3.2.1 Rovnice s konstantními koeficienty
Obyčejnou diferenciální rovnici 2. řádu (tj. obsahující 2. derivaci závisle proměnné $y(x)$) s konstantními koeficienty řešíme v prvním kroku jako rovnici homogenní, kdy rovnici ve tvaru
$$ y^{\prime\prime}+\text{p}y^{\prime}+\text{q}y=0, $$
3.18
řešíme pomocí tzv. charakteristické rovnice
$\lambda^2+\text{p}\lambda+\text{q}=0$. Pro kořeny charakteristické rovnice $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}$ bude mít rovnice 3.18 řešení ve tvaru
| $ y =\text{C}_1\,\text{e}^{\lambda_1x}+\text{C}_2\,\text{e}^{\lambda_2x} $ |
pro $\lambda_1\neq\lambda_2$, |
(3.19) |
| $ y=\text{C}_1\,\text{e}^{\lambda_1x}+\text{C}_2\,x\,\text{e}^{\lambda_2x} $ |
pro $\lambda_1=\lambda_2$. |
(3.20) |
Pro kořeny charakteristické rovnice $\lambda_1,\lambda_2=\alpha\pm\beta\,\text{i}\,\in\mathbb{C}$
bude mít rovnice 3.18 řešení ve tvaru
$$ y=\text{C}_1\,\text{e}^{(\alpha-\beta\text{i})\,x}+\text{C}_2\,\text{e}^{(\alpha+\beta\text{i})\,x}= \text{A}\,\text{e}^{\alpha x}\cos\beta x+\text{B}\,\text{e}^{\alpha x}\sin\beta x. $$
3.21
Uvedené řešení lze zobecnit i pro diferenciální rovnice vyšších řádů: pro každý kořen charakteristické rovnice $n$-tého řádu
$\lambda_1,\lambda_2,\,\dotsc\,,\lambda_n\in\mathbb{R}$ s násobností $\Pi$ bude mít rovnice 3.18 $\Pi$ řešení ve tvaru
$$ y=\text{C}_1\,\text{e}^{\lambda_1x}+\text{C}_2\,x\,\text{e}^{\lambda_2x}+\,\cdots\,+\text{C}_{\Pi}\,x^{\Pi-1}\,\text{e}^{\lambda_{\Pi}x} $$
3.22
a pro každou dvojici kořenů charakteristické rovnice $n$-tého řádu $\lambda_1,\lambda_2=\alpha\pm\beta\,\text{i}\,\in\mathbb{C}$
s násobností $\Pi$ bude mít rovnice 3.18 $\Pi$ řešení ve tvaru
$$ y=\text{e}^{\alpha x}\cos\beta x\left(\text{A}_1+\text{A}_2x+\cdots+\text{A}_{\Pi}x^{\Pi-1}\right)+ \text{e}^{\alpha x}\sin\beta x\left(\text{B}_1+\text{B}_2x+\cdots+\text{B}_{\Pi}x^{\Pi-1}\right). $$
3.23
Posloupnost lineárně nezávislých členů $y_1(x),\ldots,y_n(x)$ v řešení homogenní rovnice představuje tzv. fundamentální systém.
