3.3 Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic

3.3.1 Homogenní soustavy s konstantními koeficienty

V případě homogenního systému dle rovnice 3.38 s konstantními koeficienty $a_{ij}$, kdy matice $\mathbf{A}$ (typu $n\times n$) má $n$ různých reálných vlastních hodnot $\lambda_i,\,i=1\ldots n$ (viz rovnice 2.17), můžeme zapsat řešení v obecném vektorovém tvaru

kde $v_i$ jsou jednotlivé vlastní vektory dle rovnic 2.17 a 2.18 , příslušející vlastním hodnotám $\lambda_i$ (k rovnici 3.40 bychom dospěli i například postupným dosazováním, tedy náhradou $n$ rovnic 1. řádu jednou rovnicí $n$-tého řádu, zejména v případě vyššího $n$ je to ovšem způsob značně obtížný a pracný). Jako jednoduchý příklad uvedeme systém dvou homogenních rovnic

Vlastní hodnoty matice $\mathbf{A}$ budou $\lambda_1,\lambda_2=-1,4$, příslušné vlastní vektory budou $\vec{v}_1=(-3,1)^T$ a $\vec{v}_2=(2,1)^T$. Z kapitoly 2.1 je zřejmé, že vlastními vektory jsou i všechny vektory $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$, násobené libovolnou konstantou (v následujícím textu budeme uvádět pouze jeho základní tvar). Výsledné řešení systému rovnic, v případě že nejsou zadány další podmínky, můžeme zapsat jako

Pokud jsou vlastní hodnoty matice $\mathbf{A}$ reprezentovány také dvojicemi (komplexně sdružených) komplexních čísel, budeme řešení hledat obdobným způsobem jako v případě reálných vlastních hodnot. Jako jednoduchý příklad uvedeme systém dvou homogenních rovnic

Vlastní hodnoty matice $\mathbf{A}$ v tomto případě budou $\lambda_1,\lambda_2=\pm\text{i}$, příslušné vlastní vektory budou $\vec{v}_1=(2-\text{i},1)^T$ a $\vec{v}_2=(2+\text{i},1)^T$. Výsledné řešení systému rovnic bude

kde vztah mezi exponenciální a goniometrickou formou rovnice 3.44 je dán Eulerovou identitou $\text{e}^{\pm\text{i} x}=\cos x\pm\text{i}\sin x$ a kde koeficienty $\text{A}=\text{C}_1+\text{C}_2$, $\text{B}=\text{i}\left(\text{C}_2-\text{C}_1\right)$.

Pokud je některá reálná vlastní hodnota matice $\mathbf{A}$ vícenásobná, způsob řešení bude dále záležet na počtu jí odpovídajících vlastních vektorů, kdy existují v zásadě 2 možnosti:

1. Vícenásobné ($k$-násobné) vlastní hodnotě $\rho$ odpovídá $k$ lineárně nezávislých vlastních vektorů, potom část obecného řešení, týkající se této vlastní hodnoty, bude mít tvar

   $$ \begin{align} \vec{y}_\rho(x) = \text{C}_1\text{e}^{\rho x}\vec{v}_1+\text{C}_2\text{e}^{\rho x}\vec{v}_2+\cdots +\text{C}_k\text{e}^{\rho x}\vec{v}_k. \end{align} $$

   3.45

   Jednoduchým příkladem může být například následující systém,

   $$ \begin{equation} \begin{pmatrix}y_1^\prime\\y_2^\prime\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix} \end{equation} $$

   3.46

   s dvojnásobnou vlastní hodnotou $\rho=3$ a se dvěma lineárně nezávislými vlastními vektory $\vec{v}_1=(1,0)^T$ a $\vec{v}_2=(0,1)^T$. Výsledné řešení systému ve smyslu rovnice 3.45 bude

   $$ \begin{equation} \vec{y}_\rho(x) = \text{C}_1\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\text{e}^{3x}+\text{C}_2\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\text{e}^{3x}. \end{equation} $$

   3.47

2. Vícenásobné ($k$-násobné) vlastní hodnotě $\rho$ odpovídá $j$ lineárně nezávislých vlastních vektorů, kdy $1\le j<k$, tedy $s=k-j$ vlastním hodnotám $\rho$ odpovídá jediný lineárně nezávislý vlastní vektor $\vec{u}$. Taková matice se nazývá defektní a není diagonalizovatelná, tj. převoditelná na diagonální matici po vynásobení zleva maticí řádkových levých vlastních vektorů a zprava maticí sloupcových pravých vlastních vektorů. Potom část obecného řešení, týkající se tohoto vlastního vektoru $\vec{u}$, bude mít tvar

