Zjistěte:

1. medián
   • nejdříve hodnoty seřadíme podle velikosti:
     15 400, 17 550, 21 200, 24 500, 24 600, 25 950, 38 700, 64 350
   • pozorování je celkem 8 $ \Rightarrow n=8$
   • chceme vypočítat medián $ \Rightarrow \alpha=0,5$
   • hodnota $n\alpha=8\cdot 0,5=4 \Rightarrow $ vyšlo nám celé číslo $ \Rightarrow c=4$
   • pro výpočet budeme tedy potřebovat 4. a 5. číslo v seřazené řadě
   • $ x_{0,50}=\frac{x_{(4)}+x_{(5)}}{2} = \frac{24\,500+2\,600}{2} = 24\,550$
2. kvartilové rozpětí
   • nejdříve spočítáme $ x_{0,25}$ a $ x_{0,75} $
   • výpočet provedeme stejně jako v předchozím případě, pouze za $ \alpha $ budeme volit jiná čísla
   • pozorování je celkem 8 $ \Rightarrow n=8$
   • chceme vypočítat dolní kvartil $ \Rightarrow \alpha=0,25$
   • hodnota $n\alpha=8\cdot 0,25=2 \Rightarrow $ vyšlo nám celé číslo $ \Rightarrow c=2$
   • pro výpočet budeme tedy potřebovat 2. a 3. číslo v seřazené řadě
   • $ x_{0,25}=\frac{x_{(2)}+x_{(3)}}{2} = \frac{17\,550+21\,200}{2} = 19\,375$
   • chceme vypočítat horní kvartil $ \Rightarrow \alpha=0,75$
   • hodnota $n\alpha=8\cdot 0,75=6 \Rightarrow $ vyšlo nám celé číslo $ \Rightarrow c=6$
   • pro výpočet budeme tedy potřebovat 6. a 7. číslo v seřazené řadě
   • $ x_{0,75}=\frac{x_{(6)}+x_{(7)}}{2} = \frac{25\,950+38\,700}{2} = 32\,325$
   • kvartilové rozpětí je $ x_{0,75} - x_{0,25} = 32\,325 - 19\,375 = 12\,950$

Nejdříve vytvoříme nový datový soubor o 1 proměnné (Hrubá mzda) a 8 případech, tabulku vyplníme podle zadání:

Základní statistiky a tabulky – Popisné statistiky – Proměnná: Hrubá mzda – OK – Detailní výsledky – zrušíme označení u všech číselných charakteristik a zaškrtneme Medián a Kvartilové rozpětí – Výpočet.

Spočítejte:

1. průměr
   • $n$ je počet naměřených hodnot $ \Rightarrow n=10$
   • průměr spočítáme dosazením do vzorce: $$m=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10} x_i$$
   • po dosazení:
     $$\begin{align} m&=\frac{1}{10}\bigl( 120+150+99+133+145+112+160+125+100+87 \bigr)\\ &=\frac{1231}{10}=123,1 \end{align}$$
   • průměrná rychlost na dálnici u deseti měřených aut byla 123,1 km/h
2. rozptyl
   • $ n=10 $, $ m=123,1 $
   • rozptyl spočítáme dosazením do vzorce:

     $$s^2=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10} (x_i-123,1)^2$$

   • po dosazení:
     $\begin{align} s^2&=\frac{1}{10}\bigl[ (120-123,1)^2+(150-123,1)^2+(99-123,1)^2\\ & +(133-123,1)^2+(145-123,1)^2+(112-123,1)^2\\&+(160-123,1)^2+(125-123,1)^2+(100-123,1)^2\\&+(87-123,1)^2 \bigr]\\&= \frac{1}{10}\bigl(9,61+723,61+580,81+98,01+479,61+123,21\\&+1361,61+3,61+533,61+1303,21\bigr)=\frac{5216,9}{10}=521,69 \end{align}$
3. směrodatnou odchylku
   • směrodatnou odchylku získáme odmocněním rozptylu:$$ s=\sqrt{s^2}=\sqrt{521,69}=22,84 $$

Nejdříve vytvoříme nový datový soubor o 1 proměnné (Rychlost v km/h) a 10 případech, tabulku vyplníme podle zadání:

Základní statistiky a tabulky – Popisné statistiky – Proměnná: Rychlost v km/h – OK – Detailní výsledky – zrušíme označení u Počet platn., Minimum $\&$ maximum a zaškrtneme Rozptyl – Výpočet.
Pro zaokrouhlení na dvě desetinná místa se kurzorem nastavíme na danou proměnnou v nové tabulce a dvakrát klikneme – Desetinná místa: 2 – OK

Vidíme, že rozptyl a směrodatná odchylka se nepatrně liší, což je způsobeno tím, že program Statistica využívá pro výpočet vzorec pro výběrový rozptyl. Pro napravení je potřeba výsledek vždy vynásobit zlomkem $\frac{n-1}{n} $.