Analogicky ke způsobu, popsanému v odstavci 3.1.2, můžeme hledat partikulární řešení nehomogenní rovnice (rovnice s pravou stranou) ve tvaru
$$ y^{\prime\prime}+\text{p}y^{\prime}+\text{q}y=R(x) $$
3.24
metodou variace konstant,
kdy rovnice 3.19, 3.20, resp. 3.21
napíšeme jako obecné řešení diferenciální rovnice, tedy
$$ y=C_1(x)\,\text{e}^{\lambda_1x}+C_2(x)\,\text{e}^{\lambda_2x}=C_1u_1+C_2u_2. $$
3.25
Funkce $C_1(x),\,C_2(x),\,\text{e}^{\lambda_1x},\,\text{e}^{\lambda_2x}$, které pro jednoduchost budeme dále psát jako
${C}_1,\,{C}_2,\,u_1,\,u_2$,
opět nalezneme dosazením rovnice 3.25 do rovnice 3.24. Dostaneme tak jednu
rovnici pro dvě neznámé funkce $C_1,\,C_2$,
$$
\begin{aligned}
R(x)&=\left(C_1u_1+C_2u_2\right)^{\prime\prime}+\text{p}\left(C_1u_1+C_2u_2\right)^{\prime}+\text{q}\left(C_1u_1+C_2u_2\right)\\ &=C_1\left(u_1 ^{\prime\prime}+\text{p}u_1^{\prime}+\text{q}u_1\right)+C_2\left(u_2^{\prime\prime}+\text{p}u_2^{\prime}+\text{q}u_2\right) \\ &+\left(C_1^{\prime\prime}u_1+2C_1^{\prime}u_1^{\prime}+C_2^{\prime\prime}u_2+2C_2^{\prime}u_2^{\prime}\right)
+\text{p}\left(C_1^{\prime}u_1+C_2^{\prime}u_2\right),\end{aligned} $$
3.26
kde první dva závorkované členy (násobené nederivovanými funkcemi $C_1,\,C_2$) představují homogenní rovnice 3.18.
Druhou rovnici vytvoříme tak, že stanovíme např. tuto podmínku:
$$ C_1^\prime u_1+C_2^\prime u_2=0. $$
3.27
Protože derivace rovnice 3.27 musí být také nulová, dosazením do rovnice 3.26 dostáváme výsledný systém dvou rovnic pro dvě neznámé funkce ${C}_1,\,{C}_2$,
$$ \begin{aligned} C_1^\prime u_1+C_2^\prime u_2&=0,\\ C_1^\prime u_1^\prime+C_2^\prime u_2^\prime&=R(x).\end{aligned} $$
3.28
Zapíšeme-li systém rovnic 3.28 pomocí tzv. Wronského matice, tj. ve tvaru
$$ \left(\begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_1^\prime& u_2^\prime \end{array}\right) \left(\begin{array}{r} C_1^\prime \\ C_2^\prime \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0\\ R(x) \end{array}\right), $$
3.29
jejíž determinant $u_1u_2^\prime-u_2u_1^\prime$ (tzv. wronskián) značíme $W$, snadno nalezneme řešení systému rovnic 3.28, zapsané například jako
$$ {C}_1=-\int\frac{u_2R(x)}{W}\,\text{d} x,\quad {C}_2=\int\frac{u_1R(x)}{W}\,\text{d} x. $$
3.30
Dosazením rovnice 3.30 do obecného řešení 3.25 dostaneme partikulární řešení obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu.
V případě obyčejné diferenciální rovnice obecného ($n$-tého) řádu přejde rovnice 3.29 do podoby:
$$ \left(\begin{array}{c} u_1&u_2&\cdots&u_n\\[3pt]u_1^\prime&u_2^\prime&\cdots&u_n^\prime\\[3pt]\vdots&\vdots& &\vdots\\[3pt]u_1^{(n-1)}&u_2^{(n-1)}&\cdots&u_n^{(n-1)} \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} C_1^\prime\\[3pt]C_2^\prime\\[3pt]\vdots\\[3pt]C_n^\prime \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 0\\[3pt]0\\[3pt]\vdots\\[3pt]R(x) \end{array}\right). $$
3.31
V případě, že pravá strana $R(x)$ nehomogenní rovnice bude mít formu (tzv. speciální pravá strana) obecně zapsanou jako
$$ R(x)=\left[P_n(x)\cos\beta x+Q_n(x)\sin\beta x\right]\,\text{e}^{\alpha x}, $$
3.32
kde $P_n$ a $Q_n$ jsou polynomy nejvýše $n$-tého stupně ($n$ je rovno vyššímu stupni obou polynomů $P,\,Q$),
bývá často jednodušší nalézt řešení diferenciální rovnice tzv. metodou neurčitých koeficientů. Při hledání partikulárního řešení vyjdeme (bez ohledu
na hodnoty koeficientů $\alpha$ a $\beta$, které mohou být i nulové, případně bez ohledu na to, jestli jeden z polynomů $P_n$, $Q_n$ je nulový) z rovnice
$$ y=\left[(A_px^n+B_px^{n-1}+\ldots+C_p)\cos\beta x+(A_qx^n+B_qx^{n-1}+\ldots+C_q)\sin\beta x\right]x^{\Pi}\,\text{e}^{\alpha x}, $$
3.33
kde $\Pi$ je násobnost kořene $\lambda=\alpha+\beta\,\text{i}$ charakteristické rovnice (kde opět $\alpha$, $\beta$ mohou být nulové).
