Přechod na menu, Přechod na obsah, Přechod na patičku
Početní praktikum Ústav teoretické fyziky a astrofyziky, Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzityMgr. Ing. arch. Petr Kurfürst, Ph.D.

5.3 Diferenciální operátory

Diferenciální operátory určují působení operátoru nabla (viz oddíl 3.1.4) na skalární nebo vektorové (případně tenzorové) pole některým z následujících způsobů:

  • gradient skalární funkce $f$: $\text{grad}\, f=\vec{\nabla}f$
    výsledkem je vektor
    5.10
  • divergence vektorového pole $\vec{A}$: $\text{div}\,\vec{A}=\vec{\nabla}\cdot\vec{A},$
    výsledkem je skalár
    5.11
  • rotace vektorového pole $\vec{A}$: $\text{rot}\,\vec{A}=\vec{\nabla}\times\vec{A}$,
    výsledkem je vektor
    5.12
  • Laplaceův operátor (Laplacián): $\Delta=\vec{\nabla}\cdot\vec{\nabla}$,
    nemění původní pole
    5.13

Laplaceův operátor tzv. nemění řád tenzoru, tj. pokud působí na skalár, výsledkem je skalár, pokud působí na vektor, výsledkem zůstává vektor, atd. (viz příloha A). Variantní forma zápisu diferenciálních operátorů pomocí volných indexů (v Einsteinově konvenci) může v kartézském souřadnicovém systému vypadat následovně (význam funkce $\delta_{ij}$ a tenzoru $\varepsilon_{ijk}$ je vysvětlen v odstavci 2.3):

  • gradient skalární funkce, $f$: $\text{grad}\, f=\vec{e}_i\dfrac{\partial f}{\partial x_i}$,
    5.14
  • divergence vektorového pole, $\vec{A}$: $\text{div}\,\vec{A}=\dfrac{\partial}{\partial x_i}{A_j}\,\delta_{ij}=\frac{\partial}{\partial x_i}{A_i}$,
    5.15
  • rotace vektorového pole, $\vec{A}$: $\text{rot}\,\vec{A}=\varepsilon_{ijk}\,\vec{e}_i\dfrac{\partial}{\partial x_j}{A_k}$,
    5.16
  • Laplaceův operátor (Laplacián): $\Delta f=\dfrac{\partial}{\partial x_i}\dfrac{\partial}{\partial x_i}f,\quad \Delta \vec{A}=\vec{e}_i\dfrac{\partial}{\partial x_j}\dfrac{\partial}{\partial x_j}A_i$.
    5.17

Gradient skalární funkce reprezentuje vektorové pole, udávající velikost a směr největšího nárůstu dané skalární funkce. Divergenci vektoru můžeme interpretovat například jako míru expanze dané vektorové veličiny (respektive jejího toku) v obecném bodě v prostoru, případně jako její zřídlovost, tj. míru toho, jak mnoho se tok daného vektorového pole chová jako zdroj příslušné vektorové veličiny. Například, pokud vektorové pole zároveň vzniká (zdroj) i zaniká (propad), je jeho divergence nulová (případ magnetické indukce), rovněž homogenní vektorové pole (konstantní vektor) musí mít z definice nulovou divergenci, atd. Rotace vektorového pole (jak vyplývá z názvu) popisuje infinitesimální rotaci daného pole v obecném bodě v prostoru; pokud je rotace nulová, mluvíme o nevírovém toku dané vektorové veličiny.

Podrobný popis odvození jednotlivých diferenciálních operátorů v hlavních souřadnicových soustavách včetně související matematiky je uveden v příloze A. Zde je uveden pouze základní přehled operátorů (ve válcové soustavě nyní zavádíme pro odlišení $\rho$ namísto $r$):

  • Kartézská souřadná soustava ($x_1,\,x_2,\,x_3=x,y,z$):

    grad $f=$ $\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\,\dfrac{\partial f}{\partial y},\,\dfrac{\partial f}{\partial z}\right),$ (5.18)
    div $\vec{A}=$ $\dfrac{\partial A_x}{\partial x}+\dfrac{\partial A_y}{\partial y}+\dfrac{\partial A_z}{\partial z}, $ (5.19)
    rot $\vec{A}=$ $\left(\dfrac{\partial A_z}{\partial y}-\dfrac{\partial A_y}{\partial z},\, \dfrac{\partial A_x}{\partial z}-\dfrac{\partial A_z}{\partial x},\,\dfrac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right),$ (5.20)
    $\Delta=$ $\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}.$ (5.21)

