Následující dva jednoduché řešené příklady ilustrují princip použití této metody v případě hyperbolických PDR.
Homogenní vlnová rovnice
$$ u_{tt}=a^2u_{xx},\,\, t>0,\,\, x\in\langle 0,\ell\rangle, $$
B.138
s Cauchyho počátečními podmínkami (viz odstavec 3.1.1)
$$ u(0,x)=\varphi(x),\,\, u_t(0,x)=\psi(x)$$
B.139
a s Newtonovými okrajovými podmínkami (viz odstavec 3.2.1), kde $\alpha,\,\beta\ne 0,$
$$ \alpha\,u(t,0)+\beta\,u_x(t,0)=0,\,\, \alpha\,u(t,\ell)+\beta\,u_x(t,\ell)=0. $$
B.140
Separací proměnných:
$ u(t,x)=T(t)X(x)$, a tedy $\dfrac{T^{\,\prime\prime}}{a^2T}=\dfrac{X^{\prime\prime}}{X}=-\lambda^2$,
B.141
po úpravě dostáváme
LS: $T^{\,\prime\prime}+a^2\lambda^2T=0$, PS: $X^{\prime\prime}+\lambda^2X=0$.
B.142
Z rovnice B.142 dostáváme
$$ T_k(t)={a}_k\cos\left(\lambda_ka\,t\right)+{b}_k\sin\left(\lambda_ka\,t\right),\,\, X_k(x)={c}_k\cos\left(\lambda_k\,x\right)+{d}_k\sin\left(\lambda_k\,x\right), $$
B.143
Obdobným způsobem jako v rovnici B.62 dostáváme z Newtonových okrajových podmínek B.140
$\alpha+\beta\lambda=0,\,\,\beta-\alpha\lambda=\beta^2+\alpha^2\ne 0$, z toho vyplývá
$\sin\left(\lambda_k\,x\right)=0$, a tedy $\lambda_k=\dfrac{k\pi}{\ell}$.
B.144
Pro prostorovou funkci tedy dostáváme řešení (viz rovnice B.63)
$$ X_k=c_k\cos\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right)+d_k\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right).$$
B.145
Obecné řešení lze tedy zapsat ve tvaru
$$ u(t,x)=\sum_{k=1}^\infty\left[A_k\cos\left(\dfrac{ak\pi}{\ell}t\right)+{B}_k\sin\left(\dfrac{ak\pi}{\ell}t\right)\right] \left[\cos\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right)+\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right)\right]. $$
B.146
Z Cauchyho počáteční podmínky B.139 dostáváme
$$ u(0,x)=\sum_{k=1}^\infty{A}_k\left[\cos\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right)+\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right)\right]=\varphi(x) $$
B.147
a z podmínky B.139 dostáváme
$$ u_t(0,x)=\sum_{k=1}^\infty\dfrac{ak\pi}{\ell}{B}_k\left[\cos\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right)+\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right)\right]= \psi(x)=\sum_{k=1}^\infty\dfrac{ak\pi}{\ell}{B}_k\,v_k. $$
B.148
Fourierovy koeficienty ${A}_k,\,{B}_k$ najdeme z rovnic B.147 a B.148 (viz také rovnice B.66),
$$ {A}_k=\dfrac{1}{\|v_k\|^2}\int\limits_0^\ell\varphi(\xi)\,v_k(\xi)\,\text{d}\xi,\,\,{B}_k=\dfrac{\ell}{ak\pi\|v_k\|^2}\int\limits_0^\ell\psi(\xi)\,v_k(\xi)\,\text{d}\xi. $$
B.149
Normu $\|v_k\|$ funkce $v_k$ řešíme jako normu spojitě definovaného vektoru (viz rovnice 2.1), tedy
$$ \|v_k\|^2=\int_0^\ell v_k^2(\xi)\,\text{d}\xi=\int_0^\ell\left[\cos\left(\dfrac{k\pi}{\ell}\xi\right)+\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}\xi\right)\right]^2\,\text{d}\xi= \int_0^\ell\,\text{d}\xi=\ell. $$
B.150
Po dosazení dostáváme rovnici B.146 ve tvaru
$$ \begin{aligned} u(t,x)=\sum_{k=1}^\infty&\left[\cos\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right)+\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right)\right]\times\\
\times&\left[\dfrac{1}{\ell}\int\limits_0^\ell\varphi(\xi)\,v_k(\xi) \cos\left(\dfrac{ak\pi}{\ell}t\right)\,\text{d}\xi+\dfrac{1}{ak\pi}\int\limits_0^\ell\psi(\xi)\,v_k(\xi)\, \sin\left(\dfrac{ak\pi}{\ell}t\right)\,\text{d}\xi\right].
\end{aligned} $$
B.151
Nehomogenní vlnová rovnice s homogenními počátečními podmínkami
$ u_{tt}=a^2u_{xx}+f$ (kde $f$ je zdroj energie vlnění), $t>0,\,\, x\in\langle 0,\ell\rangle$,
B.152
s homogenními Cauchyho počátečními podmínkami (viz odstavec 3.2.1)
$$ u(0,x)=0,\,\, u_t(0,x)=0 $$
B.153
a s Newtonovými okrajovými podmínkami (viz odstavec 3.2.1), kde $\alpha,\,\beta\neq 0,$
$$ \alpha\,u(t,0)+\beta\,u_x(t,0)=0,\,\, \alpha\,u(t,\ell)+\beta\,u_x(t,\ell)=0. $$
B.154
Obdobně jako v předchozím příkladu:
$$ u(t,x)=TX,\,\, X(x)=A\sin\left(\lambda x\right)+B\cos\left(\lambda x\right),\,\, X_k(x)=v_k(x)=\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right). $$
B.155
Zvolíme rovnici ve tvaru:
$$ u(t,x)=\sum_{k=1}^\infty C_k(t)\,v_k(x)=\sum_{k=1}^\infty C_k(t)\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right). $$
B.156
Pomocí další podmínky získáme nehomogenní obyčejnou diferenciální rovnici:
$C_k^{\,\prime\prime}(t)+a^2\lambda_k^2C_k(t)=F_k(t)$, kde $F_k(t)$ je tzv. Fourierův koeficient nehomogenity,
B.157
$f(t,x)=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty F_k(t)\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right)$, a tedy $F_k(t)=\dfrac{2}{\ell}\displaystyle\int\limits_{0}^\ell f(t,\xi)\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}\xi\right)\,\text{d}\xi$.
B.158
Dále bychom museli řešit nehomogenní diferenciální rovnici 2. řádu B.157 (například metodou variace konstant -
viz oddíl 3.2.1) pro konkrétní funkci $F_k(t)$. Zahrnutím počátečních podmínek B.153 dostáváme řešení rovnice B.157
alespoň v obecné integrabilní podobě:
$$ C_k(t)=\dfrac{\ell}{ak\pi}\int\limits_0^tF_k(\sigma)\sin\left[\dfrac{ak\pi}{\ell}\left(t-\sigma\right)\right]\text{d}\sigma. $$
B.159
Jejím dosazením do rovnice obecného řešení B.156 dostaneme (viz řešení rovnice obdobného typu v případě
parabolických parciálních diferenciálních rovnic v oddíle B.2.3):
$$ u(t,x)=\sum_{k=1}^\infty\dfrac{\ell}{ak\pi}\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right) \int\limits_0^tF_k(\sigma)\sin\left[\dfrac{ak\pi}{\ell}\left(t-\sigma\right)\right]\text{d}\sigma. $$
B.160