5 Skalární a vektorové funkce více proměnnýchVe výsledcích příkladů s geometrickými nebo fyzikálními veličinami nejsou uváděny příslušné jednotky.

5.1 Parciální a směrové derivace, úplný diferenciál

Parciální derivace funkce více nezávislých proměnných $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ je derivace této funkce podle jedné z těchto proměnných; je to dáno tím, že tuto funkci derivujeme pouze ve směru této proměnné, takže ostatní nezávisle proměnné mají konstantní hodnotu (chovají se jako konstanty). Funkci více proměnných tedy skutečně v této chvíli derivujeme jako funkci jedné proměnné. Prostorovou představu si můžeme udělat na příkladu funkce dvou proměnných $f(x,y)$, jejíž geometrický význam můžeme popsat jako plochu, danou předpisem $z=f(x,y)$. Parciální derivace této funkce například podle proměnné $x$, kterou zapisujeme

$ \dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ nebo pouze $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ nebo také $f_x$,

5.1

vyjadřuje směrnici tečny této plochy, která leží v rovině rovnoběžné s rovinou $xz$ a která je orientována v kladném smyslu osy $x$. Hodnota druhé nezávisle proměnné $y$ je tedy pro celou tuto tečnu konstantní. Zcela obdobně to platí i pro parciální derivace podle ostatních nezávislých proměnných.

Parciální derivace můžeme samozřejmě zobecnit pro zcela libovolný směr, ne pouze pro směry souřadnicových os. V tom případě je nazýváme směrové derivace (nebo derivace ve směru). Zvolený směr může být definovaný například vektorem $\vec{v}$, směrová derivace potom (v případě funkce dvou proměnných), analogicky k příkladu popsanému v předchozím odstavci, vyjadřuje směrnici tečny této plochy, která leží v rovině rovnoběžné s rovinou vymezenou tímto vektorem a osou $z$ a která je orientována ve směru zvoleného vektoru. Směrovou derivaci spojitě diferencovatelné skalární funkce můžeme obecně definovat jako

$$ \vec{\nabla}_{\vec{u}}f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\vec{\nabla}f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\cdot\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}, $$

5.2

kde symbol $\vec{\nabla}$ (tzv. Nabla operátor) značí vektor parciálních derivací podle všech nezávisle proměnných. Rovnici 5.2 lze tedy rozepsat

$$ \vec{\nabla}_{\vec{u}}f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\frac{u_1}{\|\vec{u}\|}\frac{\partial f}{\partial x_1} +\frac{u_2}{\|\vec{u}\|}\frac{\partial f}{\partial x_2}+\ldots+\frac{u_n}{\|\vec{u}\|}\frac{\partial f}{\partial x_n}. $$

5.3

Úplným (totálním) diferenciálem obecné skalární funkce $f(\vec{x})=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ více nezávislých proměnných nazýváme lineární funkci

$$ \text{d} f=\frac{\partial f}{\partial x_1}\,\text{d} x_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\,\text{d} x_2+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_n}\,\text{d} x_n=\vec{\nabla}f(\vec{x})\cdot\,\text{d}\vec{x}. $$

5.4

Pokud totální diferenciál funkce $f(\vec{x})$ existuje v daném bodě, říkáme, že funkce $f(\vec{x})$ je v tomto bodě diferencovatelná. Pokud totální diferenciál funkce $f(\vec{x})$ existuje ve všech bodech této funkce, říkáme, že funkce $f(\vec{x})$ je spojitě diferencovatelná (hladká). Pokud totální diferenciál funkce $f(\vec{x})$ existuje v určitých oblastech této funkce, říkáme, že funkce $f(\vec{x})$ je po částech diferencovatelná.

Totálním diferenciálem vyššího ($n$-tého) řádu funkce $f(x,y)$ dvou nezávislých proměnných $x,y$ bude funkce, daná obecným předpisem

$$ \text{d}^nf(x,y)=\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\frac{\partial^nf}{\partial x^k\,\partial y^{n-k}}\,\text{d} x^k\,\text{d} y^{n-k}, $$

5.5

kde výraz v závorce za sumou je tzv. kombinační číslo (viz rovnice 11.1). Zcela zobecněným totálním diferenciálem vyššího ($n$-tého) řádu funkce $f(x_1,x_2,x_3,…,x_{m-1},x_m)$ obecného počtu $m$ nezávislých proměnných $x_1,x_2,…,x_m$ bude funkce, daná předpisem

$$ \text{d}^nf(x_1,x_2,…,x_m)=\sum_{k_1+k_2+…+k_m=n} \begin{pmatrix} n\\k_1,k_2,…,k_m \end{pmatrix} \frac{\partial^nf}{\partial x_1^{k_1}\partial x_2^{k_2}…\partial x_m^{k_m}}\,\text{d} x_1^{k_1}\,\text{d} x_2^{k_2}…\text{d} x_m^{k_m}, $$

5.6

kde výraz v závorce za sumou je tzv. multinomický koeficient (viz rovnice 11.6) a kde smysl a užití všech ostatních výrazů a symbolů odpovídá tzv. multinomické větě 11.7.

Příklady

5.1

Vypočítejte parciální derivace $\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}$ skalární funkce $f(x,y)=x^2+x-y$.

$2x+1,\,-1$

5.2

Vypočítejte parciální derivace $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2},\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ skalární funkce $f(x,y)=x\ln y+x^y$.