  • Válcová souřadná soustava ($x_1,\,x_2,\,x_3=\rho,\phi,z$):

    grad $f=$ $\left(\dfrac{\partial f}{\partial\rho},\,\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial f}{\partial\phi},\,\dfrac{\partial f}{\partial z}\right),$ (5.22)
    div $\vec{A}=$ $\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial}{\partial\rho}\left(\rho A_\rho\right)+\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial A_{\phi}}{\partial\phi}+ \dfrac{\partial A_z}{\partial z},$ (5.23)
    rot $\vec{A}=$ $\left\{\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial A_z}{\partial\phi} -\dfrac{\partial A_{\phi}}{\partial z},\, \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z}-\dfrac{\partial A_z}{\partial\rho},\, \dfrac{1}{\rho}\left[\dfrac{\partial}{\partial\rho}\left(\rho A_{\phi}\right)-\dfrac{\partial A_\rho}{\partial\phi}\right]\right\},$ (5.24)
    $\Delta=$ $\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial}{\partial\rho}\left(\rho\dfrac{\partial}{\partial\rho}\right)+ \dfrac{1}{\rho^2}\dfrac{\partial^2}{\partial\phi^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}.$ (5.25)

  • Kulová souřadná soustava ($x_1,\,x_2,\,x_3=r,\theta,\phi$):

    grad $f=$ $\left(\dfrac{\partial f}{\partial r},\,\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial f}{\partial\theta},\, \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial f}{\partial\phi}\right),$ (5.26)
    div $\vec{A}=$ $\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^2A_r\right)+ \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta A_{\theta}\right)+ \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial A_{\phi}}{\partial\phi}$ (5.27)
    rot $\vec{A}=$ $\left\{\!\dfrac{1}{r\sin\theta}\! \left[\!\dfrac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\,A_\phi\right)\!-\! \dfrac{\partial A_\theta}{\partial\phi}\right]\!, \dfrac{1}{r}\!\left[\!\dfrac{1}{\sin\theta}\dfrac{\partial A_r}{\partial\phi}\!-\! \dfrac{\partial}{\partial r}\left(rA_\phi\right]\right]\!, \\ \dfrac{1}{r}\!\left[\!\dfrac{\partial}{\partial r}\!\left(rA_\theta\right)\!-\!\dfrac{\partial A_r}{\partial\theta}\right]\!\right\}\!,$ (5.28)
    $\Delta =$ $\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dfrac{\partial}{\partial r}\right)+ \dfrac{1}{r^2\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\dfrac{\partial}{\partial\theta}\right)+ \dfrac{1}{r^2\sin^2\theta}\dfrac{\partial^2}{\partial\phi^2}.$ (5.29)
nahoru

Příklady

Pro skalární funkce $f,g$ a vektory $\vec{A},\vec{B}$ dokažte:

5.42
$\vec\nabla(fg)=(\vec\nabla f)g+f\vec\nabla g$
Pomocí vektorových operací v kartézských souřadnicích.
5.43
$\vec\nabla\times\vec\nabla f=\vec{0}$
Pomocí vektorových operací v kartézských souřadnicích.
5.44
$\vec\nabla\cdot\left(\vec\nabla\times\vec{A}\right)={0}$
Pomocí vektorových operací v kartézských souřadnicích.
5.45
$\vec\nabla\cdot f\vec{A} = \vec{A}\cdot\vec\nabla f+f\vec\nabla\cdot\vec{A}$
Pomocí vektorových operací v kartézských souřadnicích.
5.46
$\vec\nabla\cdot\left(\vec{A}\times\vec{B}\right)= \vec{B}\cdot\left(\vec\nabla\times\vec{A}\right)−\vec{A}\cdot\left(\vec\nabla\times\vec{B}\right)$
Pomocí vektorových operací v kartézských souřadnicích.
5.47
$\vec\nabla\times f\vec{A}=\vec\nabla f\times\vec{A}+f\vec\nabla\times\vec{A}$
Pomocí vektorových operací v kartézských souřadnicích.
5.48
Dokažte platnost operátorové identity $\vec\nabla\times\left(\vec\nabla\times\vec{A}\right)=\vec\nabla\left(\vec\nabla\cdot\vec{A}\right)-\Delta\vec{A}$
Pomocí vektorových operací v kartézských souřadnicích.
5.49
Dokažte platnost operátorové identity $\vec{A}\times\left(\vec\nabla\times\vec{A}\right)=\dfrac{1}{2}\vec\nabla A^2-\left(\vec{A}\cdot\vec\nabla\right)\vec{A}$.
Pomocí vektorových operací v kartézských souřadnicích.
5.50
Spočítejte $\text{div}\,\!\left(\text{rot}\,\vec{F}\right)$, $\vec{F}=\left[xyz,y\left(x^2-z^2\right),xy+zx+yz\right]$.
$0$
5.51
Spočítejte $\text{div}\,\!\left(\text{rot}\,\vec{F}\right)$, $\vec{F}=\left(x^2y,y^2,z^2x\right)$.
$0$
5.52
Spočítejte $\text{grad}\, f$, $f(x,y,z)=2xyz+x^2y+y^2z+z^2x$.
$2yz+2xy+z^2,2xz+x^2+2yz,2xy+y^2+2xz$
5.53
Středově symetrické (izotropní) fyzikální pole je určeno vektorem $\vec{A}=\dfrac{\vec{r}}{r}$, kde $\vec{r}$ je polohový vektor, $r$ je jeho velikost. Dokažte, že divergence tohoto pole, tedy $\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\dfrac{2}{r}$.
$\vec{A}=\dfrac{\vec{r}}{r}=\dfrac{(x,y,z)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\, \vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\dfrac{2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\dfrac{2}{r}$
5.54