Dvakrát klikneme na proměnnou Rozptyl a do dlouhého jména napíšeme: =v2*9/10 – OK. Dvakrát klikneme na proměnnou Sm. odch. a do dlouhého jména napíšeme: =v3*sqrt(9/10) – OK.

Výsledná tabulka tedy vypadá takto:

1. Průměr centrovaných hodnot
   • průměr spočítáme podle vzorce \[m=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\]
   • místo obecného $ x_i $ budeme počítat s centrovanou hodnotou, tj. s $ x_i-m $
   • dostáváme tedy \[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-m)\]
   • toto dále můžeme rozepsat na rozdíl dvou sum \[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i- \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n m\]
   • vidíme, že první část je průměr, tedy $ m $, ve druhé sumě sečteme $n$krát $m$
   • po rozepsání dostáváme \[ m - \frac{1}{n} \cdot n \cdot m \]
   • konečný výsledek je \[ m - m = 0 \]
2. Rozptyl centrovaných hodnot
   • princip bude stejný jako v předchozím případě, pouze místo vzorce pro průměr použijeme vzorec pro rozptyl, tedy \[ s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-m)^2 \]
   • místo $x_i$ dosadíme $ x_i-m $ a místo $ m $ dosadíme průměr centrovaných hodnot, což z předchozího případu víme, že je 0
   • po dosazení do vzorce rozptylu dostáváme \[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n ((x_i-m)-0)^2\]
   • vidíme, že rozptyl centrovaných hodnot je roven rozptylu \[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n ((x_i-m)-0)^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-m)^2=s^2\]
   • konečný výsledek je $ s^2$
3. Průměr standardizovaných hodnot
   • průměr spočítáme podle vzorce \[m=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\]
   • místo obecného $ x_i $ budeme počítat se standardizovanou hodnotou, tj. s $ \frac{x_i-m}{s} $
   • dostáváme tedy \[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{x_i-m}{s}\]
   • před sumu můžeme vytknout $ \frac{1}{s} $ \[ \frac{1}{s}\cdot \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-m) \]
   • vidíme, že po vytknutí nám zůstává průměr centrovaných hodnot, který víme, že je 0
   • konečný výsledek je \[ \frac{1}{s} \cdot 0=0\]
4. Rozptyl standardizovaných hodnot
   • použijeme vzorec pro rozptyl, tedy \[ s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-m)^2 \]
   • místo $x_i$ dosadíme $ \frac{x_i-m}{s} $ a místo $ m $ dosadíme průměr standardizovaných hodnot, o němž víme, že je 0
   • po dosazení do vzorce rozptylu dostáváme \[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \bigl(\frac{x_i-m}{s}-0 \bigr)^2\]
   • můžeme rozepsat \[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{(x_i-m)^2}{s^2} \]
   • dále vytkneme $ \frac{1}{s^2} $ \[ \frac{1}{s^2} \cdot \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-m)^2\]
   • vidíme, že po vytknutí zůstává rozptyl centrovaných hodnot, který víme, že je roven $ s^2 $
   • konečný výsledek je \[ \frac{1}{s^2}\cdot s^2=1\]

• nejdříve si všechny proměnné označíme:
  • $ m_{1}= 9\,950$, $ m_{2}=? $
  • $ s^2_{1}= 1\,248\,150$, $ s^{2}_{2}=?$
  • $ a=200, b=1,2 $
• použijeme vzorečky, které jsme si dříve odvodili \[ m_2=a+bm_1 \] \[ s_2^{2}=b^{2}s_1^{2}\]
• dosadíme do vzorečků \[ m_2=200+1,2 \cdot 9\,950 \] \[ s_2^{2}=1,2^{2} \cdot 1\,248\,150 \]
• konečný výsledek je \[ m_2=12\,140 \] \[ s_2^{2}=1\,797\,336 \]
• současný průměrný nájem tedy je $12\,140$ Kč a současný rozptyl nájmu je $ 1\,797\,336$ Kč$^2$

Nejdříve vytvoříme nový datový soubor o 1 proměnné (Rychlost v km/h) a 10 případech, tabulku vyplníme následovně:

Základní statistiky a tabulky – Popisné statistiky – Proměnná: Rychlost v km/h – OK – Detailní výsledky – zrušíme označení u všech číselných charakteristik a zaškrtneme označení u šikmost a špičatost – Výpočet.

Pro zaokrouhlení na dvě desetinná místa se kurzorem nastavíme na danou proměnnou v nové tabulce a dvakrát klikneme – Desetinná místa: 2 – OK

Vidíme, že v tomto případě bude rozložení mírně kladně zešikmené a plošší okolo svého průměru. Pro představu si necháme vykreslit histogram s Gaussovou křivkou.

Grafy – 2D grafy – Histogram – Proměnné: Rychlost v km/h – OK – OK.