Rovnici 3.22 dosadíme do rovnice 3.24 a obecné koeficienty
$A_p,\ldots,C_p,\,A_q,\ldots,C_q$ porovnáme s koeficienty funkce $R(x)$, danými rovnicí 3.32.
Partikulární řešení diferenciálních rovnic 2. řádu obsahují vždy dvě nezávislé konstanty. Jejich hodnoty získáme řešením tzv. okrajové úlohy, zadané formou okrajových podmínek, kdy pro dvě různá $x_1,x_2$ platí $y(x_1)=y_1,\,y(x_2)=y_2$ (Dirichletovy okrajové podmínky)
nebo $y^\prime(x_1)=y_1,\,y^\prime(x_2)=y_2$ (Neumannovy okrajové podmínky), případně $y(x_1)=y_1,\,y^\prime(x_2)=y_2$, v tomto případě $x_1,x_2$ mohou být různá nebo stejná (tzv. Newtonovy okrajové podmínky).
Příklady
3.53
$y^{\prime\prime}-2y^\prime+y=\dfrac{\text{e}^x}{x}, y(1)=0, y^\prime(1)=0$
$y=\text{e}^{x}+x\,\text{e}^x(\ln x-1), x>0$
3.54
$y^{\prime\prime}-7y^\prime+12y=5$
$y=\text{C}_1\,\text{e}^{3x}+\text{C}_2\,\text{e}^{4x}+\dfrac{5}{12}$
3.55
$y^{\prime\prime}-3y^\prime+2y=\dfrac{\text{e}^{3x}}{1+\text{e}^{2x}}$
$y=\text{C}_1\,\text{e}^x+\text{C}_2\,\text{e}^{2x}-\dfrac{1}{2}\,\text{e}^x\ln(1+2x)+\text{e}^{2x}\,\text{arctg}\left(\text{e}^x\right)$
3.56
$y^{\prime\prime}+y=\dfrac{1}{\sin x}, y\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1, y^\prime\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$
$y=\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\cos x+\sin x\left(1+\ln\sin x\right), x\in(2k,2k+1)\pi,\,k\in\mathbb{Z}$
3.57
$y^{\prime\prime}-2y^\prime=x^2-x$
$y=\text{C}_1+\text{C}_2\,\text{e}^{2x}-\dfrac{x^3}{6}$
3.58
$y^{\prime\prime}+y^\prime=\dfrac{1}{1+\text{e}^x}, y(0)=1, y^\prime(0)=0$
$y=1+x+\left(1+\text{e}^{-x}\right)\ln\dfrac{2}{1+\text{e}^x}$
3.59
$y^{\prime\prime}+y=\cos x, y(0)=1, y\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1+\dfrac{\pi}{4}$
$y=\cos x+\sin x\left(1+\dfrac{x}{2}\right)$
3.60
$y^{\prime\prime}-2y^\prime+5y=\text{e}^x\cos x, y(0)=\dfrac{4}{3}, y^\prime(0)=\dfrac{10}{3}$
$y=\left(\cos 2x+\sin 2x+\dfrac{1}{3}\cos x\right)\,\text{e}^x$
3.61
$y^{\prime\prime}-6y^\prime+9y=4x\,\text{e}^{3x}\cos x, y(0)=1, y^\prime(0)=0$
$y=\left(1–7x+8\sin x-4x\cos x\right)\,\text{e}^{3x}$
3.62
$y^{\prime\prime}+y^\prime-6y=12x^2+2x+1$
$y=\text{C}_1\,\text{e}^{-3x}+\text{C}_2\,\text{e}^{2x}-2x^2-x-1$
3.63
$y^{\prime\prime}+y^\prime-6y=12x^2–2x+1, y(0)=1,\,y^\prime(0)=0$
