5.2 Kmenová funkce

S kmenovou funkcí jsme se již setkali v souvislosti s diferenciálními rovnicemi exaktními v oddíle 3.1.4. Pojem kmenová funkce úzce souvisí s pojmy totálního diferenciálu a konzervativního vektorového pole. O obecném vektorovém poli $\vec{A}(\vec{x})$ říkáme že je konzervativní, pokud existuje taková skalární funkce $\varphi(\vec{x})$, že platí

$ \vec{A}(\vec{x})=\vec\nabla\varphi(\vec{x})$ resp. $\text{d}\varphi(\vec{x})=\vec{A}(\vec{x})\cdot\,\text{d}\vec{x}$.

5.7

Výraz $\vec\nabla\varphi$ v levé části rovnice 5.7 znamená gradient funkce $\varphi$ (viz oddíl 5.3, výraz v pravé části rovnice 5.7 znamená gradient je totálním diferenciálem funkce $\varphi$. Pokud rovnice 5.7 platí, funkci $\varphi$ nazýváme kmenovou funkcí (záporným skalárním potenciálem, kdy skalární potenciál $\phi=-\varphi$) konzervativního vektorového pole $\vec{A}$. Intenzita $\vec{E}$ obecného konzervativního pole potom bude $\vec{E}=-\vec\nabla\phi$ a odpovídající silové pole $\vec{F}=-\vec\nabla E_p$, kde $E_p$ je potenciální energie. O tom, jestli zadané vektorové pole je konzervativní, se přesvědčíme na základě Schwarzovy věty, tedy postupem uvedeným v rovnici 3.16. Postup můžeme zobecnit na libovolný počet proměnných, tedy

$$ \frac{\partial A_j(x_1,x_2,\ldots,x_j,\ldots,x_k,\ldots,x_n)}{\partial x_k}= \frac{\partial A_k(x_1,x_2,\ldots,x_j,\ldots,x_k,\ldots,x_n)}{\partial x_j}, $$

5.8

kde $A_j,A_k$ značí $j-$tou a $k-$tou složku vektoru $\vec{A}$, volné indexy $j,k$ nabývají postupně všech hodnot od $1$ do $n$.

Kmenovou funkci potom najdeme (například ve trojrozměrném případě) pomocí integrálu

$$ \varphi(x,y,z)=\int_{x_0}^xA_x(t,y,z)\,\text{d} t+\int_{y_0}^yA_y(x_0,t,z)\,\text{d} t+\int_{z_0}^zA_z(x_0,y_0,t)\,\text{d} t. $$

5.9

V případě jiného počtu dimenzí bude předpis 5.9 odpovídajícím způsobem zkrácen nebo rozšířen.

Příklady

Rozhodněte, zda daný výraz je totálním diferenciálem, v kladném případě určete odpovídající kmenovou funkci:

5.22

$\left(\sin x+y\right)\,\text{d} x+\left(x^2+\cos y\right)\,\text{d} y$

Výraz není totálním diferenciálem.

5.23

$\left(x^2+y\right)\,\text{d} x+\left(x+y^2\right)\,\text{d} y$

$\dfrac{x^3}{3}+xy+\dfrac{y^3}{3}-\left(\dfrac{x_0^3}{3}+x_0\,y_0+\dfrac{y_0^3}{3}\right)$

5.24

$xy^2\,\text{d} x+\left(y^2+x^2y+4\right)\,\text{d} y$

$\dfrac{x^2y^2}{2}+\dfrac{y^3}{3}+4y-\left(\dfrac{x_0^2\,y_0^2}{2}+\dfrac{y_0^3}{3}+4y_0\right)$