   $ \vec{y}_\rho(x) $	$= \text{C}_1\vec{u}\,\text{e}^{\rho x}+\text{C}_2\left(\vec{w}_1+x\vec{u}\right)\text{e}^{\rho x}+\cdots $	(3.48)
   	$\cdots +\text{C}_s\left(\vec{w}_{s-1}+x\vec{w}_{s-2}+\dfrac{x^2}{2!}\vec{w}_{s-3}+\cdots +\dfrac{x^{s-2}}{(s-2)!}\vec{w}_1+\dfrac{x^{s-1}}{(s-1)!}\vec{u}\right)\text{e}^{\rho x}, $	(3.49)

   kde vektor $\vec{w}_i$ odpovídá libovolnému řešení algebraických rovnic

   $$ \begin{align}\label{} \left(\mathbf{A}-\rho\mathbf{E}\right)\vec{w}_i = \vec{w}_{i-1},\quad\ldots\quad\left(\mathbf{A}-\rho\mathbf{E}\right)\vec{w}_1 = \vec{u}. \end{align} $$

   3.50

   Následující příklad ilustruje popsaný princip řešení: uvažujme systém

   $$ \begin{eqnarray} \begin{pmatrix}y_1^\prime\\y_2^\prime\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{cr}3&-1\\1&1\end{array}\right)\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix} \end{eqnarray} $$

   3.51

   s dvojnásobnou vlastní hodnotou $\rho=2$, které ovšem odpovídá pouze jeden lineárně nezávislý vlastní vektor $\vec{u}=(1,1)^T$. Vektor $\vec{w}$ určíme z rovnice 3.50 ,

   $$ \begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\quad\text{tedy}\quad \begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray} $$

   3.52

   Výsledné řešení systému ve smyslu rovnice 3.48 bude

   $$ \begin{equation} \vec{y}_\rho(x) = \text{C}_1\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\text{e}^{2x}+\text{C}_2\left[\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+x\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\right]\text{e}^{2x}. \end{equation} $$

   3.52

Řešení systémů s více než dvěma lineárními rovnicemi 1. řádu je analogické k uvedeným jednoduchým příkladům se dvěma rovnicemi, některé principy více ozřejmí následující příklady, zahrnující i systémy tří rovnic.

3.3.2 Nehomogenní soustavy s konstantními koeficienty

Řešení lineárních soustav s pravou stranou bude v principu analogické metodám řešení obyčejných diferenciálních rovnic 2. řádu (viz odstavec 3.2.1), tj. metodám variace konstant a neurčitých koeficientů. Metodu variace konstant můžeme aplikovat následujícím způsobem: předpokládejme partikulární řešení nehomogenní rovnice 3.38, ve tvaru

kde $\mathbf{Y}(x)$ je matice, jejíž sloupce tvoří jednotlivá lineárně nezávislá řešení příslušné homogenní rovnice 3.38 , přepsané nyní do tvaru $\mathbf{Y}^\prime=\mathbf{A}\mathbf{Y}$, $\vec{t}(x)$ je hledaný, obecně zapsaný sloupcový vektor. Protože rovnice 3.38 musí platit také pro partikulární řešení, tedy $\vec{y}_\text{p}^{\,\,\prime}=\mathbf{A}\vec{y}_\text{p}+\vec{f}$, první derivace partikulárního řešení v takovém případě bude

Hledaný vektor $\vec{t}$ získáme integrací rovnice 3.55,

Uvedenou metodu ilustruje následující řešený příklad: použijeme homogenní systém z řešeného příkladu (viz rovnice 3.41) s přidanou pravou stranou,

Z rovnice 3.42 ihned vidíme, že matice $\mathbf{Y}(x)$ bude

Podle rovnice 3.56 tak dostáváme partikulární řešení pomocí integrace (kdy každou složku vektoru $\vec{y}_\text{p}$ integrujeme zvlášť)

Úplné řešení tedy bude součtem rovnic 3.42 a 3.59. Ve výsledku rovnice 3.59 neuvádíme integrační konstantu, předpokládáme, že je již skrytá v konstantách homogenního řešení v rovnici 3.42.

Metoda neurčitých koeficientů pro systém rovnic je zcela analogická již uvedenému řešení pro rovnice 2. řádu, jediný rozdíl spočívá v tom, že koeficienty nyní budou vektory. Pokud například v odstavci 3.2.1 byla pravá strana rovnice polynomem 1. stupně, obecný zápis partikulárního řešení měl tvar $y_\text{p}=Ax+B$, nyní to bude $\vec{y}_\text{p}=\vec{A}x+\vec{B}$. Metodu ukážeme na stejném řešeném příkladě: předpokládejme uvedenou obecnou formu partikulárního řešení, tedy

Rovnice 3.38 musí opět platit i pro partikulární řešení, $\vec{y}_\text{p}^{\,\,\prime}=\mathbf{A}\vec{y}_\text{p}+\vec{f}$, tedy $\vec{A}=\mathbf{A}(\vec{A}x+\vec{B})+\vec{f}$. Přepíšeme-li (vektorový) polynom 1. stupně do následujícího explicitního tvaru

dostáváme pro lineární i absolutní člen (oba musí být nulové) následující rovnice:

Nyní již snadno dopočítáme jednotlivé neurčité koeficienty, dostáváme $A_1=0$, $A_2=-1/2$, $B_1=-3/4$, $B_2=1/8$, což po dosazení a úpravě dává shodný výsledek s rovnicí 3.59.