• kovarianci spočítáme ze vzorce $$s_{12}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_iy_i-m_1m_2$$
• počet aut je 10 $ \Rightarrow n=10 $
• dále potřebujeme spočítat průměrné stáří $ m_1 $ a průměrnou cenu aut $ m_2 $
  1. $ m_1= \frac{1}{10}\bigl(8+12+14+13+6+13+16+14+11+9 \bigr)=\\ \quad =\frac{1}{10}\cdot 116 = 11,6$
  2. $ m_2= \frac{1}{10}\bigl(156\,000+124\,000+85\,000+67\,000+254\,000+\\ \quad+98\,000+37\,000+55\,000+118\,000+187\,000 \bigr)=\\ \quad =\frac{1}{10}\cdot1\,181\,000 = 118\,100$
• pro lepší přehlednost si spočítáme zvlášť $ \sum_{i=1}^n x_iy_i $: \begin{align*} \sum_{i=1}^n x_iy_i&=8 \cdot 156\,000+12 \cdot 124\,000+14 \cdot 85\,000+13 \cdot 67\,000+\\ &+6 \cdot 254\,000+13 \cdot 98\,000+16 \cdot 37\,000+14 \cdot 55\,000+\\ &+11 \cdot 118\,000+9 \cdot 187\,000\bigr)= 11\,938\,000 \end{align*}
• po dosazení do vzorce dostaneme: $$\begin{align*}s_{12}&=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^n x_iy_i-11,6\cdot 118\,100 =\\&=\frac{1}{10}\bigl( 11\,938\,000 \bigr)-1\,369\,960 = -176\,160\end{align*}$$
• konečný výsledek je tedy $ s_{12}= -176\,160$

Nejdříve vytvoříme nový datový soubor o 2 proměnných a 10 případech. Tabulku vyplníme podle tabulky v zadání.

Statistiky – Vícenásobná regrese – Proměnné: Stari a Cena (v tomto případě je jedno, která bude závislá, která nezávislá) – OK – Residua/předpoklady/předpovědi – Popisné statistiky – Další statistiky – Kovariance.
Protože program Statistica používá pro výpočet kovariance vzorec pro výběrovou kovarianci, je potřeba celý výsledek opět vynásobit zlomkem $\frac{n-1}{n}$.
Dvakrát klikneme na proměnnou Cena – Formát zobrazení: Číslo – Desetinná místa: 2 – Dlouhé jméno: =v1*9/10 – OK.
Dvakrát klikneme na proměnnou Stari – Desetinná místa: 2 – Dlouhé jméno: =v2*9/10 – OK.
Výsledná tabulka vypadá takto:

Na hlavní diagonále se nachází rozptyly, mimo hlavní diagonálu se nachází kovariance.

• koeficient korelace spočítáme pomocí vzorce $$r_{12}=\frac{s_{12}}{s_1\cdot s_2}$$
• nejdříve musíme spočítat směrodatnou odchylku stáří aut $ s_1 $ a směrodatnou odchylku ceny aut $ s_2 $
  1. $\begin{align*} s_1^{2}&= \frac{1}{10}\bigl[(8-11,6)^{2}+(12-11,6)^{2}+(14-11,6)^{2}+\\&+(13-11,6)^{2}+(6-11,6)^{2}+(13-11,6)^{2}+\\&+(16-11,6)^{2}+(14-11,6)^{2}+(11-11,6)^{2}+\\&+(9-11,6)^{2} \bigr]= \frac{1}{10}\cdot 86,4 = 8,64 \end{align*}$ $ \Rightarrow s_1=\sqrt{8,64}= 2,94 $
  2. $\begin{align*} s_2^{2}&= \frac{1}{10}\bigl[(156\,000-118\,100)^{2}+(124\,000-118\,100)^{2}+\\&+(85\,000-118\,100)^{2}+(67\,000-118\,100)^{2}+\\&+(254\,000-118\,100)^{2}+(98\,000-118\,100)^{2}+\\&+(37\,000-118\,100)^{2}+(55\,000-118\,100)^{2}+\\&+(118\,000-118\,100)^{2}+(187\,000-118\,100)^{2} \bigr]=\\&=\frac{1}{10}\cdot 39\,356\,900\,000 = 3\,935\,690\,000 \end{align*}$ $ \Rightarrow s_2=\sqrt{3\,935\,690\,000}=6\,2735,08 $
• v předchozím případě jsme si spočítali kovarianci, víme tedy, že $ s_{12}= -176\,160$
• po dosazení do vzorce dostáváme \[ r_{12}=\frac{-176\,160}{ 2,94\cdot6\,2735,08} = -0,96 \]
• konečný výsledek je tedy $ r_{12}= -0,96 \Rightarrow$ mezi stářím aut a cenou aut existuje silná nepřímá lineární závislost

Nejdříve vytvoříme nový datový soubor o 2 proměnných a 10 případech. Tabulku vyplníme podle tabulky v zadání.

Statistiky – Základní statistiky – Korelační matice – 1 seznam proměn. – vybereme obě proměnné (Stari, Cena) – OK – Možnosti – zrušíme zaškrtnutí u Včetně průměrů a sm. odch. ve čtverc. maticích – Výpočet.
Opět dvakrát klikneme na proměnné Stari i Cena a počet desetinných míst změníme na 2.
Dostaneme následující tabulku: