyziky, chemie, biologie, věd o Zemi), popř. i geometrie, a na intuitivně pochopitelném vysvětlení vlastností těchto pojmů, než na tradičním schématu definice - věta --důkaz. Matematická tvrzení jsou však vždy formulována korektně, s uvedením potřebných předpokladů a pro názornost i protipříkladů. Pozornost je věnována rozvíjení znalostí a obecnějším vlastnostem pojmů, bez kterých se studium žádné přírodní vědy nemůže obejít: pojem funkce a základní pojmy lineární algebry. Student programů a oborů, kde je matematika přímo součástí vědní discipliny samotné, mohou předmět chápat jako průpravu pro absolvování nezbytných teoretických matematických disciplin.
Syllabus (in Czech)
  • 4.Lineární algebra podruhé (Výlet do vyšší dimenze: kde selhává geometrická představa, jsou algebraické procedury nenahraditelné.) 4.1 Vektorové prostory (1. týden) (Je možné, že na matici lze hledět jako na vektor a s vektorem pracovat jako s maticí? ) * grupa, okruh, pole -- v lineární algebře potřebujeme nutně struktury, které samy ještě linearitu nevykazují * vektorový prostor konečné dimenze: axiomy, lineární závislost a nezávislost, báze, příklady -- matice jako vektory * reprezentace vektorů v bázích: vektory jako matice a jak poznáme, že jde o stejný vektor, jen báze je jiná ? * vektorové podprostory, součet a průnik podprostorů, doplňky podprostorů, dimenze a báze podprostorů 4.2 Lineární zobrazení vektorových prostorů (2. týden) (Vzor a obraz mohou být prvky různých vektorových prostorů, linearita zobrazení zachovává operace.) * definice lineárního zobrazení, příklady lineárních zobrazení * reprezentace lineárních zobrazení v bázích -- matice opět ve hře * jádro a obraz lineárního zobrazení * projekce 5. Souřadnicové systémy (Geometrům ani fyzikům nestačí pravoúhlé souřadnice. Třeba i proto, že se jim v nich nelíbí rovnice kružnice nebo popis pohybu planet.) 5.1 Kartézská soustava souřadnic z jiného pohledu (3. týden) (Tou pravoúhlou soustavou však v každém případě začneme.) * kartézské souřadnice v R2 a R3 * souřadnicové přímky a roviny * elementární plocha a objem 5.2 Křivočaré soustavy souřadnic (3. a 4. týden) (Souřadnicové přímky a roviny se deformují.) * parciální derivace: malá předběžná exkurze do světa funkcí více proměnných * polární a válcové souřadnice, jejich souřadnicové křivky a plochy, elementární plocha a objem * kulové souřadnice, souřadnicové křivky a plochy, elementární plocha a objem * obecné křivočaré souřadnice, jejich souřadnicové křivky a plochy, elementární plocha a objem 6.Lineární algebra naposledy (Lineární operátor třídí vektory do podprostorů.) 6.1 Skalární součin (5. a 6. týden) (Co znamená kolmost, úhly a délky ve vyšší dimenzi.) * skalární součin -- nová struktura na starém podkladu * ortonormální báze * ortogonální projekce, metoda nejmenších čtverců z pohledu algebry 6.2 Problém vlastních hodnot (7. a 8. týden) (Lineární operátor zachovává směr některých vybraných vektorů, změní pouze jejich délku.) * vlastní vektory a vlastní hodnoty lineárních operátorů, diagonalizace, spektrum * ortogonální a symetrické operátory a jejich diagonální tvar: diagonální matice je pěkná a hlavně jednoduchá * lineární operátory a tenzorové veličiny * linearita v technických aplikacích 7.Obyčejné diferenciální rovnice (Příroda neodkrývá své závislosti rovnou, informuje nás o změnách, jazykem matematiky o derivacích.) 7.1 Rovnice prvního řádu (9. týden) (Co má společného jaderný rozpad s pohlcováním záření v látce?) * rovnice se separovanými proměnnými, zákon rozpadu jader, pohlcování rtg záření v látce, řešení rovnic * linearita (už zase) a exponenciální zákony * lineární rovnice 7.2 Lineární rovnice druhého (i vyššího) řádu (9. a 10. týden) (Od zrychlení k trajektorii a od diferenciálních rovnic k algebraickým.) * homogenní lineární rovnice s konstantními koeficienty * nehomogenní lineární rovnice, řešení metodou variace konstant * pohybové rovnice jednoduchých soustav, kmity, ... 7.3 Soustavy lineárních diferenciálních rovnic (11. týden) (Opět pomůže lineární algebra.) * soustavu rovnic libovolného řádu lze převést na soustavu prvního řádu (a zpět) * soustavy rovnic prvního řádu * soustavy rovnic druhého řádu: kmity soustav s více objekty, příklady z nefyzikálních disciplin 8.Zmínka o funkcích více proměnných (Sledujeme-li závislost funkce na jedné z proměnných, zacházíme s ostatními jako s konstantami.) 8.1 Funkce a jejich grafy (12. týden) (Graf funkce dvou proměnných ještě umíme nakreslit.) * funkce dvou a tří proměnných * grafy funkcí dvou proměnných, kvadratické plochy * parciální derivace, řetězové pravidlo pro derivování složených funkcí * úplný diferenciál -- zase linearita * gradient -- směr největšího spádu grafu funkce, vrstevnice nebo ekvipotenciální plocha - křivka nebo plocha nulového spádu funkce 8.2 Diferenciální operátory (13. týden) (Také jsou lineární.) * vektorové funkce více proměnných, siločáry, indukční čáry, proudnice a vůbec integrální čáry vektorových polí * divergence a rotace vektorového pole, operátor "nabla" a Laplaceův operátor
Literature
  • http://physics.muni.cz/~pavla/teaching.php
  • KVASNICA, Jozef. Matematický aparát fyziky. Vyd. 2., opr. Praha: Academia, 1997, 383 s. ISBN 8020000887. info
Language of instruction
Czech
Further Comments
The course is taught annually.
The course is also listed under the following terms Spring 2008 - for the purpose of the accreditation, Spring 2011 - only for the accreditation, Spring 2005, Spring 2006, Spring 2007, Spring 2008, Spring 2009, Spring 2010, Spring 2011, Spring 2012, spring 2012 - acreditation, Spring 2013, Spring 2014, Spring 2015, Spring 2016, Spring 2017, spring 2018, Spring 2019, Spring 2020, Spring 2021, Spring 2022, Spring 2023, Spring 2024, Spring 2025.
  • Enrolment Statistics (Spring 2004, recent)
  • Permalink: https://is.muni.cz/course/sci/spring2004/F2712