Hypotetické centrální fyzikální pole je určeno potenciálem $\phi=\ln\left(\dfrac{A}{r}\right)+B$, kde $A$ je kladná konstanta, $r$ je velikost polohového vektoru $\vec{r}$. Konstanta $B$ nastavuje hodnotu potenciálu $\phi$ ve vzdálenosti $A$ od bodu $x,y,z=(0,0,0)$.

  • Určete vektor intenzity $\vec{E}$ tohoto pole,
    $\vec{E}=\dfrac{\vec{r}}{r^2}=\dfrac{(x,y,z)}{x^2+y^2+z^2}$
  • dokažte, že divergence tohoto pole, tedy $\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\dfrac{1}{r^2}$.
    $ \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\dfrac{1}{r^2}=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}$
5.55

Hypotetické centrální fyzikální pole je určeno potenciálem $\phi=-Ar^3+B$, kde konstanta $A$ škáluje velikost $r$ polohového vektoru $\vec{r}$, konstanta $B$ nastavuje hodnotu potenciálu $\phi$ v bodě $x,y,z=(0,0,0)$.

  • Určete vektor intenzity $\vec{E}$ tohoto pole,
    $\vec{E}=3A\vec{r}\,r=3A\,(x,y,z)\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
  • dokažte, že divergence tohoto pole, tedy $\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=12A\sqrt{x^2+y^2+z^2}=12Ar$.
    $\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=12Ar=12A\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
5.56

Hypotetické centrální fyzikální pole, definované pro vzdálenost $r\geq 1$, je určeno potenciálem $\phi=-Ar^2\ln r^2+B$, kde konstanta $A$ škáluje velikost $r$ polohového vektoru $\vec{r}$, konstanta $B$ nastavuje hodnotu potenciálu $\phi$ v minimální definované vzdálenosti odbodu $x,y,z=(0,0,0)$.

  • Určete vektor intenzity $\vec{E}$ tohoto pole,
    $\vec{E}=2A\vec{r}\left(\ln r^2+1\right)=2A\,(x,y,z)\left[\ln(x^2+y^2+z^2)+1\right]$
  • dokažte, že divergence tohoto pole, tedy $\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=A\left(6\ln r^2+10\right)$.
    $\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=A\left(6\ln r^2+10\right)$
5.57

Hypotetické fyzikální pole je určeno nesymetrickým potenciálem $\phi=\dfrac{Ax}{r}$, kde $A$ je kladná konstanta a $r$ je velikost polohového vektoru $\vec{r}$.

  • Určete vektor intenzity $\vec{E}$ tohoto pole,
    $\vec{E}=\dfrac{-A\,(y^2+z^2),Axy,Axz}{r^3}$
  • dokažte, že divergence tohoto pole, tedy $\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\dfrac{2\phi}{r^2}$.
    $\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\dfrac{2Ax}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}=\dfrac{2Ax}{r^3}$
5.58

Hypotetické centrální fyzikální pole je určeno potenciálem $\phi=A\,\text{e}^{-r}$, kde $A$ je kladná konstanta, $r$ je velikost polohového vektoru $\vec{r}$.

  • Určete vektor intenzity $\vec{E}$ tohoto pole,
    $\vec{E}=A\text{e}^{-r}\dfrac{\vec{r}}{r}=A\,\text{e}^{-\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\dfrac{(x,y,z)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$
  • dokažte, že divergence tohoto pole, tedy $\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=A\,\text{e}^{-r}\left(\dfrac{2}{r}-1\right)$.
    $\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=A\text{e}^{-\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\left(\dfrac{2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}-1\right)$
5.59

Hypotetické centrální fyzikální pole je určeno potenciálem $\phi=A^{-r}$, kde $A$ je kladná konstanta, $r$ je velikost polohového vektoru $\vec{r}$.

  • Určete vektor intenzity $\vec{E}$ tohoto pole,
    $\vec{E}=A^{-r}\ln A\,\dfrac{\vec{r}}{r}$
  • dokažte, že divergence tohoto pole, tedy $\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=A^{-r}\ln A\left(\dfrac{2}{r}-\ln A\right)$.
    $\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=A^{-\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\ln A\left(\dfrac{2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}-\ln A\right)$
5.60
Pomocí Kroneckerova delta a Levi-Civitova symbolu ověřte vektorové identity z příkladů 5.42-5.49 v Einsteinově notaci.
Pomocí rovnic 2.46 a 5.14-5.17.