$y=\dfrac{31}{45}\,\text{e}^{-3x}+\dfrac{6}{5}\,\text{e}^{2x}-2x^2-\dfrac{x}{3}-\dfrac{8}{9}$
3.64
$y^{\prime\prime}+4y^\prime+4y=\text{e}^{-2x}\ln x$
$y=\text{C}_1\,\text{e}^{-2x}+\text{C}_2x\,\text{e}^{-2x}+\dfrac{x^2}{4}\,\text{e}^{-2x}(2\ln x-3), x>0$
3.65
$y^{\prime\prime}+4y^\prime+4y=\text{e}^{-2x}\ln^2x$
$y=\text{C}_1\,\text{e}^{-2x}+\text{C}_2x\,\text{e}^{-2x}+\dfrac{x^2}{2}\text{e}^{-2x}\left(\ln^2x-3\ln x+\dfrac{7}{2}\right), x>0$
3.66
$y^{\prime\prime}-4y^\prime+5y=0$, $y(0)=1$, $y^\prime(0)=0$
$y=\text{e}^{2x}\left(\cos x-2\sin x\right)$
3.67
$y^{\prime\prime}-2y^\prime+5y=0$, $y(0)=1$, $y^\prime(0)=0$
$y=\text{e}^x\left(\cos 2x-\dfrac{1}{2}\sin 2x\right)$
3.68
$y^{\prime\prime}-8y^\prime+32y=0$, $y\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1$, $y^\prime\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$
$y=\text{e}^{4x-2\pi}\left(\cos 4x-\sin 4x\right)$
3.69
$y^{\prime\prime}-3y^\prime+2y=(x^4+1)\,\text{e}^x$
$y=\left(\text{C}_1-\dfrac{x^5}{5}-x^4–4x^3–12x^2–25x\right)\,\text{e}^x+\text{C}_2\,\text{e}^{2x}$
3.70
$y^{\prime\prime}-4y^\prime+5y=(x^2+2x)\,\text{e}^{2x}\cos x$
$y=\text{e}^{2x}\left[\left(\text{C}_1+\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{x}{2}\right)\cos x+\left(\text{C}_2+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x}{4}\right)\sin x\right]$
3.71
$y^{\prime\prime}-3y^\prime+2y=(1–2x)\,\text{e}^x$, $y(0)=1$, $y^\prime(0)=0$
$y=3\,\text{e}^x-2\,\text{e}^{2x}+(x^2+x)\,\text{e}^x$
3.72
$y^{\prime\prime}-2y^\prime+y=(x+1)\,\text{e}^x$, $y(0)=1$, $y^\prime(0)=0$
$y=\text{e}^x\left(\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^2}{2}-x+1\right)$
3.73
$y^{\prime\prime}+4y^\prime+4y=(6x+2)\,\text{e}^{-2x}$, $y(0)=1$, $y^\prime(0)=0$
$y=\text{e}^{-2x}\left(x^3+x^2+2x+1\right)$
3.74
$y^{\prime\prime}+4y^\prime+4y=\text{e}^{-2x}\sin x$, $y(0)=1$, $y^\prime(0)=0$
$y=\text{e}^{-2x}(3x-\sin x+1)$
3.75
$y^{\prime\prime}-2y^\prime+2y=\text{e}^x\sin x$, $y(0)=1$, $y^\prime(0)=0$
$y=\dfrac{\text{e}^x}{2}\left[\left(2-x\right)\cos x-\sin x\right]$
3.76
$y^{\prime\prime}-2y^\prime+2y=x^2+x+\text{e}^x\sin x$, $y(0)=2$, $ y^\prime(0)=3$
$y=\text{e}^x\left[\left(1-\dfrac{x}{2}\right)\cos x+\sin x\right]+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{3x}{2}+1$