5.25

$\left(x+2xy\right)\,\text{d} x+\left(\cos y+x^2\right)\,\text{d} y$

$\dfrac{x^2}{2}+x^2y+\sin y-\left(\dfrac{x_0^2}{2}+x_0^2\,y_0+\sin y_0\right)$

5.26

$y^\prime\left(\dfrac{\ln x}{y^2}-y\right)=\dfrac{1}{xy},\,\,y(1)=2$

$2-\dfrac{\ln x}{y}-\dfrac{y^2}{2}$

5.27

$\left(3x^2–2xy+\dfrac{1}{y}\right)-\left(x^2+\dfrac{x}{y^2}+\dfrac{2}{y^3}\right)y^\prime,\,\,y(0)=1$

$x^3-x^2y+\dfrac{x}{y}+\dfrac{1}{y^2}-1$

5.28

$\left(6x^3y^2+3x^2\right)\,\text{d} x+\left(3x^4y+\cos y\right)\,\text{d} y,\,\,y(1)=\dfrac{\pi}{2}$

$\dfrac{3}{2}x^4y^2+x^3+\sin y-\dfrac{3\pi^2}{8}-2$

5.29

$-\dfrac{2x}{x^2+y^2}\,\text{d} x-\dfrac{2y}{x^2+y^2}\,\text{d} y,\,\,y(1)=1$

$\ln 2-\ln\left(x^2+y^2\right)$

5.30

$\dfrac{1}{y^2}\,\text{d} x+\left(-\dfrac{2x}{y^3}+\text{e}^y\right)\,\text{d} y,\,\,y(0)=1$

$\dfrac{x}{y^2}+\text{e}\left(\text{e}^{y-1}-1\right)$

5.31

$\dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3+y^3}}\,\text{d} x+\dfrac{3y^2}{2\sqrt{x^3+y^3}}\,\text{d} y,\,\,y(1)=2$

$\sqrt{x^3+y^3}\pm 3$

Dokažte, že dané silové pole je konzervativní, a určete odpovídající potenciální energii $V$ ($k$ je konstanta, $Q_1$ a $Q_2$ jsou konstantní elektrické náboje):

5.32

$\vec{F}=−k\vec{r}$ (pružná síla)

$V=\dfrac{kr^2}{2}=\dfrac{k}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)$

5.33

$\vec{F}=k\dfrac{Q_1Q_2}{r^3}\vec{r}$ (elektrostatická síla)

$V=k\dfrac{Q_1Q_2}{r}=k\dfrac{Q_1Q_2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

5.34

Nalezněte potenciál vektorového pole $\vec{A}=\left(2xy,x^2\right)$. Je tento potenciál určený jednoznačně?

$\phi=-x^2y+C$

5.35

Intenzita fyzikálního pole je určena vektorem $\vec{A}=\left[\ln(x-y)+\dfrac{x}{x-y}, -\dfrac{x}{x-y}, 0\right]$. Lze pro toto pole stanovit příslušný potenciál? Pokud ano, nalezněte jej. Bude tento potenciál určen jednoznačně ?

$\phi=-x\ln(x-y)+C$

5.36

Dokažte, že dané centrální silové pole $\vec{F}=-k\,\vec{r}\,r$ je konzervativní a určete odpovídající potenciální energii $V$ v bodě $x,y,z=(X_0,Y_0,Z_0)$, pokud její hodnota v bodě $x,y,z=(0,0,0)$ je rovna $V_0$. Veličina $k$ je konstanta, $\vec{r}$ je polohový vektor, $r$ je jeho velikost.

$V(X_0,Y_0,Z_0)=\dfrac{k}{3}\left(X_0^2+Y_0^2+Z_0^2\right)^{3/2}+V_0$

5.37

Dokažte, že dané centrální silové pole $\vec{F}=-\dfrac{k\,\vec{r}}{r}$,definované pro $r\geq 1$, je konzervativní a určete odpovídající potenciální energii $V$ v bodě $x,y,z=(X_0,Y_0,Z_0)$, pokud její hodnota v minimální definované vzdálenosti od bodu $x,y,z=(0,0,0)$ je rovna $V_0$. Veličina $k$ je konstanta, $\vec{r}$ je polohový vektor, $r$ je jeho velikost.