$\left(y^2-y\right)x^{y-2},\,-\dfrac{x}{y^2}+x^y\ln^2x$

5.3

Vypočítejte smíšenou parciální derivaci $\dfrac{\partial^3 f}{\partial x\,\partial y\,\partial z}$ skalární funkce $f(x,y)=xyz+x^2\sin(xy)+yz$.

$1$

5.4

Vypočítejte smíšenou parciální derivaci $\dfrac{\partial^4 f}{\partial x\,\partial y\,\partial z^2}$ skalární funkce $f(x,y)=xy^2z^3+x^2\sin^2(xz)+yz+x+y+z$.

$12yz$

5.5

Dokažte, že ze stavové rovnice ideálního plynu $pV=n\mathcal{R}T$, kde $p$ je tlak, $V$ je objem, $T$ je termodynamická teplota, $n$ je látkové množství, $\mathcal R$ je molární plynová konstanta, vyplývá: $\dfrac{\partial p}{\partial V}\dfrac{\partial V}{\partial T}\dfrac{\partial T}{\partial p}=-1$.

Pomocí parciálních derivací funkce.

5.6

Ukažte, že funkce $u=\dfrac{1}{2a\sqrt{\pi t}}\,\text{e}^{-\frac{(x-b)^2}{4a^2t}}$, kde $a,b$ jsou konstanty, vyhovuje rovnici vedení tepla $\dfrac{\partial u}{\partial t}=a^2\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}$.

Pomocí parciálních derivací funkce.

5.7

Ukažte, že funkce $u=\dfrac{1}{r}$, kde $r=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}$, kde $a,b,c$ jsou konstanty, vyhovuje Laplaceově rovnici $\Delta u=0$ pro $r\ne 0$.

Pomocí parciálních derivací funkce.

5.8

Vypočítejte derivaci funkce $f(x,y)=\dfrac{x}{y}$ v bodě $[4,-1]$ ve směru vektoru $\vec{u}=(−2,3)$.

$-\dfrac{10}{\sqrt{13}}$

5.9

Vypočítejte derivaci funkce $f(x,y,z)=\cos(xy)+\ln z^2$ v bodě $[\pi,1,1]$ ve směru vektoru $\vec{u}=(1,1,1)$.

$\dfrac{2}{\sqrt{3}}$

5.10

Vypočítejte derivaci funkce $f(x,y)=x^2−y^2$ v bodě $[1,1]$ ve směru vektoru $\vec{u}=(1,−1)$.

$2\sqrt{2}$

5.11

Vypočítejte derivaci funkce $f(x,y)=x+2y$ v bodě $[2,1]$ ve směru vektoru $\vec{u}=(1,2)$.

$\sqrt{5}$

5.12

Vypočítejte derivaci funkce $f(x,y,z)=x+y^2+z^3$ v bodě $[0,1,2]$ ve směru vektoru $\vec{u}=(1,0,1)$.

$\dfrac{13}{\sqrt{2}}$

5.13

Vypočítejte derivaci funkce $f(x,y)=x^3−y^2+2xy$ v bodě $[2,3]$ ve směru vektoru $\vec{u}=(−3,2)$.

$-\dfrac{58}{\sqrt{13}}$

5.14

Nalezněte hodnotu derivace funkce $f(x,y)=x^2−xy−y^2$ ve směru největšího růstu v bodě $[1,-3]$.

$5\sqrt{2}$

5.15

Nalezněte první a druhý diferenciál funkce $f(x)=x\cos x$, vyčíslete v bodě $\left[\pi/4\right]$.

$\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(1-\dfrac{\pi}{4}\right)\,\text{d} x,\,-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(2+\dfrac{\pi}{4}\right)\,\text{d} x^2$

5.16

Nalezněte první a druhý diferenciál funkce $f(x,y)=\left(x+y^3\right)^2$, vyčíslete v bodě $[2,3]$.

$58\,\text{d} x+1566\,\text{d} y,\,2\,\text{d} x^2+108\,\text{d} x\,\text{d} y+2502\,\text{d} y^2$

5.17

Nalezněte první a druhý diferenciál funkce $f(x,y)=xy+x\cos y+y^x$, vyčíslete v bodě $[1,\text{e}]$.

$\left(2\text{e}+\cos\text{e}\right)\,\text{d} x+\left(2-\sin\text{e}\right)\,\text{d} y,\,\, \text{e}\,\text{d} x^2+\left(6–2\sin\text{e}\right)\,\text{d} x\,\text{d} y-(\cos\text{e})\,\text{d} y^2$

5.18

Nalezněte první a druhý diferenciál funkce $f(x,y)=\ln\left(x+y^2\right)$, vyčíslete v bodě $[1,1]$.

$\dfrac{1}{2}\,\text{d} x+\text{d} y,\,-\dfrac{1}{4}\,\text{d} x^2-\text{d} x\,\text{d} y$

5.19

Užitím prvního diferenciálu přibližně vypočítejte hodnotu čísla $1,03\times 1,98$ a porovnejte s hodnotou určenou kalkulačkou.

$2,04$ (kalkulačkou $2,0394$)

5.20

Užitím prvního diferenciálu přibližně vypočítejte hodnotu čísla $\left(\dfrac{3,96}{2,01}\right)^3$ a porovnejte s hodnotou určenou kalkulačkou.

$7,64$ (kalkulačkou $7,64711…$)

5.21

Užitím prvního diferenciálu přibližně vypočítejte hodnotu čísla $\text{arctg}\left(\dfrac{1,01}{0,98}\right)$ a porovnejte s hodnotou určenou kalkulačkou.

$\dfrac{\pi}{4}+0,015\approx 0,8004$ (kalkulačkou $0,80047…)$