$V(X_0,Y_0,Z_0)=k\left(\sqrt{X_0^2+Y_0^2+Z_0^2}-1\right)+V_0$

5.38

Dokažte, že dané silové pole $\vec{F}=-k\dfrac{\vec{r}}{r^3}$,definované pro $r\geq 1$, je konzervativní a určete odpovídající potenciální energii $V$ v bodě $X_0,Y_0,Z_0=(2,2,1)$, pokud hodnotu potenciální energie ve vzdálenosti $r=1$ od bodu $x,y,z=(0,0,0)$ stanovíme jako $E_0=0$. Veličina $k=1,\!5$ je obecná konstanta, $r$ je velikost polohového vektoru $\vec{r}=(x,y,z)$.

$V(2,2,1)=k\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{X_0^2+Y_0^2+Z_0^2}}\right)+E_0=1$

5.39

Dokažte, že centrální silové pole $\vec{F}$, definované pro $r\geq 1$, je konzervativní a určete potenciální energii $V$ pole v bodě $x,y,z=(X_0,Y_0,Z_0)$, pokud stanovíme její hodnotu v minimální definované vzdálenosti od bodu $x,y,z=(0,0,0)$ je jako nulovou:

$\vec{F}=-k\,\vec{r}\ln r$,
$V(X_0,Y_0,Z_0)=\dfrac{k}{2} \left[\left(X_0^2+Y_0^2+Z_0^2\right)\left(\ln\sqrt{X_0^2+Y_0^2+Z_0^2}-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\right]$
$\vec{F}=-k\,\vec{r}\ln r^2$,
$V(X_0,Y_0,Z_0)=\dfrac{k}{2}\left\{\left(X_0^2+Y_0^2+Z_0^2\right) \left[\ln\left(X_0^2+Y_0^2+Z_0^2\right)-1\right]+1\right\}$
$\vec{F}=-k\,\vec{r}\ln r^3$.
$V(X_0,Y_0,Z_0)=\dfrac{k}{2}\left\{\left(X_0^2+Y_0^2+Z_0^2\right) \left[\ln\left(X_0^2+Y_0^2+Z_0^2\right)^{\frac{3}{2}}-\dfrac{3}{2}\right]+\dfrac{3}{2}\right\}$

Veličina $k$ je konstanta, $\vec{r}$ je polohový vektor, $r$ je jeho velikost.

5.40

Dokažte, že dané silové pole $\vec{F}=-k\left(x,y,z\right)\ln r^{-2}$, definované pro $r\ge 1$, je konzervativní a určete odpovídající potenciální energii $V$ v bodě $x,y,z=(X_0,Y_0,Z_0)$, pokud potenciální energie ve vzdálenosti $r=1$ od bodu $x,y,z=(0,0,0)$ je rovna $E_0$. Veličina $k$ je konstanta, $r$ je velikost polohového vektoru $\vec{r}=(x,y,z)$.

$V(X_0,Y_0,Z_0)=-\dfrac{k}{2}\left\{\left(X_0^2+Y_0^2+Z_0^2\right)\left[\ln\left({X_0^2+Y_0^2+Z_0^2}\right)-1\right]+1\right\}+E_0$

5.41

Dokažte, že dané centrální silové pole $\vec{F}=-k\,\vec{r}\,\text{e}^r$ je konzervativní a určete odpovídající potenciální energii $V$ v bodě $x,y,z=(X_0,Y_0,Z_0)$ pokud hodnota potenciální energie v bodě $x,y,z=(0,0,0)$ je rovna $-V_0=-k$. Veličina $k$ je konstanta, $\vec{r}$ je polohový vektor, $r$ je jeho velikost.

$V(X_0,Y_0,Z_0)=V_0\,\text{e}^{\sqrt{X_0^2+Y_0^2+Z_0^2}}\left(\sqrt{X_0^2+Y_0^2+Z_0^2}-1\right)$